有理数的大小比较的方法与技巧
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有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较,是数学中经常遇到的问题,现介绍几种数的大小比较的方法和技巧.
1.作差法
比较两个数的大小,可以先求出两数的差,看差大于零、等于零或小于零,从而确定两个数的大小.即若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b.
例1已知A=987654321×987654324,B= 987654323×987654322,试比较A和B的大小.
解:设987654321=m,则A=m(m+3),B=(m+1)(m+2)
∵A-B=m(m+3)-(m+1)(m+2)
=m2+3m-m2-3m-2
=-2<0。
∴A<B。
2.作商法
比较两个正数的大小,可以先求出这两个数的商,看商大于1、等于1或小于1,从而确定两个数的大小.
3.倒数法
比较两个数的大小,可以先求出其倒数,视其倒数的大小,从而确定这两个数的大小.
4.变形法
比较大小,有时可以通过把这些数适当地变形,再进行比较.
分析:此题如果通分,计算量太大,可以把分子变为相同的,再进行比较.
例6比较355、444、533的大小.
解∵ 355=(35)11=24311
444=(44)11=25611
533=(53)11=12511
∴ 444>355>533
5、利用有理数大小的比较法则
有理数大小的比较法则为:正数都大于零,负数都小于零;正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小.
例7
特别需注意的一点,就是关于两个负数大小的比较,其一般步骤如下:(1)分别求出两个已知负数的绝对值;(2)比较两个绝对值的大小;(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果.
例8
解:
6、利用数轴比较法
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来,通过数轴判断两数的大小.
例9已知:a>0,b<0,且|b|<a,试比较a,-a,b,-b的大小.
解:∵a>0,b<0,说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边,又由|b|<a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离,则四个数在数轴上表示如图:
故-a<b<-b<a.
7、注意对字母的分类讨论法
例10比较a与2a的大小.
解:a表示的数可分为正数、零、负数三种情况:当a>0时,a<2a;
当a=0时,a=2a;
当a<0时,a>2a.