《高数》导数的应用ppt

例 验证罗尔中值定理对函 数 f ( x) x 2 2 x 10 在区间 [0，2] 上的正确性。
解：1）f ( x) x 2 2 x 10 是定义在（ ， ）上 的初等函数，故 f ( x)在区间 [0，2]上连续；
2）f ( x)在（ 0，2）内可导，且 f ( x) 2 x 2
内至少有一点 ，使得 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
定理的几何意义。 在曲线 AB 弧上至少存在一点，在 该点处切线平行
于两端点的连线。 注：取 F ( x ) x，那么 F (b ) F (a ) b a， F ( x ) 1，
上式就可以写成 f (b ) f (a- ) f ( )( b a )( a b )
ln x 1 x
x1
x1
1
而
lim x1
ln 1
x x
(0 0
)
lim x1
x 1 1
1
lim
x 1 x e 1 -
例题 4 求lim xx x0 设 y x x ， 则 ln y x ln x
(00 )型
lim x ln x
lim lim 故
xx
e e x ln x
0
例1求 题 lix m nln x(n0) (0)型 x 0
解： xnlnxlnx (x0时，）
1
xn
1
lim lim lim lim x0
xnlnx
x0
lnx xn
-
x0
x nxn1
x0
(xn)0 n
例2题 求 lim (se xctaxn ) π x 2
()型
解：sec x tan x 1 sin x (x π时，0）
cosax cosbx
a b
lim 例题 2 x0
xsinx x3
“
0” 0
பைடு நூலகம்
lim lim 解： x0
xsinx
x3
x0
1coxs 0
3x2
() 0
sinx 1
sinx
lim lim
(
1)
x0 6x 6 x - x0
lim 例题3
x3 3x2
x1 x3 x2 x1
lim lim 解： x1
x3 3x2 x3 x2 x1
可导，且 g(x) 0；
lim 3）
f (x) A(或），则
x x0 g ( x)
lim lim f (x)
f (x) A(或）
x x0 g ( x) x-x0 g ( x)
lim 例1题 求 x lxnnx(n0)
解：这是x 时型，由洛必达法则，有
1
lim lim lim lnx xn
x1
3x2 3 3x2 2x1
lixm1 6x6x2
3 2
lim 例题 4 x0
ln1(x) x2
1
lim lim lim 解： ln1(x) 1x
1
x0
x2
x - 0 2x x0 2x(1x)
“”型未定式的极限
若
1）lim f (x) ，lim g(x) ；
x x0
x x0
2) f (x) 和 g(x) 在 x0 的某邻域内（点 x0 可除外）
洛必 (L达 Hosp)法 i t a则 l
对“ 0”、” “型的未定式 能的 存极 在限 ，可 也可 。 0
下面介绍洛必 是达 求法 这则 类就 极限 的简 方便 法有 。效
“0”型未定式的极限 0
若1）limf (x) 0，limg(x) 0；2）f (x)和g(x)
xx0
xx0
在x0 的某邻域内（x0点 可除外）可导，g且 (x) 0；
x
x
x nxn1
x
1 nxn
0
lim 例 2题 求 x e xx 2
(x )
limlimlim 解： ex
ex
ex
x 2x 2 2
x x -
x
其他型未定式的极限
其他尚 0 有 ”“ ， “ ”， 1” “， 00” “，
“ 0”等型的未为 定0“ 式 ”， 型可 和 ”化 “ 型来解
罗尔（Rolle)定理 若函数 f ( x ) 满足下列条件：
y
1） 在闭区间 [ a ， b ] 上
连续；
2 ） 在开区间 ( a ， b )内
A
B可导；
3 ） 在区间端点的函
a 1
数值相等，即
2 b x则在开区间（
少存在一点
f ( a ) f (b )， a ， b ）内至 ，使得
-
f ( ) 0 .
cos x
20
lim π
(s
ec
x
tan
x)
lim π
(1
sin cos x
x
)
x
x
2
2
lim π
(
cos sin
x x
)
x
2
0
-
1
例题 3 求lim x1x (1 )型
x 1
1
解： 设 y x 1 x ，则 ln y
1
ln x
1 x
lim lim 故
1
x 1 x
ln x
e 1 x
e
lim x1
第三章 导数的应用
教学目的要求 1、了解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西
中值定理。
2、理解函数极值的概念。 3、会用洛必达法则求极限；判断函数的单调 性、凹凸性；求函数的极值、最值。
学习重点和难点 重点 未定式的极限，函数的单调性、凹凸
性、极值，导数在实际中的应用。
难点 导数在实际中-的应用。
中值定理
lim 3） f (x) A(或），则
xx0 g(x)
lim lim f (x)
f (x) A(或）
xx0 g(x)
-
xx0
g(x)
例1题 lx i0m ssiib a n n(x xa、 b是常数 b0， ) 且
解： “0”型，由洛必达法则有， 0
lxim0 ssiinn
ax bx
lxim0 ab
则在开区间 (a， b)内至少存在一点 ，使得
B f (b) f (a ) f ( )(b a )
定理的几何意义。
公式改写
f ( ) f (b) f (a)
ba
x 2 b
在 AB 上至少有一点 ，
使得曲线在该点处的切 线
-
平行于弦 AB 。
柯西（Cauchy)中值定理
若函数 f ( x )与 F ( x )满足下列条件： 1）在闭区间上 [a， b ]连续； 2）在开区间 (a， b )内可导； 3） F ( x )在 (a， b )内的每一点均不为零， 则在 (a， b )
3) f (0) f (2) 10 故 f ( x)满足罗尔定理的三个条 件 令 f (x) 2 x 2 0 得 x 1 显然，在（ 0，2）内，就有 f (1) 0
-
拉格朗日（Lagrange)中值定理
如果函数
y
A
a1
f ( x)满足下列条件： 1）在闭区间 [a， b]上连续； 2) 在开区间 (a， b)内可导，