第二章 数列全章教案
2．1数列的概念与简单表示法
（一）教学目标
1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；
2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。（一）教学重、难点
重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；
难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
（二）学法与教学用具
学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
教学用具：多媒体、投影仪、尺等
（三）教学设想
1、多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序
号有什么关系？
2、（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫
做这个数列的项。
（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，
3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{a n}
（3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。
3、数列的表示方法
（1）函数y=7x+9 与y=3 x，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？
（2）定义数列{a n}的通项公式
（3）数列{a n}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？
（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。
4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，-1/2，1/3，-1/4；
（2）2，0，2，0．
引导学生观察数列的前4项的特点，寻找规律写出通项公式。再思考：根据数列的前若干项写出的数列通项公式的形式唯一吗？举例说明。
5、例2、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形2．1数列的概念与简单表示法海口一中陆健青中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。
通过多媒体展示希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，引导学生观察着色三角形的个数的变化，寻找规律写出数列的一个通项公式，并用图象表示数列。体会数列的图象是一系列孤立的点。
1、问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一想的前一项的2
倍再加1，即a n = 2 a n-1 + 1（n∈N，n>1），（※）
你能写出这个数列的前三项吗？
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，（※）式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。
2、例3 设数列{an}满足
写出这个数列的前五项。
此题与例1的学习是互为相反的关系，也是为了引入下文的等差数列，等差数列是最简单的递推数列。
3、课堂练习：P361~5，课后作业：P38习题2.1 A组1，2，4，6。
4、课堂小结：
（1）数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；
（2）了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能发现数列规律找出可能的通项公式。
（3）了解数列是一种特殊的函数。
（四）评价设计
1、重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价
关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。
2、正确评价学生的数学基础知识和基础技能
能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式也是数列的一种表示方法。
2．2 等差数列
（一）教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学用具：投影仪
（四）教学设想
[创设情景]
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。
[探索研究]
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……
2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，……①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？
（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。
[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。
提问：如果在与中间插入一个数A ，使，A ，成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？
由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A
所以就有 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则
[等差数列的通项公式]
对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。
⑴、我们是通过研究数列的第n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式：
① 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20
（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 a b a b 2
b a A +=73645142,a a a a a a a a +=++=+q p n m a a a a +=+}{n a n a n 5=)1(548-+=n a n
③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d ，它的通项公式是什么呢？ 引导学生根据等差数列的定义进行归纳：
…
所以
……
思考：那么通项公式到底如何表达呢？
……
得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以为首项，d 为公差的等差数列的通项公式为：
也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d ，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）： 是等差数列，所以
)1(5.218--=n a n )1(7210072-+=n a n 1a ,12d a a =-,23d a a =-,34d a a =-,12d a a +=,23d a a +=,34d a a +=,12d a a +=,2)(123d a d d a d a a +=++=+=,3)2(134d a d d a d a a +=++=+=1a }{n a d n a a n )1(1-+=1a n a }{n a ,1d a a n n =--,21d a a n n =---（n-1）个等式
……
两边分别相加得
所以
（迭代法）：是等差数列，则有
……
所以
[例题分析]
例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；
⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。 解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得
⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n 的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d 、n （独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。 （放投影片）例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不,32d a a n n =---,12d a a =-,)1(1d n a a n -=-d n a a n )1(1-+=}{n a d a a n n +=-1d d a n ++=-2d a n 22+=-d d a n 23++=-d a n 33+=-d n a )1(1-+=d n a a n )1(1-+=1a 49)3()121(820-=-?-+=a 1a ,14)1(45--=---=n n a n n a 1a
含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km ，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.
令=11.2，表示4km 处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km 处时，n=11，此时需要支付车费
答：需要支付车费23.2元。
例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。
（放投影片）思考例题：例3 已知数列的通项公式为其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n ＞1）是不是一个与n 无关的常数。
解：取数列中的任意相邻两项（n ＞1），
求差得
它是一个与n 无关的数.
所以是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p 就是这个等差数列的公差，首项是p+q. 例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。
[探究]
引导学生动手画图研究完成以下探究：
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系。
分析：⑴n 为正整数，当n 取1，2，3，……时，对应的可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；
⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一}{n a 1a )(2.232.1)111(2.1111元=?-+=a }{n a ,q pn a n +=}{n a 1--n n a a }{n a 1-n n a a 与p q p pn q pn q n p q pn a a n n =+--+=+--+=--](])1{[)(1}{n a p d q p a =+=公差,1q pn a n +=53-=n a n q pn a n +=n a
次函数当x 在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列的图象是一次函数y=px+q 的图象的一个子集，是y=px+q 定义在正整数集上对应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列中的p 的几何意义去探究。
[随堂练习]
例1之后： “练习”第1题；
例2之后： “练习”第2题；
[课堂小结]
本节主要内容为：
①等差数列定义：即(n ≥2)
②等差数列通项公式：(n ≥1)
推导出公式：
(五）评价设计
1、已知是等差数列.
⑴ 是否成立？呢？为什么？
⑵ 是否成立？据此你能得出什么结论？ 是否成立？据此你又能得出什么结论？ 2、已知等差数列的公差为d.求证：
2．2 等差数列的前n 项和
（一）教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。
（二）教学重、难点
重点：探索并掌握等差数列的前n 项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前n 项和与二次函数之间的联系。
难点：等差数列前n 项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单q pn a n +=q pn a n +=d a a n n =--1=n a d n a )1(1-+d m n a a m n )(-+=}{n a 5372a a a =+5192a a a =+1121
n n n a a a n -+=+?（）21
n n k n k a a a n -+=+?（）}{n a m n a a d m n -=-
的有关问题
（三）学法与教学用具
学法：讲练结合
教学用具：投影仪
（四）教学设想
[创设情景]
等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+……+100=？当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n ，…前100项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前n 项的和。
[探索研究]
我们先来看看人们由高斯求前100个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，…，n ，…的前n 项的和：
由 1 + 2 + … + n-1 + n
n + n-1 + … + 2 + 1
（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）
可知 上面这种加法叫“倒序相加法”
请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？
高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第k 项与倒数第k 项的和与首项与尾项的和是相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前n 项和的。
[等差数列求和公式的教学]
一般地，称为数列的前n 项的和，用表示，即
1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？ 思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：
①
②
由①+②，得
2
)1(...321n n n ?+=++++n a a a a ++++...321}{n a n S n n a a a a S ++++=...321n S ],)1([...)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=],)1([...)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=2n S =1111n n n n a a a a a a a a ++++n 个
（）+（）+（）+...+（）)(1n a a n +=
由此得到等差数列的前n 项和的公式 对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n 项和了。
2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）
当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：
=
=
=
= 这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到 引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n 项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n 的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n ，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d ，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
[公式运用]
（课本52页练习1、2）
1、 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n 项和S.
⑴
⑵
[例题分析]
例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工}{n a 2
)(1n n a a n S +=123...n n S a a a a =+++1111()(2)...[(1)]a a d a d a n d +++++++-1[2...(1)]na d d n d ++++-1[12...(1)]na n d ++++-1(1)2
n n na d -+1(1)n a a n d =+-1()2n n n a a S +=
1(1)2
n n n S na d -=+1a n a {}n a 184188a a n =-=-=，，；114.50.732a ===n ，d ，a ；
程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
⑴、先阅读题目；
⑵、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；
⑶、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解。 解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中 ， d=50.
那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为
（万元） 答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.
例2．已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？
引导学生分析得到：等差数列前n 项和公式就是一个关于的方程。若要确定其前n 项求和公式，则要确定的关系式，从而求得。
分析：将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后，可得到两个关于与d 的二元一次方程，由此可以求得与d ，从而得到所求前n 项和的公式.
解：由题意知 ，
将它们代入公式 得到 解这个关于与d 的方程组，得到=4，d=6，
所以 另解： 得
{}n a 1500a =10101105005072502
n S ?-=?+?=（）{}n a 1n a a n d 1、、n或者a 、、d 1a 和1a 1a 10310S =，201220S =112
n n n S na d -=+（），111045310201901220
a d a d +=+=，
1a 1a 214632
n n n S n n n -=+?=+（）110103102n a a S +=
?=11062a a +=； ①
所以 ②
②-①，得，
所以
代入①得：
所以有 例题评述：此例题目的是建立等差数列前n 项和与解方程之间的联系.已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.
例3 已知数列的前n 项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解：根据
与 可知，当n ＞1时， ① 当n=1时， 也满足①式. 所以数列的通项公式为. 由此可知，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n 项和，可求出通项
用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满足由求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的. 思考：结合例3，思考课本51页“探究”：一般地，如果一个数列的前n 项和为120202012202
a a S +=?=120122a a +=；1060d =6d =14a =21132
n n n S a n d n n -=+=+（）{}n a 212
n S n n =+121...n n n S a a a a -=++++1121
...n n S a a a --=+++（n 1）221111[11]2222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-（）（）211131122
a S ==+?={}n a 122n a n =-
{}n a 32
n S 111n a n S -=-n （）
S n S n a 1a 1n n n S S a --=1a n a {}n a ＞ n a =（n ＞1）
其中p 、q 、r 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
引导分析得出：观察等差数列两个前n 项和公式，和，公式本身就不含常数项。 所以得到：如果一个数列前n 项和公式是常数项为0，且关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.
例4 已知等差数列的前n 项和为，求使得最大的序号n 的值. 分析：等差数列的前n 项和公式可以写成，所以可以看成函数当x=n 时的函数值.另一方面，容易知道关于n 的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n 的值.
解：由题意知，等差数列的公差为，所以 = 于是，当n 取与最接近的整数即7或8时，取最大值. [随堂练习]课本52页“练习”第1、2、3、4题
[补充练习]
1、已知数列是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 6，S 12-S 6，S 18-S 12成等差数列，设成等差数列吗？
生：分析题意，解决问题.
解：设首项是，公差为d
则：
2.n S pn qn r =++12
n n a a S n +=2111222
n n n d d S a n d n a n -=+=+-（）（）2454377，
，，....n S n S 2122n d d S n a n =
+-（）n S 2122
d d y x a =+-∈*（）x（x N ）n S 2454377，
，，....57-5[251]27n n S n =
?+--（）（）2275551511251414256
n n n -=--+（）152
n S {},n a k k k k k S S S S S N k 232,,,--∈+{},n a 1a 6543216a a a a a a S +++++=
同理可得成等差数列.
2、求集合的元素个数，并求这些元素的和。
解由m=100，得 满足此不等式的正整数n 共有14个，所以集合m 中的元素共有14个，从小到大可列为： 7，7×2，7×3，7×4，…7×14
即：7，14，21，28， (98)
这个数列是等差数列，记为其中 解由m=100，得 满足此不等式的正整数n 共有14个，所以集合m 中的元素共有14个，从小到大可列为： 7，7×2，7×3，7×4，...7×14 即：7，14，21，28， (98)
这个数列是等差数列，记为 其中 答：集合m 中共有14个元素，它们和等于735
[课堂小结] 等差数列的前n 项和的公式和 也成等差数列.
（五）评价设计
课本52页A 组第1、3、6
思考：课本53页B 组第4题
2．4等比数列
（一）教学目标
1`．知识与技能：理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型
应用．
２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关
系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，
探索等比数列的通项公式．
３．情态与价值：培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．
为等差数列
1218612661212111098712111098718
17161514131218665432165432112
1110987612,,3636)()
6()6()6()6()6()6(3636)()
6()6()6()6()6()6(S S S S S d
S S d
a a a a a a d a d a d a d a d a d a a a a a a a S S d
S d a a a a a a d a d a d a d a d a d a a a a a a a S S --∴+-=++++++=+++++++++++=+++++=-+=++++++=+++++++++++=+++++=-k k k k k S S S S S 232,,--{}
100,,7*<∈=m N n n m m 且72147100= )987(14 98,714141=+?= ∴==S a a 72147100= ∴==S a a }{n a 2)(1n n a a n S +=1(1)2 n n n S na d -=+k k k k k S S S S S 232,,-- （二）教学重、难点 重点：等比数列的定义和通项公式 难点：等比数列与指数函数的关系 （三）学法与教学用具 学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 分析书上的四个例子，各写出一个数列来表示 [探索研究] 四个数列分别是①1, 2, 4, 8, … ②1,，，，… ③1,20 ,202 ,203 ,… ④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.0198 3 10000×1.01984,10000×1.01985 观察四个数列: 对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于 对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198 可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数. 于是得到等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示(q ≠0) 因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2，,20,1.0198. 与等差中项类似,如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G 叫做 a 与 b 的等差中项,这时,a,b 一定同号,G 2=ab 在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳如下:a 2=a 1q a 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2 a 4=a 3q=(a 1q 2)q=a 1q 3 … … 可得 a n =a 1q n-1 上式可整理为a n =q n 而y= q x （q ≠1）是一个不为0的常数与指数函数q x 的乘积,从图象上看,表示数列 {q n }中的各项的点是函数 y= q x 的图象上的孤立点 2141812121q a 1q a 1q a 1q a 1q a 1 [注意几点] ① 不要把a n 错误地写成a n =a 1q n ② 对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比 的次序颠倒 ③ 公比q 是任意常数,可正可负 ④ 首项和公比均不为0 [例题分析] 例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这 种物质的半衰期为多长(精确到1年)? 评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的 本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式a n =a 1q n-1 例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列 是等比数列吗? 评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,是一个常数就行了 例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项. 评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系 例4 已知{a }{b n }是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什 么结论?证明你的结论. 评注:两个等比数列的积仍然是等比数列 [随堂练习]第1、2、3题 [课堂小结] （1） 首项和公比都不为0 （2） 分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列 （五）评价设计 （1）课后思考：课本 [探究] （2）课后作业：第1、2、6题 2.5等比数列的前n 项和 (一)教学目标 1、 知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题 2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式 3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力 （二）教学重、难点 重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题 难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式 （三）学法与教学用具 学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题 教学用具：投影仪 （四）教学设想 教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数n n a a 1 n 列，我们有必要探讨等比数列的前n 项和公式。 一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．． 它的前n 项和是 Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n 由等比数列的通项公式,上式可以写成 Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ① ① 式两边同乘以公比q 得 qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ② ①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得 (1-q)Sn= a 1－a 1q n 当ｑ≠１时， Sn= （q ≠1） 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成 Sn=（q ≠1） 推导出等比数列的前n 项和公式，本节开头的问题就可以解决了 [相关问题] ①当q=1时，等比数列的前n 项和公式为Sn=n a 1 ② 公式可变形为Sn==（思考q >1和q <1时分别使用哪个方便） ③ 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个 [例题分析] 例1 求下列等比数列前8项的和: (1),,,．．．； (2) a 1=27, a 9= ,q <0 评注:第(2)题已知a 1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q <0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q 既可以为正数,又可以为负数. 例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%, 那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)? 评注:先根据等比数列的前n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程 [随堂练习]第1.2.3题 [课堂小结] (1) 等比数列的前n 项和公式中要求q ≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子 (2) 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个 q q a n --1)1(1q q a a n --11q q a n --1)1(11 )1(1--q q a n 2141812431 (五)评价设计 (1)课后阅读: [阅读与思考] (2)课后作业: 1,2,4题 习题课(2) 课时目标 1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式； 2．掌握数列求和的几种基本方法． 1．等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1) 2d . 2．等比数列前n 项和公式： (1)当q ＝1时，S n ＝na 1； (2)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q . 3．数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝? ???? S 1 n ＝1 S n －S n －1 n ≥2. 4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式： (1)1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－1 2n ＋1)； (3) 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . 一、选择题 1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n (n ＋1)，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D.1 30 答案 B 解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1， ∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－1 6) ＝1－16＝5 6 . 2．数列{a n }的通项公式a n ＝ 1n ＋n ＋1 ，若前n 项的和为10，则项数为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝ 1n ＋ n ＋1 ＝ n ＋1－n ， ∴S n ＝ n ＋1－1＝10，∴n ＝120. 3．数列112，214，318，41 16，…的前n 项和为( ) A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－1 2n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A 解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋1 2n ) ＝n (n ＋1)2＋12(1－12n )1－1 2 ＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12 n . 4．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( ) A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.1 2n (n ＋7) 答案 C 解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(2n ＋4)＝n 2＋2n . ∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5) 2 . 5．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n － 1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 答案 B 绝密★启用前 2012-2013学年度???学校3月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1． 已知数列{ n a }满足)(l o g l o g 1133++∈=+N n a a n n ，且2469a a a ++=，则 ） A ． -5 D ． 5 2．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则 cos B =（ ） A B C D 3．在等差数列{}n a 中，若12343,5a a a a +=+=，则78a a +的和等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 4．在等比数列{n a }中，若357911243a a a a a ＝，则 A ．9 B ．1 C ．2 D ．3 5．等差数列{n a }中，3a ＝2，5a ＝7，则7a ＝ A ．10 B ．20 C ．16 D ．12 6．设数列{}n a 是等差数列，且15432=++a a a ，则这个数列的前5项和5S =（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 7．在等差数列{}n a 中，已知1a +4a +7a =39，2a +5a +8a =33，则3a +6a +9a =（ ） A ． 30 B ． 27 C ． 24 D ．21 8 ．各项为正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且 值是（ ） A ．．．． 9．设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2 （ ） A C D ．1 1010 ） A ．d ＞ B ．d ＞3 C ≤d ＜3 D 3 11．已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=()n N *∈ ，则此数列的通项n a 等于（ ） A ．21n + B ．1n + C ．1n - D ．3n - 12．下列四个数中，哪一个是数列{(1)n n +}中的一项（ ） A ．380 B ． 39 C ． 35 D ． 23 §等差数列（第二课时） 教学目标： 1、进一步了解等差数列的项数与序号之间的规律； 2、理解等差数列的性质； 3、掌握等差数列的性质及其应用。 教学难点：等差数列的灵活应用 预习案 自主学习：等差数列的常用性质： 1.若数列{a n }是公差为d 的等差数列： (1)d>0时，{a n }是 ；d<0时，{a n }是 ；d=0时，{a n } （2）等差数列的通项公式：n a = 通项公式的推广：n m a a =+ ()* ,N n m ∈ 结论：若数列{n a }的通项公式为q pn a n +=的形式，p,q 为公差的等差数列。 （3）多项关系：若q p n m +=+，()*,,,N q p n m ∈则m n a a += 2、等差数列的性质： （1）若数列{n a }是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①{c+a n }(c 为任一常数)是公差为______的等差数列； ②{c a n }(c 为任一常数) 是公差为______的等差数列； (2) 若数列{n a }、{}分别是公差为d 1和d 2的等差数列，则数列{n n pa qb + } (pq 是常数)是公差为________的等差数列。 （3）若{a n }为等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是 ，公差为 ; a m ，a m+k ，a m+2k ，a m+3k ，…，成 ，公差为 ; 合作探究： 问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 的数列的图象，这个图象有什么特点 （2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么据此说说等差数列q pn a n +=的图象与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系 专题三 数 列 第1讲 等差数列与等比数列 等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式 等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n － 1. 求和公式 等差数列：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1） 2d ； 等比数列：S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)． 性质 1．(2018·贵阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11 S 5＝( ) A.11 5 B.522 C.1110 D.225 解析：选D.S 11S 5＝11 2（a 1＋a 11） 52（a 1＋a 5 ）＝11a 65a 3＝22 5 .故选D. 2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－3 2a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3) ＝－10.故选B. 3．(2018·郑州模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为 ( ) A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．1或3 解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2 ＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n ，3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1， 所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，S n ＋2＝a 1（1－q n ＋ 2）1－q ， 代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成 立，则有?????4－q 2 ＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得?????a 1＝1，q ＝2或? ????a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3，故选C. 4．(2018·南宁模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20 a 10 ＝________． 解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a 6＝16得a 21q 6＝16，所以a 1q 3 ＝± 4.由a 4＋a 8＝8，得a 1q 3(1＋q 4)＝8，即1＋q 4＝±2，所以q 2＝1.于是a 20 a 10 ＝q 10＝1. 法二：由等比数列的性质，得a 24＝a 2a 6＝16，所以a 4＝±4，又a 4＋a 8＝8， 2019-2020年高中数学 第二章数列 §2.4等比数列第三课时教案 新人教A 版必修5 授课类型：新授课 （第２课时） ●教学目标 知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比中项的理解与应用 ●教学难点 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：=q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: ， )0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛｝成等比数列=q （,q ≠0） “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 Ⅱ.讲授新课 1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±（a ,b 同号） 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G b a G ±=?=?=2， 反之，若G =ab ,则，即a ,G ,b 成等比数列。∴a ,G ,b 成等比数列G =ab （a ·b ≠0） [范例讲解] 课本P58例4 证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n 项与第n+1项分别为： n n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---??????.) ()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==??-++ 它是一个与n 无关的常数，所以是一个以q 1q 2为公比的等比数列 拓展探究： 对于例4中的等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？ 2.1数列(第一课时) ——授课人：杭十四中袁礼峰教学目标： (一)知识目标：理解数列的基本概念；了解数列与函数之间的关系；理解数列的通项公式，并掌握用数列的通项公式求出数列的各项；掌握根据数列前几项写出它的一个通项公式. (二)能力目标：培养学生获取有效信息及归纳能力；培养学生应用知识的能力. (三)情感目标：利用问题的设计激发学生学习数学的兴趣，通过对数学问题的观察、探究和归纳，培养学生的探索和进取精神. 教学重点： 数列的通项公式. 教学难点： 求数列的通项公式. 教学方法： 发现式教学法. 教学主线： 通过大家感兴趣的问题引入数列概念，介绍数列基本概念深入理解数列，让数列和函数挂钩引出数列的图象表示，通过典型例题及练习诠释重点内容数列的通项公式的求取以及突破求通项公式的难点，每组例题及时小结，最后布置回家作业. 教学过程：课前板书2.1数列 1 2 3 4，课前分发纸张 1.数列引入：实例讲慢一点，注意抑扬顿挫，板书4个数列 实例一，请大家一起看我手上这支粉笔，假设它的长度是1，我现在把它当中折断，看我左手的粉笔，长度是多少？再把它当中折断，看我左手的粉笔，长度又是多少？再折，长 度呢？再折，长度？依此类推，每次折断剩下的粉笔长度依次构成一列数：1111 (1),,,,. 24816 L 接下来 实例二，请大家和我一起玩一个折纸游戏，请拿起手上的纸，对折一下，看手上纸的折痕是几条？再对折，共是几条折痕？再对折呢？依此类推，又得到一列数：(2)1,3,7,15,. L 师：再问大家一句，折8下呢？…折是折不下去的，这就是我们今天要研究的其中一个问题，相信大家课后就会有★答案★了. 好了，请大家看屏幕，图片上的运动员是谁？刘翔，大家都比较关心体育，不知大家对以下一组数据是否了解？ 实例三，从1984年至今，我国体育健儿共参加了六届奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：(3)15,5,16,16,28,32. 再看运动会上一幕 实例四，在前不久结束的杭十四中校运会上，体育老师为了保证40个班级广播操比赛各班之间能等距离站队，之前做了一个准备工作——在第一行导牌队员站立的横线上用粘胶纸标注站立点，从起点开始，每隔2米标注一个站立点，由近及远各标注点与起点的距离排成怎样的一列数(单位：m)：(4)0,2,4,6,,78. L 2，4换一下行不行？不行，由近及远，那是有次序的 师：请大家仔细回味上述实例，想想看它们有什么共同特点？ 生：它们均是一列数；它们是有一定次序的. 师：很好！象这样按一定次序排成的一列数我们就把它叫做数列.想一想？我们平时会经常听到一些分期付款问题啊，银行存款的利息问题等等，这都是与数列有关的问题，学习数列是很有必要的.下面我们对照已知的数列一起来了解一下数列的基本概念. §2.2等差数列导学案（第1课时） 1.掌握等差数列的定义，通项公式，等差中项的定义 2.会求等差数列的通项公式；会证明一个数列是等差数列 3.探索通项公式推导过程中体现出的数学思想；提高学生的逻辑思维能力 重点：对等差数列概念的理解及通项公式的运用 难点：通项公式推导与应用。 一．知识链接 1．数列定义？ 2．什么是数列的通项公式？ 探究案 二．新知探究 1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等 于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列 的 ， 常用字母 表示 下列数列是等差数列吗？若是，求出公差 ①6，4，2，0，-2，-4，…… ②3，7，10，13，16，…… ③0，1，0，1，0，1…… ④a ，a ，a ，a ，…… 2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列， 这个数 叫做数 和数 的等差中项，用等式表示为A = 两个数的等差中项一定存在吗？唯一吗？_______________ 在如下的两个数之间，插入什么数后这三个数会成为一个等差数列？ （1）2， ，4； （2）-8， ，0； （3）a ， ，b 3通项公式的推导 若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：n a = 注：由此可知：（1）一个等差数列总可以由首项和公差来唯一确定。 （2）在a n ,a 1,d ,n 中“知三求一”。 4新知应用 例1数列{}n a 的通项公式为23+=n a n ，你能用定义证明它是等差数列吗? §2.3 等差数列的前n 项和(2) 主备人： 王 浩 审核人： 马 琦 学习目标 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题； 3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值. 学习过程 一、复习回顾 1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S . 2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S . 二、新课导学 ※ 探究一：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ ※探究二：记等差数列{}n a 的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇．当项数为2n 时，则有 S S nd -=奇偶 ；当项数为21n -时，则有n S S a -=奇偶 。 ※探究三：当等差数列{}n a 的项数为21n -时，有12-n S = 。 ※ 典型例题 例1、已知数列{}n a 的前n 项为212 n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列 吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 变式：已知数列{}n a 的前n 项为212 343n S n n =++，求这个数列的通项公式. 小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为 n a =11(1) (2)n n S n S S n -=??-≥?，由此可由n S 求n a . 例2、等差数列{}m a 共有2n 项,其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且 2133n a a -=-，求该数列的公差d 。 变式：已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且745 3 n n A n B n +=+，求n n a b 。 例2、已知等差数列24 54377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值. 数列综合 编稿： 审稿： 【学习目标】 1．系统掌握数列的有关概念和公式； 2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题； 3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ； 4．掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、数列的通项公式 数列的通项公式 一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。 要点诠释： ①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式； ②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列―1，1，―1，1，… 的通项公式可以写成(1)n n a =-，也可以写成cos n a n π=； ③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。 通项n a 与前n 项和n S 的关系： 任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =++ +； 1 1 (1)(2) n n n S n a S S n -=??=? -≥?? 要点诠释： 由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =， （2）求出当n≥2时的n a ， （3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。 数列的递推式： 如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。 要点诠释： 利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二、等差数列 判定一个数列为等差数列的常用方法 ①定义法：1n n a a d +-=（常数）?{}n a 是等差数列； 【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 数列 2.2.2.2 等 差数列的性质学业分层测评 苏教版必修5 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于________． 【解析】∵A ，B ，C 成等差数列，∴B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴3B ＝180°，从而B ＝60°. 【答案】 60° 2．已知a ＝ 1 3＋2，b ＝1 3－2 ，则a ，b 的等差中项是________． 【解析】 因为a ＝ 1 3＋2＝3－2， b ＝ 13－2 ＝3＋2，所以 a ＋b 2 ＝ 3. 【答案】 3 3．在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________. 【解析】 由等差数列的性质，可得a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11， ∴36＝2(a 5＋a 8)， 故a 5＋a 8＝18. 【答案】 18 4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 【导学号：91730029】 【解析】∵{a n }，{b n }都是等差数列，∴{a n ＋b n }也是等差数列，其公差为21－72＝14 2＝7， ∴a 5＋b 5＝7＋(5－1)×7＝35. 【答案】 35 5．(2016·泰州高二检测)若等差数列的前三项依次是1x ＋1，56x ，1 x ，那么这个数列的第101项是________． 【解析】 由已知得2×56x ＝1x ＋1＋1 x ， 解得x ＝2， 必修5 《等差数列》导学案 撰稿：熊定磊 时间：2019-9-26 【学习目标】 1、通过实例理解等差数列的定义 2、学会判断一组数据能否构成等差数列 3、掌握并应用等差数列的通项公式，会求知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 【重点难点】 重点：1、等差数列的概念。2、等差数列通项公式的推倒和应用 难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 【学习过程】 知识点一、等差数列的概念 阅读课本第36到37页，尝试回答以下问题 问题1：这些数列的共同点是 问题2：等差数列的定义： ，其中， 叫公差，通常用 表示，可正可负可为零。 预习检测： 判断下列各数列是否为等差数列: (1). ，，9,7,5,31;(2). 85,90,95,100;(3). 2 3-21-0,21123，，，，;(4).765,321，，，， 【例1】 （1）判断下列数列是不是等差数列？ ① 9 , 7 , 5 , 3 ，…，－2n ＋11，…； ② 1 , 2 , 1 , 2 ，…； ③ 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ，…； ④ a ，a ，a ，a ，a ，…. （2）已知数列{}n a 的通项公式() *∈-=N n n a n ,32，判断这个数列是等差数列 知识点二：等差数列的通项公式 【例2】已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，试推导其通项公式 解： 方法：（叠加法） 根据等差数列的定义：?????????= -=-=-=--1142312.....n n a a a a a a a a 将这 等式左右两边分别相加可得 ，即=n a 结论：等差数列{}n a 的通项公式是 【例3】已知10,3,21===n d a ，求10a 【巩固练习】已知2,21,31===d a a n ，求n 课后检测： 1、在等差数列{}n a 中, （1）已知27,12n 1==a a ，求d （2）已知8,317=-=a d ，求1a 2、在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n . 课题: §2.1数列的概念与简单表示法 授课类型：新授课 （第1课时） ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1”是这个数列 的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 5 14 13 12 1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1= 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公 人教版高一数学必修５第二章数列总结 1、数列的基本概念 （１)定义:按照一定的次序排列的一列数叫做数列. (2）通项公式：如果数列{ａｎ}的第n 项ａn 与ｎ之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式. (3)递推公式:如果已知数列{ａｎ}的第一项(或前几项),且任何一项ａn 与它前一项a n -1(或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法． ２、主要公式 (１)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： a n =错误!. （２)等差数列 a n =a 1+（ｎ－1）d ＝a m +(n －m )d . S n ＝＼f(１,2)n (ａ１+ａn )，S n ＝na １+1 2ｎ(n －1)d . A ＝错误!(等差中项)． (3)等比数列 a n =a 1ｑｎ－ 1，ａn ＝ａm ·q n -m . S n =错误!. G ＝±错误!（等比中项). 3．主要性质 (1)若ｍ+n ＝p ＋q (ｍ、n 、p 、q ∈Ｎ*), 在等差数列{ａｎ｝中有：ａm ＋a ｎ=ａｐ＋a ｑ; 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a ｐ·a q . (２)等差(比）数列依次k 项之和仍然成等差(比)． 专题一 数列的通项公式的求法 1．观察法根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式． (1)１,1,错误!,错误!，错误!,…； 2．定义法 等差数列{a n }是递增数列,前n 项和为S n ,且a 1，a 3，a 9成等比数列，S ５＝ａ错误!.求数列{a ｎ}的通项公式. 3．前ｎ项和法 (1）已知数列｛a n }的前n 项和S n =n 2+3n ＋1，求通项a n ; (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2,求通项a n ． 4．累加法 已知｛a ｎ}中,a １=1，且a n ＋１-a ｎ=３ｎ （ｎ∈Ｎ*),求通项a n . 5.累乘法 已知数列｛a n },a 1＝错误!,前ｎ项和S n 与ａn 的关系是Ｓn ＝n (2n -1）a n ,求通项ａn ． 6.辅助数列法 已知数列{a n }满足a 1=1，ａn ＋１＝3a ｎ+2（n ∈Ｎ＊ ).求数列{a ｎ}的通项公式. §等差数列(一) 编者： 1.掌握等差数列的定义，通项公式 2.会求等差数列的通项公式；会证明一个数列是等差数列 3.探索通项公式推导过程中体现出的数学思想；利用直观图形表示数学概念的方法，体会数形结合思想； { 重点：对等差数列概念的理解及通项公式的运用；等差数列与一次函数之间的联系 使用说明： （1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容； （3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。 预习案（20分钟） | 一．知识链接 1．数列有哪些表示方法 2．什么是数列的通项公式 探究案（30分钟） 二．新知探究 问题1：什么是等差数列什么是公差1,1,2,3,4…是等差数列吗 ( 归纳总结： 问题2：如何用数学语言来描述等差数列(定义式) 问题3：等差数列的单调性：数列为递增数列d ? ；数列为递减数列d ? ； 数列为常数列d ? . 问题4：你能用两种方法推导等差数列的通项公式吗 ) 组长评价： 教师评价： 问题5：等差数列通项公式：+=1a a n ，+=m n a a .(* ∈n n m ,) d= = 问题5：什么是等差中项两个数的等差中项一定存在吗唯一吗 ! 归纳总结： 问题6：数列{}n a 的通项公式为23+=n a n ，你能用定义证明它是等差数列吗 问题7：通项公式为q pn a n +=的数列{}n a 一定是等差数列吗如果是，首项与公差分别是多少 [ 问题8：你能发现等差数列q pn a n +=的图像与函数q px y +=的关系吗 归纳总结：判断数列为等差数列的方法： 三．新知应用 【知识点一】等差数列的概念 【 例1：在等差数列中 （1）已知,10,3,21===n d a 求n a （2）已知2,21,31===d a a n 求n （3）已知,27,1261==a a 求d （4）已知,8,3 17=-=a d 求1a 2.2等差数列教学设计(第一课时) 2.2.1《等差数列》教学设计 教材分析1.教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。主要内容是等差数列定义和等差数列的通项公式。 2.地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法． 教学目标知识目标 1.理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数 列是否为等差数列； 2.掌握等差数列的通项公式. 能力目标 1.通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析 探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力; 2.培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归 纳思想和化归思想并加深认识. 情感目标 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般 数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观 点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣． 教学重难点重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式的推导过程及应用． 难点 理解等差数列“等差”的特点及 通项公式的含义. 教学设想 本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生理解概念，进一步引导学生通过概念来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主， 真正体现课堂教学中学生的主体作用。 教学过程 教学环节 教师活动 学生 活动 设计意图 环节一 环节1 创设情境，提出问题 在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星： （1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ） 你能预测出下一次的大致时间吗？ 主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？ 天文学家陈丹说: 2062年左右。 学生活动 通过情景 引出数列，观察发现 其规律，并通过规律 填写内容。 情景引入 提高学生 的学习兴 趣， 调动 学生的积极性 2.2 等差数列(1) 【学习目标】 1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据 定义判断一个数列是等差数列； 2. 探索并掌握等差数列的通项公式； 3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、 项数、指定的项. 【重点难点】 1．重点：等差数列的定义，通项公式. 2．难点：利用所给条件求解等差数列的通项公式. 【学习过程】 一、自主学习： 任务1: 阅读课本内容并填写下列问题： ① 剧场20排座位，各排座位数有何规律： ② 全国统一鞋号，成年女鞋的各种尺码排列有何规律： 总结如下： 1.从第 项起，每一项与 的 是 （又 称 ），我们称这样的数列为等差数列. ⑴ 当公差0=d 时，{}n a 是什么数列？ ⑵ 将有穷等差数列{}n a 的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是 什么？ ⑶ 判断一个数列是否为等差数列：n n a a -+1与n 无关的常数 任务2: 等差数列的通项公式为 （需知道d a ,1） 二、合作探究归纳展示 探究任务一：等差数列的概念 问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63 ③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知： 1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一 个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示. 2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列， 这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A = 探究任务二：等差数列的通项公式 问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：n a = 已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a . 三、讨论交流点拨提升 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项； ⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项. （2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 高中数学 2.2等差数列（1）学案 新人教A 版必修5 学习目标 1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断 一个数列是等差数列； 2. 探索并掌握等差数列的通项公式； 3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项. 学习重难点 1.重点： 等差数列的通项公式 2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项 一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处） 复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？ 二、试一试 问题一：等差数列的概念 1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63 ③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知： 1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示. 2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项， 用等式表示为A = 问题二：等差数列的通项公式 2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：n a = ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a . ※ 学习探究 探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项； ⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 第二章：“数列”教材分析与教学建议 房山区实验中学张红娟 一、基本特色 1. 用函数的观点和递推的观点理解数列，加强数列与函数的联系。 2. 应用代数的基本方法和技能解数列问题。 3. 数列的相关计算，贯彻算法思想，引导学生进行编程计算。 二、值得研讨的问题 1．数列在高中数学中的教育价值。 2．在数列的教学中如何培养学生的计算推理能力。 三、地位与作用 数列是一个古老的数学问题，也是近代数学研究的重要对象。在整个中学数学教学内容中，数列处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用，由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力，学习数列有助于培养学生观察、分析、归纳、猜想以及分析和解决问题的综合能力，是培养学生数学能力的良好素材，数列与函数、三角、不等式、数娄归纳法、解析几何、应用问题等有着广泛的联系，有很强的综合性，是高中代数中培养学生综合能力的良好素材。 四、本章重点、难点 1．重点：（1）数列的概念；（2）等差数列的通项公式与前n项和公式；（3）等比数列的通项公式与前n 项和公式。 2．难点：（1）等差数列的通项公式与前n项和公式的推导及应用；（2）等比数列的通项公式与前n项和公式的推导及应用。 五、教学内容安排 本章共有三大节，教学约需12课时，具体分配如下： 六、教学时需注意的问题 (一)把握好本章的教学要求 由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考”的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担事实上，学习是一个不断深化的过程。作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高最后在高三数学总复习 人教版高一数学必修5第二章数列总结 1、数列的基本概念 (1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列． (2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式． (3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法． 2、主要公式 (1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： " a n ＝? ?? ?? S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2. (2)等差数列 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋1 2n (n －1)d . A ＝a ＋b 2(等差中项)． （3）等比数列 a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n － m . S n ＝???? ? na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n 1－q q ≠1 . G ＝±ab (等比中项)． ) 3．主要性质 (1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q . (2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)． 专题一 数列的通项公式的求法 1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)1,1，57，715，9 31，…； 2．定义法 ? 等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且 a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.求数列{a n }的人教新课标版数学高二-2015版人教数学必修5第二章《数列》习题课(2)
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