第4章矩阵的特征值

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1 3, 2 3 3
1)当 1 3 时,齐次线性方程组 (3 A) x o ,即
则对应于 1 3 的全部特征向量为 c11 (c1 0).
1 4 2 2 x1 0 的一个基础解系为 1 1 , 3 4 1 x 2 0 1 2 2 4 x 0 3
1 1 0 1 1 1 A 0 1 1 0 1 0
T
结论: A与AT特征向量不一定相同的.
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线 性 代 数 讲义
定理 4. 2 设A ( aij )是n阶方阵，如果 (1) aij 1
1 1 1 1 1 A1 1 , 4 1 2 2 2
所以 1 1 是A的一个特征值，而
1 1 1 3 1 A 2 3 3 2 , 1 4 1 2 6 2 是A的属于 2 3 2
I A
a11 a12 0 a22
0 0
a2n a11 a22
a1n
ann 0
ann
得A的全部特征值
1 a11 , 2 a22 ,
, n ann .
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二. 特征值与特征向量的基本性质 T 定理4.1 n阶方阵 A与它的转置矩阵 A 有相同的特征值.
矩阵A的特征多项式为 1 2
A 3
2
1
2
1 ( 3) 1 1 1 1 2 1 1
2
1
2
2
3 0 3 0 0 3
由
1
2
2
2 ( 3) ( 3) 1
A 0 得A的特征根 1 3, 2 3 3.
(2)再求特征向量
当
1 2 3 a 时,齐次线性方程组 ( A) x o ,即
ox o
所以任意含三个向量的三维向量组都是它的基础解系, 取三维初始单位向量组
1 0 0 作为其基础解系. 1 0 , 2 1 , 2 0 0 0 1
3. 其它相关的概念
定义4.2 设A为阶方阵,
特征矩阵 特征多项式 特征方程 特征根 特征向量
A 0
A
( A) x o
行列式 A (λ的 n 次多项式)
A 0
特征方程的根λ 对应的x
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5.举例
1 2 2 例1.求三阶方阵 A 3 1 1 的特征值及特征向量. 2 2 1 解 (1)先求特征根
定理4.3： n阶方阵A的互异特征值 所对应的特征向量组成的特征向量组线性无关. 即：设 1 , 2 , 则 1 , 2 ,
, m 是n阶方阵A的互异特征值， 1 ,2 , ,m 为A的分别对应于1 , 2 , , m 的特征向量，
,m 线性无关.
, m 是n阶方阵A的互异的特征值， ,iti 为A的对应于i的线性无关的 , 2 t 2 , , m 1 , m 2 , ,mtm
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推论： 设1 , 2 ,
i 1 , i 2 ,
特征向量，则向量组 11 ,12 , ,1t1 ,21 ,22 , 线性无关.
结论： 1） k 为 kA 的特征值. 2）

k
为
A k的特征值
3） ＋1 为 A＋ I 的特征值.
4) tr ( A) a11 a22
( n ) ( 1)n 12
n ) n 1
n
所以有tr ( A) a11 a22
令＝0，即有 A ＝(1)n 12
ann 1 2
n，即 A ＝12
n
n
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例1.三阶方阵A的特征值为-1,2,3,求
证明 考察它们的特征多项式
AT A A .
T
这说明它们有相同的特征多项式,所以特征值相同. 注: A与AT有没有相同的特征向量呢? 看下面的例子:
1 1 1 ， 设 A 1 2 1是特征值， 是其特征向量， 0 1 0
1 3 3 A 3 a 3 例1. 设矩阵 有特征值为 1 2, 2 4, 3 , 6 6 b
方程组(2)的非零解. 存在条件
特征向量
特征值
A 0
3
总结求矩阵特征值与特征向量的方法: 第一步:令 第二步:对于每一个
A 0
求特征值 . 基础解系,
,
求
A x o
第三步:基础解系的非零线性组合为A对应于 的全部特征向量.
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(1)2A的特征值, (2)A2的特征值, (3)|A|. 例2.试证:n阶方阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征 值为零. 解
A 1 2
n
定理4.4： 若 0 是方阵A的 k 重特征值，则A的属于0 的特征向 量组的秩 k .
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三.杂例
( 1)(2 2) ( 1)2 ( 2) 0
A的Leabharlann Baidu征值为1 2 1，3 2.
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( I A) x 0，即 1) 对于1 2 1, 齐次线性方程组
3 6 0 x1 0 2 0 3 6 0 x 2 0 的一个基础解系为 1 1 , 2 0 3 6 0 x 0 0 1 3
证明：为证明（4）与（5），考虑特征多项式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n I A
a n1 an 2
ann
则 ( a11 )( a22 )
( ann ) 为其展开式中的一项，
其余的项至多含有(n－2)个主对角线上的元素， 即在其余的项中 的次数最高为(n－2)
的大于(n－2)次的项只能出项在 所以，
( a11 )( a22 ) ( ann )
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而( a11 )( a22 )
( ann ) ann ) n1
n (a11 a22
又 I A ( 1 )( 2 ) n (1 2
因此， A对应于 1 2 1的全部特征向量为
c11 c2 2 (c1 , c2 不全为零 )
3 2, 齐次线性方程组 (2I A) x 0，即 2) 对于
1 6 6 0 x1 0 3 3 0 x2 0 的一个基础解系为 3 1 3 6 3 x 0 1 3 c3 ( c 0) 因此， A对应于 3 2的全部特征向量为
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4 例3求 三 阶 方 阵 A 3 3
解
0 5 0 的 特 征 值 及 特 征 向 量 。 6 1 6
4 6 0 I A 3 5 0 ( 1)( 4)( 5) 18 3 6 1
1 1 是A的属于 1 1 的特征向量 2 所以 2 3 是A的一个特征值，而 2
的特征向量
2
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Ax x
2.求法
整理（1）式,得
(1)
(2)
( A) x o
特征向量
x 可看成方程组(2)的非零解.
转 化 确 定
则对应于 1 2 3 a 的全部特征向量为
c1 1 c2 2 c3 3 (c1 , c2 , c3 不全为零)
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例5. 证明：三角形矩阵的特征值是主对角线上的n个元素. a1n a11 a12 证明: 不妨设 0 a a 22 2n A , ann 0 0
一. 矩阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的概念 定义4.1 设A为n阶方阵,λ 是一个数,若存在非零列向量 x,使得
Ax x
(1)
则称 λ为 A 的一个特征值， 非零向量 x 称为矩阵 A 的 对应于特征值λ的特征向量，简称为 A 的特征向量。
1 1 1 1 A , , 1, 例. 求方阵 , 2 3, 由于 1 1 2 2 2 4 1
j 1 n n
( i 1, 2, ( j 1, 2,
, n) , n)
(2) aij 1
i 1
中有一个成立，则矩阵A的所有特征值 k ( k 1, 2, , n)的模小于1，即
k 1
k 1, 2,
,n
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山财大数学与数量经济学院杨素香 第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量
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例4.求三阶方阵
a A a a
的特征值及特征向量.
解
(1)先求特征根
a a a
( a )3 0
A
得A的特征根
1 2 3 a.
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1 2 3 a.
第四章 矩阵的特征值
矩阵的特征值是代数学的重要内容之一，在经济理论研究 及其他学科中都有广泛的应用。
方阵 特征值 对角形 元素 相似于 对角形(或 约当形)
转化矩阵
特征向量
本章要点：1.特征值与特征向量及其求法 2.矩阵的相似 3.实对称矩阵的相似
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第一节
矩阵的特征值与特征向量
ann 1 2
n
5)
1
A ＝12
n
, n为其特征值，则
6) 若A可逆，1 , 2 ,
1 1 ， ， ， 1 2 n
为 A 1 的特征值，
A
1 ， 2 ， ， n
A
A
为
A
的特征值。
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山财大数学与数量经济学院杨素香 第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量
2)当 2 3 3 时,齐次线性方程组 (3 A) x o ,即 1 2 2 2 x1 0 的一个基础解系为 2 , 2 3 2 1 x 2 0 1 2 2 2 x 0 3 则对应于 2 3 3 的全部特征向量为 c22 (c2 0).