数列的极限

当n无限增大时, xn 无限接近于1.
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数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1
|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大, 则要看 xn 1小到什么要求.
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数列的极限
三、数列极限的概念
问题 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值? 如果是, 如何确定?
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
1 1, 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 2345
即 2, 1 , 4 , 3 , 6 2 345
第二节 数列的极限
概念的引入 数列的概念 数列极限的概念 收敛数列的性质 小结 思考题 作业
第一章 函数与极限
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数列的极限
一、概念的引入
极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键.
极限的思想源远流长. 庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》 中写道: “一尺之棰,日取其半,万世不竭
n ln , ln q
xn
1
成立.
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数列的极限
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正整数N,使得对于n N 时的一切 xn ,
不等式
xn a
成立. 那末就称常数a是数列 xn的极限(limit), 或称数列 xn收敛于a (converge to a) .
记为 或
lim
n
xn
a,
xn a (n ).
如果数列没有极限, 就说数列发散(divΒιβλιοθήκη Baidurge).
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数列的极限
注
(1) 不等式 xn a 刻划了xn 与a的无限接近; (2) 正数是任意给定的 , 但是一旦给出之后,
它就是确定了;
(3) N与给定的有关,一般地说, 越小, N将越大;
(4) {xn}有没有极限, “前面” 的有限项不起作用, 主要看“后面”的无穷多项.
意思是:一”尺. 长的棍子, 第一天取其一半, 第二
天取其剩下的一半, 以后每天都取其剩下的一 半, 这样永远也取不完.
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数列的极限
刘徽(三世纪)的“割圆术”中说: “割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可
割,则与圆周合体,而无所失矣.”
意思是: 设给定半径为1尺的圆, 从圆内接正6边
形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出 正12边形、正24边形. ……等等正多边形的边长, 边数越多, 圆内接正多边形越与圆接近, 最后与 圆周重合, 则正多边形周长与圆周长就没有误 差了.
采用逻辑符号将 lim n
xn
a的定义可缩写为:
N 定义 0, N 0, 当n N时,
有 xn a .
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数列的极限
数列极限的几何意义
a 2
xn a
a xn a
(n N )
即 xn U(a , )
a
(n N )
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点xn 都落在(a , a )内,
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数列的极限
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
R
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数列的极限
二、数列 (sequence of number) 的概念
定义 按照自然数的顺序排列的一列数
x1 , x2 , xn , 简记为{ xn },其中xn称为数列{ xn }的通项(general
证
0,要使
xn 0
1 cos n 0 n2
.
由于
1 cos n 0 n2
1 n
cos n 2
1 n
常把只有为要x1了nn1c简oas化n作,或解适不n0当等地1式,放.的取大运N即. 算li[m,常11],
则当n
cos n
N时,
0
n2
n n
2
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数列的极限
例
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
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数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时, 有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定
0, 只要 n
N ( [1])时,有
0,要 xn 1 ,
只要
1 n
,
或n
1
所以, 取N
1,
则当n
N时,
有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
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数列的极限
例 证 极用 定明 限定数.义0列,证寻x数找n 列N,n极1但c限o不s存n必2在要(时求n ,最关1、小键2、的是3N任）.意以给0为
term), 或者一般项.
如 2,4,8, ,2n , ;
{2n }
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
;
1 {2n }
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数列的极限
1,1,1, ,(1)n1 , ; {(1)n1 }
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
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n
数列的(两种)几何表示法:
n (1)n1
{
}
n
(1)数列对应着数轴上一个点列.
可看作一动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
x1 x3 x2 x4 xn
数列可看作自变量为正整数 n的函数:
xn f (n) 整标函数或下标函数
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数列的极限
(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 则数列的几何意义是平面上一串分离的点. xn
o ·1 2·3·4
n
注 不可将这串点·连成曲线.
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注 数列极限的定义通常是用来进行推理
和证明极限,而不是用来求极限, 因为这里
需要预先知道极限值是多少.
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数列的极限
例 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证时个,对找虽于x出n然给使是定1不可的等n以式,任总成(意n暂立1小时)n的的认1N正为. 1解数它不,是但n1等固使式定用的定,义按证照题这
xn
C.
证 任给 0, 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明 常数列的极限等于同一常数.
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数列的极限
例 证明limqn 0,其中 0 q 1. n
证 0 (不妨设0 1),
为了使 xn 0 qn ,只需使 n ln q ln ,