初中阶段2个阿波罗尼斯圆的大题

专题20 阿波罗尼斯圆

1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，CA ＝9，⊙C 半径为3，P 为⊙C 上一动点，连结AP ，

BP ，则13

AP ＋BP 的最小值为 （ ） A . 7 B . 5 2 C . 4＋10 D . 213

1．如图，在Rt △ABC 中，CB ＝4，CA ＝5，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，则AP ＋12

BP 的最小值为__________．

B

2．如图，正方形ABCD 边长为22，内切圆O 上一动点P ，连接AP 、DP ，则AP +22

PD 的最小值为______．

D

C B

A

3．如图，等边三角形ABC 边长为43，圆O 是△ABC 的内切圆，P 是圆O 上一动点，连接PB 、PC ，则P C B A

BP ＋12

CP 的最小值为______________．

C B

4．如图，在平面直角坐标系中，M (6，3)，N (10，0)，A (5，0)，点P 为以OA 为半径的圆O 上一动点，则

PM ＋12

PN 的最小值为_______________

7．（2008江苏高考）如图，AC =2，BC =2AB ，则△ABC 面积的最大值为___________．

C

B

A

5．如图，∠AOB =90°，OA =OB =1，圆O 的半径为2，P 是圆O 上一动点，求P A +2PB 的最小值．

B A P

O

6．已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是弧CD 上一点，求2P A +PB 的最小值．

O D

A

B P C

2．（2017•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC 于点F，交抛物线于点G．

（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；

（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．

3．（2016•济南）如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y 轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=，求m的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

1．（2018•东台市一模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．

（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；

（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB 和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；

①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

②试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．

专题小结：所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿

波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮

马型求最值，难点在于如何构造母子相似．