浅析无理数的大小比较
浅析无理数的大小比较
贵州省德江县楠杆中学梁亚【摘要】无理数的大小比较，在学生们的心目中是非常困难的。根据本人多年的教学经验总结出四点的大小比较，仅供同仁参考。
关键词：无理数大小比较直接法分母有理化法平方法分子有理化法
数的大小比较对我们来说并不陌生,我们从一开始读书就对数的大小比较进行了认识,开始的认识是肤浅的、表皮的、无系统性；随着知识的不断增加，比较数的大小的难就越来越大了。在小学首先学整数、分数、小数的大小比较；到了七年级学有理数的大小比较，但这一切还比较简单，因为在七年级学了数轴，也及一切数都能在数轴上表示出来的特点，根据数轴的特点，右边的数总比左边的数大。但在八年级学了无理数，难度就大多了，它不光是单独的一个无理数进行比较，而是两个叠加，这样就不能从数轴上表示出来，学生拿到此题是无从着手，摸不到头。为了减轻学生的思想负担，更能有的放失的做好无理数的大小比较。我归纳了几点：
一、直接比较法
①、同是正数
例、13与17的大小比较
分析：根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。
所以：13<17
②、 同是负数 例、－39与－40的大小比较
分析：根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。 所以：－39>－40
③、 一正一负 例、5
3与－9的大小比较 分析：正数大于一切负数。 所以：5
3>－9 二、 分母有理化法 例、13151
-与15171-的大小比较
分析：15—13=2与17—15=2，2=2所以它们两个相等是吗？错了，如果它们没有带上帽子就正确了，那怎么办呢？只能用另一种方法分母有理化，首先找分母有理化因子，1315-的分母有理化因子是1315+；而1517-的分母有理化因子是1517+，从而把此式化成
)1315)(1315(1315+-+与)1517)(1517(1517+-+ 即：)
1315)(1315(13
15+-+=2
1315+ )1517)(1517(1517+-+=2
1517+
因为分母都是2，分子大的那个就大。 所以：13151
-<15171-
三、 分子有理化法 例、6778--与的大小比较
分析：与上面相似，所以也只能找它们的有理化因子，7878+-的有理化因子是
67-的有理化因子是67+； 从而把此式化成7
8)78)(78(++-与67)67)(67(++- 即：78)78)(78(++-=7
81
+ 67)67)(67(++-=
671
+ 所以：分子相同分母大的反而小，则78-<67-
四、 平方法 例、72+与63+的大小比较
分析：是不是2+7=9与3+6=9
因为9=9 所以：72+=63+
错误：因为2与2不相同，也及3、6、7都是一样的，那怎么办呢？
因为它们都是正数，不要怕，不妨把它们同时平方。
即 （72+）2=2+7+214=9+214
（6
3+）2=3+6+218=9+218所以：7
2+<6
3+
请读者读后提出宝贵的建议
实数大小比较的常用方法
实数大小比较的常用方法【初二数学】 添加时间：2012年11月23日浏览：53次 顿悟教育数学培优训练营来自：顿悟教育网 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。 一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b。当a－b﹤0时，得到a﹤b。当a－b＝0，得到a=b。 例1：（1）比较与的大小。（2）比较1－与1－的大小。 解∵－＝＜0 ，∴＜。 解∵（1－）－（1－）=＞0 ，∴1－＞1－。 二【商值比较法】商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。当＜1时，a＜b；当＞1时，a＞b；当=1时，a=b。来比较a与b的大小。 例2：比较与的大小。 解：∵÷=＜1 ∴＜ 三【倒数法】倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，a＜b。来比较a与b的大小。
例3：比较－与－的大小。 解∵=+，=+ 又∵+＜+ ∴－＞－ 四【平方法】平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例5：比较与的大小 解：，=8+2。 又∵8+2＜8+2∴＜。 五【估算法】 估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例4：比较与的大小 解：∵3＜＜4 ∴－3＜1 ∴＜ 六【移动因式法】（穿墙术） 移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
无理数的计算
无理数相关运算 一、知识点 1、1——20的平方 2、1——10的立方 3、1——10的平方根 4、运算规则 二、典例剖析 例1【“整数”型】例 === 例 === 例 === 例2【“分数”型】例 2 ==例 === 例 5 === 例 884 ===== 例3【“平法差”型】例 3-1 3) 22 3 -891 =-=- 例 2 935 4 9 -? ===- 例4【“完全平方”型】 例 4-1 )21 2 2 1 =+ 516 =+=+ 例 4-2 ( 22 2 45 22 + ===+ 例5【“倒数”型】 例 4 === 例 ( ) 22 222 25418 ?? + ===+=+） 例6【“混合”型】
例6-1 2 134 ==+-= 例6-2 2003 2003 2004 2003 2???=?=?=?? ））））（-1）） 三、 经典练习 1、 2、 2 = 2 = (2 = 3、4、2 x = 81 2 4x =25 2 x -16=0 5、 83 x +27=0 ()3 21x -=- ()2 219x -= 6、 23x -48=0 ()2 1160x --= 3 125729x = 7 8 9 102- 11
12、2 3- 13 14、 15、) 2 2 (2 22 16、( )) 2009 2010 2 2 17 18、()0 33ππ-+-+ 1913
20 四、巩固练习 （一）选择题 1、下列四个数中，比0小的数是 （ ） A ． 2 3 B ．π D ．1- 2、下列各数中，最大的数是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D 3、在实数0，1 0.1235中，无理数的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4、若x y ， 为实数，且20x +=，则2009 x y ?? ? ?? 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 5 2的值( ) A ．在1到2之间 B ．在2到3之间 C ．在3到4之间 D ．在4到5之间 6 、如图所示，数轴上表示2C 、B ，点C 是 AB 的中点，则点A 表示的数是（ ） A ． B ．2 C ．4 D 2 7下列计算正确的是（ ） A ．6 2 3 a a a ÷= B ．() 1 22 --= C ．() 236 326x x x -=-· D ．()0 π31-= 8、已知a ） A ．a B ．a - C ．1- D ．0 9、实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误．． 的是（ ）C 第9题图
(完整版)有理数的大小比较的方法与技巧
有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，现介绍几种数的大小比较的方法和技巧． 1．作差法 比较两个数的大小，可以先求出两数的差，看差大于零、等于零或小于零，从而确定两个数的大小．即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b． 例1已知A＝987654321×987654324，B＝ 987654323×987654322，试比较A和B的大小． 解：设987654321＝m，则A＝m(m+3)，B＝(m+1)(m+2) ∵A-B＝m(m+3)-(m+1)(m+2) ＝m2+3m-m2-3m-2 ＝-2＜0。 ∴A＜B。 2．作商法 比较两个正数的大小，可以先求出这两个数的商，看商大于1、等于1或小于1，从而确定两个数的大小．
3．倒数法 比较两个数的大小，可以先求出其倒数，视其倒数的大小，从而确定这两个数的大小． 4．变形法 比较大小，有时可以通过把这些数适当地变形，再进行比较． 分析：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较． 例6比较355、444、533的大小． 解∵ 355＝(35)11＝24311 444＝(44)11＝25611 533＝(53)11＝12511
∴ 444＞355＞533 5、利用有理数大小的比较法则 有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小． 例7 特别需注意的一点，就是关于两个负数大小的比较，其一般步骤如下：(1)分别求出两个已知负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果． 例8 解： 6、利用数轴比较法 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴判断两数的大小． 例9已知：a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，-a，b，-b的大小． 解：∵a＞0，b＜0，说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边，又由|b|＜a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离，则四个数在数轴上表示如图：
知识点035估算无理数大小(解答)
解答题 1．写出所有适合下列条件的数： （1）大于小于的所有整数； （2）绝对值小于的所有整数． 考点：估算无理数的大小。 分析：（1）由于16＜17＜25，9＜11＜16．由此得到﹣5＜＜﹣4，3＜＜4．所以只需写出在﹣5和4之间的整数即可； （2）由于16＜18＜25，所以4＜＜5．只需写出绝对值小于5的所有整数即可． 解答：解：（1）∵16＜17＜25，9＜11＜16， ∴﹣5＜＜﹣4，3＜＜4， ∴大于小于的所有整数：﹣4，±3，±2，±1，0； （2）∵16＜18＜25， ∴4＜＜5， ∴绝对值小于的所有整数：±4，±3，±2，±1，0． 点评：此题主要考查了无理数的估算能力，能够对一个无理数正确估算出其大小在哪两个整数之间，同时理解整数、绝对值的概念． 2．（1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？ （2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数 之间． 考点：估算无理数的大小；平方根。 分析：（1）根据正方形的面积公式即可求得纸板的边长； （2）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为18，边长为；因此大正方形的边长不是整数，然后估算出的大小，从而求出与相邻的两个整数． 解答：解：（1）边长=cm；（2分） （2）大的正方形的面积=32+32=18；（3分） 边长=，∴边长不是整数，（4分） ∵（5分） ∴4≤．（6分） 点评：本题主要考查了正方形的面积公式以及估算无理数的大小．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 3．设的小数部分为a，的倒数为b，求b﹣a2的值． 考点：估算无理数的大小。 分析：估计的大小，易得a的值；再由倒数的计算，可得b的值；将ab的值代入b﹣a2中即可得答案．解答：解：∵1＜＜2， ∴a=﹣1， ∵的倒数为b，
比较实数大小的八种方法
比较实数大小的八种方法 生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解：由于，且，所以。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：。 例2 比较与的大小。 析解：由于，而，所以。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点 画出来，容易得到结论： 四、估算法
用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解：由于，故，所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、b有： 例5 比较与的大小 析解：因为， 又因为， 所以 所以 说明：对于两个形如（，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有： 例6 比较与的大小。 析解：设，
有理数大小的比较教学设计
课题：有理数的大小比较 一、教材内容分析 有理数大小的比较是紧接在有理数、数轴和绝对值之后学习的。并且数轴和绝对值又 是有理数大小比较这一新知识的根基和生长点。两者分别从形的角度和数的角度研究问题，得到了有理数大小的比较法则，并且“数”的抽象又是借助于“形”的直观，因此数轴是“有理数大小比较”中贯穿始终的主线。设计意图和整体思路 以数轴比较法作为基本的比较法则，同时让学生感觉到这一方法虽然比较简单好用， 但由于每一次有理数的比较都要画数轴，操作起来虽然不难但比较麻烦，不利于提高解题的速度。从而让学生感觉到有必要寻求另一种操作更加简便的方法。于是引导学生思考有理数的大小比较会出现哪几种情况，经过讨论不难得到共有五种情况：①正数与零；②正数和负数；③负数和零；④正数和正数；⑤负数与负数。然后，老师和学生共同根据数轴对这五种情况一一进行分析，从而得到“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数” ，“两个 负数比较大小，绝对值大的数反而小” 。从而实现学生会用数形结合的方法思考并解决问题。 二、学习目标 1.知识目标：会比较任意两个有理数的大小，特别是会用绝对值比较两个负数的大小。 2.能力目标：培养并提高学生运用所学知识解决问题的能力，学会用数形结合方法解决问题。 3.情感目标：体会数学中转化思想的作用，培养对数学的学习兴趣。 三、学习重、难点
比较两个有理数的大小，尤其是两个负数的大小。 （1） 我们知道，同一温度计上不同时刻显示的温度，液面高的总比液面低的表 示的温度 __________ 。 （2） 类比温度计，数轴就像一枝水平放置的温度计，数轴上表示的两个数，右 边的数总 比左边的数大。 （说明：用问题指导学生预习，通过学生预习，使学生初步感知本节课将要学 习的新知识） 六、学习过程： 四、 教学方法：数形结合 五、 知识准备： 1. 把有理数-3， 2.5，-5， 2. 求下列各数的绝对值。 -3， 3.14 ， 0 ， 3. 阅读P 39 40后思考： 探究交流 4， - 3， 0在数轴上表示出来。 3 3 " 7 ， 5
有理数的大小比较教案及反思
有理数 1.2.4 有理数的大小比较 整体设计 [教学目标] 1．知识与技能 掌握比较有理数大小的两种方法，尤其会利用绝对值比较两个负数的大小． 2．过程与方法 利用绝对值概念比较有理数的大小，培养学生的逻辑思维能力． 3．情感、态度与价值观 敢于面对数学活动中的困难，培养学生浓厚的学习兴趣，提高学生学数学的自信心和求知欲。 [教学重，难点] 重点：利用绝对值比较两个负数的大小． 难点：利用绝对值比较两个异分母负分数的大小． [教学方法] 通过提出实际问题，给学生提供探索的空间，引导学生积极思考。教学环节的设计与展开，以问题解决为中心，使教学过程成为在教师指导下的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点。 教学过程 一、激情引趣，导入新课 1、什么是一个数的绝对值？（一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。） 2、(1)比较大小：5___3; 1___0
(2)怎样比较下列每对数的大小？3与-4；-1/2与-2/3 下面就让我们通过具体的问题来感受正数与正数、负数与负数的大小比较。 二、探索新知、解决问题 问题1：观察教科书12页“思考”图说出其中的最高和最低温度是多少？你能将这14个温度按从低到高的顺序排列吗？ 板书：-4，-3，-2，-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 问题2：观察这些数在温度计上的排列规律是怎样的呢？ 答：这些数在温度计上所对应的点是从下到上的。 问题3：把这些数表示在数轴上，观察它们的排列规律是什么？ 学生画数轴，并在数轴上描出表示这些数的点，在独立思考后，说出其中的规律。教师归纳： 规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 问题4：观察数轴上的数，试说明怎样比较正数和负数，正数和0，负数和0，负数和负数的大小？ 根据以上规定，重点探讨怎样比较两个负数的大小。 观察数轴上的数可知：即把比较两个负数的大小问题转化成比较这两个负数的绝对值的大小的问题。 通过观察，让学生说出以上几类数之间的大小关系，由教师归纳并板书： （1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数; （2）两个负数，绝对值大的反而小。 问题5：课本第13页例题。 例：比较下列各对数的大小： （1）-（-1）和-（+2） 分析：数字前面有双重符号，应先化简（同号得正，异号得负），在比较大小。 解：先化简，-（-1）=1，-（+2）=-2 因为正数大于负数，所以1＞-2，即 -（-1）＞-（+2） （2）-8/21和-3/7 解：这是两个负数比较大小，先求它们的绝对值： |-8/21|=8/21，|-3/7|=3/7=9/21 因为8/21＜9/21 即|-8/21|＜|-3/7| 所以-8/21大于-3/7 （3）-（）和|-1/3| 解：先化简，-（）=，|-1/3|=1/3 因为＜1/3 所以-（）＜|-1/3| 归纳总结：异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。 三、巩固训练，熟练技能 比较下列各对数的大小： （1）-3和-5；（2）和-||
比较无理数大小的几种方法(第1讲)
比较无理数大小的几种方法 比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。下面举例说明。 一、直接法 直接利用数的大小来进行比较。 例1.33380，- 解：因为393=>，所以33 > 因为89<，所以83< 所以380-> 二、隐含条件法 根据二次根式定义，挖掘隐含条件。 例2.a a --213 解：因为a -2成立 所以a -≥20，即a ≥2 所以11-≤-a 所以a a -≥-≤-20113， 所以a a ->-213 三、同次根式下比较被开方数法 例3.4554 解：因为4516580=?= 54254100=?= 所以80100<，即4554< 例4.323 解：因为3393266==
228 366== 所以9866>，即323> 四、作差法 若a b ->0 ，则a b > 例5.3662 -- 解：因为( )3662--- =--+=-3662 526 662525252<==... 所以5260-> 即3662 ->- 五、作商法 a b >>00，，若a b >1，则a b >。 例6.a a a a ++++1 2 23 解：因为a a a a ++÷++1223 = ++?++=++++，可找中间量c ，转证a c c b >>，。
例7.103 102252253 ++++ 解：因为10310211252253 ++>>++， 所以 103102252253 ++>++ 七、平方法 a b >>00 ，，若a b 22>，则a b >。 例8.511 610++ 解：因为()51152551116255 2+=++=+ ()610626010162602+= ++=+ 所以511610+< + 八、倒数法 若()1100a b a b >>>，，则a b <。 例9.322 32-- 解：因为()() 1322322322322322-=+-+=+ ()() 132********-=+-+=+ 所以32232+>+ 所以32232-<- 九、有理化法 可分母有理化，也可分子有理化。 例10. 165275--
七下数学每日一练：估算无理数的大小练习题及答案_2020年填空题版
七下数学每日一练：估算无理数的大小练习题及答案_2020年填空题版答案答案答案答案答案答案答案答案答案答案2020年七下数学：数与式_无理数与实数_估算无理数的大小练习题 ~~第1题~~(2019. 七下期末) 任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[2]=2，[3.7]=3，现对72进行如下操作： ，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：对325只需进行________次操作 后变为 考点： 估算无理数的大小;定义新运算;~~第2题~~ (2019龙岩.七下期末) 请写出一个比2大且比4小的无理数：________. 考点： 估算无理数的大小;~~第3题~~ (2019滨州.七下期中) 写出一个比－2 小的无理数________． 考点： 估算无理数的大小;~~第4题~~(2019十堰.七下期末) 对于有理数a ，b ，定义min{a ，b}的含义为：当a ＜b 时，min{a ，b}＝a ，例如：min{1，－2}＝－2.已知min{ ，a}＝ ， min{ ，b}＝b ，且a 和b 为两个连续正整数，则a －b 的平方根为 ________.考点： 估算无理数的大小;代数式求值;~~第5题~~ (2019通化.七下期中) 是 的整数部分， 是 的小数部分。则 ________考点： 估算无理数的大小;~~第6题~~ (2019白城.七下期中) 已知5+ 小数部分为m ，11﹣ 为小数部分为n ，则 m+n ＝________．考点： 估算无理数的大小;~~第7题~~ (2019谢家集.七下期中) 规定用符号[m ]表示一个实数 m 的整数部分，例如[ ]＝0，[3.14] ＝3．按此规定 的值为________．考点： 估算无理数的大小;~~第8题~~ (2019贵池.七下期中) 设 的整数部分和小数部分分别是 、 ，则 ________， ________。考点： 估算无理数的大小;~~第9题~~(2019 博兴.七下期中) 已知a ，b 为两个连续整数，且a< 浅析无理数的大小比较
浅析无理数的大小比较 数的大小比较对我们来说并不陌生,我们从一开始读书就对数的大小比较进行了认识,开始的认识是肤浅的、表皮的、无系统性；随着知识的不断增加，比较数的大小的难就越来越大了。在小学首先学整数、分数、小数的大小比较；到了七年级学有理数的大小比较，但这一切还比较简单，因为在七年级学了数轴，也及一切数都能在数轴上表示出来的特点，根据数轴的特点，右边的数总比左边的数大。但在八年级学了无理数，难度就大多了，它不光是单独的一个无理数进行比较，而是两个叠加，这样就不能从数轴上表示出来，学生拿到此题是无从着手，摸不到头。为了减轻学生的思想负担，更能有的放失的做好无理数的大小比较。我归纳了几点： 一、直接比较法 ①、同是正数 例、13与17的大小比较 分析：根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。 所以：13<17 ②、同是负数 例、－39与－40的大小比较 分析：根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。
所以：－39>－40 ③、 一正一负 例、5 3与－9的大小比较 分析：正数大于一切负数。 所以：5 3>－9 二、 分母有理化法 例、13151 -与15171-的大小比较 分析：15—13=2与17—15=2，2=2所以它们两个相等是吗？错了，如果它们没有带上帽子就正确了，那怎么办呢？只能用另一种方法分母有理化，首先找分母有理化因子， 1315-的分母有理化因子是1315+；而1517-的分母有理化因子是 1517+，从而把此式化成 )1315)(1315(1315+-+与)1517)(1517(1517+-+ 即：) 1315)(1315(13 15+-+=21315+ )1517)(1517(1517+-+=21517+ 因为分母都是2，分子大的那个就大。 所以：13151 -<15171- 三、 分子有理化法 例、6778--与的大小比较 分析：与上面相似，所以也只能找它们的有理化因子，
七年级上册专题训练(二)有理数的大小比较(含答案)
专题训练(二) 有理数的大小比较 方法1 利用数轴比较大小 1．如图，在数轴上有a ，b ，c ，d 四个点，则下列说法正确的是( ) A ．a >b B ．c <0 C ．b
(3)用“>”把各数的绝对值连接起来． 方法3 利用特殊值比较大小 10．如图，数轴上的点表示的有理数是a，b，则下列式子正确的是( ) A．－a＜b B．a＜b C．|a|＜|b| D．－a＜－b 11．a，b两数在数轴上的对应点的位置如图，下列各式正确的是() A．b＞a B．－a＜b C．|a|＞|b| D．b＜－a＜a＜－b
1.1.2.6用有理数估计无理数的大致范围
1. (2011 安徽省) 设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是 A ．1和2 Ｂ．2和3 Ｃ．3和4 Ｄ．4和5 答案：C 2. (2011 江苏省徐州市) 的值（ ） Ａ．在2到3之间 B ．在3到4之间 C ．在4到5之间 D ．在5到6之间 答案：B 3. (2011 安徽省芜湖市) 已知a 、b 为两个连续的整数，且a b < <，则a b += ． 答案：11 4. (2011 辽宁省本溪市) ） A ．2 B ．4 C ．15 D ．16 答案：B 5. (2011 辽宁省大连市) ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：B
6. (2011 福建省泉州市) 比较大小：>”或“<”号填空）． 答案：>； 7. (2011 山东省威海市) 在实数0，2-中，最小的是（ ） A ．2- B ． C ．0 D 答案：A 8. (2011 广西贺州市) 在22-__________. 答案：2 9. (2011 四川省凉州市) 已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5且 21amn bn +=，则2a b += 。 答案： 52 10. (2011 广西柳州市) 在0，2-，3 ） A ．0 B ．2- C ．3 D
答案：B 11. (2011 天津市) ） （Ａ）1到2之间 （Ｂ）2到3之间 （Ｃ）3到4之间 （Ｄ）4到5之间 答案：C 12. (2011 贵州省六盘水市) 一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数________与________之间． 答案：4与5或5与4 13. (2011 贵州省遵义市) a 、b 均为正整数，且a >b <则a b +的最小值．．．是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B 14. (2011 河北省) π-40，，这四个数中，最大的数是 ． 答案：π 15. (2011 贵州省黔南州) 估计20的算术平方根的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 答案：C
初中数学中比较无理数大小的方法
初中数学中比较无理数大小的方法 比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。下面举例说明。 一、直接法 直接利用数的大小来进行比较。 例1.3 3380，- 解：因为393= >，所以33> 因为89<，所以83< 所以380- > 二、隐含条件法 根据二次根式定义，挖掘隐含条件。 例2.a a --213 解：因为a -2成立 所以a -≥20，即a ≥2 所以11-≤-a 所以a a -≥-≤-20113， 所以a a -> -213 三、同次根式下比较被开方数法 例3.45 54 解：因为4516580= ?= 54254100=?= 所以80100<，即4554< 例4.323 解：因为3393266==
228366== 所以9866>，即323> 四、作差法 若a b ->0，则a b > 例5.3662-- 解：因为()3662- -- =--+=-3662 526 662525252<==... 所以5260-> 即3662- >- 五、作商法 a b >>00，，若 a b >1，则a b >。 例6.a a a a ++++1 223 解：因为 a a a a ++÷++122 3 =++?++=++++，可找中间量c ，转证a c c b >>，。
例7.103 102252253 ++++ 解：因为103 10211252253++>>++， 所以 103102252253++>++ 七、平方法 a b >>00，，若a b 22>，则a b >。 例8.511610+ + 解：因为()511525511162552+=++=+ ()610626010162602+=++=+ 所以511610+< + 八、倒数法 若()1 1 00a b a b >>>，，则a b <。 例9.322 32-- 解：因为()()1 322 322322322322-=+-+=+ ()()1 3232323232-=+-+=+ 所以32232+>+ 所以32232-< - 九、有理化法 可分母有理化，也可分子有理化。 例10.1 65275--
比较实数大小的八种方法
生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解：由于，且，所以。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：。 例2 比较与的大小。 析解：由于，而，所以。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c 表示的点画出来，容易得到结论： 四、估算法 用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解：由于，故，所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、b有： 例5 比较与的大小 析解：因为， 又因为， 所以 所以
说明：对于两个形如（，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有： 例6 比较与的大小。 析解：设， 则 所以 七、作商法 用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有： 例7 比较与的大小。 析解：设， ，则 即 八、放缩法 用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。 例8 比较与198的大小。 析解：由于 所以 取n＝2，3，4…10000代入上式，并将所得的不等式相加得： 即 所以 两个实数大小的比较，方法多种多样，在实际操作时，根据要比较的数的特点来选择适当的方法进行比较，才能方便快捷地取得准确的结果。
《有理数的大小比较》习题精选
有理数的大小比较习题精选 1．在数轴上看，零一切负数，零一切正数；两个数，右边的数左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越，即离原点越远，表示的数越，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而。 2．最小的正整数是，最大的负整数是，绝对值最小的数是。 课堂练习重点难点都在这里了，课堂上就把它们解决吧． 3． 3 11 -－0．273， 3 7 - 4 9 -，π-－3．14，－80％ 9 10 -(填“>”或“<”) 4． 1 3,,3.3 3 π -的绝对值的大小关系是( )． A． 1 3 3.3 3 π->> B． 1 3 3.3 3 π->> C． 1 3 3.3 3 π>-> D． 1 3.33 3π>>- 5．一个正整数a与1 ,a a -的大小关系是( )． A． 1 a a a ≥>- B． 1 a a a <<- C．1 a a a ≥>-
D ．1a a a -<< 6．有理数,,a b c 在数轴上的位置如图，那么下列关系中正确的是( )． A ．b >c >0>a B ．a >b >c >0 C ．a >c >b>0 D ．a >0>c >b 7．若a <0，则2a 4a ．(填“>”或“<”) 8．若6
专题训练(一) 有理数的大小比较方法归类
专题训练(一) 有理数的大小比较方法归类 ? 类型一 利用法则比较大小 1．比较大小：－45与－56 . 2．比较下列各数的大小： (1)－|－1|与－(－1)； (2)－(－3)与0； (3)－????－16与－??? ?－17； (4)－|－(－3.4)|与－()＋|3.4|. ? 类型二 利用数轴比较大小 3．根据有理数a ，b ，c 在数轴上对应的位置，比较下列各对数的大小． 图ZT －1－1 (1)|a|________|b|； (2)|a|________|c|； (3)－a________－b; (4)－|b|________－|c|； (5)－b________c; (6)－a________|c|. 4．数轴上的点A ，B ，C ，D 分别表示数a ，b ，c ，d ，已知点A 在点B 的右侧，点C 在点B 的左侧，点D 在点B ，C 之间，则a ，b ，c ，d 的大小关系是________(用“<”连接)． 5．在数轴上表示下列各数：－2.5，|－7|，－6，3.2，5.5，|4|，并比较它们的大小． 6．若a ＜0，b ＞0且|a|＜|b|，试用“＜”连接a ，b ，－a ，－b. ? 类型三 利用求差比较大小 7．比较4750与3740 的大小． ? 类型四 利用求商比较大小 8．比较5251与2627 的大小． 9．比较－99100与－100101 的大小． ? 类型五 借助特殊值比较
10．若a 是小于1的正数，则将a ，????－1a ，－a ，－1a 用“＞”连接起来，正确的是( ) A ．a ＞????－1a ＞－1a ＞－a B ．－1a ＞a ＞－a ＞????－1a C .????－1a ＞－a ＞a ＞－1a D .????－1a ＞a ＞－a ＞－1a 详解详析 1．解：因为????－45＝45，????－56＝56，又56>45 ，根据两个负数，绝对值大的反而小，得出结论：－45>－56 . 2．解：(1)分别化简两数，得－|－1|＝－1，－(－1)＝1.因为负数小于正数，所以－|－1|<－(－1)． (2)化简－(－3)，得－(－3)＝3.因为正数都大于0，所以－(－3)>0. (3)分别化简两数，得－????－16＝16，－????－17＝－17 .因为正数大于负数，所以－????－16>－??? ?－17. (4)分别化简两数，得－|－(－3.4)|＝－3.4，－(＋|3.4|)＝－3.4，所以－|－(－3.4)|＝－(＋|3.4|)． 3．(1)＞ (2)＞ (3)＞ (4)＜ (5)＞ (6)＞ 4．[答案] c
无理数的大小比较
14．3实数（第一课时）导学案 一．学习目标： 1. 通过对实际问题的探究,使学生认识到数的扩充的必要性. 2. 了解无理数和实数的概念. 3．会判断一个数是有理数还是无理数. 二．重点与难点： 1.无理数概念的探索过程. 2.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断. 三．学习过程 (一)合作探究 活动一：动手操作 将两条直角边是2的等腰直角三角形，剪成两部分拼成一个正方形。 （1）这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等？面积是多少？ （2）如果设正方形的边长为x ，那么x 与这个正方形 的面积有怎样的关系？ 结论:正方形的边长为_____ 活动二：引导尝试 是什么数? 是整数吗? 对于整数—3，—2，—1，0，1，2，3的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的整数吗？ 是分数吗? 对于分数— 53，—23，—13 ， —12，12，13 ，23，53 的平方等于2吗? 你认为有平方后等于2的分数吗？_____ 结论1 既不是______数,又不是_______数. 2. =1.414213562373...... 我们知道的圆周率π=3. 1415926535...... 结论2 _________________数 3.把下面有理数写成小数形式，通过结论你能发现什么? -2= 0= 3= 3 5 -= 478= 911-= 1190= 59 -= 结论3：任何一个有理数总可以写成_______小数或________小数的形式。 4.（1） 通过以上分析有理数总可以写成有限小数或无限循环小数的形式 π是 无限不循环小数，我们把____________小数叫无理数。无理数包括______和________ （2） _______和_______统称为实数， 结论4 是_________________数 你能举出一些无理数吗？ （二）尝试应用 例1.判断下列说法正确与否。如果不正确，请说明理由。 （1）无限小数都是无理数（ ）（2）无限小数都是有理数（ ） （3）带根号的数是无理数（ ）（4）实数都是有理数（ ）（5）实数都是无理数（ ） 例2.判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？ 有理数： 无理数： （三）畅谈收获 （四）巩固提高 1.判断正误 (1)无理数都是无限小数 （ ）(2)-π 是负无理数 （ ） (3)有理数和无理数统称实数（ ） （ ） 2 (5)13 - 是无理数 （ ） 2.把下列各数填入相应的集合内： 有理数集合{ … } 无理数集合{ … } 正无理数集合{ … } 负无理数集合{ … } 整数集合{ … } 分数集合{ … } 实数集合{ … } 3.已知长方体的棱长分别为x ，2， x ，体积为20，根据长方体的体积公式，写出关于x 的方 程，并说明x 是有理数还是无理数。 )23(232232223.1之间依次多一个两个 36 ,722 ,32.1 ,2 4.8 ,6-??π
人教版数学七年级下册-实数比较大小的方法
实数比较大小的方法 一、平方法 当a ＞0，b ＞0时，a ＞b b a . 例1：比较515 与713 的大小. 分析：从表面上看，好象无从下手，但仔细观察发现，它们的被开方数之间存在关系15+5=13+7，因此可用“平方法”. 解: 752205152 ）（,912207132 ） （. ∴515 ＜713 说明:此种方法一般适用于四个无理数两两之和(或差)之间比较大小,且其中两个被开方数的和等于另两个被开方数的和. 二、移动因式法 利用）（02 a a a ,将根号外的因数移到根号内,再比较被开方数的大小. 例2：比较53 和34 的大小. 分析:负无理数之间比较大小,先比较它们绝对值的大小,因此可将根号外的因数移到根号内,也可以用“平方法”. 解: |53 |=4553 ,|34 |=4834 . 53 ＞34 . 三、求差法 000 例3：比较34与63的大小. 分析：此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求差法”. ∵34-630 ∴34＜63. 四、求商法 111
例4：比较53 4与11的大小. 分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求商法” 解:∵534÷111 ∴534＜11. 五、分母有理化法 0,0,0)m a b 例5：比较5 13与210的大小. 分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”或“求商法”，还可以用分母有理化法. 解:，102601065256555513513 10 25010105210 . ∵1010 , ∴1010 5 13＞210. 六、倒数法 例6：比较13 n n a 与n n b 2的大小. 分析：观察发现，a,b 都是两个无理数的差，被开方数的差相同，因此可取这两个数的倒数，再进行分母有理化. 2131311 n n n n a ,2 2211n n n n b . ∴ 11a b ∴a ＜ b. 七、不等式的传递性 ,m m 例7：比较23和32大小. 解：∵4,4 ∴23＞32. 八、根指数不同的无理数大小的比较，可先化为同次根式，再比较被开方数的大小
2021年中考数学估算无理数的大小专题(附答案)
2021年中考数学估算无理数的大小专题（附答案） 一、单选题 1.估计的值应在（） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 2.已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（） A. 1＜a＜2 B. 2＜a＜3 C. 3＜a＜4 D. 4＜a＜5 3.某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（） A. 2～3 B. 3～4 C. 4～5 D. 5～6 4.估计的值在（） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 5.下列各数中，比3大比4小的无理数是（） A. 3.14 B. C. D. 6.实数2 介于（） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7.无理数在（） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 8.估计的值在（） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 9.设，则x的取值范围是（） A. B. C. D. 无法确定 10.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图).以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 二、填空题 11.若m＜2 ＜m+1，且m为整数，则m＝________.
12.与最接近的自然数是________． 13.的整数部分是________. 14.估算：________.（结果精确到） 15.如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是________． 16.写出一个大于1且小于2的无理数________． 17.写一个比大的整数是________ 18.若的值在两个整数a与a+1之间，则a=________． 19.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1．现对72进行如下操作：72 [ ]=8 [ ]=2 [ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行________次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 20.5﹣的小数部分是 ________． 三、计算题（共2题；共10分） 21.先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 22.先化简，再求值：，其中x为0＜x＜的整数．