结构力学平面桁架

E F
T
CD
a
GH
K
由结点T
0.5P T
A
B
NDT
2P 4
由截面 - 右
Y0
NDG1.25P
由截面 - 上
MF 0
NTD
2P
P
4D
N DG
Na 0.05 2P
2d
wk.baidu.com
2d
2d
0.5P T 1.3P
CD
F
Na
1.25P
P d d
2d
P
二、复杂桁架的计算
杆件代替法
Ｐ
Ｐ
５
４
５
４
Ｘ
６
６
３
３ Ｘ
０
１
２
１
.
§5.7 静定结构的静力特性
几何组成方面：它是无多余约束的几何不变体系；
静力方面： 全部反力和内力可由静力平衡方程求得，解答是唯一的，
有限的。称为静定结构解答的唯一性定理。 静定结构在静力分析中具有如下特征：
(1)在静定结构中，除荷载外，任何其它外因（如：温度改变，支座位 移，材料伸缩、制造误差等）均不会产生任何反力和内力。 无荷载作用时，零反力和零内力必能满足全部的静力平衡条件。根据 静定结构解答的唯一性可知，除荷载外，任何其它外因均不会产生任 何反力和内力。
-47.4
a
-79.1
-63.4
-18.0 30
-15.8 10
15
75
75
75
图(a) 三角形桁架
10 kN 10 kN 10 kN 10 kN 10kN
a
35.4 21.2
7.1 0
-25 -25 -15-40 -5-45
0
25 40
10 kN 10 kN 10 kN 10 kN 10 kN
图(b) 平行弦桁架
0
25 40
10 kN 10 kN 10 kN 10 kN 10 kN
图(b) 平行弦桁架
内力分布不均匀
弦杆的内力向跨中增大，若各杆采用等截面，则会造成材料浪费， 若不等截面，则结构拼装有一定的难度。 优点：结点构造单一化，腹杆标准化等，多应用于轻型桁架， 如厂房中12m以上的吊车梁，桥梁中多用于50m以下跨度的梁
-45.3
-47.5
a
-51.5
0
0 10
10
10
45 45
45
(c) 抛物线形
桁架
10 kN 10 kN 10 kN 10 kN 10 kN
a
a.
a
a
a
a
(1)三角形桁架
-47.4
a
-79.1
-63.4
-18.0 30
-15.8 10
15
75
75
75
图(a) 三角形桁架
10 kN 10 kN 10 kN 10 kN 10kN
1‘ 2‘ 3‘ 4‘ e
a
cd
b
A 1 2 3 4 5
P PP 6d
4d d3
B
VA 1.5P
(1) N a N b
VB 1.5P
1.5P
1‘ 2‘
Na
4d 3
1 2 Nb
P
Y 0 N a P V A 0 .5 P M 2 0 N b3 4d 1 .5 P 2 d0
Nb 2.25P
1、尽量建立独立方程： W=2j-b=0 方程式数
未知内力数
2、避免使用三角函数 N
l ly
N lx
3、假设拉力为正
N
Y
X
N=X =Y
l
lx
ly
+
一、平面汇交力系
3
-90 5
7
结点2
H=0 1
40
60
60
2 40kN 4 60kN 6 80kN 8
4m
N23
N23 40
60 2
N24 N24 60
0.75kN.m
0.75
f1=0.5m
0.75
-3.5 kN
f2=0.7m
15.4 kN
15 kN
图(i)
(3) 当坡度增大（即f1增大）时，
上弦杆的正弯矩（内侧受拉）增大，
当f2=0时，上弦杆全部为正弯矩
0 15 kN 15 kN
4.5 kN.m
图(k)
f1=1.2m f2=0
(4)图(i)种情况最合理，上弦杆的最大负弯矩与最大正弯矩近似相等。
.
2 桁架的分类
根据不同的特征，桁架有不同的分类
(1) 按桁架的外形: 桁架
(a ) 平行弦桁架 (b ) 折弦桁架 (c ) 三角形桁架
图（a）
图（b）
图（c）
(2) 按支座反力的特点： (a )无推力（或梁式）桁架
桁架
（如图a、b、c)
. (b )有推力（或拱式）桁架
图（d）
(3) 按桁架的几何组成特点： (a )简单桁架
QY
N
15 A
H
2.5 1.74
1.24 1.25
1.75
Q图 (kN)
15.15
15.17 14.96
N图 (kN)
14.92
剪力与轴力
QYcosHsin NYsinHcos
sin 0 .083c5 o s0 .99
如截面A
QA2.50.996150.0835 1.24kN
NA2.50.0831550.996 15.15kN
4 60kN
6
8
80kN
V1=80kN
4×3m=12m
V8=100kN
二、结点单杆概念
结点平面汇交力系中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均共线 时，则此杆件称为该结点的结点单杆。
结点单杆的内力可直接根据静力平衡条件求出。
N1
N1 0
N1
N2
N2 0 N2
N1
N2
N3 N1 N2
N3 0 N1
V1=80kN
结点1 5
3
Y13
1 80
X13 N12
4×3m=12m
40
V8=100kN
4
Y13 80
X138
036
4
0
N138054100
结点3
3
60
Y34 4080 0
Y34 40
N35
X34
403 4
30
X34
N34
40550 4
N12X130
80 40 Y34
N3530600
N12 60
２
Ｐ ５
N1XNP0
X NP
４
N1
５
４
Ｘ＝１
６
６
３
NP
N1
３
Ｘ＝１
１
２
１
２
§5-5 组合结构
由只承受轴力的二力杆（桁式杆）和梁式杆（承受弯矩、剪力及轴力）混合 组成的结构。
钢筋混凝土
钢筋混凝土
三铰屋架
型钢
Ｅ Ｄ Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ Ｅ
下撑式五角形屋架 型钢
q1kN/m
F
G
A
C
B 0.5m
3.5 + 15
t1(0< t1< t2) t2
①
①杆伸长
.
B
B支座位移：
(2)平衡力系的影响
当平衡力系所组成的荷载作用于静定结构的某一几何不变的部分时，只 有该部分受力，其余部分的反力和内力均为零。
Fp
2Fp
Fp
Fp
Fp
(3)荷载等效变换的影响 对作用于静定结构某一几何不变部分上
的荷载进行等效变换时，只有该部分的内力发生变化，其余部分的反
N35 90
3 -90
5 -90
7
4m
60
30
75
_
80
40
+ 40 0
20 80 +
_ 100
15
H=0
60
60
75
75
2 40kN
4 60kN
6
8
80kN
V1=80kN
4×3m=12m
V8=100kN
.
3 -90
5 -90
7
4m
75
_
40
0
20 80
100
+
15
H=0
60
60
75
75
2 40kN
力和内力均保持不变。
.
静力等效荷载：具有同一合力的各种荷载。 荷载等效变换：将一种荷载变换为另一种与其静力等效的荷载过程。
2Fp
Fp
Fp
Fp
Fp
(4)结构的构件截面尺寸材料性质及应变规律的影响
静定结构的反力和内力不随构件的截面尺寸、材料的性质及应变 规律的变化而改变。
因为静定结构的反力和内力是由静力平衡方程求出来的，而静力 平衡方程中不包含上述因素的参数。
C
D
B
二、特殊截面 P
A
RA
B
RB
P
。k
RB
。 k
P
P
简单桁架——一般采用结点法计算； 联合桁架——一般采用截面法计算。
§5-4 结点法与截面法的联合应用
为了使计算简捷应注意： 1）选择一个合适的出发点； 2）选择合适的隔离体； 3）选择合适的平衡方程
例： 计算桁架中a杆的内力。
1.3P 0.5P
主要内容
1 基本概念 2 桁架分析的结点法 3 桁架分析的截面法 4 结点法与截面法联合应用 5 各类平面梁式桁架比较 6 组合结构的计算 7 静定结构的静力特性
.
§5-1 桁架的特点和组成分类
桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上时，杆件仅承受 轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，是最理想的一种结构形式。
(3) 结构上的荷载有差异： 桁架有自重，即使荷载是作用于结点上，在自重的作用下，各杆产生弯 曲变形，产生弯曲应力，并不象理想桁架那样只有均布的轴力。
主内力 按照理想桁架情况计算出的杆轴力 主应力
次内力 不满足理想假设而产生的附加内力（主要是弯矩，“次弯矩”） 次应力 (1) 因结点刚性而产生的次应力； (2) 因各杆的轴线不能完全通过铰心而产生的次力； (3) 因非结点荷载而产生的次应力。
桁架 由若杆根直杆在其两端铰接而成的结构。 理想桁架：
上弦杆 腹杆
下弦杆
（1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点； （2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上
在此假设下，各杆均为二力杆，这样的桁架称为理想平面桁架。
在桁架结构中，由于杆件主要承受轴力，杆上应力分布均匀，能够充 分利用材料，与梁相比，用料省、自重轻，因此，大跨度的结构多采用桁 架结构。 如 各种铁路桥梁，大跨度的屋顶结构等采用桁架结构比较适宜。
桁架 (b )联合桁架
(c )复杂桁架
图图（图（b（）c）a）
图（d）
图（e）
简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，依次添加二元体所 组成的桁架;
联合桁架：由几个简单桁架按照两刚片或三刚片法则所组成的桁架；
复杂桁架：不按简单组成规则方式所组成的其它形式的桁架。
.
§5-2 结点法
分析时的注意事项：
25.5m
56m
北京体育馆主体桁架的一片
162m
.
九江长江大桥主桁梁
(1) 杆的连接方式有差异：
在刚结构中，结点通常是铆接或焊接的； 在钢筋混凝土结构中，各杆端通常是整体浇注在一起的； 在木结构中，各杆通常是榫接或螺栓联接。
(2) 杆的几何性质有差异： 直杆无法保证绝对平直，结点上各杆的轴线也很难保证交于一点。
(3) Nd
Xe
Ne
4‘ Y e
Nd
45
B
P 1.5P
2d
2d
Mk 0
N d P 2 d 2 d 1 .5 P 2 d 0
Nd 0.25P
M4 0
k Xe 2.25P
Ne
130Xe
3 4
10P
P1
P2 1N1
M D0 N 1 2
A
C
DD B
P1 A
P2
2N2 M C0 N2
.
(3)抛物线形桁架
-45.3
-47.5
a
-51.5
0
0 10
10
10
45 45 45
(c) 抛物线形
桁架
10 kN 10 kN 10 kN 10 kN 10 kN
a
a
a
a
a
a
内力分布均匀
材料使用上最经济。但其上弦杆在每一个节间的倾角都不同，结点构 造复杂，施工不便。 多用于在大跨度的结构中，例如100—150m的桥梁，18—30m的屋 架。
讨论：不同的f1、 f2值弯矩图
从上图可以看出
(1) 下弦杆的轴力变化幅度不大， 但上弦杆的弯矩变化幅度很大。
(2) 当坡度减少（即f1减少）时，
上弦杆的负弯矩（上侧受拉）增大，
当f1=0时，上弦杆全部为负弯矩
4.5 kN.m
-6 kN 15 kN
图(h)
16.16 kN
f1=0, f2=1.2m
P
N1 P N2 0
N2 N2 N1
D
C
7
10
4
1
8
2
5
9
11
6
3
A
B
.
C AB
一、 平面一般力系
§5-3 截面法
X 0
Y 0
M0
截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均相 交于一点时，则此杆件称为该截面的截面单杆。
截面单杆的内力可直接根据隔离体矩平衡条件求出。
O
y
例1 求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。
.
内力分布不均匀
其弦杆的内力近支座处最大，若各杆采用等截面，则会造成材料浪 费，若不等截面，则结构拼装有一定的难度。 因为具有两面斜坡的外形，符合普通黏土瓦屋面的要求，在跨度较 小的、坡度较大的屋盖结构中，多采用该类桁架。
.
(2)平行弦桁架
a
35.4 21.2
7.1 0
-25 -25 -15-40 -5-45
.
§5.6 各类平面梁式桁架比较
设计桁架时，应根据不同的情况和要求，选择适当的桁架 形式。要做到这样，就必须明确桁架的形式对其内力分布和 构造的影响，了解各类桁架的应用范围。
下图为最为常见的三种桁架：三角形桁架、平行弦桁架和 抛物线形桁架，在相同的均布荷载(作用于下弦杆上)各杆的 内力如图所示。
.
RA=6 ３ｍ
-3.5
D ３ｍ
15 ３ｍ
E ３ｍ
0.7m RB=6
q1kN/m
C 15
0.25
F 15 A
m
Y=0
3.5
2.5
0.75
0.75 0.75
M图( kN.m)
弯矩,由F以右
M F1 5 0.2 5 1 233 0.7k5N m
剪力与轴力
QYcosHsin NYsinHcos
sin 0 .083c5 o s0 .99
1‘ 2‘ 3‘ 4‘ e
a
cd
b
A
1 2 3 4 5
P PP 6d
4 d
d3
B
(2) N c
VA 1.5P
Yc1.5PP0.5P Nc 54Yc 0.62P 5
VB 1.5P
4‘ e
d
Nc
B
45
P 1.5P
A
VA 1.5P
1‘
2‘
3‘
4‘
e
a
cd
b
12345
P
P P
6d
4d d3
B
VB 1.5P