专题五___瞬时加速度计算
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第三章 牛顿运动定律
一. 三种模型的主要特点
•
• • 1. 轻绳 （1）轻绳模型的建立 轻绳或称为细线，它的质量可忽略不计，轻绳是软的， 不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。它的劲度系 数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长 。 （2）轻绳模型的特点 ①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子； ②轻绳不能伸长； ③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的 机械能有损失； ④轻绳的弹力会发生突变。
（l）下面是某同学对该题的一种解法：分 析与解：设L1线上拉力为T1，L2线上拉力 为T2，重力为mg，物体在三力作用下保 持平衡,有T1cosθ＝mg， T1sinθ＝T2， T2＝mgtanθ
L1 L2
θ
剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度。因 为mg tanθ＝ma，所以加速度a＝g tanθ，方向在T2反方向。 你认为这个结果正确吗？请对该解法作出评价并说明理由。
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2. 轻杆 （l）轻杆模型的建立 轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生 侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力 时形变极微小，看作不可伸长或压缩。 （2）轻杆模型的特点 ①轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着 杆的方向； ②轻杆不能伸长或压缩； ③轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。
mg
例7．如图所示，小球被两根弹簧系住，弹 簧OB轴线与水平方向 夹角为θ，此时小球 刚好对地面无压力，如果将弹簧OB在B处 剪断，则小球的加速度为多大？
θ A
B
O
解：剪断弹簧前， 小球受力分析如图所示．
FOA mgcot
FOB
mg sin
弹簧在B处剪断瞬间， FOB立即消失， mg和FOA不变，小球将受到地面对它的 支持力N，它与重力平衡，小球受到的 合外力为FOA，根据牛顿第二定律得
M
N
解：拔去销钉M的瞬间,小球受到重力和下边弹簧的弹力，重力产生的加速 度是10m/s2,方向竖直向下．此时小球的加速度大小为12m/s2．⑴若竖直向 上，则下边弹簧的弹力产生的加速度为22m/s2 ，方向竖直向上；说明上边 弹簧的弹力产生的加速度为12m/s2 ，方向竖直向下．因此在拔去销钉N的 瞬间，小球的加速度为12m/s2+10m/s2=22m/s2,方向竖直向下．⑵若竖直 向下，则下边弹簧的弹力产生的加速度大小为2m/s2 ，方向竖直向下．说 明上边弹簧的弹力产生的加速度为12m/s2 ，方向竖直向上．因此在拔去 销钉N的瞬间，小球的加速度为12m/s2－10m/s2=2m/s2,方向竖直向上．
θ
FOA
FOB
FOA a g cot m
mg
球和墙之间发生的是微小形变，弹簧发生的明显形变．发生微小形变产生 的弹力可以突变，发生明显形变产生的弹力发生变化需要一定的时间．
例8：提问：两质量均为m的小球，A图中通过不可 伸长的轻绳 相连，B图中通过轻弹簧相连，A、 B图中两种情况开始用手拿着顶端的小球，突然 释放瞬间，问A、B两种情况下，两球在这一瞬 间的加速度。 A B
求物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是 分析瞬时前后的受力情况及其变化．先看不变 量，再看变化量；加速度与合外力瞬时一一对 应．
例1. 质量均为m的A、B两球之间系着一根不计质量的 轻弹簧，放在光滑水平台面上，A求紧靠着墙壁，现 用力F将B球向左推压弹簧，平衡后，突然将力F撤去 的瞬间，A、B球的加速度如何？
解：撤去F前， A、B球受 力分析如图所示．绳剪断瞬 间，绳上张力F立即消失， 而弹簧弹力不能突变．根据 牛顿第二定律有
a
A
B
a A a a B a
根据牛顿第二定律的矢量性进行受力分析
a
A
kx
kx
B
T
例3. 小球A、B的质量分别为m 和2m，用轻弹簧相连，然后用 细线悬挂而静 止，如图所示， A A 在烧断细线的瞬间，A、B的加 kx mg 速度各是多少？
解：烧断细绳前， A、B球受力分析如 图所示．烧断细绳瞬间，绳上张力立即 消失，而弹簧弹力不能突变．根据牛顿 第二定律有
T
kx
B
B
a A 3g
aB 0
2mg
明确“轻绳”和“轻弹簧” 两个理想物理模型的区 别．
例4.如图所示,木块A与B用一轻质弹簧相连,竖直放 在木板C 上,三者静置于地面,它们的质量之比是 1:2:3,设所有接触面都光滑,当沿水平面方向迅速抽 出木板C的瞬时,A和B的加速度大小分别为多大？ 解：撤去木板C前， 对A、B球进行受力分析
A B
2 mg l0 ① k
k (l0 l )
a
N
k (l0 l ) 2mg 2ma ②
N mg ma ③
联立①②③式解出A对B的压力
A B
F 2mg
A mg F
1 N ' N mg kl 2
例6．如图所示，小球被两根弹簧系住，弹簧OB轴线与水平方 向夹角为θ，如果将弹簧在A处剪断，小球的加速度为多大？如 果将弹簧在B处剪断，则小球的加速度又为多大？ 解：剪断弹簧前， 小球受力分析如图所示．
θ
B
FOA mgcot
FOB
⑴弹簧在A处剪断瞬间， FOA立即消失， mg和FOB不变，mg和FOB的合力大小 仍然等于剪断弹簧前FOA的大小
mg sin
A
O θ
FOA
FOB
FOB g ⑵弹簧在B处剪断瞬间， 同理 a2 m cos
状态和过程分析是物理解题的生命线．
FOA a1 g cot m
深刻理解牛顿第二定律的独立性－－力的独立作用原理．
（1）若上面的弹簧压缩有压力，则下面的弹簧也压缩，受 力如图示： 静止时有 k2x2= k1x1+mg
1
M
k2x2
拔去M
拔去N
k2x2 - mg=12m
k1x1+ mg=ma 2
k1x1
∴ a = 22m/s2 方向向下
（2）若下面的弹簧伸长有拉力， 则上面的 弹簧也伸长，受力如图示：
•
• • • • • •
3. 轻弹簧 （1）轻弹簧模型的建立 轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹 簧的伸长量或缩短量有关。 （2）轻弹簧的特点 ①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的 方向相反； ②弹力的大小为F=kx，其中k为弹簧的劲度系 数，x为弹簧的伸长量或缩短量； ③弹簧的弹力不一定会发生突变。（两端均有 约束，不会突变，一端有约束，会突变。）
例10. 竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的 一端各 与小球相连，另一端分别用销钉M N固定于杆上， 小球处于静止状态.若拔去销钉M的瞬间，小球的加速度 大小为12m/s2，若不拔去销钉M而拔去销钉N的瞬间， 小球的加速度可能为(取g=10m/s2) A． 22m/s2，方向竖直向上 B． 22m/s2，方向竖直向下 B C C． 2m/s2， 方向竖直向上 D． 2m/s2， 方向竖直向下
A、松手瞬间：a1 a2 g松手瞬间绳子拉力发生突变； B、松手瞬间：a3 2 g、a4 0松手瞬间弹簧两端均有 约束，弹簧弹力来不及变化
例9.如图所示，一质量为m的物体系于长度分别为L1、 L2的两根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，与竖直 方向夹角为θ，L2水平拉直，物体处于平衡状态。现将 L2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。
N
M 1 2 N
mg k1x1
静止时有 k1x1=k2x2+mg
拔去M 拔去N
k2x2+mg=12m k1x1-mg=ma
k2x2 mg
∴ a = 2m/s2 方向向上
解：（1）错误。因为L2被剪断的瞬间，L1上的张力大小发生 了变化。剪断瞬时物体的加速度a=gsinθ.
（2）若将图中的细线L1改为长 度相同、质量不计的轻弹簧，如 图所示，其它条件不变，求解的 步骤和结果与（l）完全相同，即 a＝g tanθ，你认为这个结果正 确吗？请说明理由。
L1
L2
θ
解:（2）正确。因为L2被剪断的瞬间，弹簧L1的长度来 不及发生变化，弹簧的弹力大小和方向都不变。 “轻绳”发生的是微小形变，其张力可以突变；“轻 弹簧”发生的明显形变，其弹力不能突变．
3mg maA 2maB
aA 0
3mg aB 1 .5 g 2m
例5. 两矩形物块A、B质量均为m，叠放在一个竖直 立着的弹簧上，如图所示，弹簧的劲度系数为k，弹 簧质量忽略不计。今用一竖直向下的力压物块A，弹 簧在此力的作用下又缩短了ΔL(仍在弹性限度之内)， 突然撤去此力，此时A对B的压力是多少？ 解：施加外力前，弹簧的压缩量 撤去外力前，整体和A球受力分析如 图所示．撤去外力F瞬间，外力F立 即消失，而弹簧弹力不能突变．整 体具有竖直向上的加速度a
A
CHale Waihona Puke Baidu
B
N
kx m g ①
N kx 2m g ②
kx A
撤去木板C瞬时，A和B的重力及弹簧 的弹力不变 ，B物体受到的支持力突 然变为零，所以
mg kx
2mg
B
思维发散：利用整体法可求撤去木板C瞬时B的加速度
kx 2mg kx mg 1.5 g aA 0 aB 2m m
解：撤去F前， A、B球受 力分析如图所示．撤去F瞬 间，F立即消失，而弹簧弹 kx 力不能突变．根据牛顿第二 定律有
A
A
B
N
B
F
aA 0
F aB m
F
kx
分析问题在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析瞬时前后的 受力情况及其变化．先看不变量，再看变化量；加速度与合 外力瞬时一一对应．
例2. 如图，以水平向右加速度a向右加速前进的车厢 内，有一光滑的水平桌面，在桌面上用轻弹簧连结质 量均为m的两小球相对车静止，当绳剪断瞬间，A、 B两球的加速度分别为多大？方向如何？
小结
1、显著形变弹力----不能突变（弹簧、橡皮绳） 形变大，恢复时间长，恢复时间不能忽略 2、微小形变弹力----可以突变（绳、杆、接触面）
形变小，恢复时间短，恢复时间可以忽略
二
瞬时加速度的计算
物体的加速度 a 与物体所受合外力 F合 瞬 时对应。a为某一瞬时的加速度，F合即为该 时刻物体所受的合力。
一. 三种模型的主要特点
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• • 1. 轻绳 （1）轻绳模型的建立 轻绳或称为细线，它的质量可忽略不计，轻绳是软的， 不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。它的劲度系 数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长 。 （2）轻绳模型的特点 ①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子； ②轻绳不能伸长； ③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的 机械能有损失； ④轻绳的弹力会发生突变。
（l）下面是某同学对该题的一种解法：分 析与解：设L1线上拉力为T1，L2线上拉力 为T2，重力为mg，物体在三力作用下保 持平衡,有T1cosθ＝mg， T1sinθ＝T2， T2＝mgtanθ
L1 L2
θ
剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度。因 为mg tanθ＝ma，所以加速度a＝g tanθ，方向在T2反方向。 你认为这个结果正确吗？请对该解法作出评价并说明理由。
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2. 轻杆 （l）轻杆模型的建立 轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生 侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力 时形变极微小，看作不可伸长或压缩。 （2）轻杆模型的特点 ①轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着 杆的方向； ②轻杆不能伸长或压缩； ③轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。
mg
例7．如图所示，小球被两根弹簧系住，弹 簧OB轴线与水平方向 夹角为θ，此时小球 刚好对地面无压力，如果将弹簧OB在B处 剪断，则小球的加速度为多大？
θ A
B
O
解：剪断弹簧前， 小球受力分析如图所示．
FOA mgcot
FOB
mg sin
弹簧在B处剪断瞬间， FOB立即消失， mg和FOA不变，小球将受到地面对它的 支持力N，它与重力平衡，小球受到的 合外力为FOA，根据牛顿第二定律得
M
N
解：拔去销钉M的瞬间,小球受到重力和下边弹簧的弹力，重力产生的加速 度是10m/s2,方向竖直向下．此时小球的加速度大小为12m/s2．⑴若竖直向 上，则下边弹簧的弹力产生的加速度为22m/s2 ，方向竖直向上；说明上边 弹簧的弹力产生的加速度为12m/s2 ，方向竖直向下．因此在拔去销钉N的 瞬间，小球的加速度为12m/s2+10m/s2=22m/s2,方向竖直向下．⑵若竖直 向下，则下边弹簧的弹力产生的加速度大小为2m/s2 ，方向竖直向下．说 明上边弹簧的弹力产生的加速度为12m/s2 ，方向竖直向上．因此在拔去 销钉N的瞬间，小球的加速度为12m/s2－10m/s2=2m/s2,方向竖直向上．
θ
FOA
FOB
FOA a g cot m
mg
球和墙之间发生的是微小形变，弹簧发生的明显形变．发生微小形变产生 的弹力可以突变，发生明显形变产生的弹力发生变化需要一定的时间．
例8：提问：两质量均为m的小球，A图中通过不可 伸长的轻绳 相连，B图中通过轻弹簧相连，A、 B图中两种情况开始用手拿着顶端的小球，突然 释放瞬间，问A、B两种情况下，两球在这一瞬 间的加速度。 A B
求物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是 分析瞬时前后的受力情况及其变化．先看不变 量，再看变化量；加速度与合外力瞬时一一对 应．
例1. 质量均为m的A、B两球之间系着一根不计质量的 轻弹簧，放在光滑水平台面上，A求紧靠着墙壁，现 用力F将B球向左推压弹簧，平衡后，突然将力F撤去 的瞬间，A、B球的加速度如何？
解：撤去F前， A、B球受 力分析如图所示．绳剪断瞬 间，绳上张力F立即消失， 而弹簧弹力不能突变．根据 牛顿第二定律有
a
A
B
a A a a B a
根据牛顿第二定律的矢量性进行受力分析
a
A
kx
kx
B
T
例3. 小球A、B的质量分别为m 和2m，用轻弹簧相连，然后用 细线悬挂而静 止，如图所示， A A 在烧断细线的瞬间，A、B的加 kx mg 速度各是多少？
解：烧断细绳前， A、B球受力分析如 图所示．烧断细绳瞬间，绳上张力立即 消失，而弹簧弹力不能突变．根据牛顿 第二定律有
T
kx
B
B
a A 3g
aB 0
2mg
明确“轻绳”和“轻弹簧” 两个理想物理模型的区 别．
例4.如图所示,木块A与B用一轻质弹簧相连,竖直放 在木板C 上,三者静置于地面,它们的质量之比是 1:2:3,设所有接触面都光滑,当沿水平面方向迅速抽 出木板C的瞬时,A和B的加速度大小分别为多大？ 解：撤去木板C前， 对A、B球进行受力分析
A B
2 mg l0 ① k
k (l0 l )
a
N
k (l0 l ) 2mg 2ma ②
N mg ma ③
联立①②③式解出A对B的压力
A B
F 2mg
A mg F
1 N ' N mg kl 2
例6．如图所示，小球被两根弹簧系住，弹簧OB轴线与水平方 向夹角为θ，如果将弹簧在A处剪断，小球的加速度为多大？如 果将弹簧在B处剪断，则小球的加速度又为多大？ 解：剪断弹簧前， 小球受力分析如图所示．
θ
B
FOA mgcot
FOB
⑴弹簧在A处剪断瞬间， FOA立即消失， mg和FOB不变，mg和FOB的合力大小 仍然等于剪断弹簧前FOA的大小
mg sin
A
O θ
FOA
FOB
FOB g ⑵弹簧在B处剪断瞬间， 同理 a2 m cos
状态和过程分析是物理解题的生命线．
FOA a1 g cot m
深刻理解牛顿第二定律的独立性－－力的独立作用原理．
（1）若上面的弹簧压缩有压力，则下面的弹簧也压缩，受 力如图示： 静止时有 k2x2= k1x1+mg
1
M
k2x2
拔去M
拔去N
k2x2 - mg=12m
k1x1+ mg=ma 2
k1x1
∴ a = 22m/s2 方向向下
（2）若下面的弹簧伸长有拉力， 则上面的 弹簧也伸长，受力如图示：
•
• • • • • •
3. 轻弹簧 （1）轻弹簧模型的建立 轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹 簧的伸长量或缩短量有关。 （2）轻弹簧的特点 ①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的 方向相反； ②弹力的大小为F=kx，其中k为弹簧的劲度系 数，x为弹簧的伸长量或缩短量； ③弹簧的弹力不一定会发生突变。（两端均有 约束，不会突变，一端有约束，会突变。）
例10. 竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的 一端各 与小球相连，另一端分别用销钉M N固定于杆上， 小球处于静止状态.若拔去销钉M的瞬间，小球的加速度 大小为12m/s2，若不拔去销钉M而拔去销钉N的瞬间， 小球的加速度可能为(取g=10m/s2) A． 22m/s2，方向竖直向上 B． 22m/s2，方向竖直向下 B C C． 2m/s2， 方向竖直向上 D． 2m/s2， 方向竖直向下
A、松手瞬间：a1 a2 g松手瞬间绳子拉力发生突变； B、松手瞬间：a3 2 g、a4 0松手瞬间弹簧两端均有 约束，弹簧弹力来不及变化
例9.如图所示，一质量为m的物体系于长度分别为L1、 L2的两根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，与竖直 方向夹角为θ，L2水平拉直，物体处于平衡状态。现将 L2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。
N
M 1 2 N
mg k1x1
静止时有 k1x1=k2x2+mg
拔去M 拔去N
k2x2+mg=12m k1x1-mg=ma
k2x2 mg
∴ a = 2m/s2 方向向上
解：（1）错误。因为L2被剪断的瞬间，L1上的张力大小发生 了变化。剪断瞬时物体的加速度a=gsinθ.
（2）若将图中的细线L1改为长 度相同、质量不计的轻弹簧，如 图所示，其它条件不变，求解的 步骤和结果与（l）完全相同，即 a＝g tanθ，你认为这个结果正 确吗？请说明理由。
L1
L2
θ
解:（2）正确。因为L2被剪断的瞬间，弹簧L1的长度来 不及发生变化，弹簧的弹力大小和方向都不变。 “轻绳”发生的是微小形变，其张力可以突变；“轻 弹簧”发生的明显形变，其弹力不能突变．
3mg maA 2maB
aA 0
3mg aB 1 .5 g 2m
例5. 两矩形物块A、B质量均为m，叠放在一个竖直 立着的弹簧上，如图所示，弹簧的劲度系数为k，弹 簧质量忽略不计。今用一竖直向下的力压物块A，弹 簧在此力的作用下又缩短了ΔL(仍在弹性限度之内)， 突然撤去此力，此时A对B的压力是多少？ 解：施加外力前，弹簧的压缩量 撤去外力前，整体和A球受力分析如 图所示．撤去外力F瞬间，外力F立 即消失，而弹簧弹力不能突变．整 体具有竖直向上的加速度a
A
CHale Waihona Puke Baidu
B
N
kx m g ①
N kx 2m g ②
kx A
撤去木板C瞬时，A和B的重力及弹簧 的弹力不变 ，B物体受到的支持力突 然变为零，所以
mg kx
2mg
B
思维发散：利用整体法可求撤去木板C瞬时B的加速度
kx 2mg kx mg 1.5 g aA 0 aB 2m m
解：撤去F前， A、B球受 力分析如图所示．撤去F瞬 间，F立即消失，而弹簧弹 kx 力不能突变．根据牛顿第二 定律有
A
A
B
N
B
F
aA 0
F aB m
F
kx
分析问题在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析瞬时前后的 受力情况及其变化．先看不变量，再看变化量；加速度与合 外力瞬时一一对应．
例2. 如图，以水平向右加速度a向右加速前进的车厢 内，有一光滑的水平桌面，在桌面上用轻弹簧连结质 量均为m的两小球相对车静止，当绳剪断瞬间，A、 B两球的加速度分别为多大？方向如何？
小结
1、显著形变弹力----不能突变（弹簧、橡皮绳） 形变大，恢复时间长，恢复时间不能忽略 2、微小形变弹力----可以突变（绳、杆、接触面）
形变小，恢复时间短，恢复时间可以忽略
二
瞬时加速度的计算
物体的加速度 a 与物体所受合外力 F合 瞬 时对应。a为某一瞬时的加速度，F合即为该 时刻物体所受的合力。