平面及其方程PPT课件
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cos |12( 4) （ 2 ） 1 （ 1 ） | 2
1 2( 4)21 2 22 （ 2 ） 2 （ 1 ） 2 2
因此，所求角.
4
13 .
6.4.3 点到平面的距离
设P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点, 求
P0到平面的距离.
在平面上任取P1(x1, y1, z1), 则
A B x C y D z 0
反之，三元一次方程
A B x C y D z 0 ②
表示一平面。 这是因为：
5 .
任取一组满足上述方程的数 x0,y0,z0,则 A x 0 B y 0 C z 0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
平面 上任一点M (x, y, z)的坐标都满足上面的 方程, 而当点M (x, y, z) 不在平面 上时, 点M (x, y, z)
的坐标不满足该方程．
3 .
例1 设一平面过点M0(1, 0, –2)平面的法向量为 n r(1,2,3),求此平面方程.
解 根据平面的点法式方程，得所求平面方程为
6.4 平面及其方程
6.4.1 平面方程 6.4.2 两平面间的夹角 6.4.3 点到平面的距离
1 .
6.4.1 平面方程
1 平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
一个平面的法向量有无穷多 个, 它们之间都是相互平行的．
设平面 的一个法向量
n ( A ,B ,C ),
-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=0 化简得 2x+ 3y- 3z- 3=0.
8 .
例3 一平面П过两个点M1(1,-5,1)及M2(3,2,-2), 且平行于y 轴,求其方程.
解 由于所求平面П与y 轴平行, 故其方程的形式
设为Ax+Cz+D=0, 因为点M1 和M2 都在П上, 其坐标 应当满足П的方程, 将这两个点的坐标代入到这个方
方程中,得到,
A+C+D=0,
3A-2C+D=0,
解这个方程组,得 A 3 D, C 2 D.
5
5
将这个结果代入到平面方程中,得
3x+2z- 5 = 0.
9
.
3 平面的截距式方程
设平面与 x, y, z三轴分别交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)、
R(0,0,c)（其中a 0，b 0，c 0），求此平面方程.
11 .
由两向量夹角余弦公式有
co s |A 1A 2B 1B 2C 1 C 2|
A 1 2B 1 2C 1 2 A 22B 22C 22
特殊的：
(1) 1 2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 ;
(2)
1//
2 A A12 B B12
C1. C2
12 .
例4 求两平面x-4y+z-2=0与2x-2y-z-5=0的夹角. 解 由两平面夹角的余弦公式得
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
（通常取锐角）
n2 n1
设 1 : A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0 ,
2 : A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 ,
2
n 1 ( A 1 ,B 1 ,C 1 ),
1
n 2 ( A 2 ,B 2 , C 2 ),
设平面为 A B x C y D z 0 ,
aA D 0 ,
将三点坐标代入得
bB
D
0,
z
cC D 0 ,
A D , B D , C D . o
a
b
cx
将A D, B D, C D,
a
b
c
代入所设方程得 x yz 1
a b. c
y
10
6.4.2 两平面间的夹角
显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的 图形是法向量为 n(A,B,C) 的平面,此方程称 为平面的一般方程.
6 .
平面方程的几种特殊情况：
z
(1) D = 0, 平面通过坐标原点；
(2) A = 0, 平面平行于x 轴；
(3) A = B = 0, 平面平行于xoy 面或垂
直于z 轴；
(4) A = D = 0, 平面通过x 轴.
rr pn A(x1 x0)+B(y1 y0) +C(z1 z0)
= Ax1 + By1 + Cz1 A x0 By0 Cz0 = A x0 By0 Cz0 D 于是得到点到平面距离公式
d| Ax0By0Cz0D|. A2B2C2
15 .
例5 求点P0 (-1,2,3)到平面x+2y-2z-6= 0的距离. 解 由点到平面的距离公式得
x
且平面过点M0(x0, y0, z0).
z n
M0 M
o
y
下面建立平面有 的方程
2
.
设M (x, y, z)是平面 上的任一点
M 0M n M 0 M n 0
z
M0
M 0 M (x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )
o
平面的点法式方程
x
n
M y
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0(6.15)
( x 1 ) 2 (y 0 ) 3 ( z 2 ) 0 ,
即
x2y3z50.
4 .
2 平面的一般方程
由平面的点法式方程
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0① A B C x ( A y 0 z B 0 x C 0 ) y 0 z
z
z
o
y
x
Ax+By+Cz = 0
z
o
y
x
Cz +D = 0
o
y
x
By+Cz = 0
.
o
y
x
By+Cz+D = 0
7
例2 求过三点 M1(1,0,1), M2(2,1,2)和M3(1,1,4)
的平面方程.
解 M1M2(1,1,3)，M 1M 3(2,1,3)， 取 n r M 1 M 2 M 1 M 3 (百度文库,3,3)， 所求平面方程为
n
d |Pjn r P 1P 0|
r p
P 1 P 0 ( x 0 x 1 ,y 0 y 1 , z 0 z 1 )
r r
d |P r jn p | |p ||c o s|
P1
P0
N
| pr|||prpr||n rn r||| pr|n rn r| |.
14 .
由于P1(x1, y1, z1)在平面上, 故 Ax1+By1+Cz1+D = 0
1 2( 4)21 2 22 （ 2 ） 2 （ 1 ） 2 2
因此，所求角.
4
13 .
6.4.3 点到平面的距离
设P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点, 求
P0到平面的距离.
在平面上任取P1(x1, y1, z1), 则
A B x C y D z 0
反之，三元一次方程
A B x C y D z 0 ②
表示一平面。 这是因为：
5 .
任取一组满足上述方程的数 x0,y0,z0,则 A x 0 B y 0 C z 0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
平面 上任一点M (x, y, z)的坐标都满足上面的 方程, 而当点M (x, y, z) 不在平面 上时, 点M (x, y, z)
的坐标不满足该方程．
3 .
例1 设一平面过点M0(1, 0, –2)平面的法向量为 n r(1,2,3),求此平面方程.
解 根据平面的点法式方程，得所求平面方程为
6.4 平面及其方程
6.4.1 平面方程 6.4.2 两平面间的夹角 6.4.3 点到平面的距离
1 .
6.4.1 平面方程
1 平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
一个平面的法向量有无穷多 个, 它们之间都是相互平行的．
设平面 的一个法向量
n ( A ,B ,C ),
-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=0 化简得 2x+ 3y- 3z- 3=0.
8 .
例3 一平面П过两个点M1(1,-5,1)及M2(3,2,-2), 且平行于y 轴,求其方程.
解 由于所求平面П与y 轴平行, 故其方程的形式
设为Ax+Cz+D=0, 因为点M1 和M2 都在П上, 其坐标 应当满足П的方程, 将这两个点的坐标代入到这个方
方程中,得到,
A+C+D=0,
3A-2C+D=0,
解这个方程组,得 A 3 D, C 2 D.
5
5
将这个结果代入到平面方程中,得
3x+2z- 5 = 0.
9
.
3 平面的截距式方程
设平面与 x, y, z三轴分别交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)、
R(0,0,c)（其中a 0，b 0，c 0），求此平面方程.
11 .
由两向量夹角余弦公式有
co s |A 1A 2B 1B 2C 1 C 2|
A 1 2B 1 2C 1 2 A 22B 22C 22
特殊的：
(1) 1 2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 ;
(2)
1//
2 A A12 B B12
C1. C2
12 .
例4 求两平面x-4y+z-2=0与2x-2y-z-5=0的夹角. 解 由两平面夹角的余弦公式得
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
（通常取锐角）
n2 n1
设 1 : A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0 ,
2 : A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 ,
2
n 1 ( A 1 ,B 1 ,C 1 ),
1
n 2 ( A 2 ,B 2 , C 2 ),
设平面为 A B x C y D z 0 ,
aA D 0 ,
将三点坐标代入得
bB
D
0,
z
cC D 0 ,
A D , B D , C D . o
a
b
cx
将A D, B D, C D,
a
b
c
代入所设方程得 x yz 1
a b. c
y
10
6.4.2 两平面间的夹角
显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的 图形是法向量为 n(A,B,C) 的平面,此方程称 为平面的一般方程.
6 .
平面方程的几种特殊情况：
z
(1) D = 0, 平面通过坐标原点；
(2) A = 0, 平面平行于x 轴；
(3) A = B = 0, 平面平行于xoy 面或垂
直于z 轴；
(4) A = D = 0, 平面通过x 轴.
rr pn A(x1 x0)+B(y1 y0) +C(z1 z0)
= Ax1 + By1 + Cz1 A x0 By0 Cz0 = A x0 By0 Cz0 D 于是得到点到平面距离公式
d| Ax0By0Cz0D|. A2B2C2
15 .
例5 求点P0 (-1,2,3)到平面x+2y-2z-6= 0的距离. 解 由点到平面的距离公式得
x
且平面过点M0(x0, y0, z0).
z n
M0 M
o
y
下面建立平面有 的方程
2
.
设M (x, y, z)是平面 上的任一点
M 0M n M 0 M n 0
z
M0
M 0 M (x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )
o
平面的点法式方程
x
n
M y
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0(6.15)
( x 1 ) 2 (y 0 ) 3 ( z 2 ) 0 ,
即
x2y3z50.
4 .
2 平面的一般方程
由平面的点法式方程
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0① A B C x ( A y 0 z B 0 x C 0 ) y 0 z
z
z
o
y
x
Ax+By+Cz = 0
z
o
y
x
Cz +D = 0
o
y
x
By+Cz = 0
.
o
y
x
By+Cz+D = 0
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例2 求过三点 M1(1,0,1), M2(2,1,2)和M3(1,1,4)
的平面方程.
解 M1M2(1,1,3)，M 1M 3(2,1,3)， 取 n r M 1 M 2 M 1 M 3 (百度文库,3,3)， 所求平面方程为
n
d |Pjn r P 1P 0|
r p
P 1 P 0 ( x 0 x 1 ,y 0 y 1 , z 0 z 1 )
r r
d |P r jn p | |p ||c o s|
P1
P0
N
| pr|||prpr||n rn r||| pr|n rn r| |.
14 .
由于P1(x1, y1, z1)在平面上, 故 Ax1+By1+Cz1+D = 0