第一换元积分法与第二换元积分法

2 4 6
1 3 2 5 1 7 sin x sin x sin x C . 3 5 7
注意: 当被积函数是三角函数相乘时， 拆开奇次项去凑微分.
例13 计算
cos 3 x cos 2 xdx.
1 解 cos A cos B [cos( A B ) cos( A B )], 2 1 cos 3 x cos 2 x (cos x cos 5 x ), 2 1 cos 3 x cos 2 xdx 2 (cos x cos 5 x )dx
f ( u)du F ( u) C
F [ ( x )] C .
实际解题时,常常省略上述过程中的第三与第四等号.
u ( x )
u ( x )
二、常见的一些凑微分形式 常见的一些凑微分形式: 1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
(9) f (arcsin x)
1
dx f (arcsin x)d (arcsin x)
三、第一换元积分法习例
sin x 例1 计算 dx . x 1 dx . 例3 计算 x(1 2 ln x )
1 dx . 例2 计算 3 2x x dx . 例4 计算 3 (1 x )
解
sin x x dx 2 sin x ( x )dx
2 sin xd x
2 sin udu 2 cos u C
2 cos x C .
x u
x u
例2 计算
1 3 2 xdx.
解Biblioteka Baidu
1 1 1 3 2 xdx 2 3 2 x (3 2 x )dx
3.1.4 不定积分的换元法
利用积分性质和简单的积分表可以求出
不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭 这些方法是不能完全解决的. 现在介绍与复合函数求导法则相对应的 积分方法 —— 不定积分换元法. 它是在积分
运算过程中进行适当的变量代换, 将原来的
积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分
是比较容易积出的.
1 1 d (1 2 ln x ) 2 1 2 ln x
u 1 2 ln x
1 1 1 du ln u C 1 ln 1 2 ln x C . 2 2 u 2
x dx . 例4 计算 3 (1 x ) x x 11 dx dx 解 3 3 (1 x ) (1 x ) 1 1 [ ]d (1 x ) 2 3 (1 x ) (1 x ) 1 1 C. 2 1 x 2(1 x )
1 dx . 例5 计算 2 2 a x 1 1 解 2 dx 2 2 a x a
1 a
1 2 dx x 1 2 a
1 u2
想到公式 du
arctan u C
1 x x 1 arctan C . 2d a x a a 1 a 作为公式
记 F (u ) f (u ), 则
原函数? 被积表达式?
d( F ( ( x))) f ( ( x)) ( x) d x f (u ) d u,
也是被积表达式?
积分形式不变性 引理 若 f ( x )dx F ( x ) C , 则 f ( u)du F ( u) C , 其中u ( x )可微.
（使用了三角函数恒等变形）
解(2)
1 sin x csc xdx sin x dx sin 2 x dx 1 d (cos x ) 2 1 cos x
1 d (cos x ) 2 cos x 1
1 cos x 1 ln C. 2 cos x 1
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x ) F [ ( x )] C .
注意:
(1)第一换元法关键是适当选取u ( x )来凑微分.
(2)第一换元法的过程是:
g( x )dx f [ ( x )] ( x )dx f [ ( x )]d ( x )
例12 计算 解
2 5 sin x cos xdx .
2 5 2 4 sin x cos xdx sin x cos xd (sin x )
sin x (1 sin x ) d (sin x )
2 2 2
(sin x 2 sin x sin x )d (sin x )
1 1 d (3 2 x) 2 3 2x 1 1 1 du ln u C 2 2 u 1 ln 3 2 x C . 2
3 2 x u
1 dx . 例3 计算 x(1 2 ln x ) 1 1 dx 解 d (ln x ) x(1 2 ln x ) 1 2 ln x
同理可得
sec xdx ln sec x tan x C .
例15 计算

1
1 x 4 x arcsin 2
2
dx .
解

x 4 x arcsin 2
2
dx
x d 2 x 2 x 1 arcsin 2 2
1
x d (arcsin ) ln arcsin x C . x 2 2 arcsin 2
1 1 1 [ d ( x a) d ( x a )] 2a x a xa 1 [ln x a ln x a ] C 2a
1 xa ln C. 2a x a
1 dx . 例8 计算 x 1 e 1 1 ex ex dx dx 解 x x 1 e 1 e
高等数学A
第3章 一元函数积分学
3.1 不定积分
3.1.4 不定积分的换元积分法
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
3.1 不定积分
第一换元积分法 常见的一些凑微分形式
3.1.4 换元积分法
第一换元积分法应用习例1-17 第二换元积分法 第二换元积分法应用习例18-20
换 元 积 分 法
基本积分表2 小结与思考题
1 例11 计算 dx . 1 cos x
解
1 1 cos x 1 cos x dx 1 cos x 1 cos x dx
1 cos x 1 cos x dx 2 dx 2 dx 2 sin x sin x sin x
1 1 2 dx 2 d (sin x ) sin x sin x 1 cot x C. sin x
例6 计算 解
a
du 1 u2
dx
x )2 1 (a

x) d (a x)2 1 (a
想到

arcsin u C
(直接配元)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
1 dx . 例7 计算 2 2 x a 1 1 1 1 )dx dx ( 解 2 2 2a x a x a x a
d(a x b)
dx
n
1 n dx n x
万 能 凑 幂 法
(4) (5)
f (sin x)cos xdx f (cos x)sin xdx
dsin x dcos x
1 (6) f (ln x) dx f (ln x)d (ln x) x 1 (7) f (tan x) dx f (tan x)d (tan x) 2 cos x
x e e dx dx dx 1 x x 1 e 1 e 1 x dx d ( 1 e ) x 1 e
x
x ln(1 e ) C .
x
1 x 1 例9 计算 (1 2 )e x dx . x
1 1 解 x 1 2 , x x
一、第一换元积分法
首先看复合函数的导数公式 :
设可微函数 y F (u ), u ( x) 可构成区间 I 上的
可微的复合函数 y F ( ( x)), 则
( F ( ( x))) F ( ( x)) ( x),
它的微分形式为 d( F ( ( x))) F ( ( x)) ( x) d x
2 5 sin x cos xdx . 例12 计算

例14 计算 csc xdx .


1 x 4 x arcsin 2
2
dx .
1 dx. 例16 计算 10 x(1 x )
例17 设f (sin 2 x ) cos 2 x , 求f ( x ).
sin x dx . 例1 计算 x
1 (8) f (cot x) 2 dx f (cot x)d (cot x) sin x
1 x2 1 (10) f (arctan x) dx f (arctan x)d (arctan x) 2 1 x
(11) f (e x ) e x dx f (e x )de x
例6 计算
1 例5 计算 2 dx . 2 a x

1 a2 x2
dx.
1 dx . 例7 计算 2 2 x a
1 例9 计算 (1 2 )e x
x 1 x
1 dx . 例8 计算 x 1 e
例10 计算
dx .
1 dx . 例11 计算 1 cos x
例13 计算 cos 3 x cos 2 xdx . 例15 计算
1 (1 2 )e x e
x 1 x
x
1 x
dx
x 1 x
1 d( x ) e x
C.
例10 计算 解
tan xdx .
sin x dcos x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
例如
cos 2 xdx sin 2 x C , cos 2 xdx
f ( ( x)) ( x) d x
原式变形为
令u 2 x
1 1 cos udu sin u C 2 2
1 sin 2 x C . 2
第一换元法(凑微分法)
定理1
设 f ( u ) 具有原函数，u ( x ) 可导，
1 1 [ cos xdx cos 5 xd (5 x )] 2 5
1 1 sin x sin 5 x C . 2 10
例14 计算
csc xdx.
1 1 dx dx 解(1) csc xdx x x sin x 2 sin cos 2 2 2
x sec 1 x 2 x d tan d x x 2 2 tan tan 2 2 x ln tan C ln csc x cot x C . 2
1
1 dx. 例16 10 x(1 x )
解（1） 用万能凑幂法
1 10
d x10
1 1 u u du 10 u (1 u )
1 1 1 1 du du ln u lu (u 1) C 10 u 1 u 10
1 dx . 练习题 2 x 8 x 25
练习题
1 x 2 8 x 25dx.
解
1 1 x 2 8 x 25dx ( x 4)2 9dx
1 d ( x 4) 2 2 ( x 4) 3
1 x4 arctan C. 3 3