122 函数的表示法 分段函数

??
x2，－1≤x≤1， 1，x＞1或x＜－1.
(1)画出 f(x)的图象；
(2)求 f(x)的定义域和值域．
解：(1)利用描点法，作出 f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数 f(x)的定义域为 R. 由图象知，当－ 1≤x≤1 时， f(x)＝x2 的值域为 [0,1，] 当 x＞1 或 x＜－1 时，f(x)＝1， 所以 f(x)的值域为[0,1．]
??x∈I1， f(x)＞a? ?
或???x∈I2，
??f1?x?＞a， ??f2?x?＞a.
例 3 已知函数 f(x)＝?????x－2＋2x1??xx＜≥00??，，
(1)若 f(x)＝10，则 x＝________.
(2)若 f(x)＜10，则 x＝________.
解析
(1) f(x)＝10?
2.如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类 讨论的思想．
??x＋1 ?x>0?
变式训练 2 已知 f(x)＝?π ?x＝0? ，求 f(f(f(－3)))．
?
?0
?x<0?
解析： ∵－3<0， ∴f(－3)＝0， ∴f(f(－3))＝f(0)＝π， 又 π>0，∴f(f(f(－3)))＝f(π)＝π＋1， 即 f(f(f(－3)))＝π＋1.
也可以用解析法表示：
? 0.5, y ? ??1,
??1.5,
x? {1, 2, 3}, x? {4, 5, 6}, 分段函数 x? {7, 8, 9}.
知识讲解
分段函数的定义： 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x
在定义域A中不同的取值范围，有着不同的 对应关系，这种函数通常称为分段函数.
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3. ∵f(－52)＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2， ∴f(f(－52))＝f(－32)＝(－32)2＋2×(－32)＝94－3＝－34.
(2)当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意， 舍去．当－ 2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0.
分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是 几个函数，而是一个函数，只是在定义域的 不同范围上取值时对应法则不同，分段函数 是普遍存在又比较重要的一种函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并 集，其值域是各段上“值域”的并集．
命题方向1：分段函数的图象与解析式
例 1 (1)作 f(x)＝x＋|xx|的图象． (2)如图，根据函数 y＝f(x)的图象，写出它的 解析式．
命题方向3：分段函数的方程和不等式
学法指导： 分段函数的方程和不等式
设分段函数
f(x)＝
??f1?x?，x∈I1，
?
??f2?x?，x∈I2.
(1)已知 f(x0)＝a，求 x0：
wk.baidu.com??x0∈I1，
f(x0)＝a ?
?
??f1?x0?=a ，
或???x0∈I2， ??f2?x0?=a.
(2)解不等式 f(x)＞a：
命题方向2：分段函数的求值
学法指导： 分段函数的求值 设分段函数 f(x)＝???f1?x?，x∈I1，
??f2?x?，x∈I2. 已知 x0，求 f(x0)； ①判断 x0 的范围，即看 x0∈I1，还是 x0∈I2； ②代入相应解析式求解．
? ?
x2＋1，x≤1，
例 2 设函数 f(x)＝???2x，x＞1，
??2x，0≤x≤1， 故 f(x)＝??2，1＜x＜2，
?
??3，x≥2.
说明：
1.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不 同，因此画图时要注意区间端点处对应点的实虚 问题． 2.根据分段函数的图象求解析式时，首先求出每 一段的解析式，然后写成分段函数的形式．
变式训练 1
已知
f(x)＝???
所以(a－1)(a＋3)＝0，得 a＝1，或 a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1 符合题意． 当 a≥2 时，2a－1＝3，即 a＝2 符合题意． 综上可得，当 f(a)＝3 时，a＝1，或 a＝2.
??x≥0， ???x2＋1=10，
或?????x－＜20x，=10，
??x≥0， ??x＜0，
?
?
??x=±3，
或?
??x
=－5，
?
x=3 或 x =－5.
例 3 已知函数 f(x)＝?????x－2＋2x1??xx＜≥00??，，
(1)若 f(x)＝10，则 x＝________.
(2)若 f(x)＜10，则 x＝________.
解析
(2) f(x)＜10?
??x≥0， ???x2＋1＜10，
??x＜0， 或???－2x＜10，
??x≥0， ? ???－3＜x＜3，
或?????xx＜＞－0，5，
? 0≤x＜3 或－5＜x＜0
? －5＜x＜3.
??x＋1，x≤－2， 变式训练 3 已知函数 f(x)＝??x2＋2x，－2<x<2，
?
??2x－1，x≥2. (1)求 f(－5)，f(－ 3)，f(f(－52))的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(m)>m(m≤－2，或 m≥2)，求实数 m 的取值 范围．
[解析] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈ (－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
解 (1)f(x)＝?????xx＋－11??xx＞＜00??，， 图象如图．
命题方向1：分段函数的图象与解析式
例 1 (1)作 f(x)＝x＋|xx|的图象． (2)如图，根据函数 y＝f(x)的图象，写出它的 解析式．
解 (2)当 0≤x≤1 时，f(x)＝2x； 当 1＜x＜2 时，f(x)＝2； 当 x≥2 时，f(x)＝3.
1.2.2 函数的表示法
课题: 分段函数
问题提出
某路公共汽车,行进的站数与票价关系如下表：
行进的 站数
1
2
3 456
7
8
9
票价 0.5 0.5 0.5 1 1 1 1.5 1.5 1.5
此函数关系除了用列表法之外,能否用图象法 和解析法表示？
可以用图象法表示：
y
1.5 1.0 0.5
O 1 234 5 67 8 9 x
则 f(f(3))＝( )．
A.15
解析
B．3
C.23
D.193
当 x＝3＞1 时， f(3) ＝23＜ 1，
∴
f(
f(3))
＝
f???23
??＝
?
??2??2 ?3?
＋
1＝
13 9
.
答案 D
说明：
1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所 在的范围，代入相应的解析式求得．若题目含有 多层“f ”，应按“由里到外”的顺序层层处理．