高等数学数量积向量积PPT课件

b a
(a)ba(b)(ab)
(ab)
(a)(b) a(b )
c
(ab)
Prjc a Prjc b
(3) 分配律 a b c a c b c Prjc(ab)
事实上, 当 c0时, 显然成立 ; 当c0时
abccP rjcab c P rjc a P rjc b
cPrjcacPrjcb a cbc
ij? jk? ki? 提示：
iijjkk0, ijk, jki, kij.
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4. 向量积的坐标表示式
设 a a xi a yj a zk,b b xi b yj b zk,则 ab(a xi a yj a zk)(b xib yjb zk)
axbx(ii)axby(ij)axbz(ik)
aybx(ji)ayby(jj)aybz(jk)
则 co sAMBMAMB MAMB
B M
1 00 1 22 2
故
AMB
3
例.
在xoy面求一向量
b，使得
ba
,其中
a {3,4,5}，
且 |a||b| 。
答案：
b { 42 ,32 ,0 }或 { 42 , 32 ,0 }
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例．已知某向量模为2，与 x 轴、y 轴的夹角相等，与
z 轴的夹角是前者的两倍，求此向量．
a(abc)0 a a a b a c 0ab ac 1
b(abc)0 b a b b b c 0ba bc 1
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c(abc)0 c a c b c c 0cacb 1
将上面的三式相加,得
2 ( a b b c c a ) 3
abbcca3 2
此题也利用等式点乘 a b c 0得出结果。
M1
s
M2
W Fs
为a与b的数量积 (点积、内积) ，读作
a
点乘
b。
2
当 a 0 时 ,b在a上的投影为
b cos 记作 Prja b
故 a b a Prjab 同 ,当 b 理 0 时 ,有 abb
Prjb
a
b
a
注：此两式也可以用点积来计算投影的公式
例．求向量 a{4,3,4}在向量 b{2,2,1}方向上的投影．
方向 : c a,c b 且符合右手规则
向量 c 模 : c a b sin
称 c为向a与 量 b的 向量积 , 记作
cab (叉积、外积)
读作
a
叉乘
b。
思考: 右图三角形面积
a
右手规则
S＝
1 2
ab
b
注：|a b | |a ||b |sin 的几何意义：以
a、b
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为边的平行四边形的面积．
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二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为
的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
矩是一个向量 M :
F
M OQF OP F sin O
O P F M 符合右手规则
P L
MOP
F
Q
MF
o P OQ OPsin
M
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1. 定义
设a, b的夹角 ， 为 定义
5
例. 证明三角形余弦定理
c 2 a 2 b 2 2 acbos
证: 如图 . 设
A
c CBa, CAb, ABc
b
C
则
cab
Ba
c 2 (a b)(a b) a abb2ab
a 2 b 2 2a bcos
a a,b b ,c c
c 2 a 2 b 2 2 acbos 6
4. 数量积的坐标表示
，从而
4
或
2
又 a |a |a 0 2 { c o s,c o s,c o s 2 } ,所以
a2{ 2, 2,0}{2, 2,0} 或 a 2 { 0 ,0 , 1 } { 0 ,0 , 2 }
22
9
例．设
a,b,c
为单位向量，且满足
abc0
，求
a b b c ca
解
cos a b a xb xayb ya zb z
ab
ax2a2yaz2 bx2by2bz2
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例. 已知三点 M ( 1 , 1 , 1 ) ,A ( 2 , 2 , 1 ) B ( 2 ,, 1 , 2 ) ,求
AMB .
A
解: M (A 1 , 1 , 0), M (B 1 , 0 , 1)
azbx(ki)azby(kj)azbz(kk)
(aybzazby)i (a zb x a x b z)j
k
(axbyaybx)k
ij
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向量积的行列式计算法
ab(aybzazby)i (a zb x a x b z)j (axbyaybx)k
i jk ax a y az
解 设所求向量为 a ，则其方向角 ，，2，则
a 0 { c o s,c o s,c o s} { c o s,c o s,c o s2 }
且有 cos2cos2cos2 c o s 2 c o s 2 c o s 2 2 1
cos2 cos22 0， cos20或 cos21
即
2 2
或
2
第二节
第七章
数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
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一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W Fscos
F
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为． , 称
记作
a bcos
a b
解
P rja |a|cos(a,b) b
Pr
ja
b
ab |b |
故
Pr
ja
b
ab |b |
864 62 441 3
3
2. 性质
(1) aaa 2 (2) a,b为两个非零向量,
则有 ab0 a b
a0,b0 则ab0
(a, b) 2
4
3. 运算律
(1) 交换律 abba
(2) 结合律 (,为实数 )
2. 性质
(1) aa0
(2) a, b为非零向量, 则 ab0 a∥ b 证明: 当 a0,b0时 ,
ab0 a b sin0 sin 0， 即 0或
3. 运算律
a∥ b
(1) ab ba
(2) 分配律 (ab)cacbc
(证明略)
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
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讨论：
在空间直角坐标系中 iijjkk?
设 a a xi a yj a zk,b b xi b yj b zk,则 ab(a xi a yj a zk)(b xib yjb zk)
i i j j kk 1, i j jk ki 0
ab a xb x a yb y a zb z
两向量的夹角公式
当 a, b为非零向量时, 由于a b a bcos, 得