直线方程复习课件

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1．直线的有关概念
(1)直线倾斜角的范围是0°≤α<180°.
(2)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两点，则l的方向向 量的坐标为 (x2－x1，y2－y1) ；若l的斜率为k，则方向向量的坐 标为 (1，k) ．
2．斜率公式
(1)若直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝ tanα.
【答案】 (1)m＝－1 时，斜率不存在；m≠－1 时，k ＝m＋1 1
(2)m＝－1 时，x＝－1；m≠－1 时，y－2＝m＋1 1(x＋1) (3)[π6，23π]
题型二 求直线方程
例 2 求适合下列条件的直线的方程： (1)在 y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35； (2)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)经过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y＝3x 的倾斜 角的 2 倍．
(4)截距式：__a_x＋__by_＝__1____，其中a·b≠0，a为l在x轴上的 截距，b是l在y轴上的截距．
(5)一般式：__A_x_＋__B_y_＋__C_＝__0__，其中A，B不同时为0.
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等． (4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b表示．
(3)已知直线l经过A(cosθ，sin2θ)和B(0,1)不同两点，求直 线l的倾斜角的取值范围．
【解析】 当 cosθ＝0 时，sin2θ＝1－cos2θ＝1，此时 A， B 重合，∴cosθ≠0，∴k＝10－－scions2θθ＝－cosθ.∴k∈[－1,0)∪
(0,1]，因此倾斜角的范围是(0，π4]∪[34π，π)． 【答案】 (0，π4]∪[34π，π)
直 线 方 程复习课件
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线 斜率的计算公式．
2．掌握确定直线位置的几何要素． 3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般 式)，了解斜截式与一次函数的关系．
请注意 直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在 选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等 基本知识，二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等 知识进行综合考查．
探究2 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形 式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直 线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直 线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在 解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为 零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
y2(－2)若y1 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率 为__x2_－__x_1_.
3．直线方程的几种基本形式
(1)点斜式：___y－__y_1_＝__k_(_x－__x_1_)___，注意斜率k是存在的． (2)斜截式：_y_＝__k_x_＋__b_，其中b是直线l在 y轴 上的截距． (3)两点式：__yy_2－－__yy_11_＝__xx_2－－__xx_11___(x1≠x2且y1≠y2)，当方程变 形为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0时，对于一切情况都成 立．
探究 1 (1)要注意斜率的两种求法：k＝tanθ＝yx11－－yx22. (2)处理斜率范围和倾斜角范围时，由于涉及到正切函数 的单调性，因此常常借助正切函数图像，将角分为[0，π2)， (π2，π)两部分分别对应斜率中的非负值和负值．
思考题1 已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求： (1)求直线AB的斜率； (2)求直线AB的方程； (3)已知实数 m∈[－ 33－1， 3－1]，求直线 AB 的倾斜 角 α 的范围． 【解析】 (1)当 m＝－1 时，直线 AB 的斜率不存在； 当 m≠－1 时，k＝m＋1 1.
答案 D
解析 当 a＝0 时，直线方程为 y－2＝0，不满足题意，
所以 a≠0，所以在 x 轴上的截距为2＋a a，在 y 轴上的截距为
2＋a，则由 2＋a＝2＋a a，得 a＝－2 或 a＝1.
授人以渔
题型一 直线的倾斜角与斜率
例 1 (1)直线 xsinπ7＋ycosπ7＝0 的倾斜角是( )
(3)由已知：设直线 y＝3x 的倾斜角为 α，则所求直线的 倾斜角为 2α.
∵tanα＝3，∴tan2α＝1－2tatannα2α＝－34. 又直线经过点 A(－1，－3)， 因此所求直线方程为 y＋3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0. 【答案】 (1)y＝±34x－5 (2)2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0 (3)3x＋4y＋15＝0
A．－π7
π B.7
5π
6π
C. 7
D. 7
【解析】 由题意得直线方程为 y＝－tanπ7·x， ∴k＝－tanπ7＝tan67π.∵0≤α<π，∴α＝67π. 【答案】 D
(2)若直线l过点M(－1,2)且与以点P(－2，－3)，Q(4,0)为 端点的线段恒相交，则l的斜率范围是________．
【解析】 ①方法一：设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)， 则可得 A(2k－k 1，0)，B(0,1－2k)． ∵与 x 轴，y 轴正半轴分别交于 A，B 两点， ∴2k－k 1>0， ⇒k<0.于是
1－2k>0
S△AOB＝12·|OA|·|OB|＝12·2k－k 1·(1－2k) ＝12(4－1k－4k)≥12[4＋2 －1k·－4k]＝4. 当且仅当－1k＝－4k，即 k＝－12时，△AOB 面积有最小 值为 4，此时，直线 l 的方程为 y－1＝－12(x－2)，即 x＋2y －4＝0.
当直线斜率存在时，设其方程为 y－10＝k(x－5)， 即 kx－y＋(10－5k)＝0. 由点到直线的距离公式，得|101－＋5kk2|＝5，解得 k＝34. 此时直线方程为 3x－4y＋25＝0. 综上知，所求直线方程为 x－5＝0 或 3x－4y＋25＝0. 【答案】 (1)x±3y＋4＝0 (2)x＋y－1＝0 或 4x＋3y＝0 (3)x－5＝0 或 3x－4y＋25＝0
【解析】 (1)设直线的倾斜角为 α，则 sinα＝35. ∴cosα＝±45，直线的斜率 k＝tanα＝±34. 又直线在 y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为 y＝±34x－5.
(2)设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a＝0， 即 l 过点(0,0)和(3,2)． ∴l 的方程为 y＝23x，即 2x－3y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1. ∵l 过点 P(3,2)，∴3a＋2a＝1. ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0. 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝ 82＋12＝ 65. 【答案】 65
(2)过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A， B两点，求：
①△AOB面积的最小值及此时直线l的方程； ②求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的 方程； ③求|PA|·|PB|的最小值及此直线l的方程．
思考题2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.
【解析】 (1)由题意知，直线的斜率存在， 设倾斜角为 α，则 sinα＝ 1100(α∈[0，π))， 从而 cosα＝±31010，则 k＝tanα＝±13. 故所求直线的方程为 y＝±13(x＋4)，即 x±3y＋4＝0.
方法二：设所求直线 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则 2a＋1b＝1.
又∵2a＋1b≥2 a2b⇒12ab≥4，当且仅当2a＝1b＝12，即 a＝ 4，b＝2 时，△AOB 面积 S＝12ab 有最小值为 4.此时，直线 l 的方程是4x＋2y＝1.
Baidu Nhomakorabea
②方法一：∵A(2k－k 1，0)，B(0,1－2k)(k<0)，
(5)不经过原点的直线都可以用ax＋by＝1 表示． (6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都 可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√
2．直线 x－ 3y＋a＝0(a 为常数)的倾斜角 α 为( )
∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|. 当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.
设点 A 关于直线 l 的对称点 A1(x1，y1)，则由对称的充要 条件知，
yxx111＋－ ＋2 144·－1＝y1－－2 11，－1＝0，
解得yx11＝＝30，， ∴A1(0,3)．
a，b的值是( )
A．a＝4，b＝0
B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3
D．a＝－4，b＝3
答案 C
解析 k＝7a－ －53＝3－5－－b1＝2，解得 a＝4，b＝－3.
5．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相
等，则a的值是( ) A．1 C．－2或－1
B．－1 D．－2或1
∴截距之和为2k－k 1＋1－2k
＝3－2k－1k≥3＋2 －2k·－1k＝3＋2 2.
此时－2k＝－1k⇒k＝－
2 2.
故截距之和最小值为 3＋2 2，此时 l 的方程为 y－1＝－
22(x－2)． 即 x＋ 2y－2－ 2＝0.
方法二：∵2a＋1b＝1，
∴截距之和
a
＋
b
＝
(a
题型三 直线方程的应用
例3 (1)已知点A(4，－1)，B(8,2)和直线l：x－y－1＝0， 动点P(x，y)在直线l上，求|PA|＋|PB|的最小值．
【解析】 设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的 交点，
∴|P0A1|＝|P0A|， |PA1|＝|PA|.
在 △ A1PB 中 ， |PA1| ＋ |PB|≥|A1B| ＝ |A1P0| ＋ |P0B| ＝ |P0A| ＋ |P0B|，
A.π6
B.π3
2
5
C.3π
D.6π
答案 A
3．(课本习题改编)过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方 程为( )
A. 3x－3y＋6＋ 3＝0 B. 3x－3y－6＋ 3＝0 C. 3x＋3y＋6＋ 3＝0 D. 3x＋3y－6＋ 3＝0 答案 D
4．若斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则
(2)若截距不为 0，设直线的方程为ax＋ay＝1. 从而－a3＋4a＝1，解得 a＝1. 此时直线方程为 x＋y－1＝0. 若截距为 0，设直线方程为 y＝kx. 从而有 4＝－3k，即 k＝－43，此时直线方程为 4x＋3y＝ 0. 综上，所求直线方程为 x＋y－1＝0 或 4x＋3y＝0.
(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直 线方程为 x－5＝0.
(2)当 m＝－1 时，AB 的方程为 x＝－1； 当 m≠－1 时，AB 的方程为 y－2＝m＋1 1(x＋1)． (3)①当 m＝－1 时，α＝π2； ②当 m≠－1 时， ∵k＝m＋1 1∈(－∞，－ 3]∪[ 33，＋∞)， ∴α∈[π6，π2)∪(π2，23π]． 综合①②知直线 AB 的倾斜角 α 的范围为[π6，23π]．
【解析】 本题考查直线的倾斜角、斜率与正切函数的 单调性．
如图，过点 M 作 y 轴的平行线与线段 PQ 相交于点 N. kMP＝5，kMQ＝－25. 当直线 l 从 MP 开始绕 M 逆时针方向旋转到 MN 时，倾 斜角在增大，斜率也在增大，这时，k≥5，当直线 l 从 MN 开始逆时针旋转到 MQ 时，∵正切函数在(π2，π)上仍为增函 数，∴斜率从－∞开始增加，增大到 kMQ＝－25，故直线 l 的 斜率范围是(－∞，－25]∪[5，＋∞)． 【答案】 (－∞，－25]∪[5，＋∞)