空间图形的基本关系与公理课件

例3
下图长方体中 H E G
说出以下各对线段的位置关系? 相交 直线 ① EC 和BH是
② BD
和FH是
平行
O
D A
F
C B
直线
③EB和HG是
异面 直线
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2.判别异面直线的方法:
方法一 （利用定义）：两条直线不同在任何一个平面内.
方法二（特点） :两条直线 既不相交、又不平行.
BACK
a

A l

a l b P （ 2）
B

（ 1）
解：在（1）中， l , a A, a B.
在（2）中， l , a , b , a l P, b l P.
随堂训练
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
B

A
C
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面， 可以记成“平面ABC”． 作用：确定平面的主要依据．
思考题
• 过一条直线和直线外的一点 可以确定几个平面？ • 过两条相交直线？ 可以确定几个平面 • 过两条平行直线 可以确定几个平面？
公理2的推论1
• 过一条直线和直线外的一点 有且只有一个平面
平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边 形，用平行四边形表示平面． 平行四边形的锐角通常画成45°，且横边 长等于其邻边长的2倍．（斜二测画法）
D A B C
平面的画法 为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚 线画出来．
D A E F B C
被遮挡部分 用虚线表示
平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边 形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平 面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写 英文字母作为这个平面的名称． D A

l
P
公理4 平行于同一条直线的两直线互相平行
理解：
a b c A
D B
C
（1）已知直线a、b、c， 且a∥b，b∥c，则a∥c （2）空间平行直线具有传递性 （3）互相平行的直线表示空间 里的一个确定的方向
G G E F
典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系．

空间图形的 基本关系与公理
提出问题： 1.用两个合页和一把锁就可以将一扇 门固定，Why? 2.将一把直尺置于桌面，通过是否漏 光就能检测桌面是否平整，Why? 3.椅子放不稳，是底面不平还是椅子 本身的问题？ 4.为什么自行车后轮旁只安装一只撑 脚？
空间点、直线、平面的位置关系
观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱 所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系 吗？ D 长方体由上下、前后、
①直线 AC1在平面 CC1B1B 内；错误
C
B A
D
C1 D1 A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： ③由点A，O，C可以确定一个平面； 错误
C
B
O
D
A
C1 D1 A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正 确，并说明理由： ④由 A, C1 , B1 确定的平面是 ADC1B1 ； 正确 ⑤由 A, C1 , B1 确定的平面与由 A, C1 , D 确定的平面 是同一个平面． 正确
在生产、生活中，人 们经过长期观察与实践， 总结出的一些公认为正确 的规律，我们把它作为公 理．这些公理是进一步推 理的基础．
A l , B l , A , B l
作用： 判定直线是否在平面内．
生活中经常看到用三角架支撑照相机．为什 么？
存在性 公理2 个平面． 过不在同一条直线上的三点，有且只有一 唯一性
知，两个平面的公共点都落在交线上；⑦错误，若l∩α＝
A，则A∈α. 答案：④⑤⑥
．(2010· 江苏南京)如图，已知：E、F、 G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证 明：FE、HG、DC三线共点．
证明：连结 C1B、HE、GF， 由题意知 HC1 平行且等于 EB， ∴四边形 HC1BE 是平行四边形， ∴HE∥C1B. 又 C1G＝GC，CF＝BF， 1 故 GF= C1B，且 C1B 平行于 GF 2 ∴GF∥HE，且 GF≠HE，

l

A

B

C
A l 有且只有一平面 , 使A , l
平面的性质
推论2
• 过两条相交直线 有且只有一个平面


b
a
C

B
A

即：两条相交直线确定一个平面
平面的性质
推论3
a
A B

• 过两条平行直线 有且只有一个平面


b
即：两平行直线确定一个平面
C

把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
C
B A
D
C1 D1 A1
B1
课堂练习
• 一扇门用两个合叶和一把锁就可以固定了，你 知道其中的道路吗？公理2 • M为直线l上的点，且不在平面 内，则l与 的公共点最多有： 一个 • 过已知直线外一点最多可做几条直线和已知 直线平行？ 一条 • 给你六根火柴棒，最多能做几个等边三角形？ 你做出的图形有几个顶点、条棱？ 是正四面体
C
A
B
左右六个面围成． 有些面是平行的，有些 面是相交的；有些棱所在直 线与面平行，有些棱所在直 线与面相交，棱所在的直线 有些平行有些相交，还有些 异面，等等．
D
C
A B
空间图形的基本关系：
1. 点与直线的位置关系有两种：点在直线上 和点不在直线上； 2. 点与平面的位置关系有两种：点在平面内 和点在平面外； 3. 两条直线的位置关系有三种：平行、相交 和异面； 4. 直线与平面的位置关系有三种：包含、相 交和平行； 5. 平面与平面的位置关系有两种：相交和平 行。
(2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中 任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹 角)．
π (0，2] ②范围：
．
如图，空间四边形ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点. (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?

C B A
D

E
F B
C

记作：平面 平面ABCD 平面AC或平面BD
记作：平面 平面
1.点与平面的位置关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点 在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、 不属于符号来表示． B

A
点A在平面 内， 记作 A ． 读作 记作 B ． 点B在平面 外， 读作
∴HG与EF相交．设交点为K，则K∈HG， 又HG 平面D1C1CD， ∴K∈平面D1C1CD. ∵K∈EF，EF 平面ABCD， ∴K∈平面ABCD.
∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，
∴K∈DC，∴FE、HG、DC三线共点．
在本题条件不变下，证明A1、H、E、C四点共面．
证明：已知 H、E 分别是 D1C1、AB 中点， 连结 A1H、CE， 取 DC 中点 H1，连结 HH1、AH1， 由 A1A 平行且等于 D1D， D1D 平行且等于 HH1 得 A1A 平行且等于 HH1，
43
P25异面直线所成的角
巩固练习：
1．两个平面重合的条件是（ c ） A．有两个公共点 B．有无数个公共点 C．存在不共线的三个公共点 D．有一条公共直线 2．下列命题中，真命题是（ D ） A．空间不同三点确定一个平面 B．空间两两相交的三条直线确定一个平面 C．两组对边相等的四边形是平行四边形 D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内 3．空间有四个点，其中任意三点不共线，可确定 __________ 一个或四个 个平面．
NEXT
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否 在平面α内？ 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边 缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个 边缘就落在了桌面上．
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线所有的点都在这个平面内．（即直线在此
平面内）
公理

A l B
A
M

B
D1
N

C1 B1
A1
2 异面直线DM与B1C1所成的角的正切值为----
4．下列说法中，正确的是________．
①首尾相接的四条线段在同一个平面内； ②三条互相平行的线段在同一个平面内； ③两两相交的三条直线在同一个平面内； ④若四个点中的三个点在同一条直线上，那么这四个
点在同一个平面内；
∴四边形 A1HH1A 为平行四边形， ∴A1H∥AH1，同理得 AH1∥EC， ∴A1H∥EC ∴A1H 与 CE 共面， ∴A1、H、C、E 四点共面．
再见
A H E
例1
D
B F
G
C
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例2 如图是一个正方体的表面展开图, 如果将它还原为正方体，那么AB，CD， EF，GH这四条线段所在直线是异面直线 的有多少对?
C G D H A B H G C E A B D
F
E F
48
例3：在正方体中求作下列截面：
D C
(1) M , N 为中点， 作截面DMN
2.点与直线的关系
l A
l
A
点A在直线l上．
Al
l
点A在直线l外．
Al
3.直线与平面的位置关系
A l B

直线l在平面
A

直线l在平面 内． 平面 经过直线l．
l
外．
l
l

4.空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 平行直线 异面直线
空间两条直线的位置关系
相交 有且只有一个公共点 共面直线 平行 没有公共点
⑤若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l ⑥若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β， 则α∩β＝AB； ⑦若l α，A∈l，则A∉α. α；
解析：①错误，空间四边形四条边不在一个平面内；② 错误，如三棱柱的三条侧棱不能共面；③错误，如从正 方体一个顶点出发的三条棱不共面；④正确，由公理2的 推论可知；⑤正确，由公理1可知；⑥正确，由公理3可
B' A'
B A D'wenku.baidu.com
C'
B'
A'
C B A
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C
D
D
思考3:如图，在空间中AB// A′B′， AC// A′C′，你能证明∠BAC与 ∠B′A′C′ 相等吗？ C´
E´
A´ E
A D
D´
B´
C
B
42
思考4:综上分析我们可以得到什么规律?
定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角相等或互补. 思考5:上面的定理称为等角定理，在等 角定理中，你能进一步指出两个角相等 的条件吗？ 角的方向相同或相反
异面直线
不同在任一平面，无公共点
若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行
怎么画异面直线呢？
D' C' A' B'
D A B
C
o
有一个背景作为衬托 －－直观，空间立体 感更强！
异面直线的作图方法 1

A

B
l

异面直线的作图方法 2

a

b
4.例题
例1.判断题1
1.平面内的一条直线和平面外的一条 直线是异面直线。


知识探究：等角定理
思考1:在平面上，如果一个角的两边与 另一个角的两边分别平行，那么这两个 角的大小有什么关系？
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思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′
的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何 ?
C' D'

B
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面相交于一条直线，为什么？

B
平 面 的 无 限 可 延 展 性
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且P l

作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
• 答：错。
b a
判断题2
分别在两个平面内的两条直线一定异面。
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
a
M
b
a
b

注2





a与b是异面直线
a与b是相交直线
a与b是平行直线
在不同平面内的两条直线不一定异面。
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例2
1）“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ且a不平行于b；② a 平面，b 平面 且a∩b=Φ, ③ a 平面，b 平面 , ④ 不 存在平面，能使a 且b 成立 上述结论中，正确的是 （C ） （A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④