高二数学变化率问题与导数的概念PPT优秀课件

• 2．情感目标
• 通过具体实例，认识导数的工具性及其与 实际问题的联系，感受和体会导数在解决 实际问题中的作用，提高学生学习兴趣， 感受导数在解题中的作用和威力，自觉形 成将数学理论和实际问题相结合的思想， 在解题过程中，逐步养成扎实严格、实事 求是的科学态度．
• ●重点难点 • 本章重点：导数的运算和利用导数解决实
• 1．平均变化率是本节中的重要概念，求 函数平均变化率的步骤是：
• (1)求自变量的增量Δx＝x－x0. • (2)函数的增量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x
＋Δx)－f(x0)．
(3)求平均变化率ΔΔyx＝f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)，要注意 Δx，Δy
的值可正，可负，但 Δx≠0，Δy 可为零，若函数 f(x)为常
＝ΔΔxf，称作函数 f(x)从 x1
到 x2 的平均变化率．
• 3．物体在某一时刻的速度瞬称时为速度
．
4．一般地，如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体
在时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内，
当 Δt→0 时 平 均 速 度 的 极 限 ， 即 v ＝ Δlitm→0
()
• A．－4
B．－8
• C．6
D．－6
• [答案] D
[例 2] 以初速度 v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的 高度为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度．
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt02)＝ (v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，
[例 1] 求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化
率，并计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
• [分析] 直接利用概念求平均变化率，先 求出表达式，再直接代入数据就可以得出 相应的平均变化率．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均
变化率为f(x0Δ＋xΔx)＝(x0＋ΔΔxx)3－x03＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
• 求导数的步骤是： • 由导数的定义知，求函数y＝f(x)在点x0处的 • 导 (1)(数求2)求的函平步数均骤变的化：增率量ΔΔyxΔ＝yf(＝x0＋f(ΔxΔx0x)＋－fΔ(xx0))；－f(x0)；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx(或当 Δx→0 时，ΔΔyx
际问题．
• 本章难点：导数概念的理解． • ●学法探究 • 导数是微积分的初步知识，是研究函数、
解决实际问题的有力工具．学习本章要认 真理解平均变化率、瞬时速度的概念，进 一步理解导数的概念和导函数的定义，掌
• 3．1 变化率与导数
• 1．知识与技能
• 理解函数在某点的平均变化率的概念并会 求此变化率．
→f′(x0))．
上述求导方法可简记为：一差、二比、三极限．
1．在高台跳水运动中，运动员在 t1≤t≤t2 这段时间里
的位置为 s1≤s≤s2，则他的平均速度为st22－－ts11.
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2．已知函数 y＝f(x)，令 Δx＝x2－x1，Δy＝ f(x2)－f(x1)，
则当 Δx≠0 时，比值
f(x2)－f(x1) x2－x1
• 2．过程与方法 • 理解函数在x0处的瞬时变化率，理解导数
的概念和定义．
• 本节重点：函数在某一点的平均变化率， 瞬时变化率、导数的概念．
• 本节难点：导数的概念的理解．
• 本节学习的有关概念比较抽象，学习时应 通过实例理解相关概念，深刻体会数学源 于生活，又应用于生活．
• 对导数的定义要注意两点：第一：Δx是自 变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负， 但Δx≠0；第二：函数在某点的导数，就是 在该点的函数值改变量与自变量改变量之 比的极限值．因此它是一个常数而不是变 数．
当 x0＝1，Δx＝12时，
平均变化率的值为 3×12＋3×1×12＋122＝149.
• [点评] 解答本题的关键是熟练掌握平均 变化率的意义．只要求出平均变化率的表 达式，它的值就可以很容易求出．
• 某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋ 1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从 x＝1到x＝2时的平均速度为
Δs Δt
＝ t时刻的瞬时速度 ．
5．一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 Δlixm→0 f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)＝Δlixm→0 ΔΔxf，我们称它为函数 y＝f(x)在 x
＝ x0 处 的 导 数 ， 记 作 f′(x0) 或 y′|x ＝ x0 ， 即 f′(x0) ＝ Δlixm→0 f(x0＋ΔΔxx)－f(x0).
• ●课程目标
• 1．双基目标
• (1)通过分析实例，经历由平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实 际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会 导数的思想及其内涵．
• (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意 义(．3)能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y
＝1x的导数．
• (4)能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数．
• (5)结合实例，借助几何直观图探索并了解 函数的单调性与导数的关系，能利用导数 研究函数的单调性，会求不超过三次的多 项式函数的单调区间．
• (6)结合函数的图象，了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件；会利用导数 求不超过三次的多项式函数的极大值、极 小值，以及在给定区间上不超过三次的多 项式函数的最大值、最小值．
值函数，则 Δy＝0.
• 2．函数在某点的导数即为函数在该点的 瞬时变化率，就是在该点的函数改变量与 自变量的改变量的比值的极限，它是一个 数值，不是变数．如果f(x)在开区间(a，b) 内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a， b)内可导．这样，对开区间(a，b)内每一 个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是 在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，把 这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0. 故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0－gt0.