高等数学向量及其运算PPT课件教学教案

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例 例1 1 在 平 行 四 边 形 A B C D 中 ,设 A = a , A B = b . D 试 用
a 和 b 表 示 向 量 M 、 M 、 M A 、 B M , C 其 中 M D 是 平 行 四 边 形对角线的交点.
解 于是
由于平行四边形的对角线互相平分, 所以
2
2
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例
设
ABC的三边
B = a , C C = b , A A = cB
三边中点分别为 D、E、F
试用
a,b,c
表示 AD ,BE ,CF并证明
A
A + B + D C = E 0 F
证
AD=AB+1BC=
c
+
1
a
2
2
F
BE=BC+1CA=
a
+
1b
CFA =C+ D AB +122+ AE C B F ==b3(+a212+cbB+c)
说明： (1) 通 常 把 x 轴 和 y 轴 配 置 在
z轴 原点
水平面上, 而z轴则是铅垂线; (2) 数 轴 的 的 正 向 通 常 符 合
右手规则.
y轴 x轴
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•坐标面
在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定 一个平面, 这种平面称为坐标面.
三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.
M2
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例5. 在 z 轴上求与两点 A(-4,1,7)及 B(3,5,-2)等距 离的点 .
解: 设该点为M(0,0,z),因M 为 A=M B, (-4)2 +12+(7-z)2 = 3 2 + 52 +(-2-z)2
解得 z = 194, 故所求点为M(0,0,194).
思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
的三角形是等腰三角形 .
证:
M 1M 2=(7 - 4)2 +(1-3)2+(2-1)2 = 14
M2M3 = (5-7)2+(2-1)2 +(3-2)2 = 6
M1M3 = (5- 4)2 +(2-3)2+(3-1)2 = 6
M 2 M 3=M 1 M 3
M1
M3
即 M 1M2M3为等腰三角形 .
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•负向量 与向量a的模相同而方向相反
的向量叫做a的负向量, 记为-a.
•向量的减法 向量b与a的差规定为 b-a=b+(-a).
•三角不等式 |a+b||a|+|b|, |a-b||a|+|b|,
等号在b与a同向或反向时成立.
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2.向量与数的乘法
向量a与实数的乘积记作a, 规定a是一 个向量, 它的模|a|=|||a|, 它的方向当>0时与 a相同, 当<0时与a相反.
•卦限
坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 分别用字母I、 II、III、IV等表示.
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❖ 向量的坐标分解式
任 给 向 量 r , 对 应 有 点 M , 使 O = r . M 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, 有
r = O = O + P M + N P = O N + O M + O P , Q R
D
C
b-a=BD=2MD=-2MB b M=- A 1 2(a+b) M=B -1 2(b-a)A
M= C 1 2(a+b) M= D 1 2(b-a)
M aB
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❖ 数轴与点的坐标 给定一个点O及一个单位向量 i 就确定了
一条数轴Ox.
对 于 轴 上 任 一 点 P , 必 有 唯 一 的 实 数 x , 使 O = x i , P 并 且
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二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
的终点重合, 则从a的起点到b的终点的向量c称为
向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b.
三角形法则
平行四边形法则
c=a+b
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•向量的加法的运算规律 (1)交换律a+b=b+a; (2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).
记为M(x, y, z).
•
向量
r
=OM
称为点M关于原点O的向径.
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❖坐标轴上及坐标面上点的特征
坐标面上和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的 特征. 例如: • 点M在yOz面上, 则x=0;
点M在zOx面上的点, y=0; 点M在xOy面上的点, z=0. • 点M在x轴上, 则y=z=0; 点M在y轴上,有z=x=0; 点M在z轴上的点, 有x=y=0. • 点M为原点, 则x=y=z=0.
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
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•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化 设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
|a |
记为ea. 于是a=|a|ea.
• 上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z
之间有一一对应的关系
M r = O = x i + y j + z k M ( x , y , z ) .
• 有序数x、y、z称为向量r的坐标,
记作r=(x, y, z);
• 有序数x、y、z也称为点M的坐标,
=0
D
2
E C
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定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
b=a ( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± b a , a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
a = a =
a =b
a
故b=a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 (-)a=0
y2
,
z=z1
+ 2
z
2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r = ( x ,y ,z )作 ,O= M r ,则有 r=O= M O+ P O+ Q OR
由勾股定理得
r=OM = O2 P +O2 Q +O2 R = x2+y2+z2
对两点 A(x1,y1,z1)与 B(x2,y2,z2),因
a + b = A = 2 A = - C 2 M , M A
M = - 1 ( a + b ) ; A 2
M = - M = 1 ( a + b ) . C A 2
因 为 - a + b = B = 2 M , D D
所 以 M = 1 ( b - a ) ; M = D - M = 1 ( a - b ) B .D
并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系: 点P实数x.
实数x称为轴上点P的坐标.
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三、空间直角坐标系
❖ 空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k,
就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴
(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个
空间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系.
第七章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
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§7.1 向量及其运算
一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向解、投影
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说明: 由
(x,y,z)=1
1 +
( x 1 + x 2 ,y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )
得定比分点公式:
A
x=x11++x2 ,
y=
y1+ y2 1+
,
z=z11++z2
M
B
o
A
当=1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
中点公式:
B
x=x1
+ x2 2
,
y=
y1
+ 2
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•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反,
就称这两个向量平行.
向量a与b平行, 记作a//b.
零向量认为是与任何向量都平行.
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•共线向量与共面向量
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
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提示:
(1) 设动点为M(x,y,0),利用 MA=MB, 得 1x + 4 8 y + 2= 8 0 ,且 z=0
(2) 设动点为 M(x,y,z),利用 MA=MB,得 7 x + 4 y - 9 z+ 1= 0 4
例6. 已知两点 A(4,0,5)和B(7,1,3),求 AB.
解: AB = AB = 1 (3,1,-2)
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四、利用坐标作向量的线性运算
设 a = (a a x,b a y = ,( a a z x ) b b ,x = ,( a b y x ,b b y y ,,b a z z ), b z 为)实数，则
a=(ax,ay,az)
平行向量对应坐标成比例:
当 a 0 时 ,
ba
b=a
bx = by = b z ax ay a z
解 由 于 A = O M - O , M M = A O - O B , B M
由 于 A = O M - O , M M = A O - O B , B M
因 此 O - O = ( O M - O A ) ,B M
从 而 O = 1 ( O + O M ) A B 1 + (x,y,z) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) , 1 + 1 + 1 + 这就是点M的坐标.
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一、向量概念
❖ 向量 既有大小, 又有方向的量叫做向量.
❖ 向量的表示法 •向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示. •以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量, 记作A→B. •向量可用粗体字母、 或加箭头的书写体字母表示.
例 如 , a 、 r 、 v 、 F 或 a 、 r v 、 、 F .
以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2) =(11, -2, 16).
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例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在 直 线 A B 上 求 一 点 M ,使 A = M M . B 解 由于
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向 量 a 、 a 、 A 的 模 B 分 别 记 为 |a ||、 a | 、 |A |.B
•单位向量 模等于1的向量叫做单位向量.
•零向量
模 等 于 0 的 向 量 叫 做 零 向 量 , 记 作 0 或 0 .
零向量的起点与终点重合, 它的方向可 以看作是任意的.
B
Hale Waihona Puke Baidu
AB=O- B O= A( x 2 - x 1 ,y 2 - y 1 ,z 2 - z 1 )
得两点间的距离公式:
A
AB=AB= ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 + ( z 2 - z 1 ) 2
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例4. 求证以 M 1 ( 4 , 3 , 1 ) , M 2 ( 7 , 1 , 2 ) , M 3 ( 5 , 2 , 3 ) 为顶点
而a 0,故 -=0,即=.
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“ ” 已知 b＝ a , 则
当=0时, b＝0
当0时, a , b 同向
a∥b
当0时, a , b 反向
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, AB=a,AD=b,
试 a 与 用 b 表 M 示 ,M A ,M B ,M C . D
解: a+b=AC=2MC=-2MA
r = O = O + P M + N P = O N + O M + O P , Q R
设 O = x i , O = P y j , O = Q z k ,R
则 r = O = x i + y j + z k . M
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任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r = O = x i + y j + z k . M
bx =ax
by =ay
bz =az
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例 例2 2 求 解 以 向 量 为 未 知 元 的 线 性 方 程 组 3 5 x x - - 3 2 y y = = a b , 其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2).
解 如同解二元一次线性方程组, 可得 x=2a-3b, y=3a-5b.
AB
14
= 3 , 1 , -2
14 14 14
30
2. 方向角与方向余弦