第3章 换路定则

uc U 0 e

U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
0.135 U0 0.05 U0
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
工程上认为, 经过 3－5, 过渡过程结束。
uc
I0
0 t1
＝ t2－t1
t2 t
duC dt U0
t
次切距的长度
t1时刻曲线的斜率等于

t1

q =C uC
结 论
电荷 守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
1 t (3) 电感的初始条件 i L ( t ) u()d L 1 0 1 t u( )d u( ))d + iL L L 0 L u 1 t i L (0 ) u( )d L 0 0 1 0 t = 0+时刻 i L (0 ) i L (0 ) u( )d L 0 当u为有限值时 iL(0＋)= iL(0－) 磁链
i +
+ uL
iC
2
3
-
48V 12A
+
24V
iC (0 ) (48 24) / 3 8 A
i (0 ) 12 8 20 A


-
uL (0 ) 48 2 12 24V

例5
求K闭合瞬间流过它的电流值。 C L 解
iL
（1）确定0－值

+ +
uC －
U0 uC
连续 函数
I0 0
i
跃变
0
t
t
（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关； 令 =RC , 称为一阶电路的时间常数
库 安秒 RC 欧法 欧 欧 秒 伏 伏
=RC
1 1 p RC
－
iL(0+)= iL(0－)
注意:
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
5.电路初始值的确定 例1
求 iC (0+) iC
(1) 由0－电路求 uC(0－)或iL(0－)
+ +
uC
10k 10V
+
40k
uC
+ + -
(1) t = 0＋与t = 0－的概念
f (0 ) f (0 )
f(t)
认为换路在 t=0时刻进行 0－ 0＋ 换路前一瞬间 换路后一瞬间

f (0 ) f (0 )
t 0－0 0＋
f (0 ) lim f ( t )
t 0 t 0
f (0 ) lim f ( t )
等效电路
uc 24e
t 20
t >0 i1
V

t
i1 uC 4 6 e
t 20
t0
A
t
5F
+
－
uC
4
2 20 分流得： i2 i1 4e A 3
1 i3 i1 2e 20 A 3
2. RL电路的零输入响应
R1 US
US R i L (0 ) i L (0 ) I0 R1 R + di K(t=0) L uL L Ri 0 t 0 – dt
t 0 t 0
初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值
例
duc RC uc 0 dt 特征根方程： RCp 1 0
得通解：
pt
图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo, 求开关闭合后电容电压随时间的变化。 (t=0) + 解 Ri uc 0 (t 0) u R C
初始状态
电感电路 (t = 0) Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
R +
i = 0 , uL = 0
L K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路
uL
–
(t →)
R + Us
i
uL= 0, i=Us /R
L i
US
uL
– 有一过渡期
US/R
?
初始状态
UL
t1 新稳态 t
0
过渡状态
duc RC uc U S dt
(t >0) R + Us
i
uL
–
L
Ri uL U S di Ri L U S dt
一个 动态 元件
有源 电阻 电路 二阶电路 (t >0) ＋
一阶 电路
i
R +
US －
－
uC
C
uL
L
Ri uL uc U S
d 2 uc duc LC 2 RC uc U S dt dt
A=U0
uc U 0e
t RC
t RC
t0
t0
t RC
uC U 0 i e R R
或
I 0e
t RC
t RC
duC i C CU 0 e dt
U0 1 ( ) e RC R
从以上各式可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
K(t=0)
i
+ R
uR uC 0
uR
–
C
uC
–
+
duC i C dt
uR= Ri
duC RC uC 0 dt uC ( 0 ) U 0
特征方程
则
RCp+1=0
pt
特征根
1 t RC
1 p RC
uC Ae
Ae
uc Ae

1 t RC
代入初始值 uC (0+)=uC(0－)=U0
2


t RC
1 2 CU 0 2
已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K 闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 i1 K 解 这是一个求一阶RC零输 2 入响应问题，有： i2 + 5F t 3 uC 6 RC － uc U 0e t0 i3
例1
代入 U 0 24 V RC 5 4 20 s

e

t1
uC ( t 1 )
1

uC ( t 2 ) 0.368uC ( t 1 )
（3）能量关系
电容不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕.
C R uC －
+
设uC(0+)=U0
电容放出能量：
电阻吸收（消耗）能量：
1 2 CU 0 2
WR
U R
2 0

0


0
U0 ( e ) 2 Rdt i Rdt 0 R 2t 2t 2 U0 RC RC RC ( e ) |0 e dt R 2
例3
求 iC(0+) , uL(0+) L i
L
解
iC +
由0－电路得：
+u – IS
L
R
K(t=0)
C
uC
–
IS
R
0－电路
0+电路 I S +u –
L
iL(0+) = iL(0－) = IS
iC + R IS –
uC(0+) = uC(0－) = RIS
由0＋电路得：
R
RI S iC ( 0 ) I s 0 R
＋ –
结论： （1）描述动态电路的电路方程为微分方程； （2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；
一阶电路
描述电路的方程是一阶微分方程。 一阶电路中只有一个动态元件。
稳态分析和动态分析的区别
稳态 恒定或周期性激励 换路发生很长时间后状态 微分方程的特解 动态 任意激励 换路发生后的整个过程 微分方程的一般解
+
100
uL (0 ) i L (0 ) 100 100V
ik
200V
iC (0 ) uC (0 ) / 100 1 A
-
3.3
零输入响应
一阶电路的零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初 始储能所产生的电压和电流。 已知 uC (0－)=U0
1. RC电路的零输入响应
3.2
1. 动态电路
动态电路及换路定则
含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经 历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变 化过程称为电路的过渡过程。
例
电阻电路
i （t=0）
i U S / R2
+
i
R1 R2 0
i U S ( R1 R2 )
i －
C
p 1 RC
t RC t RC
uc ( t ) ke ke
代入初始条件得：k
Uo
uc ( t ) U o e
说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确 定解答的必需条件。
(2) 电容的初始条件
i
1 uC ( t ) C
0

t

i ( )d
+ uc -
i 10k 40k 10V k
-
-
电 容 开 路
+
8V iC
-
uC(0－)=8V
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0－)=8V
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
i 10k 10V
0+等效电路 电容用电 压源替代
10 8 iC ( 0 ) 0.2mA 10

iC(0－-)=0
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大 → 过渡过程时间长
uc U0
小 → 过渡过程时间短
大
物理含义
C 大（R一定） R 大（ C一定）
电压初值一定：
0
小
t
W=Cu2/2
i=u/R
储能大
放电时间长
放电电流小
t
0
t

2 U0 e -2
3 U0 e -3
5 U0 e -5 0.007 U0
100 K
100
200V
200 i L (0 ) i L (0 ) 1A 200 100 uC (0 ) uC (0 ) 100V
（2）给出0＋等效电路
－
+
1A
uL
+
100V
－
iC 100
200 100 ik (0 ) 1 2A 100 100

100
C
t = 0+时刻
1 t uC (0 ) i ( )d C 0 0 1 0 uC (0 ) uC (0 ) i ( )d C 0

1 C
1 i( )d C

t 0

i ( )d
当i()为有限值时
uC (0+) = uC (0－) q (0+) = q (0－)
换路
电路结构、状态发生变化
支路接入或断开
电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发 生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
w p t
2. 动态电路的方程
应用KVL和元件的VCA得： Us
(t >0) R +
i
uC
–
C
Ri uc U S
us
-
t
过渡期为零
电容电路
(t = 0) Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
R
+
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态
uC
–
(t →) R + Us
i
i = 0 , uC= Us
C
US R
uC
–
uc
US
?
0
过渡状态
i
t1 新稳态 t
有一过渡期

uL(0+)= - RIS
例4
求K闭合瞬间各支路电流和电感电压 由0－电路得： 2 解
+
48V
+
K
L
iL
uL 2
3 C
+
2 iL
3
-
-
48V
-
2 + uC －
由0+电路得：
i L (0 ) i L (0 ) 48 / 4 12 A
uC (0 ) uC (0 ) 2 12 24V
iC(0+)
例2
1 K
t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+) 4 1
解 先求
4
i L (0 )
电 感 短 路
L
iL
+
uL
10V
0+电路
-
10V
1
4
10 i L (0 ) 2A 1 4

+
10V 2A
uL
uL (0 ) 0 uL (0 ) 0
由换路定律:
动态电路的分析方法
建立微分方程：
dnx d n 1 x dx an n an1 n1 a1 a0 x e( t ) t 0 dt dt dt
时域分析法 本章 采用 复频域分析法 拉普拉斯变换法 状态变量法 付氏变换
经典法
状态变量法
卷积积分 数值法
3. 电路的初始条件

LiL
结 论
L (0＋)= L (0－)
守恒
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
（4）换路定律
qc (0+) = qc (0－)
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
uC (0+) = uC (0－) 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
L (0+)= L (0 ) 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
Hale Waihona Puke -电感用电 流源替代
iL(0+)= iL(0－) =2A
uL ( 0 ) 2 4 8V
求初始值的步骤:
1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画0+等效电路。 a. 换路后的电路 b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 （取0+时刻值，方向同原假定的电容 电压、电感电流方向）。 4. 由0+电路求所需各变量的0+值。