可分离变量方程

微分方程的定义
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 微分方程 例 y′ = xy ,
2
y′′ + 2 y′ − 3 y = e x ,
( t + x )dt + xdx = 0,
∂z = x + y, ∂x
实质: 联系自变量, 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 某些导数(或微分)之间的关系式. 微分方程的阶: 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的 最高阶导数的阶数. 最高阶导数的阶数.
可分离变量的微分方程
•齐次方程___可化为可分离变量方程 齐次方程 可化为可分离变量方程 •可化为齐次方程的方程 可化为齐次方程的方程
一、可分离变量的微分方程
− dy 2 5 例如 = 2 x y ⇒ y 5 dy = 2 x 2dx , dx 是连续的, 解法 设函数 g ( y ) 和 f ( x ) 是连续的
例 y′ = y , 通解 y = ce x ;
y′′ + y = 0, 通解 y = c1 sin x + c 2 cos x;
2 yy′ + x = 0, 通解 x 2 + 2 y 2 = C
（隐式通解） 隐式通解）
(2)特解: (2)特解: 特解
确定了通解中任意常数以后的解. 确定了通解中任意常数以后的解. 微分方程的积分曲线. 微分方程的积分曲线. 积分曲线族. 积分曲线族. 用来确定任意常数的条件. 用来确定任意常数的条件.
3 2
微分方程的解为 ( y − x )2 = Cy ( y − 2 x ) 3 .
三、可化为齐次的方程
dy ax + by + c 1. 形如 = f ( )的微分方程 dx a1 x + b1 y + c1
(1)当 = c1 = 0时 为齐次方程. 否则为非齐次方程. c , 为齐次方程. 否则为非齐次方程.
中,
. ∴ y = ce 为所求通解
x2
dy x( y2 + 1) , y(0) = 1的解 . 例2 求微分方程 dx = 2 2 ( x + 1) dy x dx , = 解 分离变量 y 2 + 1 ( x 2 + 1) 2 1 + C. 两端积分， 两端积分，得 arctan y = − 2 2( x + 1)
u′( t ) = − k ( u − ua ) k > 0, 为常数. u(0) = u0, ⇒ u = ua + ( u0 − ua )e − kt ⇒ u = 24 + 126e − 0.051t .
u( 20) ≈ 70o C .
dy x− y x+ y 例7 求解微分方程 . + cos = cos dx 2 2 dy x− y x+ y + cos − cos = 0, 解 dx 2 2 x = − ∫ sin dx , ∫ y 2 2 sin 2 x y y ln csc − cot = 2 cos + C , 为所求解 为所求解. 2 2 2
CO 2 的通入量 = 2000 ⋅ dt ⋅ 0.03%, CO 2 的排出量 = 2000 ⋅ dt ⋅ x ( t )%,
CO 2 的改变量 = CO 2 的通入量 − CO 2 的排出量
12000dx = 2000 ⋅ dt ⋅ 0.03 − 2000 ⋅ dt ⋅ x ( t ),
1 − t 6
代回原方程 , 得齐次方程的解 y = u0 x .
例 8 求解微分方程
y y ( x − ycos )dx + xcos dy = 0. x x
解
y 令u = ， 则 dy = xdu + udx， x
( x − ux cos u)dx + x cos u( udx + xdu) = 0,
dx cos udu = − , sin u = − ln | x | +C , x
衰变问题: 例 4 衰变问题 铀衰变速度与未衰变原子含量
M成正比 已知M t =0 = M0 ,求衰变过程中铀含 成正比,已知 求衰变过程中铀含
t 变化的规律. 量M(t )随时间 变化的规律
解 dM = − λM dt
dM , 衰变速度 dt
由题设条件
(λ > 0衰变系数 )
dM = −λdt M
微分方程的解: 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 微分方程的解的分类： 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数, (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且(独 通解 立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
dy y = f ( ) 的微分方程称为齐次方程. 的微分方程称为齐次方程 齐次方程. dx x y 2.解法 作变量代换 u = , 即 y = xu, 解法 x dy du du ∴ = u+ x , 代入原式 u + x = f (u), dx dx dx
1.定义 形如 1.定义
du f ( u) − u . 即 = dx x
Baidu Nhomakorabea可分离变量的方程
当 f ( u) − u ≠ 0时, 得 ∫
即 x = Ce
ϕ( u)
du = ln C1 x , f ( u) − u
,
（ϕ ( u ) = ∫
du ） f ( u) − u
y ϕ( ) x
y 得通解 x = Ce , 将 u = 代入, x 当 ∃u0 , 使 f ( u0 ) − u0 = 0, 则 u = u0是新方程的解 ,
dy . = 2xy 的通解 例1 求解微分方程 dx dy = 2xdx , 解 y ≠ 0时， 分离变量 y 两端积分 dy = 2 xdx , ∫y ∫
ln | y |= x + C1 ⇒ y = ce
2
x2
(c = ± e c1 )
x2
也是方程的解， 同时 y = 0也是方程的解，包含在 y = ce
dM ∫ M = ∫ − λdt ,
ln M = − λt + ln c , 即M = ce − λt ,
− λt
代入 M
t =0
= M 0 得 M 0 = ce 0= C ,
衰变规律
∴ M = M 0e
某车间体积为12000立方米 开始时空气中 立方米, 立方米 例5 某车间体积为 含有 0.1%的 CO 2 , 为了降低车间内空气中 CO 2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 的含量 用一台风量为每秒 立方米的鼓风机 的新鲜空气, 通入含 0.03%的 CO 2的新鲜空气 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 风量将混合均匀的空气排出 问鼓风机开动 分 钟后, 的百分比降低到多少? 钟后 车间内 CO 2的百分比降低到多少 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO 2的含量为 x (t )% 在 [t , t + dt ]内,
y′ = f ( x , y ) 一阶: 一阶 y x = x0 = y 0
过定点的积分曲线; 过定点的积分曲线
y ′′ = f ( x , y , y ′ ) 二阶: 二阶 ′ y x = x0 = y0 , y ′x = x0 = y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线
dx 1 = − ( x − 0.03), ⇒ x = 0.03 + Ce dt 6
x |t = 6 = 0.03 + 0.07e −1 ≈ 0.056,
,
1 − t 6
Q x |t =0 = 0.1, ∴ C = 0.07, ⇒ x = 0.03 + 0.07e
,
6分钟后 车间内 CO 2的百分比降低到 0.056%. 分钟后, 分钟后
dy = ϕ ( x )ψ ( y )或 g ( y )dy = f ( x )dx 可分离变量 dx 的微分方程. 的微分方程. 4 4
∫ g( y)dy = ∫ f ( x)dx
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为 g ( y ) 和 f ( x ) 的原函
为微分方程的解. 数, G( y) = F( x) + C 为微分方程的解
k (a1 x + b1 y ) + c dy = g(a1 x + b1 y) = f a x+b y+c dx 1 1 1
例6(物体冷却问题) 将某物体放置于空气中，在 6(物体冷却问题) 将某物体放置于空气中， 物体冷却问题 u0 = 150o C ，10分钟 10分钟 时刻 t = 0时，测得它的温度为 后测得温度为 u1 = 100o C. 试确定此物体的温度u 20分钟后物体的温度 和时间 的关系，并计算20分钟后物体的温度. t 的关系，并计算20分钟后物体的温度. 假定空气的温度保持为 ua = 24o C . 冷却定律： 解 Newton冷却定律：物体的温度变化速度与该 冷却定律 物体的温度和其所在介质温度的差值成正比. 设物体在时刻 t 的温度为 u = u(t ), 则
y (0) = 1 ⇒ C = 1 + π 2 4
2+π 1 )为所求特解 . ∴ y = tan( − 2 2 4 2( x + 1)
求特解的另一方法： 求特解的另一方法： 由 y(0) = 1, 有
∫
y 1
dy y +1
2
=∫
x 0
x ( x + 1)
2 2
dx
1 ⇒ arctan y − = − + , 2 4 2( x + 1) 2
2
解
2u − u u + xu′ = , 2 1− u + u
2
1 1 1 2 1 dx [ ( ]du = , − )− + 2 u− 2 u u− 2 u−1 x
3 1 ln( u − 1) − ln( u − 2) − ln u = ln x + ln C , 2 2 u−1 = Cx . u ( u − 2)
π
1
2+π 1 )为所求特解 . ∴ y = tan( − 2 2 4 2( x + 1)
. 例3 求方程 f ( xy) ydx + g( xy)xdy = 0 通解
u 解 令 = xy,
则 du = xdy + ydx , du − ydx f ( u) ydx + g ( u) x ⋅ = 0, x u [ f ( u) − g ( u)] dx + g ( u)du = 0, x dx g(u) du = 0, + x u[ f (u) − g(u)] g ( u) 通解为 ln | x | + ∫ du = C . u[ f ( u) − g ( u)]
y 微分方程的解为 sin = − ln | x | +C. x
dx dy . = 2 例 9 求解微分方程 2 2 x − xy + y 2 y − xy
y y 2 − 2 dy 2 y − xy = x x , = 2 2 2 y y dx x − xy + y 1− + x x y 令u = , 则 dy = xdu + udx , x
y a+b dy x = ϕ ( y ). = f dx x a +b y 1 1 x
dy ax + by + c )的微分方程 形如 = f ( dx a1 x + b1 y + c1
a ( 2) a1
b a b = 0, 即 = = k的情形 b1 a1 b1
dy x y + 2 sin sin = 0, dx 2 2
dy
y = 2kπ ( k ∈ Z )也是解.
奇解
二、齐次方程___可化为可分离变量方程 齐次方程___
y + x2 − y2 若f ( tx , ty ) = f ( x , y ), 例：f ( x , y ) = x 齐次的. 齐次的 则称f关于x , y是 y = g ( ), ( x > 0). x
2x
解的图象: 解的图象: 通解的图象: 通解的图象: 初始条件: 初始条件:
例：函数 y = 3e 是微分方程 y ′′ − 4 y = 0 的一个特解 的一个特解. 特解
y′′ − 4 y = 0 y ( 0 ) = 3, y ′ ( 0 ) = 6.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.