whx周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换解析

导出周期序列DFS的传统方法是从连 续的周期信号的傅氏级数开始的：
? ~x (t ) ?
?
X~ ( k ?
) e jk ? 0t
0
k ? ??
对上式进行抽样，得：
? ~x (nT ) ? ? X~(k? 0 )e jk? 0nT k ? ??
? ?
?
X~ (k?
j 2? nk
0)e N
k ? ??
N为周期的周期序列：
?
? x(n) ?
X (k )e jk? 0n
k ???
基频：? 0 ? 2? / N
k次谐波分量： e jk? 0n
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别区的数级氏傅列序期周续连与意注
周期为N的正弦序列其基频成分为：
e1 ( n ) ? e j ?2? / N ?n
e K次谐波序列为： k
(
n
)
?
e j ?2 ? / N ?kn
N ?1 X~ ?k?
? j 2?
0e N
nk
k?0
即，当在k=0,1,..., N-1求和与在
k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。
考虑到： ~x ( nT ) ~ ~x ( n )， X~ ( k ? 0 ) ~ X~ ( k )；
? 则有，
~x ( n ) ?
N
?1
X~
(k
)e
j 2?
第六讲
2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里 叶变换
2.4 离散时间信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系
学习目标
? 了解傅里叶变换的几种形式
? 了解时域与频域信号特性的对偶关系 ? 了解周期序列的傅里叶级数及傅里叶变换
之间的关系 ? 了解离散时间信号的傅里叶变换与模拟信
号傅里叶变换之间的关系
频率函数
连续和非周期
非周期和连续 (FT)
连续和周期 (T0) 非周期和离散 (Ω0=2π/T0) (FS) 离散(T)和非周期 周期(Ωs=2π/T)和连续 (DFS)
离散(T)和周期(T0) 周期(Ωs=2π/T)和离散 (Ω0=2π/T0) (DFT)
§ 2.3.1 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入
但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的， 这是与连续傅氏级数的不同之处，
即
e j?2? / N ??(k ? N )n ? ? e j?2? / N ?kn
因此
ek? N (n) ? ek (n)
周期序列的特点
? 周期序列不能进行傅里叶变换，因为其在 n=-? 到+? 都周而复始永不衰减，不满足 绝对可和条件。但是，正象连续时间周期 信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用 离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的 正弦序列来表示。
X(
jk?
)e jk? 0t
0
k ???
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 时域周期函数造成频域的离散。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
?
? X (e j? ) ? x(n)e? j? n n???
? x(n) ? 1 ? X (e j? )e j? nd?
2? ? ?
时域的离散化造成频域 的周期延拓，而时域的 非周期对应于频域的连 续
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
N ?1
2? ? j nk
X (k) ? ? x(n)e N
n? 0
? x(n) ?
1
N?1
2? j nk
X (k )e N
N k?0
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散周期序列的傅里叶变换的时域 和频域都是离散的和周期的
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数
)e
j
2?
N
(k
?
r
)n
n? 0
n?0 k?0
N ?1
? j 2? nr N ?1 N ?1
j 2? (k ? r )n
? x(n)e N ? ?? X (k)e N
n?0
n?0 k?0
N ?1
? ? N ?1 j 2? (k ? r )n
1.预备知识
?N ?1 e
n? 0
j 2?
N
rn
?
? N, r ? mN, m为任意整数 ??0，其他r
N ?1 j 2? rn
j 2? r
j 2? r ?2
j 2? r ?( N ?1)
? ? e N ? 1 ? e N ? e N ? ? ? e N
n? 0
j 2? r?N
1? e N
?
j 2? r
? N (r ? mN 时)
1? e N
注意：其他r时分子总是为零
2. X~(k) 的表达式
? 将式
~x ( n ) ?
N
?1
X~
(k
)e
j
2?
N
nk
的两端乘
k?0
? j 2? nr
eN
，然后从
n=0到N-1求和，
? ?? 则：
N ? 1 ~x ( n ) e ?
j 2?
N
nr
?
N
?1
N
?1
X~
(k
将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周 期序列的离散傅里叶级数只需包含这 N个复指数 J 加权的复指序列的线性组合。
? ~x (n) ? 1 N ?1 X~(k)e j?2? / N ?kn
N K?0
二. ~x (n) 的k次谐波系数 X~(k) 的求法
补充内容:Fourier 变换的几种可能形式
时间函数
频率函数
连续非周期 非周期连续—傅里叶变换（FT） 周期连续 离散非周期—傅里叶级数（FS） 离散非周期 周期连续—序列的傅里叶变换
周期离散 离散周期—离散傅里叶变换
连续时间、连续频率—傅里叶变换(FT)
? X ( j? ) ? ? x(t)e? j? tdt ??
? x(t) ? 1 ? X ( j? )e j? td ?
2? ??
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
连续时间、离散频率—傅里叶级数(FS)
? X (
jk?
0)
?
1 T0
T0 / 2 x(t )e? jk? 0t dt
? T0 / 2
?
? x(t) ?
N
nk
k?0
二 、周期序列的DFS及其性质
周期序列： x(n) ? x(n ? rN ) r为任意整数 N为周期
连续周期函数：
xa (t) ? xa (t ? kT0 ) T0为周期
?
? xa (t) ?
X (k )e jk? 0t
k ???
基频：? 0 ? 2? / T0
k次谐波分量： e jk? 0t
，代入
?
0T
?
2?
N
因 ~x (nT )是离散的，所以 X~(k? 0 )应是周期的。
而且，其周期为 2?
/T
?
N?
，因此
0
X~(k? 0 )
应是N点的周期序列。
又所由以于求和e j可2N?以(k?在rN一)n个?周e 期j 2N?内nk进?e行j2，?rn即?
j 2?
eN
kn
? ~x ?nT
??