向量组与线性方程组的解的结构

k 1k2 km 0时才成立．
2.由定义4可知， (1) 仅含一个零向量的向量组必线性相关; (2) 仅含一个非零向量的向量组必线性无关; (3) 任何包含零向量在内的向量组必线性相关;
(4) 向量组 A:1,2, ,m线性相关 齐次线性方程组
x 11 x 22 x m m 0 有非零解 R (A ) R (1 ,2 , ,m ) m
若向量组 A 与向量组 B 可以互相线性表示， 则称向量组 A 与向量组 B 等价.
2.定理2 A:1,2,,r ,B:1,2, ,s
设 A(1,2,,r),B(1,2, ,s)
向量组 A 可由向量组 B 线性表示 R(B )R (A ,B )
推论：向量组 A 与向量组 B 等价 R (A ) R (B ) R (A ,B )
k1,k2, ,km ,使 k 11 k 22 k m m
则称 是向量组的线性组合，或称 可由向量组 A 线性表示.
2.定理1
可由向量组 A 线性表示 的充分必要条件是
矩阵A(1,2, ,m )的秩等于矩阵 B (1 ,2 , ,m ,)的秩
注：设 A(1,2, ,m ) B (1 ,2 , ,m ,)
4.2向量组的线性相关性
4.2.1线性相关与线性无关的定义
1.定义4 设有n 维向量组A:1,2, ,m,若存在一组不全为
零的数 k1,k2, ,km使 k 11 k 22 k m m 0 ,则
称向量组 A:1,2, ,m线性相关,否则称为线性无关. 换言之,若 A:1,2, ,m线性无关,则上式当且仅当
k (k a 1 ,k a 2 , ,k a n ),
2．加法与数乘的运算规律（略）
注:利用向量的运算,对于方程组 Ax b A(1,2, ,n)
a1 j
j
a2
j
,
(
j
1, 2,
, n)
x1
x
x
2
b1
b
b2
则
amj
x
n
bm
A x b x 1 1 x 2 2 x n n b ( 1 , 2 ,, n ) x = b
B(1,2,3, ) 2
3
3 1
1 2
4 2
0 0
1 0
0 1
1 1
R(A)R(B)3
所以 能否由1,2,3惟一线性表示，且
123
例2 ( 2 , 3 , 0 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 0 , 7 , 4 )
试问 能否由1,2,3 线性表示？若能，写出具体表示式.
4.1.3 向量组的线性组合与线性表示
1.定义2 (1) 给定向量组 A:1,2, ,m,对于任何一组实数
k1,k2, ,km,表达式 k 11 k 22 k mm 称为向量组
A 的一个线性组合，k1,k2, ,km 称为该线性组合的系数. (2)给定向量组 A:1,2, ,m和向量 ,如果存在一组实数
可由向量组 A 唯一线性表示 的充分必要条件是
R(A)R(B)m
例1 1 ( 1 , 2 , 3 ) T ,2 ( 2 , 3 , 1 ) T ,3 ( 3 , 1 , 2 ) T , ( 0 , 4 , 2 ) T
试问 能否由1,2,3 线性表示？若能，写出具体表示式.
解:
1 2 3 0 1 0 0 1
4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件
定理3 向量组 A:1,2, ,m线性相关 R(A) m
向量组 A:1,2, ,m线性无关 R(A) m
例3
讨论向量组
1
2
3,2
1
2,3
3 2
的线性相关性.
1
1
1
2 1 3
1 1 1
解: A(1,2,3)3 2 2 r 1 r 3 3 2 2
1 1 1
(a1,a2, ,an), (b1,b2, ,bn)
a i b i( i 1 ,2 , ,n )
5．向量组 同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称 为向量组
4.1.2 n 维向量的线性运算
1．加法与数乘 (a1,a2, ,an),(b1,b2, ,bn)
为任意实k 数，则 ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,,a n b n )
称为第 i 个分量（或第 i 个坐标）．
T(a1,a2, ,an) 行向量 即 1 n 矩阵
a1
a
2
an
列向量 即 n 1 矩阵
2．零向量 0(0,0, ,0)
3．负向量 ( a 1 , a 2 ,, a n ) , ( a 1 , a 2 ,, a n )
4．向量的相等
2 1 3
1 1 1
1 1 1
rr 1 1 (( 3 2)) rr 2 3 0 0
1 1
5 r 2( 1) r3 0 1 5
5
0 0 0
由于 R(A)23 ,从而 1,2,3 线性相关.
2 1 3
例4：已知向量组
1
3,2
2,3
5
，问
2
1
4
1,2,3 是否线性相关.
解： 2 1 3 2 1 3 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 2 A3 2 5 1 1 2 0 1 1，
2 0 0 10 0
解: B(A,T)(T,T,T)3 1 7 0 10
0 2 4 0 0 1
因为, R(A)2,R(B)3
所以, 不能由 , 线性表示.
4.1.4 向量组的等价
1.定义3 设两个向量组
A:1,2,,r ,B:1,2, ,s
若向量组 A 中的每个向量都可由向量组 B 线性表示， 则称向量组 A 可由向量组 B 线性表示.
向量组与线性方程组的
第4章 向量组与线性方程组的解的结构
4.1向量组及其线性组合 4.2向量组的线性相关性 4.3向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构
4.1向量组及其线性组合
4.1.1 n 维向量的概念
1．n 维向量的定义n 个有次序的数 a1,a2, ,an
n 维向量，这 n 个数称为该向量的分量，第 i 个数 a i
2 1 4 0 0 1 0 0 1
R(A) 3
所以，1,2,3 是线性无关.
例5：设向量组 1,2,3 线性无关，又设，
112 ,223, 3 31
证明向量组 1,2,3也线性无关.
证明：设有 k1,k2,k3使得 k 1 1 k 2 2 k 3 3 ( k 1 k 3 ) 1 ( k 1 k 2 ) 2 ( k 2 k 3 ) 3 0