离散数学-第七章二元关系课后练习习题

第七章作业

评分要求：

1. 合计100分

2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由).

3. 总得分在采分点1处正确设置.

1 设R={|x,y∈N且x+3y=12}.【本题合计10分】

(1) 求R的集合表达式(列元素法);

(2) 求domR, ranR;

(3) 求R◦R;

(4) 求R↾{2,3,4,6};

(5) 求R[{3}];

解

(1) R={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>}【2分】

(2) domR={0,3,6,9,12}, ranR={0,1,2,3,4}【2分】

(3) R◦R={<3,3>, <0,4>}【2分】

(4) R↾{2,3,4,6}={<3,3>, <6,2>}【2分】

(5) R[{3}]={3}【2分】

2 设R,F,G为A上的二元关系. 证明:

(1)R◦(F∪G)=R◦F∪R◦G

(2)R◦(F∩G)⊆R◦F∩R◦G

(3)R◦(F◦G)=(R◦F)◦G.

【本题合计18分：每小题6分，证明格式正确得3分，错一步扣1分】证明

(1)∀,

∈R◦(F∪G)

⇔∃t (xRt∧t(F∪G)y) 复合定义

⇔∃t(xRt∧(tFy∨tGy) ∪定义

⇔∃t((xRt∧tFy)∨(xRt∧tGy)) ∧对∨分配律

⇔∃t(xRt∧tFy)∨∃t(xRt∧tGy) ∃对∨分配律

⇔x(R◦F)y∨x(R◦G)y 复合定义

⇔x(R◦F∪R◦G)y ∪定义

得证

(2)∀,

x(R◦(F∩G))y

⇔∃t(xRt∧t(F∩G)y) 复合定义

⇔∃t(xRt∧(tFy∧tGy)) ∩定义

⇔∃t((xRt∧tFy)∧(xRt∧tGy)) ∧幂等律, ∧交换律, ∧结合律

⇒∃t(xRt∧tFy)∧∃t(xRt∧tGy) 补充的量词推理定律

⇔x(R◦F)y∧x(R◦G)y 复合定义

⇔x(R◦F∪R◦G)y ∪定义

得证

(3)∀,

∈R◦(F◦G)

⇔∃s (∈R∧∈(F◦G)) ◦定义

⇔∃s (∈R∧∃t (∈F∧∈G))) ◦定义

⇔∃s∃t(∈R∧∈F∧∈G) 辖域扩张公式

⇔∃t∃s((∈R∧∈F)∧∈G) 存在量词交换

⇔∃t(∃s(∈R∧∈F)∧∈G) 辖域收缩公式

⇔∃t(∈(R◦F)∧∈G) 复合定义

⇔∈(R◦F)◦G 复合定义

得证

3 设F={|x－y+2>0∧x－y－2<0}是实数集R上的二元关系, 问F具有什么性质并说明理由.

【本题合计10分：每种性质2分----答对得1分，正确说明理由得1分】

解F={|x－y+2>0∧x－y－2<0}={|－2

自反性: ∀x∈R, ∈F显然.

对称性: ∀,

∈F⇔－2∈F.

不具有反自反性: 反例<2,2>∈F

不具有反对称性: 反例<2,3>,<3,2>∈F, 显然2≠3

不具有传递性: 反例<2,3.5>,<3.5,5>∈F, 但<2,5>不属于F.

4 设A={a,b,c}, R={,},

(1) 给出R的关系矩阵;

(2) 说明R具有的性质(用关系矩阵的判定方法说明理由)

【本题合计12分：第（1）小题2分；第（2）小题10分----答对性质得1分，说明理由得1分】

解

(1)R的关系矩阵M(R)为

0 1 1

0 0 0

0 0 0

(2)

不具有自反性: M(R)的主对角线不是全为1

是反自反的: M(R)的主对角线全为0

不具有对称性: M(R)不是对称的

是反对称的: M(R)对称的位置至多有一个1

是传递的: M(R2)如下

0 0 0

0 0 0

0 0 0

显然满足: 如果M(R2)任意位置为1, 则M(R)对应位置也为1

5 设A≠ø, R⊆A×A, 证明

(1) r(R)=R∪I A

(2) s(R)=R∪R-1

【本题合计12分，每小题6分----证明格式正确得2分，过程错误一步扣1分】

证明

(1) 只要证明r(R)⊆R∪I A和R∪I A⊆r(R)即可

先证r(R)⊆R∪I A:

I A⊆R∪I A

⇒R∪I A自反(自反性的充要条件)

⇒r(R)⊆R∪I A (自反闭包的最小性)

再证R∪I A⊆r(R):

R⊆r(R)∧I A⊆r(R) (自反闭包的性质及自反性的充要条件)

⇒R∪I A⊆r(R)

得证

(2) 只要证明s(R)⊆R∪R-1及R∪R-1⊆s(R)即可

先证s(R)⊆R∪R-1:

(R∪R-1)-1=R∪R-1 (理由如下: ∀,

∈(R∪R-1)-1

⇔∈R∪R-1 (逆运算定义)

⇔∈R∨∈R-1 (∪定义)

⇔∈R-1∨∈R (逆运算定义)

⇔∈R∪R-1 (∪定义, ∪交换律)

所以(R∪R-1)-1=R∪R-1 )

⇔R∪R-1是对称的(对称性的充要条件)

⇒s(R)⊆R∪R-1 (对称闭包的最小性)

再证R∪R-1⊆s(R):

R⊆s(R) (闭包定义) ∧R-1⊆s(R) (后者理由如下:

∀,

∈R-1

⇔∈R (逆运算定义)

⇒∈s(R)

⇒∈s(R) (s(R)是对称的)

所以R-1⊆s(R) )

⇒R∪R-1⊆s(R)

得证

6 设A={a,b,c,d}, R={,,,,,}, 用Warshall算法求t(R). 【本题合计8分】

解依次求出W0,W1,W2,W3,W4=t(R)【2分】

W0=M(R)= 0 0 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1

0 0 1 0

【1分】