连续介质力学1-1

？
北
v e北
A
v r
v v v r = 4e东 + 3e北
v e东
东
×
= 5公里
第一篇 笛卡尔坐标中的张量 §1-1 矢量
北
v r
v v v r 、 u、b
矢量和: 矢量和
A
东
v r
v v v r =a+b
v b
A
v a
§1-2 矢量的表达形式
北
v e北
A
v r
x2
v e2
v r
v e东
东
O
v e1
张量分析 与连续介质力学
张量分析与连续介质力学
第一篇 笛卡尔坐标中的张量 第二篇 连续介质力学 第三篇 材料的本构理论 第四篇 一般曲线坐标中的张量
牛顿力学
矢量力学
v v F, M
v v v u, v , a v v ω, α
v v v p = mv , I
v v v v 其中 F = Fx i + Fy j + Fz k
= δ ipδ jq − δ iqδ jp
例：证明
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 1 a23 = e ijk e pqr aip a jq akr 6 a33
ai 1 a j1 ak 1
ai 2 a j2 ak 2
ai 3 a j3 ak 3
= e ijk a
= e pqr aip a jq akr
ai 2 i = a121 + a222 + a323 ai 3 i = a131 + a232 + a333
aii b jj = ?
aij bij = ?
aii b jj = (a11 + a22 + a33 )(b11 + b22 + b33 ) a ij bij = a1 j b1 j + a 2 j b2 j + a 3 j b3 j
张量力学
(矢量也是张量 矢量也是张量) 矢量也是张量
ε xx ε yx ε zx
τ xy τ xz σ yy τ yz τ zy σ zz
ε xy ε xz ε yy ε yz ε zy ε zz
材料参数也 构成张量
某人从A点出发 向东走了四公里 某人从 点出发,向东走了四公里 向北走 点出发 向东走了四公里,向北走 了三公里,问此人到了什么位置 问此人到了什么位置? 了三公里 问此人到了什么位置 答曰：到了离 点五公里的地方 点五公里的地方。 答曰：到了离A点五公里的地方。
请展开算一遍
v v e i • e j = δ ij
aijδ jk = aik
a1 jδ j 1 = a11δ 11 + a12δ 21 + a13δ 31 = a11
a1 jδ j 2 = a11δ 12 + a12δ 22 + a13δ 32
= a12
a ijmnδ mk = a ijkn
注意1： 注意 ：
§1-3 求和约定
v v v v v x ( 就是 r ) = x1e1 + x 2 e2 + x 3 e3
10 指标： 指标：
v = ∑ xi ei
i =1
3
表示(x 用xi表示 1, x2… xn)中任意一个变量 中任意一个变量 即 xi ⇔ xi 其中i = 1, 2, L n
σ xx 用σ ij 表示τ yx τ zx
a12 a 22 a 32
a13 b11 a 23 b21 a 33 b31
b12 b22 b32
b13 b23 b33
a ji b jk
a11 = a12 a13
a 21 a 22 a 23
a 31 b11 a 32 b21 a 33 b31
v v v v v r = x1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 = x i e i
σ ii =
aiki =
注意！ 注意！此式代表 了三个式子： 了三个式子：
σ 11 + σ 22 + σ 33
a1k 1 + a2 k 2 + a3 k 3
ai 1i = a111 + a212 + a313
c. 除非特别说明，指标不得重复两次或更多次 除非特别说明， d. 指标重复一次时，如不求和，需特别标明 指标重复一次时，如不求和，
a ik i
有些书上记成 如此形式
§1-4 Kronecker符号 符号 定义
1 i = j δ ij = 0 i ≠ j
常用公式
Leabharlann Baidu
aij δ jk = aik
τ xy τ xz σ yy τ yz 中任意一个 τ zy σ zz
20 求和约定： 求和约定： 指标重复一次， 指标重复一次，则在 取值范围内求和。 取值范围内求和。
v v v v r = x1 e1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 v v v v v = v1 e1 + v 2 e 2 + v 3 e 3
= (a11b11 + a12 b12 + a13 b13 ) + (a 21b21 + a22 b22 + a 23 b23 )
(
)
+ (a 31b31 + a32 b32 + a 33 b33 )
30 求导记号约定： 求导记号约定：
∂ ∂x i
( ) = ( ), i
如
∂u j ∂x i
= uj ,i
v v v l o = r × mv
用矩阵表示: 用矩阵表示
(F , F , F )
x y z
在刚体动力学中也有张量: 在刚体动力学中也有张量
J xx J yx J zx
J xy J yy J zy
J xz J yz J zz
连续介质力学
σ xx τ yx τ zx
x1
v v v r = 4e东 + 3e北
x3 O x1
v e1
v e3
v u
v v v r = x1e1 + x 2 e2
v v v v u = u1e1 + u2 e2 + u3 e3
x2
v v 为基矢量， 称e i 为基矢量， ui 为u在 v 下的坐标分量。 基矢量 ei 下的坐标分量。
v e2
= ?ai1aj 2ak3
= ?a1i a2 ja3k
= ?apiaqjark
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 = a33
a11a 22 a 33 + a 21a 32 a13 + a 31a12 a 23 − a 31a 22 a13 − a 21a12 a 33 − a11a 32 a 23
δ ip δ iq δ ik δ jp δ jq δ jk = δ ipδ jqδ kk + δ jpδ kqδ ik + δ kpδ jkδ iq δ kp δ kq δ kk − δ ik δ jqδ kp − δ jk δ kqδ ip − δ kk δ jpδ iq
= 3δ ipδ jq + δ jpδ iq + δ jpδ iq − δ ipδ jq − δ jqδ ip − 3δ jpδ iq
b12 b22 b32
b13 b23 b33
a jil b jk = ?
两个指标的张量， 两个指标的张量，大多数 命题可与矩阵理论对应， 命题可与矩阵理论对应，但指 标运算比矩阵更简便。 标运算比矩阵更简便。两个以 上指标的张量， 上指标的张量，不能用矩阵来 运算。 运算。
置换符号e §1-5 置换符号 ijk 定义
a13 = a11a 22 a 33 + a 21a 32 a13 + a 31a12 a 23 a 23 − a 31a 22 a13 − a 21a12 a 33 − a11a 32 a 23 a 33
= a11a 22 a 33 + a13 a 21a 32 + a12 a 23 a 31 − a13 a 22 a 31 − a12 a 21a 33 − a11a 23 a 32
常用公式 1.外积定义 外积定义 2.行列式定义 行列式定义
（经验表明，此处存在理 经验表明， 解困难，请展开理解之） 解困难，请展开理解之） v v v e i × e j = e ijk e k v v v 或 e ijk = e i • (e j × e k )
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
aij也可以表示整体，即 也可以表示整体，
a ij = a ij / i = 1,2,3; j = 1,2,3
{
}
此时aij和aji意思完全相同 此时
但通常a ji ≠ a ij，因为这时 a ij 可以 表示为一个分量， 是整体。 表示为一个分量，而不 是整体。
a12
≠
a 21
注意2： 注意 ：
b13 b23 b33
Aik = a ij b jk
Aik = a ij b jk = a i 1b1k + a i 2 b2 k + a i 3 b3 k
A11 = a11b11 + a12 b21 + a13 b31
Bik = a ji b jk
Bik = a ji b jk = a1i b1k + a 2 i b2 k + a 3 i b3 k
40 哑标与自由标
在同一项内，只出现一次的称为自由标， 在同一项内，只出现一次的称为自由标，有一 次重复的称为哑标。 次重复的称为哑标。
aiki
aij b jkl
说明： 说明： a. 哑标可以任意更换字符
aiki = a jkj
b. 等式中，自由指标必须相同 等式中，
σ ij , j + bi = 0
那么， 什么关系？ 那么， a ij b jk 与a ji b jk 什么关系？
a ij b jk = ∑ a ij b jk
j =1 3
a11 = a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 b11 a 23 b21 a 33 b31
b12 b22 b32
e ijk
1 = − 1 0
(i , j , k )为(1,2,3)的偶排列 (i, j , k )为(1,2,3)的奇排列 (i, j , k )有重复指标
(1,2,3)偶次置换的结果 偶次置换的结果 偶次置换 (2,1,3) 1 3 2 1与3交换 与 交换 (2,3,1)
(1,2,3)的偶排列： 的偶排列： 的偶排列 (1,2,3) 1与2交换 与 交换
δ i1 δ i 2 δ i 3 = e pqr δ j 1 δ j 2 δ j 3 δ k1 δ k 2 δ k 3 δ 11 = e pqr eijk δ 21 δ 31
= e pqr eijk
δ 12 δ 22 δ 32
δ 13 δ 23 δ 33
e ijk e pqk = δ ipδ jq − δ iqδ jp
= eijk a i 1a j 2 a k 3
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a33
a11a 22 a 33 + a13 a 21a 32 + a12 a 23 a 31 − a13 a 22 a 31 − a12 a 21a 33 − a11a 23 a 32
= eijk a1i a 2 j a 3 k
B11 = a11b11 + a 21b21 + a 31b31
A12 = a11b12 + a12b22 + a13b32
B12 = a11b12 + a21b22 + a 31b32
故两者不相同。前者可以写成矩阵相乘，后者呢？ 故两者不相同。前者可以写成矩阵相乘，后者呢？
a ij b jk
a11 = a 21 a 31
§1-6 矢量的记法与运算
v a=
v v a•b
v v a×b
例：用矢量方法证明余弦定理。 用矢量方法证明余弦定理。
v a
v c
v b
§1-7 坐标变换 1.说明 说明 在不同坐标架下，物理（力学）状态客观不变； 在不同坐标架下，物理（力学）状态客观不变； 但力学量的具体形式和方程的具体形式各不相同。 但力学量的具体形式和方程的具体形式各不相同。 对各类具体问题，选择合适的坐标架， 对各类具体问题，选择合适的坐标架，对解决问 题是有益的。 题是有益的。 张量理论将力学量及其满足的方程表示成与坐标 架无关的形式， 架无关的形式，但又可以具体化为各种坐标下的展开 形式，从而解决上述两方面间的矛盾。 形式，从而解决上述两方面间的矛盾。
3.
ai 1 a j1 ak 1
ai 2 a j2 ak 2
a11 ai 3 a j 3 = eijk a 21 a 31 ak 3
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
= eijk a
4.
e ijk e pqk = δ ipδ jq − δ iqδ jp
δ ip δ iq δ ir δ jp δ jq δ jr δ kp δ kq δ kr