5.5 一阶电路的全响应和三要素法

零状态响应： iL(t) 2 1 - e-20t A
全响应：iL (t) 6e-20t 2(1 - e-20t ) 2 4e-20tA
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第9 页
8
（2）第二种方法
iL () 2A
1 20s
+
24V –
S(t=0)
全响应：iL (t) 2 Ae-20tA
8
+
24V –
S(t=0)
4 iL 0.6H
解 （1）第一种方法 iL (0 ) iL (0- ) 24 / 4 6A L R 0.6 12 1 20s
零输入响应： iL (t) 6e-20tA
第8 页
8
+
24V –
S(t=0)
4 iL 0.6H
iL() 24 / 4+8 2A
t -
uC =Ae
A= -10
uC (t) 11 -10e-0.5tV
第6 页
1
1
+
10V –
iC
+ uC
源自文库
-
1
1A +
u
-
iC (t) C duC d 11-10e-0.5t 5e-0.5tA dt dt u(t) 11 1 iC uC 12 - 5e-0.5tV
第7 页
例题 t=0 时 ,开关S打开，求t >0后的iL。
iC + uC
-
1A +
u
-
解 这是RC电路全响应问题 uC (0+ )=uC (0- ) 1V
RC (11) 1 2s uC () 10 1 11V
第5 页
全响应： uC (t) uC +uC uC uC () 11V
uC (0 ) 11+A=1
t -
uC (t) uC ()+Ae
u 4i 4i1 2i1 4i 6i 2 =10i 12
第 23 页
u 10i 12
三要素：
uC(0 ) uC(0- ) -8V
10
+
+
0.1F
uC
12V
-
-
ReqC 10 0.1 1s
uC () 12V
t -
uC t uC uC 0+ - uC e
uC t 12 -8 -12e-t 12 - 20e-tV
三要素 f (0 )
用t→的稳态电路求解 用0+时刻等效电路求解
=ReqC或=L/Req，Req用为独立源置零后的
输入电阻
第 12 页
t -
f (t) f () [ f (0 ) - f ()]e
稳态值 : f () 三要素 初值: f (0 )
时间常数:
用t→的稳态电路求解 用0+等效电路求解
1）着眼于电路的两种工作状态
全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)
t
t
-
-
uC US Ae US (U0 - US )e t 0
强制分量 (稳态解)
自由分量 (暂态解)
第3 页
2）着眼于因果关系
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
t
t
-
-
uC US(1 - e ) U0e
第 24 页
例题 已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。
iL
1H +
10V
–
5 i
S uC
2 0.25F
解
uC 0 uC 0- 10V iL 0 iL 0- 0
第 25 页
(1) RC电路
uC 0 10V uC 0
iL
1H +
10V –
5 i S uC
1 ReqC 2 0.25 0.5s
t -
uC t uC uC 0+ - uC e 10e-2tV
2 0.25F
第 26 页
(2) RL电路
iL 0 0 iL 10 / 5 2A
iL
1H +
10V –
5 i S uC
2 0.25F
2 L / Req 1 / 5 0.2s
t
iL t iL iL
+
10V –
20V 0.5H
–
i2 t 20 - uL 5=4 - 2e-5tA
第 18 页
三要素法：
iL 0 iL 0- 10 / 5 2A
5 i1(0+) +
10V –
5
+
20V
2A
–
10 - 20
i1 0
i2(0+)
10
1 0A
20 -10 i2 0 10 1 2A
iL (0 ) 6A
代入初值有： 6＝2＋A
iL (t) 2 4e-20tA
4
A=4
iL 0.6H
第 10 页
2、一阶电路的三要素法
df 一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程： a bf c
dt
t -
其解答一般形式为： f (t) f (t) Ae
1a -
pb
令 t = 0+
f (0 ) f (t) 0 A
S1(t=0) 2 i u
+
10V
-
3
S2(t=0.2s)
第 29 页
解 0 < t < 0.2s
S1(t=0)
2
i u
+
10V
-
3
i(0 ) i(0- ) 0 +
10V
-
2Ω
+
u 0
-
3Ω
1
L
/
R
1
/
5
0.2
s
i() 10 / 5 2A u =0
u 0 =10V
1 -t
i(t) 2 - 2e-5t A u t 0 10 - 0 e 0.2 =10e-5tV
i (A) 5
i(0 ) i(0-) 0
i() 2A
i(0.2 ) i(0.2 ) 1.26A
-
i() 5A
2 1.26
0
0.2
t(s)
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第 33 页
u t =10e-5tV (0 < t 0.2s)
u t =7.48e-2t-0.2V ( t 0.2s)
第 17 页
t -
iL (t) iL () [iL (0 ) - iL ()]e
iL (t) 6 (2 - 6)e-5t 6 - 4e-5t t 0
uL t L diL 0.5 -4e-5t -5 10e-5tV dt
5
i1
+
iL
5
i2 i1 t 10 - uL 5 2 - 2e-5tA
第 30 页
t > 0.2s
i(0.2 ) i(0.2 ) 2 - 2e-50.2 1.26A
-
S1(t=0) 2 i u
+
10V
10V
-
3
S2(t=0.2s)
2Ω
u 0.2
i 0.2 1.26A
3Ω
u 0.2 =10 - 2 1.26 7.48V
第 31 页
L / R 1 / 2 0.5s 2
0＋时刻等效电路
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第 19 页
i1 +
10V –
5
5
iL
0.5H
i2 +
20V
–
L / Req 0.5 / 5 / /5 0.2s
iL 10 / 5 20 / 5 6A
i1 10 / 5 2A i2 20 / 5 4A
(t 0)
零状态响应
零输入响应
S(t=0) R
+
US
C
–
uC (0-)=U0
S(t=0) R
+
US
C
+
–
uC (0-)= 0
S(t=0) R C
uC (0-)=U0
第4 页
例题 t=0时开关S闭合，求t >0后的iC、uC及电流源两端的电压。 (uC (0- ) 1V,C 1F)
1
1
1
+
10V –
全解为： uC(t) = uC' + uC"
特解 uC' = US t -
通解 uC Ae
由初始值定A uC (0-)=U0
uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US
-t
t
-
uC US Ae US (U0 - US)e t 0
= RC
第2 页
（3）全响应的两种分解方式
i() 10 / 2 5A
u =0
i t 5 - 3.74e-2t-0.2 A
S1(t=0) 2 i u
+ 10V
-
3
S2(t=0.2s)
1
u
t
0
7.48
-
0
-
e
0.5
t
-0.2
=7.48e-2t
-0.2V
第 32 页
i 2 - 2e-5t (0 < t 0.2s)
i 5 - 3.74e-2t-0.2 ( t 0.2s)
u (V) 10 7.48
3.68
0
0.2
u 0- =0 u 0 =10V
u 0.2- =10e-50.2 =3.68V
u 0.2 =7.48V
t(s)
第 34 页
1A 2 + 3F
uC
1
-
解 uC 0 uC 0- 2V
u () (2 //1) 1 0.667V C
2
Req
2
/
/1
3
2
ReqC 3 2 s
3
第 15 页
t -
uC t uC uC 0 - uC e
uC 0.667 2 - 0.667 e-0.5t 0.667 1.33e-0.5tV t 0
0
-
- iL e
2
1 - e-5t
A
第 27 页
(3)叠加
iL
1H +
10V –
5
i
uR
S
uC
2 0.25F
uR = uC
i
t
iL
t
uR t
2
iL t uC t
2
2
1 - e-5t
5e-2t
A
第 28 页
例题 已知：电感无初始储能t = 0 时合S1 , t =0.2s时合S2 ，求 两次换路后的电感电流i(t)和电感电压u(t) 。
例题 已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)
2A
i1 4 4
2
1
1 0.1F
-
+ uC
2i1
8V -
+
-
+
解
uC(0 ) uC(0- ) -8V
第 22 页
2A
i1 4 i +
4
u
2i1
+
--
10
+
+
0.1F
uC
12V
-
-
u 4i 4i1 2i1 4i 6i1 i1 i 2
5.5 一阶电路的全响应和三要素法
1、一阶电路的全响应
（1）一阶电路的全响应定义
对于一阶电路，由储能元件初始能量和外施激励共同引起的响 应称为一阶电路的全响应。
（2）一阶电路的全响应分析
以RC电路为例，电路微分方程
RC
duC dt
uC
US
S(t=0) R
+ uR –
US
C
i
+ uC
–
第1 页
RC duC uC US dt
uC 2
0.667 0
t
第 16 页
例题 t=0时 ,开关闭合，求t >0后的iL 、 i1 、 i2
i1 +
10V –
5
5
iL
0.5H
i2 +
20V
–
解 iL 0 iL 0- 10 / 5 2A
iL 10 / 5 20 / 5 6A
L R 0.5 5 / /5 0.2s
ReqC 无源
电路
Req
L
Req
无源 电路
Req
第 13 页
分析一阶电路问题转化为求解电路的三个要素的问题。
f ()
三要素 f (0 )
t
-
f (t) f () [ f (0 ) - f ()]e
零输入响应、零状态响应都是全响应的特例，都可以用三要素法求解。
第 14 页
例题 已知：t=0 时合开关，求换路后的uC(t)。
A f (0 ) - f (t) 0
t -
f t f t f 0 - f 0 e
第 11 页
t -
f t f t f 0 - f 0 e
f (t) f ()
直流激励时： f (0 ) f () A
t -
f (t) f () [ f (0 ) - f ()]e
f ()
第 20 页
t -
iL (t) iL () [iL (0 ) - iL ()]e
iL (t) 6 (2 - 6)e-5t 6 - 4e-5t t 0
i1 t 2 0 - 2 e-5t 2 - 2e-5tA
i2 t 4 2 - 4 e-5t 4 - 2e-5tA
第 21 页