不等式恒成立问题的解法PowerPoint 演示文稿

（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求
函数最值的方法，使 问题获解。
注意：ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：ａ≥[f (x)] max
_____________;
ａ≤[f (x)] min
ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________
。
12
例４、已知a>0，函数f (x)=ax-bx2， （1）当b>1，证明对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件是:
3 2
适合条件的m的范围是:
（-11，23
）
5
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解: (2) 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m[-2,2]）
(
bx-
1 x
)max
≤a
≤(bx+
1 x
)min
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
Biblioteka Baidubx +
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
1 x
)min =b+1
(x=1时取得)
……（*）
同理， ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a<0 _C_<_0________Δ_=_b__2-_4_a_c_<__0_。
3
2.分离系数法： 把所给不等式中的参数a分离出来放在不等式一
边，其余项放在另一边构成函数f(x),利用 ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_ａ__≥_[f_(_x_)]_m_a_x ___; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_ａ__≤__[f_(_x)_]_m_in__
取值范围是 —(—-2 ——2 —,2——2—)— .
②解：原不等式可化为：x2+2>kx
设 y1= x2+2 (x[-3,3])
y2= kx
y y=x2+2
11
y=2 2 x
y=kx
在同一坐标系下作它们的图 象如右图:
由图易得: -2 2 <k<2 2
2
-３ - 2 0 2 ３
x
y= - 2 2 x 9
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 ，解得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为：(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0
解得: 综上可知:
1<m<
的思想，去解不等式的方法。
4
二、典型例题：
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 . 解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
恒成立，则实数x的取值范围是：（-∞—，——-1—）—∪—（——3，——+∞）
7
例取2值、范①围若不是等—式—x—2—<—lo—g—ax—对. x（ 1016,12,
）恒成立，则实数a的
1
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k
的取值范围是 —————————— . y
①解：设
y1= x2
(x
(0,
1 2
))
y2= logax
在同一坐标系下作它们
y=x2 1
的图象如右图:
4
x
由图易得:
0
1 2
1 y=log 1 x
16
1 16
≤a ＜1
8
例2、①若不等式x2
值范围是 —— 1—16 —, 1 .
<logax对x（0,12
）恒成立，则实数a的取
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的
1 b
时取等号
)
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴
( bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:
b-1≤a≤2 b
b-1≤a≤2 b
14
(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
小结:
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数
图象的关系再处理。 练习2、
若 x ≤ kx-1 对x ∈ [1,+ ) 恒成立，则实数k的取值范
围是：__[_2_，__+_∞__）____。
10
例立解3，:、分则若离实不参数数等a得的式:取x a+值2≥范xx围y x是≤2a—(x—y+x—y—y5)2对—1—一,—切1——1正。2数xyxxy、y恒恒成成立
g(-2)=3x2-3x+3>0 则 g(m)>0恒成立
g(2)=-x2+x+3>0
x R
即
1 13 2
<
x
<1
13 2
∴
x
（
1 13 2
，1
13 2
）
6
小结： 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问
题，分类讨论。
练习1:
对于一切 |p| ≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p
令
y x
t
（t
>
0） ,
则
a
≥
1 1
2t t2
（t > 0） 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
m242mm5
4 (mm5)2
4 2 52
521(当且仅当m=
5
)
时等号成立
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 2
1
即a
≥
5 1 2
11
小结：
4、 使用分离参数法，将问题转化为ａ≥f(x)
b-1≤a≤2 b ；
（2）当0<b≤1时,讨论:对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件。
13
解:(1) b>1时,对x ∈(0,1],|f(x)|≤1
-1≤ax-bx2≤1
bx2-1≤ ax ≤1+bx2
bx
-
1 x
≤
a
≤
1 x
+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x
≥2
b (x=
1
一、方法引含入：参数不等式恒成立问题的
１.数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ∈[α,β]，则：
f(x)>0恒成立
f()>0 f()>0
f(x)<0恒成立
f()<0 f()<0
y
α
o
βx
2
（2）ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 __C_>_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。