人教版九年级下册数学 锐角三角函数复习

锐角三角函数
2,3,7,13
知识 与
技能
特殊角的三角函数值 解直角三角形的应用 相似三角形的判定与性质
1,11,17,18 12,20,21,23 4,5,6,8,10,14,15,16
位似
19
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
思想方 法
数形结合思想 转化思想
20,21
亮点
21题来源于生活，又高于生活．学生在做题的过程中能体会出 数学与生活的紧密联系，使学生初步学会运用数学的思维方式去 观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问 题，增强应用数学的意识．
图 JD7－6
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
解：∵AB∥DC，∴CADB＝DBOO. ∵△AOB 的面积等于 9，△AOD 的面积等于 6，∴SS△△AAOODB＝DBOO ＝23，∴CADB＝DBOO＝32. ∵AB＝7，∴C7D＝23，∴CD＝134.
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
为 α，则点 P 的坐标是___(_c_o_s_α__，__s_i_n_α_)___．
图 28－6
数学·新课标（RJ）
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
2．如图 28－7，在△ABC 中，AB＝AC，如果 tanB＝43，那么 3
sinA2 ＝__5______.
图 28－7
第28章讲练 ┃ 试卷讲练 【针对第22题训练】
解：(1)在直角三角形 ABC 中，sin45°＝AACB， 所以 AC＝AB·sin45°＝522(米)． 在直角三角形 ADC 中， 因为∠ADC＝30°， 所以 AD＝2AC＝5 2≈5×1.414(米)＝7.070(米)≈7.07(米)， 所以改善后滑滑板会加长 7.07－5＝2.07(米)．
＝CD，cos∠DCA＝54，BC＝10，则 AB 的值是( B )
A．3 B．6 C．8 D．9
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝35，则 AB＝( A )
A．15 B．12 C．9 D．6 3．如图 JD7－2，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD＝4，
图 JD7－4
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
3．如图 JD7－5，已知△ABC∽△DBE，AB＝6，DB＝8，则SS△△ADBBCE
9
＝___1_6____.
图 JD7－5
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
4．如图 JD7－6，已知梯形 ABCD 中，AB∥DC，△AOB 的面 积等于 9，△AOD 的面积等于 6，AB＝7，求 CD 的长．
难
9,10,15,16,23,24
锐角三角函数的定义
2,4,5,6,11,18
知识与 技能
特殊角的三角函数值 解直角三角形
1,3,17 7,14,15,16,19,23,24
解直角三角形的实际应用
9,10,12,20,21,22
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
思想方 法
转化思想 数形结合思想
方程思想
20,21,22 23,24 22
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
解：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 D. 设 BD＝x，在 Rt△BCD 中，tan∠CBD＝tan63.5°＝CBDD，∴CD＝ x·tan63.5°. 在 Rt△ACD 中，tanA＝tan21.3°＝ACDD， ∵AD＝AB＋BD＝60＋x， ∴CD＝(60＋x)·tan21.3°. ∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°， ∵tan21.3°≈25，tan63.5°≈2， 解得 x≈15. 答：轮船继续向北航行约 15 海里，距离小岛 C 最近．
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 设 CD＝x 千米， 由题知∠ABC＝45°，∠BAC＝30°. 在 Rt△ACD 中， tan∠CAD＝ACDD，∴AD＝tanx30°＝ 3x. 在 Rt△BCD 中，tan∠CBD＝CBDD， ∴BD＝tanx45°＝x. ∵AB＝AD＋BD，∴ 3x＋x＝2， ∴x＝ 3－1≈1.732－1＝0.732>0.7. 答：计划修筑的这条公路不会穿越公园．
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
(2)由(1)得，BC＝AC＝5 2 2(米)， 在直角三角形 ADC 中， CD＝taAn3C0°＝25 6(米)． 所以 BD＝CD－BC＝52( 6－ 2)≈2.5875≈2.59(米)， 因为 6－2.59＝3.41＞3， 所以这样改造是可行的．
阶段综合测试七(月考)
亮点
21题是利用解直角三角形的相关知识解决生活中的实际问题， 处理这个问题既要充分发挥几何图形的优势，又要灵活运用解直 角三角形的知识，同时还要注意与其他知识相互沟通，寻找解题
的最佳方法． 24题考法新颖，设计自然，将一次函数、勾股定理、二元一次 方程组和解直角三角形等综合在一起，设问中的三个问题，入手 简单，步步推进，层次清晰，突出了中考试题的思考性和延伸性.
1．歼 10 战斗机是我国自主研制的第三代战斗机．在某次军事 演习中，某飞行员驾驶一架歼 10 战斗机，沿水平方向向地面目标 A 的正上方匀速飞行．如图 28－8 所示，在空中 B 点测得目标 A 的俯 角为 15°.经过 5.5 秒到达 C 点，在 C 点测得目标 A 的俯角为 45°， 已知歼 10 战斗机的飞行速度为 600 米/秒．求飞机距地面飞行的高 度．(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin15°≈0.017，tan15°≈0.268)
数学·新课标（RJ）
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
运用解直角三角形的知识解决与生产、生活相关联的应用题是
考查意 图
近年来中考的热点题型，用以考查学生应用数学知识解决实际问
题的能力，常出现在与其他数学知识相结合的综合题中．
易
1,2,3,4,5,6,11,12,13,17,18,19
难易度
中
7,8,14,20,21,22
数学·新课标（RJ）
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
解：过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 延长线于点 D. 由题意，BC＝600×5.5＝3300(米)． 在直角△ACD 中， ∵∠DCA＝45°， ∴∠CAD＝∠DCA＝45°， ∴AD＝CD. 设 AD＝x 米，在直角△ABD 中，tanB＝ABDD， ∴(3300＋x)·tan15°＝x， 解得 x≈1208.2 答：飞机距地面的飞行高度约为 1208.2 米．
第28章讲练 ┃ 试卷讲练 【典型思想方法分析 】
转化思想 在解直角三角形和利用解直角三角形的边角关系解决实际问题 时，常常寻找已知量和未知量的关系建立方程，将几何问题转化为 代数问题求解，体现了数学的转化思想．
数学·新课标（RJ）
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
【针对训练 】
如图 28－11 所示，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的 滑滑板的倾角由 45°降为 30°，已知原滑滑板 AB 的长为 5 米，点 D、 B、C 在同一水平地面上．
(1)改善后滑滑板会加长多少(精确到 0.01 米)? (2)若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑 板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由．(参考 数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 6≈2.449)
数学·新课标（RJ）
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
第28章讲练 ┃ 试卷讲练 【针对第3题训练】
1. 12＋2sin60°＝__3__3____.
数学·新课标（RJ）
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
2．计算1＋2sitnan304°5°－3cot60°的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为_2_－___3___．
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
【针对第18题训练】
1．如图 28－6，以直角坐标系的原点 O 为圆心，以 1 为半径作 圆，若 P 是该圆上第一象限内的点，且 OP 与 x 轴正方向组成的角
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
解：(1)抛物线 y＝ax2－49x 经过点 A(6,0)， ∴0＝36a－94×6，∴a＝38， 故抛物线的解析式为 y＝83x2－49x. (2)直线 y＝－43x 与 BC 边相交于 D 点， 当 y＝－3 时，x＝4， ∴点 D 的坐标为(4，－3)． ∵点 O 与点 A 关于对称轴对称，且点 E 在对称轴上，
【针对第21题训练】
1．去年某省将地处 A、B 两地的两所大学合并成一所综合大学， 为了方便 A、B 两地师生的交往，学校准备在相距 2 千米的 A、B 两地之间修筑一条笔直的公路(如图 JD7－7 中的线段 AB)，经测量， 在 A 地的北偏东 60°方向和 B 地的北偏西 45°方向的 C 处有一个半 径为 0.7 千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿越公园？为 什么？
第28章讲练 ┃ 试卷讲练 图28－10
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
解：∵∠CBE＝45°，CE⊥AE， ∴CE＝BE.∴CE＝21， ∴AE＝AB＋BE＝21＋6＝27. 在 Rt△ADE 中，∠DAE＝30°， ∴DE＝AE×tan30°＝27× 33＝9 3， ∴CD＝CE－DE＝21－9 3. 答：广告屏幕上端与下端之间的距离 CD 约为(21－9 3)米．
cosB＝54，则 AC＝___5_____.
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【针对第8题训练】
1．如图 JD7－3，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，
△DEF 的面积为 1，则△BCF 的面积为( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
2．已知如图 JD7－4，在△ABC 中，DE∥BC，△ADE 与梯形 BDEC 的面积之比是 1∶8，则 AD 与 DB 的比值为___12_____．
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
【针对第24题训练】
矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图 JD7－10 所示，A、C 两 点的坐标分别为 A(6,0)，C(0，－3)，直线 y＝－34x 与 BC 边相交于 D 点．
(1)若抛物线 y＝ax2－94x 经过点 A，试确定此抛物线的解析式； (2)在(1)中的抛物线的对称轴上取一点 E，求出 EA＋ED 的最小值； (3)设(1)中的抛物线的对称轴与直线 OD 交于点 M，点 P 为对称轴上 一动点，以 P、O、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求符合条件的点 P 的坐标．
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
本卷综合考查九年级下册锐角三角函数和相似三角形的内容，共2 考查 个章节，其中锐角三角函数部分占58%，相似三角形部分占42%，解 意图 直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质是重点，相似三角形的
应用是难点．
易
难易 度
中
难
1,2,3,4,5,11,12,13,17,18,19 6,7,8,14,15,20,21,22 9,10,16,23,24
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
2．如图28－10，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼 房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的 仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该 屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测 得 BE ＝ 21 米 ， 请 你 帮 小 刚 求 出 该 屏 幕 上 端 与 下 端 之 间 的 距 离 CD.(结果保留根号)
24题是通过梯形中P点的运动，从而得到四边形形状的变化． 将相似、特殊的四边形的知识非常巧妙地联系到一起，考查了学 生对结论作出判断的能力，在较深层次知识交汇点上设计问题， 挖掘了“数”与“形”的奇妙的联系，突出了中考试题的思考性 和延伸性.
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
【针对第3题训练】
1．如图 JD7－1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥AB，AD
阶段综合测试七(月考) ┃ 试卷讲练
2．一艘轮船自南向北航行，在 A 处测得北偏东 21.3°方向有一 座小岛 C，继续向北航行 60 海里到达 B 处，测得小岛 C 此时在轮 船的北偏东 63.5°方向上．之后，轮船继续向北航行约多少海里，距 离小岛 C 最近？
参考数据：sin21.3°≈295，tan21.3°≈25，sin63.5°≈190，tan63.5°≈2