第九章 相似理论

（2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的 一切物理量，并把它们整理成相似准则。
（3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整 理成关系公式（曲线），以便应用到原形 流动中去。
§９-３ 方程分析法 两流动现象相拟的充分必要条件：满足同一微分
方程式，而且边界条件和初始条件相似。
对于粘性流体流动相似问题，两个流动相似系统， 均满足N——S方程（以ｘ方向为例）
Cv
vp vm

t p 0
tm 0
li m
li m
tp tm

Cl Ct
Ｃｖ，ＣL均为常数，则Ｃｔ也为常数，即运动 相似的系统，时间也相似。
运动相似必须以几何相似为前提。
运动相似的系统，对应点的加速度也相似。
vp tp vm tm vp vm
t p 0 tm 0
（２）佛劳德数 (Froude number)r F
惯性力 质量力 v l
2
v gl

/ g
v
2
Fr
2
gl
反应重力（质量力）对流体的作用,Fr相等 表示现象的重力作用相似。
与重力有关的现象由Fr决定，例如波浪运动和舰 船的兴波阻力等，都和Fr密切相关。
S (3)斯特洛哈尔数(Strouhal Number) t
§９-４ 几个基本概念：
因次分析法与Π 定理
• 因次（或量纲）：物理量测量单位的种类
• 基本量纲：是所研究现象中最重要的而且是量
纲独立的量。
在不可压流体力学中，通常有: 长度[L], 质量[M], 时间[T], 其余可由这三个基本量纲导出(见p179.)
Cl C vC t 1 C lC g Cv
2
Cv
2
Cl
得：
C C vC l

C
p 2
CCv
（9-7）
引入音速的传播公式： 对应的相似常数为
Ca
2
a
2
p
a
2 2
a

p
2
/
p

Cp C
所以
C
p 2

Ca Cv
CCv
2
（9-7）变为
和流体动力（压力、升力、阻力）系数相等。
密度相似
C lim m p vp mm vm m p mm
t p 0 tm 0
G p g p Gm gm
t p 0 tm 0
p m

t p 0
tm 0
lim
lim
v p vm
lim
2
v x
v x
v x
1 p

(d iv v )
(a)
(b)
一撇:原形系统
两撇：模型系统
两系统流动相似，所有同类物理量成比例， 对应的相似常数表示如下：
x c l x , v c v v , x
x
y c l y , v y c v v ,
[ v x

3 x
(d)
( d ivv )]
对于模型系统，物理量要同时满足(b),(d)两式。 所以（d)式中各项系数必须相等。
Cv Ct
局部 惯性力

Cv
2
Cl
Cg

Cp CCl

C C v Cl
2
变位 惯性力
质量力
压力
粘性力
全式除以变位惯性力项
第九章
相似理论
课堂提问：为什么设计一条新船型通常需做模 型实验?
本章主要内容： 1.介绍相似概念 2.相似三定理 3.方程分析法 4.因次分析法及定理
解决实际中流体力学问题，通常有两种途径 ：
建立描述流动过程的微分方程式，给定初始条件、 边界条件对微分方程求解（例如解N-S方程） 通过实验寻求流动过程的规律性
Cl C vC t 1 C lC g Cv
2

Cp CCv
2

C C vC l

Ca Cv
2
2
（9-8）
因此可以得到如下五项重要的结果：
特洛哈尔数：
Cl C vC t 1, l v t
v
2

l v t
v
2
,
l vt
v
St
佛劳德数：
欧拉数：
C gCl Cv
y
z c l z , v c v v , z z Z c g Z , p c p p ,
X c g X , t c t t ,
Y c g Y ,
(c)
c ,
c
将（ｃ）式代入（ａ）式可得:
Ca
ap am

t p 0
lim
tm 0
lim
lim
tp tm

Cv Ct

Cl Ct
2
Ｃｖ，Ｃｔ均为常数，则Ｃａ也为常数，即运动 相似的系统中，加速度也相似。
3、动力相似
在对应点上，同名力的方向相同， 大小成比例
Fp
Fm
G
Gm
p
Fp Fm

G
p
C
Gm
F
对于各种同名力，应成同一比例
2
2
1,
g l

g l
,
Fr
gl
Cp CCv
2
1,
p
v
2

p
v
2
,
p
v
2
Eu
雷诺数：
C C lC v
1,
v l


v l

,
vl

Re
马赫数：
Ca Cv
2 2
1,
2 v a
2

2 v a
相似性包括三方面：
1. 2. 3.
几何相似 运动相似 动力相似
1.几何相似: 对应边成比例，对应角相等。
L p1
A
Lm1
Lp2
a
b
B
Lm 2
原型流动Prototype
模型流动Model
Lp2 Lm 2
对用边成比例:
L p1 Lm1

CL
对应角相等： p m
p m
§９-２ 相似理论 1.相似性第一定理（正定理）
彼此相似的流动现象必定具有数值相同的相似 准则。
2. 相似性第二定理（逆定理）
若流动现象的相似准则在数值上相等，则这 些现象必定相似。
３．相似性第三定理（Π定理）
结论 1. 两流动现象相似，相似准则相等，其准则方程 式相同。
2. 若将模型流动结果整理成准则方程式，则该方程 式可以应用到原形流动中去。 相似三定理回答了模型试验中必须解决的问 题，归纳如下： （1）由模型和原形的相似准则数相等，确定模型 系统的特征长度、特征速度，流动介质等。
F pi Fm i F pg Fm g mi F pp Fm p CF mg

pi

pg

pp
mp
在原形和模型两个系统中，若动力相似，对应 点上的各种力组成的力多边形应相似，故每两边 之间的夹角应相等。
动力相似包括运动相似，而运动相似又包括 几何相似。 所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物 理量相似。 由此可以推导出，两系统之间存在密度相似
1.实验条件如何安排？（设计实验模型的根据） 2.试验数据如何整理？
3.试验结果如何换算？（试验结果与实际流动之间 服从什么关系）
解决上述三个问题，是进行流体力学试验研究 的基本问题。
§９－１ 相似概念 一、物理现象相似 如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征 量的比值在所有对应点上保持常数（无量纲数 dimensionless number ），则这两个物理现象称为相 似的。 二、流动现象相似
实际流动现象很复杂，一般难以用微分方程来 描述。即使能够建立微分方程，由于数学上的 困难，往往也难于求解。因此，进行实验研究 是解决许多流体动力学问题的重要手段。
本章主要介绍第二种研究途径，及实验研究理论
模型试验是对真实流动现象在实验室内的再 现，目的是揭示流动的物理本质。
问题的提出：
进行实验研究，需要解决什么问题？
c v v x c t t

ห้องสมุดไป่ตู้
cv cl
2
( v x Cp
v x x
v y
v x y
v z
v x z
2
)
C g X
1 p
C C v Cl
C C l x
所以
Vm

m p
lp lm
V p 2 0 0V p
2.由佛劳德数相似
(Fr )m (Fr ) p ( V gl )m ( V gl )p
所以
Vm
g m lm l p g p l p lm
Vp
1 200
Vp
显然
1 200
V p 2 0 0V p
实际问题中，先保证佛劳德数相似，进行试验， 然后进行修正。
v p vm

CFCa Cl
2
无因次的流体动力系数Ｃｐ由下式定义：
CP P
1 2
v S
2
（9-4）
其中Ｐ为流体作用力，ρ，ｖ和Ｓ分别为选定 的作为特征量的流体密度、速度和面积 。 下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等
Pp
1 2
CP
pv p S p
2

C F Pm
1 2
C m C v vm C s S m
2
,
v a
Ma
以上五个无因次数称为相似准则（相似准数）
相似准则的物理意义：
(1)雷诺数(Reynolds number)
惯性力 粘性力 v l
2
Re
vl

/
v l
2

vl

Re
反映流体粘性的作用, Re相等表示流动现象的 粘性力相似.。
Re大：表示粘性作用小， Re小：表示粘性作用大。 对于理想流体ν →0，此时Re→∞
vt l
变位惯性力 局部惯性力

v l
2
/
v t

vt l
St
反应流体非定常运动的相似, St相等表示现 象的周期性相似 St相等表示现象的周期性相似，与周期性 有关的非定常流动由St来决定，例如卡门涡街 引起的振动，螺旋桨的性能等等。
在螺旋桨理论中，可将上式变为如下形式:

v nD
式中:ｎ为螺旋桨转速，Ｄ为螺旋桨直径，λ 称 为螺旋桨的相对进程(无因次数)。
2. 在水池中进行舰船的水面阻力试验时，则只考 虑Re（有粘性阻力）和Fr（有兴波阻力）。 讨论： 某实船船长200m, 航速0.1m/s,若模型试验时，缩 尺比为1：200，试决定模型试验速度。
解： 1.由雷诺数相似
(R e ) m (R e ) p ( vl vl

)m (

)p

v a
马赫数反映流体的压缩性,Ｍａ相等就是压缩 性相似.
与压缩性有关的现象就由马赫数来决定，例如 高速飞机的性能要用Ｍａ来表示。 结论： 1.两流动现象相似，五个相似准数（Re、Fr、St、 Eu和Ma应相等。 2. 对于不同问题的试验，考虑轻重缓急进行取舍。
例如：
1. 在低速风洞中进行潜艇阻力试验时，只需考 虑Re（有粘性作用），可不考虑Fr（无兴波问 题）和St（定常流动）和Eu（无空泡现象）。
v x t x y z x 3 x v v v v 1 p 2 x v x v x v x X v (d iv v ) x y z x t x y z x 3 x v x v y v z X v x
2.运动相似
对应点上，流体质点速度的方向相同，大小 成比例。
V p1
V p2
V m1
Vm 2
V p1 Vm1

V p2 Vm 2
Cv
运动相似的两个流动系统中，对应流体质点位 移对应距离所需的时间间隔成比例：
li m lp tp lm tm lp lm
t p 0 tm 0
(4) 欧拉数(Euler number)
压力 惯性力 p / v l
2
Eu
p
v
2
l

p
v
2
Eu
与压力有关的现象由Eu来决定，例如空泡现象、 空泡阻力等。 在讨论空泡问题时, 相似准数通常用空泡数：

p pv
1 2
v2
pｖ ：为液体的饱和汽压
(5)马赫数(Mach Number): Ma
2 2

CF C pC v C s
2

Pm
1 2
m vm S m
2
两流动现象中，若几何相似，运动相似，动力
相似，则两流动现象相似。
例如原型流动与模型流动满足几何相似，运动 相似，动力相似，则两流动现象相似。
三.相似准则（判据）
相似准则（判据）：流动现象的特征量所组成的 无量纲组合数。 相似准则的作用：判断两个流动现象是否相似 在进行流体力学的模型试验时，模型系统与实 物系统的特征物理量之间应保持一定的关系，这 些关系就是由相似准则推导出来的。