巧用旋转法解几何题

巧用旋转法解几何题

将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。

例1．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DE⊥DF，

求证：EF2=AE2+BF2

分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。

证明：延长FD到G，使DG=DF，连接AG，EG

∵AD=DB，∠ADG=∠BDF

∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）

∴∠DAG=∠DBF，BF=AG

∴AG∥BC

∵∠C=90°∴∠EAG=90°

∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2

∵DE⊥DF

∴EG=EF ∴EF 2=AE 2+BF 2

例2，如图2，在⊿ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是⊿ABC 一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数.

分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点C 为旋转中心。

解：作MC ⊥CP ，使MC=CP ，连接PM ，BM ∵∠ACB=90°，∠PCM=90°∴∠1=∠2

∵AC=BC ， ∴⊿CAP ≌⊿CBM （SAS ）

∴MB=AP=3

∵PC=MC ，∠PCM=90° ∴∠MPC=45°

由勾股定理PM==22MC PC =22PC =22， 在⊿MPB 中，PB 2+PM 2=（22）2+12=9=BM 2

∴⊿MPB 是直角三角形

∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°

例3，如图3，直角三角形ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求证：EF 2=BE 2+CF 2 分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE ，CF 转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC 是等腰直角三角形，不妨以A 为旋转中心，将∠BAE 和∠CAF 合在一起，取零为整。

P

M

C

B

A

证明：过A 作AP ⊥AE 交BC 的垂线CP 于P ，连结PF ∵∠EAP=90°，∠EAF=45° ∴∠PAF=45°

∵∠BAC=90° ∴∠BAE=∠PAC

∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACB=∠ACP=45° ∴⊿ABE ≌⊿ACP （ASA ） ∴PC=AE ，，AP=AE ∴⊿AEF ≌⊿APF （SAS ） ∴EF=PF

故在Rt ⊿PCF 中，PF 2=CF 2+PC 2,即EF 2=CF 2+AE 2

例4，如图4，正方形ABCD 中，E ，F 分别在AD ，DC 上，且∠EBF=45°，BM ⊥EF 于M ，求证：BA=BM

分析:本题与例3相同之处在于直角三角形家夹有45°角，可利用相同的方法，将∠ABE 和∠CBF “化散为整”来构造全等三角形。

证明：延长FC 到N ，使CN=AE ，连结BN ∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB=AC ，∠BAC=90°

∵∠EBF=45°∴∠ABE+∠CBF=45°

由⊿ABE ≌⊿CBN 知BE=BN ，∠CBN=∠ABE

∴∠CBN+∠CBF=45°，即∠EBF=∠NBF 又BE=BN ，BF=BF

A

N

D

F

E

C B

A

∴⊿EBF ≌⊿NBF （SAS ）∴BM=BC ∴BM=BA

例5、如图6，五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°。求证：∠ADE ＝∠ADC 。

解析：条件中有共点且相等的边AE 和AB ，可将△ADE 以点A 为中心，顺时针方向旋转∠BAE 的角度到△AFB 的位置，如图7。这就使已知条件∠ABC ＋∠AED ＝180°和BC ＋DE ＝CD 通过转化得到集中，使解题思路进一步明朗。由△ADE ≌△AFB ，得∠AED ＝∠ABF ，∠ADE ＝∠AFB ，ED ＝BF ，AF ＝AD 。

由∠ABC ＋∠AED ＝180°，得∠ABC ＋∠ABF ＝180°。所以C 、B 、F 三点共线。

又CD ＝BC ＋DE ＝BC ＋BF ＝CF ，故∠CFD ＝∠CDF 。由AF ＝AD ，得到∠DFA ＝∠FDA 。 ∴∠ADE ＝∠AFB ＝∠CFD ＋∠DFA ＝∠CDF ＋∠FDA ＝∠ADC 。

例6、如图，P 是等边三角形ABC 的一个点，PA=2，PB=32，PC=4，求△ABC 的边长。 分析：PA 、PB 、PC 比较分散，可利用旋转将PA 、PB 、PC 放在一个三角形中，为此可将△BPA 绕B 点逆时针方向旋转60°可得△BHC 。

解：把△BPA 绕B 点逆时针方向旋转60°得到△BHC 。因为BP=BH ，∠PBH=60° 所以△BPH 是等边三角形

所以∠BPH=60°，所以BP=PH 32 又因为HC=PA=2，PC=4 所以

所以△HCP 是Rt △，所以∠CHP=90° 又因为HC=2，PC=4