三角形中重要线段(1)

运城市实验中学初三年级数学学科学习单

2019年3月21日

一、课标要求：

（1）掌握三角形的重要线段，理解三角形的高线、角平分线、中线以及中位线的概念和性质。（2）学会等腰三角形和直角三角形中的相关计算及解答题。

二、考情分析：

三角形中的重要线段是山西中考的必考点,因为这部分知识是三角形板块的基础,所以单独考查较少,绝大部分会在填空题的最后一道或综合与探究题中与特殊三角形、全等三角形、相似等综合实行考查。

三、自主学习单

（一）做一做（5min）

每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。

①你能用折纸的办法得到这三个三角形的三条角平分线吗?

②在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?

③在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?

④在每个三角形中，三条中线、高线之间有怎样的位置关系?

⑤连结三角形两边的中点得到的线段是什么？

结论：

(二)忆一忆（5min）

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=1cm,BE=3cm,则BC 等于（）

A.1cm

B.2cm

C.3cm

D.(3+1)cm

(第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图)

2.如图所示，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点。若△DBE 的周长是6，则△ABC 的周长是（ ）

A.8

B.10

C.12

D.14

解题方法技巧：“两中点，中位线”；三角形一边上的中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，所以这两个三角形面积相等。

3.如图，△ABC 中，AB=AC=15，AD 平分∠BAC ，点E 为AC 的中点，连接DE ，若△CDE 的周长为21，则BC 的长为（ ）

A ．16

B ．14

C ．12

D ．6

解题方法技巧：“斜边中，想一半”，直角三角形有斜边时常作斜边中线，有斜边的倍分关系线段时，也常作斜边中线。

4.如图,在△ABC 中，AB=AC=13,BC=10,,点D 为BC 的中点,DE ⊥AB 于点E,则tan ∠BDE 的值等于( ) A.1310 B.1013 C.125 D.512

解题方法技巧：“等腰底，三合一”，等腰三角形有底边中点或证底边中点时，常作底边中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质解题。

5.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AC=8，F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（ ）

A.4

B.6

C.8

D.9

解后思考：

（三）变一变

1.（2019山东枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）

A．15 B．30 C．45 D．60

解题方法技巧：“点在线，垂两边”，过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质来解题。

(第1题图) (第2题图) (第4题图) (第5题图)

2.(2019适合性训练)如图,△ABC中,BD平分∠ABC,且AD⊥BD,E为AC的点,AD=6cm,BD=8cm,BC=16cm,则DE的长为_______cm

解题方法技巧：“角分垂，等腰归”，当遇到角平分线垂直的线段时，一定要把这条线段延长后与角的另一边相交，构造等腰三角形和两个全等的直角三角形。

3.在△ABC中，A B=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（）

A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5

4.（2019太原模拟考试一）如图，△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于点D，点E在AD 上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为( )

A.4

B.3

C.2.4

D.2

解题方法技巧：“遇中线，可倍长”，将三角形中线延长一倍构造全等三角形或平行四边形，即为倍长中线法。

5.（2019·山西）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE

的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG ⊥AB，AE是DAB

的长为_______．

解题方法技巧：“角分平，等腰呈”即“角平分线+平行线，等腰三角形必表现”。

解后思考：

（四）闯一闯

综合与实践：

问题情境：已知等腰Rt△ABC的等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，点M，N分别是DB，EC的中点，连接MN.

问题发现：

（1）如图1，当点E在AB上，且点C和点D恰好重合时，探索MN与EC的数量关系，并加以证明；

（2）如图2，当点D在AB上，点E在△ABC外部时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

拓展探究：

（3）如图3，将图2中的等腰Rt△AED绕点A逆时针旋转n°（0＜n＜90），请猜想MN与EC的位置关系和数量关系.（不必证明）

（五）想一想

这节课我们从哪些角度对三角形实行了复习？

你能从中受到启发设计出属于自己的三角形复习框架吗？