第3课时 排队论问题
排队问题知识点总结
排队问题知识点总结排队论起源于20世纪初学者与工程师们在电报、电话交换、交通运输等实际工作中遇到的问题。
20世纪20年代，这些问题引起了数学家的注意。
1925年丹麦学者A.K.厄劳札( Agner Krarup Erlang )首先提出要建立一个数学模型对通信系统中的电报在传递和处理中的排队问题进行研究。
他用数学上的标准方法解决了问题，从此排队论这一学科便有了起步发展的积淀。
今天，排队论已在交通运输、电信通讯、工程及服务管理、医学卫生、经济学、统计学、计算机科学等系统分析领域中得以广泛应用。
排队问题所涉及的知识点包括排队论基本概念、排队模型、排队系统性能评价、排队过程中的成本分析、排队优化模型等。
下面就对排队问题的相关知识点进行总结阐述。
排队论基本概念排队论是研究由于服务台能力有限以及到达率和要求的总体量之差异所引起的待服务队列问题。
在排队论中，通常会涉及到以下几个基本概念：- 顾客到达模型：描述顾客到达的规律，常用的到达模型包括泊松过程、指数分布、正态分布等。
- 服务台模型：描述服务台的服务能力，包括单一服务台、多重服务台、无限服务台等。
- 排队规则：描述顾客在队列中等待和被服务的规则，包括先来先服务(FIFO)、最短排队等待(SJF)、最高优先权优先服务(HPF)等。
- 排队系统性质：包括平均队长、平均等待时间、系统繁忙度等系统性能指标。
排队模型排队模型是对排队系统进行描述和分析的数学模型。
在排队模型中，通常会考虑到以下几种基本排队模型：- M/M/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合指数分布的排队系统。
- M/M/c模型：描述多重服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合指数分布的排队系统。
- M/G/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间符合一般分布的排队系统。
- M/D/1模型：描述单一服务台、顾客到达符合泊松过程、服务时间是固定的排队系统。
排队系统性能评价排队系统性能评价是对排队系统性能进行量化与分析的过程，主要包括以下几个方面：- 平均队长：描述系统队列中平均存在的顾客数量。
运筹学ABC-4-3排队论
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运筹学ABC —— 排队论
如采取第一种方法，缩短平均服务时间，每小时 服务的顾客数由原来的 48人提高到 60人，即每分钟
平均服务的顾客数从 0.8 人提高到 1 人，这时 仍然
是 0.6， 为 1。用前面公式计算得到下表数据：
数量指标 第一种方法 原系统
系统里没有顾客的概率
• （平均）等候时间: Wq = -
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运筹学ABC —— 排队论
(5) 利特尔 ( Little ) 公式 — 排队论中重要公式
L=W
L q = Wq
W= Wq+1/u
L= Lq +/u
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运筹学ABC —— 排队论
例：某港口，货轮到达服从 Poisson 分布，
(2) 负指数公布 如果随机变量T的概率密度为
(t)= e-t
则称T服从负指数分布。
其数学期望 E(T) = 1/ ，VAR[T]=1/ 2
可以证明：顾客相继到达的间隔时间相互独立，且为 同负指数分布，与输入过程为Poisson流是等价的。 假设对顾客的服务时间也服从负指数分布，这时其概 率密度函数为： (t)= ue-ut
平均排队的顾客人数 系统里的平均顾客数 一位顾客平均排队时间 一位顾客平均逗留时间 顾客到达系统必须等待排队的概率 系统里有 7 个或更多顾客的概率为
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P0 = 0.4
Lq = 0.9（人） L = 1.5（人） Wq = 1.5（分钟） W = 2.5（分钟） Pw = 0.6 0.0279
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排队论问题
《排队论问题》教学设计教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书》四年级上册第七单元数学广角的排队论问题例3。
教学目的：1、通过生活中常见的一些简单事例，让学生从中体会到运筹思想在解决问题中的作用2、使学生逐渐养成合理安排时间的良好习惯，形成寻找最优化方案解决问题的意识。
教学重点：体会合理安排时间的意义与价值，养成良好的习惯教学难点：理解排队等候时间的总和的意义，运用这种数学思想解决生活中的实际问题。
教学用具：PPT课件练习纸教学过程一、创设情景，导入新课1、小品：水龙头风波。
（PPT1）师旁白：今天，红红和明明做值日，他们俩正好同时（强调读）来到一个自来水龙头前。
红红：我装一小桶水只要1分钟时间。
明明：我接一盆水要5分钟时间。
红红、明明：我有事，让我先来吧。
红红：还是让我先接吧，这样好一点。
师旁白：明明疑惑不解。
为什么红红接先就好一点呢？师：同学们，小红说的有道理吗？2、讨论后，师：现在他们都感觉自己有道理，那我们帮他们算一算时间吧，好吗？生：1+5=6分钟生：5+1=6分钟师：这样看来，好象小红说的没什么道理呀，时间长短不是一样吗？（引发学生思考：一人做事，另一人在干嘛？）生：红红先接，小明只等1分钟，如果明明先接水的话，小红要等5分钟。
师及时指出：是呀，我们在自己完成自己任务的时候，也要考虑到别的同学的感受，那我们来算一算，如果包含等候的时间在内，一共用多长时间吧。
生：红先明后：1+1+5=7分钟。
（师可有意识引导：1×2+5=7分钟）生：明先红后：5+5+1=11分钟。
（或：5×2+1=11分钟）师：现在哪位同学能说说，这里的7分钟和11分钟是什么时间？能给它们起个名字吗？（突破难点：等候时间的总和）师：同学们，在我们日常生活中，有许多数学问题，刚才我们遇到的问题，在数学上叫做“排队问题”，今天这节课，我们就来研究这个问题。
（设计意图：这样设计，一方面为了引入新课，创设了学生常常遇到的生活场景，学生容易产生共鸣，可以很好的吸引学生的注意力，把学生的学习状态调整到最佳，另一方面就是为了降低新课的难度，通过这个简单的事例，让学生对“同时来到”这个前提要重视，同时，也对“等候时间的总和”有了一定的认识，为新课的学习奠定基础。
排队论问题 教学设计
排队问题教学设计教学内容：课本第115页例3和“做一做”。
教学目标：1、使学生通过简单的事例，初步体会运筹思想中的排队问题在解决实际问题中的应用。
2、尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题；初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
3、让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用；在具体事例中渗透尊师、礼让、集体观念等德育思想；使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻求解决问题最优方案的意识。
教学重点：体会运筹思想在解决实际问题中的运用。
认识到解决实际问题策论的多样性，并形成解决问题的优化意识。
教学难点：尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题。
教学具准备：记录表。
教学过程：★一、情景导入：1、课间休息时，如果老师和同学同时到饮水桶前接水，教师接一壶水用3分钟，学生接一杯水用1分钟。
提问:到底谁先接水呢？2、从这段生活场景中，你发现了什么数学信息？说出你这样安排的理由。
（方案1：学生用的时间短；方案2：尊敬老师）看来，你们分别从礼貌和时间两方面安排排队顺序的。
3、今天，我们就从时间的角度去研究，在这短暂的课间休息，学生接水需要等待多长时间？教师需要等待多长时间？教师和学生一共要等待多长时间？（指表格介绍）先看方案1，如果学生先接水，学生在饮水桶旁等候几分钟？说说你的理由。
强调：学生接水时，不能离开，所以学生接水的时间，也是学生的等待时间。
追问：教师接水的时间，也是教师的等待时间。
现在我们看，学生接完水离开了，教师等待时间怎样表示？（1+3）追问：这里的1、3分别表示什么？（强调教师等待时间包括学生接水的1分钟和教师自己接水的3分钟）师生口算等待时间的总和。
方案2：独立思考后，同桌说一说，如何填写表格，在指名汇报。
追问：教师等候的3分钟，也就是什么时间？（教师接水的时间）5、比较两种方案等候时间的总和，我们会发现一个有趣的现象？教师小结：由于接水顺序不同，最终的等待时间总和也不同。
看来，排队也是有学问的！今天，我们就来研究生产、生活中的排队问题。
排队论习题及答案
《运筹学》第六章排队论习题1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
四年级上册数学教案-数学广角-《排队问题》 人教新课标
四年级上册数学教案-数学广角－《排队问题》一、教学目标1. 让学生理解并掌握排队问题的基本概念和解决方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2. 培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 培养学生合作学习的精神，增强学生团队协作的能力。
二、教学内容1. 排队问题的基本概念：理解什么是排队问题，排队问题的基本元素，如队伍、人数、顺序等。
2. 排队问题的解决方法：掌握排队问题的基本解决方法，如直接计算、画图、列表等。
3. 排队问题的应用：能够运用排队问题的解决方法解决实际问题，如生活中的排队现象等。
三、教学重点与难点1. 教学重点：排队问题的基本概念和解决方法。
2. 教学难点：排队问题的实际应用，如何运用所学知识解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考排队问题的存在和解决方法。
2. 新课导入：讲解排队问题的基本概念，让学生理解什么是排队问题，排队问题的基本元素等。
3. 解决方法：讲解排队问题的解决方法，如直接计算、画图、列表等，让学生掌握排队问题的解决方法。
4. 实际应用：通过实例，让学生运用所学知识解决实际问题，如生活中的排队现象等。
5. 小结：对本节课的内容进行总结，巩固所学知识。
五、课后作业1. 请学生运用所学知识，解决以下实际问题：（1）小明家有5个人，他们要排队去公园玩，有多少种排队方式？（2）小华家有4个人，他们要排队去超市购物，有多少种排队方式？2. 请学生结合自己的生活经验，举出排队问题的实例，并尝试解决。
六、教学反思本节课通过讲解排队问题的基本概念和解决方法，让学生掌握了排队问题的解决方法，并能够运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生观察、分析、归纳和逻辑推理，培养学生的数学思维能力和合作学习的精神。
同时，要注意关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助，提高学生的学习效果。
重点关注的细节：排队问题的解决方法及其在实际应用中的运用。
排队论习题答案
排队论习题答案排队论习题答案排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中的等待时间、服务时间以及系统的稳定性等问题。
在实际生活中，我们经常会遇到排队的情况，比如超市、银行、医院等地方。
那么，如何有效地解决排队问题，减少等待时间呢？下面我将通过几个习题来探讨排队论的解题方法。
习题一：某银行有两个窗口，分别为A窗口和B窗口，顾客到达的时间间隔服从指数分布，平均每10分钟到达一人。
A窗口的服务时间服从均值为5分钟的指数分布，B窗口的服务时间服从均值为7分钟的指数分布。
求顾客平均等待时间和平均逗留时间。
解答一：首先，我们需要计算平均到达率λ和平均服务率μ。
根据题目给出的信息，平均到达率λ=1/10=0.1人/分钟，平均服务率μA=1/5=0.2人/分钟，平均服务率μB=1/7≈0.1429人/分钟。
根据排队论的基本原理，当λ<μ时，系统稳定，顾客平均等待时间为0。
当λ>μ时，系统不稳定，顾客平均等待时间为ρ/(μ-λ)，其中ρ为系统繁忙率。
由于该题目中有两个窗口，所以我们需要计算两个窗口的繁忙率ρA和ρB。
ρA=λ/μA=0.1/0.2=0.5，ρB=λ/μB=0.1/0.1429≈0.7。
由于两个窗口的繁忙率不相等，我们需要使用排队网络的方法来求解。
根据排队网络的基本原理，顾客平均逗留时间等于顾客在每个窗口的平均逗留时间之和。
根据排队网络的公式，顾客在A窗口的平均逗留时间为1/(μA-λ)≈5分钟，顾客在B窗口的平均逗留时间为1/(μB-λ)≈7.5分钟。
所以，顾客平均逗留时间为5+7.5=12.5分钟。
习题二：某医院门诊部有一个窗口，顾客到达的时间间隔服从泊松分布，平均每10分钟到达一人。
窗口的服务时间服从均值为8分钟的指数分布。
求顾客平均等待时间和平均逗留时间。
解答二：同样地，我们需要计算平均到达率λ和平均服务率μ。
根据题目给出的信息，平均到达率λ=1/10=0.1人/分钟，平均服务率μ=1/8=0.125人/分钟。
排队问题教案
排队问题教案教案：排队问题教学目标：1. 理解排队问题的概念和基本原理。
2. 学会解决排队问题的方法。
教学重点：1. 排队问题的概念和基本原理。
2. 解决排队问题的方法。
教学难点：1. 复杂排队问题的解决方法。
教学准备：1. PowerPoint课件。
2. 讲解排队问题的例子。
3. 排队问题的练习题。
教学过程：Step 1：导入新知识（5分钟）引出排队问题的概念，通过举例子引发学生对问题的思考，如超市排队、乘坐公交车排队等。
Step 2：讲解基本原理（15分钟）使用PowerPoint课件展示基本原理，即先到先得原则和先来后到原则。
通过例子说明这两个原则的应用场景和运算方法。
Step 3：解决简单排队问题（20分钟）让学生尝试解决一些简单的排队问题，如4个人排队进电影院，每人买一张票，共有10个人在排队，问最后一个人是第几个买到票的。
Step 4：解决复杂排队问题（20分钟）让学生练习解决一些复杂的排队问题，如甲、乙两个人排队领取东西，共有10个人在排队，甲、乙两人分别领取相同数量的东西，问最后一个人是第几个领到东西的。
Step 5：巩固练习（15分钟）在讲解并练习了一些排队问题后，让学生进行一些巩固练习，检验他们对排队问题的理解和应用能力。
Step 6：总结反思（5分钟）对本节课的内容进行总结，让学生总结解决排队问题的基本原理和方法。
课后作业：布置一些排队问题的练习题，让学生自己解决。
板书设计：排队问题基本原理：- 先到先得- 先来后到解决排队问题的方法教学反思：通过本节课的教学，学生对排队问题的概念和基本原理有了初步的了解，能够使用先到先得原则和先来后到原则解决简单的排队问题。
而对于复杂的排队问题，学生的理解和应用能力仍有待提高。
在以后的教学中，可以加强对复杂排队问题的讲解和练习，提高学生的解决问题的能力。
排队论问题 排队论解决什么问题
排队论问题排队论解决什么问题排队论问题排队论解决什么问题排队论问题教学设计教学内容人教版义务教育课程标准实验教科书四年级上册第七单元数学广角的排队论问题例3。
教学目的1、通过生活中常见的一些简单事例，让学生从中体会到运筹思想在解决问题中的作用2、使学生逐渐养成合理安排时间的良好习惯，形成寻找最优化方案解决问题的意识。
教学重点体会合理安排时间的意义与价值，养成良好的习惯教学难点理解排队等候时间的总和的意义，运用这种数学思想解决生活中的实际问题。
教学用具PPT课件练习纸教学过程一、创设情景，导入新课1、小品水龙头风波。
（PPT1）师旁白今天，红红和明明做值日，他们俩正好同时（强调读）来到一个自来水龙头前。
红红我装一小桶水只要1分钟时间。
明明我接一盆水要5分钟时间。
红红、明明我有事，让我先来吧。
红红还是让我先接吧，这样好一点。
师旁白明明疑惑不解。
为什么红红接先就好一点呢师同学们，小红说的有道理吗2、讨论后，师现在他们都感觉自己有道理，那我们帮他们算一算时间吧，好吗生156分钟生516分钟师这样看来，好象小红说的没什么道理呀，时间长短不是一样吗（引发学生思考一人做事，另一人在干嘛）生红红先接，小明只等1分钟，如果明明先接水的话，小红要等5分钟。
师及时指出是呀，我们在自己完成自己任务的时候，也要考虑到别的同学的感受，那我们来算一算，如果包含等候的时间在内，一共用多长时间吧。
生红先明后1157分钟。
（师可有意识引导1257分钟）生明先红后55111分钟。
（或52111分钟）师现在哪位同学能说说，这里的7分钟和11分钟是什么时间能给它们起个名字吗（突破难点等候时间的总和）师同学们，在我们日常生活中，有许多数学问题，刚才我们遇到的问题，在数学上叫做"排队问题"，今天这节课，我们就来研究这个问题。
（设计意图这样设计，一方面为了引入新课，创设了学生常常遇到的生活场景，学生容易产生共鸣，可以很好的吸引学生的注意力，把学生的学习状态调整到最佳，另一方面就是为了降低新课的难度，通过这个简单的事例，让学生对"同时来到"这个前提要重视，同时，也对"等候时间的总和"有了一定的认识，为新课的学习奠定基础。
排队论_运筹学
排队论例1题目：某火车站的售票处设有一个窗口,若购票者是以最简单流到达,平均每分钟到达1人,假定售票时间服从负指数分布,平均每分钟可服务2人,试研究售票窗口前排队情况解:由题设λ=1(人/分),μ=2(人/分),ρ=λμ=12平均队长L=1ρρ-=1(人)平均等待队长Lq=21ρρ-=12(人)平均等待时间Wq=λμμ（-1）=12(分)平均逗留时间W=1μλ-=1(分)顾客不需要等待的概率为P o=12,等待的顾客人数超过5人的概率为P(N≥6)=1766666111111()(1)()()()()222222n n nnn n n nPρ-∞∞∞∞=====-===∑∑∑∑1例2题目：在某工地卸货台装卸设备的设计方案中,有三个方案可供选择,分别记作甲、乙、丙。
目的是选取使总费用最小的方案，有关费用（损失）如下表所示设货车按最简单流到达，平均每天（按10小时计算）到达15车，每车平均装货500袋，卸货时间服从负指数分布，每辆车停留1小时的损失为10元。
解：平均到达率λ=1.5车/小时,服务率μ依赖于方案μ甲=1000/500/袋小时袋车=2车/小时μ乙=2000/500/袋小时袋车=4车/小时μ丙=6000/500/袋小时袋车=12车/小时由(7.2.6),1辆车在系统内平均停留时间为W甲=12-1.5=2(小时/车)W乙=14-1.5=0.4(小时/车)W丙=112-1.5=0.095(小时/车)每天货车在系统停留的平均损失费为W⨯10⨯15,每天的实际可变费用(如燃料费等)为(可变操作费/天)⨯设备忙的概率=c p(元/天)而ρ甲=0.75 , ρ乙=0.375 , ρ丙=0.125,所以每个方案的费用综合如下表所示:23例3 题目：要购置计算机,有两种方案.甲方案是购进一大型计算机,乙方案是购置n 台小型计算机.每台小型计算机是大型计算机处理能力的1n设要求上机的题目是参数为λ的最简单流,大型计算机与小型计算机计算题目的时间是负指数分布,大型计算机的参数是μ.试从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案 解：设ρ=λμ，按甲方案，购大型计算机 平均等待时间 q W 甲=ρμρ（1-）=λμμλ（-）平均逗留时间 W 甲=1μλ- 按乙方案，购n 台小型计算机，每台小计算机的题目到达率为n λ，服务率为nμ, ρ=//n n λμ=λμ平均等待时间 W q 乙=nρμρ（1-）=n ρμρ（1-）=nW q 甲平均逗留时间 W 乙=1n nμλ-=n μλ-=nW 甲所以只是从平均等待时间，平均逗留时间考虑，应该购置大型计算机4例4题目：设船到码头，在港口停留单位时间损失c 1 元，进港船只是最简单流，参数为λ，装卸时间服从参数为μ的负指数分布，服务费用为c μ2，c 2是一个正常数.求使整个系统总费用损失最小的服务率μ 解:因为平均队长L λμλ=-,所以船在港口停留的损失费为1c λμλ-,服务费为c μ1,因此总费用为 1c F c λμμλ=+-2 求μ使F 达到最小,先求F 的导数12()c dF c d λμμλ=-+-2 让dF d μ=0,解出2μλ=因为 22F u μμ*=∂∂=22()c λμλ*-1>0 (μ>λ) 最优服务率是μ*,当μμ*=时, 12()[c F c c λμλ*=+5例5题目：一个理发店只有一个理发师,有3个空椅供等待理发的人使用,设顾客以最简单流来到,平均每小时5人,理发师的理发时间服从负指数分布,平均每小时6人.试求L ,q L ,W ,q W解:λ=5(人/小时) , μ=5(人/小时) , k =4 , 56ρ= 用公式(7.2.10),(7.2.11),(7.2.12),(7.2.13)得到565555[16()5()]666 1.9715[1()]66L -+==- 5555(1)[16()]66 1.97 1.2251()6q L -=+=- 55555()[1()]660.101()6P -==- 5(1)z LLW P λλ==-=1.9750.9=0.438(小时)0.271qq zL W λ==(小时)6例6题目：给定一个//1/M M k 系统,具有λ=10(人/小时), μ=30（人/小时），k =2.管理者想改进服务机构.方案甲是增加等待空间,使k =3.方案乙是将平均服务率提高到μ=40(人/小时),设服务每个顾客的平均收益不变,问哪个方案获得更大收益,当λ增加到每小时30人,又将有什么结果?解:由于服务每个顾客的平均收益不变,因此服务机构单位时间的收益与单位时间内实际进入系统的平均人数k n 成正比(注意,不考虑成本)!(1)(1)1k k k k n p λρλρ+-=-=- 方案甲:k=3, λ=10, μ=3033411()310[]11()3n -=-=9.75 方案乙: k=2, λ=10, μ=40223110(1())311()4n -=-=9.5 因此扩大等待空间收益更大 当λ增加到30人/小时时,λρμ==1.这时方案甲有3330()31n =+=22.5(人/小时) 而方案乙是把μ提高到μ=40人/小时. λρμ==3040<1, k=2 2233(1())430[]31()4n -=-=22.7(人/小时) 所以当λ=30人/小时时,提高服务效益的收益比扩大等待空间的收益大7例7题目：一个大型露天矿山,考虑建设矿山卸矿场,是建一个好呢?还是建两个好.估计矿车按最简单流到达,平均每小时到达15辆,卸车时间也服从负指数分布,平均卸车时间是3分钟,每辆卡车售价8万元,建设第二个卸矿场需要投资14万元解:平均到达率 λ=15(辆/小时) 平均服务率 μ=20(辆/小时) 只建一个卸矿场的情况:1ρρ==1520=0.75 在卸矿场停留的平均矿车数0,,,,,,q q q q p p L L W W λμL λμλ=-=152015-=3(辆)建两个卸矿场的情况:ρ=0.75,2μ=2λμ=0.375 2101220[10.75(0.75)]0.452!22015P -=++=- 220.451520(0.75)0.750.120.750.871!(22015)L +=+=+=-因此建两个卸矿场可减少在卸矿场停留的矿车数为:3-0.87=2.13辆.就是相当于平均增加2.13辆矿车运矿石.而每辆卡车的价格为8万元,所以相当于增加2.13⨯8=17.04万元的设备,建第二个卸矿场的投资为14万元,所以建两个卸矿场是合适的.8例8题目：有一个///M M c ∞系统,假定每个顾客在系统停留单位时间的损失费用为c 1元,每个服务设备单位时间的单位服务率成本为c 2元.要求建立几个服务台才能使系统单位时间平均总损失费用最小解:单位时间平均损失费为F c L c c μ=+12要求使F 达到最小的正整数解c *,通常用边际分析法:找正整数c *,使其满足{()(1)()(1)F c F c F c F c ****≤+≤-由()(1)F c F c **≤+,得到122()(1)(1)c L c c c c L c c c μμ****+≤+++所以 21()(1)c L c L c c μ**-+≤ 同样,由()(1)F c F c **≤-得到21(1)()c L c L c c μ**--≥因此c *必须满足不等式21()(1)c L c L c c μ**-+≤≤(1)()L c L c **-- 取c =1,2,…,计算()L c 与(1)L c +之差,若21c c μ落在()(1)L c L c **-+,(1)()L c L c **--之间,c *就是最优解9例9题目：某公司中心实验室为各工厂服务,设做实验的人数按最简单流到来.平均每天48(人次/天),1c =6(元).作实验时间服从负指数分布,平均服务率为μ=25(人次/天),2c =4(元),求最优实验设备c *,使系统总费用为最小. 解:λ= 48(人次/天)，μ=25(人次/天)，λμ＝1.92 按///M M c ∞计算0P ,()L c 等(注意以下公式只对0 1.92cρ=<1成立). 201100(1.92)(1.92)[]!(1)!( 1.92)n P n c c ρ--==+--∑12(1.92)() 1.92(1)!( 1.92)c L c P c c +=+-- 将计算结果列成下表21c c μ=1006=16.67 所以取c *=3,总费用最小10例10题目：设有2个工人看管5台自动机,组成//2/5/5M M 系统,λ=1(次/运转小时),μ=4(次/小时),求平均停止运转机器数L 、平均等待修理数q L 以及每次出故障的平均停止运转时间W 、平均等待修理时间q W解：14λμ=，18c λμ=由（7.3.1）,(7.3.2)有 0P =0.3149 1P =0.391 2P =0.197 由（7.3.3）,(7.3.4)有 q L =0.118,L =1.094,c λ=3.906 由（7.3.5）,(7.3.6)有W =0.28(小时),q W =0.03(小时)实际上,这些数量指标有表可查例11题目：设某厂有自动车床若干台,各台的质量是相同的,连续运转时间服从负指数分布,参数为λ,工人的技术也差不多,排除故障的时间服从负指数分布,参数为μ.设λμ=0.1,有两个方案.方案一:3个工人独立地各自看管6台机器.方案二,3个工人共同看管20台机器,试比较两个方案的优劣解:方案一.因为是分别看管,可以各自独立分析,是3个//1/6M M 系统.由上面的公式可求出01P -=0.5155,c =0.5155, a =5.155Lq =0.3295, L =0.845,(1)q =0.4845,(1)r =0.0549方案二.m =20,c =3,λμ=0.1,可求得c =1.787,a =17.87,q L =0.339 L =2.126,(3)q =0.4042,(3)r =0.01695机器损失系数,修理工人损失系数都小于方案一,所以方案二较好11例12题目：某露天铁矿山,按设计配备12辆卡车参加运输作业(每辆载重160吨,售价72万元),备用车8辆,要求保证同时有12辆车参加运输的概率不低于0.995.设每辆平均连续运输时间为3个月,服从负指数分布.有两个修理队负责修理工作,修理时间服从负指数分布.平均修复时间为5天.问这个设计是否合理.解:由假设知,这是////M M c m N m +系统,m =12,1λ=3,1μ=6(月)c =2我们有m c λμ=0.3333,c μλ=36用c N ≤的公式,求N ,要求00.995Nn n p =≥∑设N =2,有Nnn p=∑=0.9474,当N =3时,有Nnn p=∑=0.9968.所以3辆备用车就能达到要求,原设计用的备用车太多当N =3时,卡车的利用律(2)q =0.793712例13题目：假定例2.1中工人的到达服从泊松分布，λ=8人/小时，试分别计算1h 内到达4，5，6，…，12个工人的概率。
一上数学排队问题的知识点和纠错方法
一上数学排队问题的知识点和纠错方法摘要：一、数学排队问题的基本概念1.排队问题的定义2.排队问题的类型二、数学排队问题的解题方法1.队列论基本概念2.排队模型及其求解方法3.常见排队问题的解决技巧三、数学排队问题的纠错方法1.常见错误类型2.错误原因分析3.纠正错误的方法和策略四、实战演练与案例分析1.实际场景中的应用2.题目解析与解答五、提高数学排队问题解题能力的建议1.学习方法与技巧2.加强练习的重要性3.总结与反思正文：一、数学排队问题的基本概念1.排队问题的定义数学排队问题是指在一定时间内，多个顾客按照一定的顺序依次接受服务，求解排队等候时间和顾客等待人数等问题。
2.排队问题的类型（1）单服务台排队问题：只有一个服务台，多个顾客依次排队接受服务。
（2）多服务台排队问题：有多个服务台，顾客可以选择任意一个服务台排队接受服务。
（3）优先级排队问题：根据顾客的优先级，分批次接受服务。
二、数学排队问题的解题方法1.队列论基本概念队列论是研究排队现象和解决排队问题的数学方法。
主要概念有：队长、队尾、排队时间、等待时间等。
2.排队模型及其求解方法（1）M/M/1模型：顾客到达率和服务员服务速率都服从指数分布。
（2）M/M/c模型：多个服务台，顾客到达率和服务员服务速率都服从指数分布。
（3）M/G/1模型：顾客到达率服从一般分布，服务员服务速率服从指数分布。
3.常见排队问题的解决技巧（1）根据题目条件，选择合适的排队模型。
（2）利用概率论和数学方法求解队长、队尾等参数。
（3）利用计算机模拟方法验证解的正确性。
三、数学排队问题的纠错方法1.常见错误类型（1）对题目条件理解不清，导致模型选择错误。
（2）求解过程中公式和计算错误。
（3）模拟过程中参数设置不合理。
2.错误原因分析（1）对排队模型和求解方法掌握不熟练。
（2）解题过程中粗心大意，导致计算错误。
（3）缺乏实践经验，对题目条件把握不准。
3.纠正错误的方法和策略（1）加强理论学习，熟练掌握排队模型和求解方法。
排队论举例
练
习
3 ． 某售票处有 3 个售票口， 顾客的到达服从泊 某售票处有3 个售票口 ， 松分布，平均每分钟到达λ= 松分布，平均每分钟到达λ= 0 ．9 人，3 个窗 口售票的时间都服从负指数分布， 口售票的时间都服从负指数分布，平均每分钟 卖给μ= 卖给μ= 0.4人，设可以归纳为M／M／3模型， 设可以归纳为M 模型， 试求： (1)整个售票处空闲的概率； (2)平均队长； (3)平均逗留时间； (4)平均等待时间； (5)顾客到达后的等待概率。 顾客到达后的等待概率。
2.相当于3个M/M/1/ 相当于3 M/M/1 三个系统并联： 三个系统并联：
λ=0.3 μ=0.4 ρ=λ/μ=0.75 λ=0 μ=0 ρ=λ/μ=0 P0=1-ρ=0.25 （每个子系统） 每个子系统） ρ=0
三个服务台都有空的时候， 三个服务台都有空的时候，P03=0.0156
Ls=ρ/(1-ρ)=3 ( 子 系 统 ） 整 个 系 统 为 9 /(1 )=3 Lq=Ls-λ/μ=2.25（每个子系统） 25（每个子系统） Ws=Ls/λ=10 /λ=10 Wq=Ws-1/μ=7.5 /μ=7
例 题 解 析 故售票处空闲的概率为 0.0156
平均等待时间 Wq=7.5分钟 10分钟 平均逗留时间 Ws=10分钟 队长 Ls=3 三个队 共3+3+3=9 75（ 队列长 Lq=2.25 共6.75（人）
相比之下， 相比之下，排一队共享三个服务台效率好
练
习
2．设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人 设有一个医院门诊，只有一个值班医生。 的到达过程为泊松流，平均到达时间间隔为 20min，诊断时间服从负指数分布，平均需12min， 20min，诊断时间服从负指数分布，平均需12min， 求： (1)病人到来不用等待的概率； (2)门诊部内顾客的平均数； (3)病人在门诊部的平均逗留时间； (4)若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1h， 若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1 则院方将考虑增加值班医生。 则院方将考虑增加值班医生。问病人平均到达率 为多少时，医院才会增加医生? 为多少时，医院才会增加医生?
排队论方法讲解
排队论方法讲解
排队论是一种运用概率统计方法来分析和解决队列问题的学科。
队列问题是指在等待某个服务或进入某个系统时，人们形成的一种有序排列状态。
排队论主要关注等待时间、排队长度、服务效率等问题。
以下是排队论的一些常见方法：
1. 假设法：假设不同的排队系统具有不同的概率分布，分析不同系统中的各种运行参数，如平均等待时间、服务时间等。
2. 累积等待时间法：计算各客户平均等待时间的总和，再除以系统中客户的总数，用以评价该排队系统是否合理。
3. 平衡方程法：通过统计每个元素在系统中的进入量、离开量、排队量等，建立系统的平衡方程式来求解系统的各项参数。
4. 级数求和法：将排队论中的一些重要参数（如平均等待时间、利用率等）表示成一个级数之和的形式，从而求出这些参数的近似值。
5. Monte Carlo模拟方法：采用随机数模拟的方法，模拟排队系统的服务过程，从而得出系统的性能指标。
以上是排队论的一些常见方法，具体应用时需要考虑具体情况和问题，选择合适的方法进行分析。
数学建模中的排队论问题
数学建模中的排队论问题数学建模是运用数学方法来解决实际问题的一种学科，而排队论则是数学建模中的一个重要问题。
排队论是研究人们在排队等待时所产生的等待时间、服务时间、队列长度等问题的数学理论。
在各个领域中，排队论都有广泛的应用，例如交通运输、生产调度、服务管理等。
排队论的基本概念包括顾客、服务台、队列、到达率、服务率等。
顾客是指等待服务的个体，可以是人、机器或其他物体。
服务台是为顾客提供服务的地方，可以是柜台、服务窗口或机器设备。
队列是顾客排队等待的区域。
到达率是指单位时间内到达队列的顾客数量。
服务率则是指单位时间内服务台完成服务的顾客数量。
排队论的目标是通过数学模型来分析和优化排队系统，以提高效率和服务质量。
常用的排队论模型有M/M/1, M/M/c, M/M/∞等，其中M表示到达率和服务率满足泊松分布，1表示一个服务台，c表示多个服务台，∞表示无穷多个服务台。
在现实生活中，排队论的应用非常广泛。
以交通运输为例，交通流量大的道路上常常出现拥堵现象。
排队论可以用来研究交通信号灯的时序控制，从而减少交通阻塞和等待时间。
排队论还可以应用于生产调度问题，如工厂的生产线、餐馆的点餐队列等，通过优化排队系统可以提高生产效率和顾客满意度。
除了基本的排队论模型，还有许多扩展模型用于解决更复杂的实际问题。
例如，考虑到顾客的不满意程度，可以引入优先级排队模型。
考虑到服务台设备可能发生故障，可以引入可靠性排队模型。
排队论也可以与优化算法相结合，寻找最佳的服务策略和资源配置。
在数学建模中，解决排队论问题通常需要进行数学推导、建立数学模型、进行仿真实验以及进行实际数据的拟合和验证。
通过数学建模的方法，可以对排队系统的性能进行全面评估，从而提出改进方案和决策策略。
综上所述，数学建模中的排队论问题在实际应用中具有重要的意义。
通过研究排队论，可以优化排队系统，提高效率和服务质量。
随着科技的进步和数据的丰富，排队论的研究将在各个领域中得到更广泛的应用和发展。
排队问题 教案
排队问题教案教案标题：排队问题教案教案目标：1. 学生能够理解排队的概念，并能够正确地排队。
2. 学生能够应用排队的技巧解决实际问题。
3. 学生能够合作与他人一起排队。
教学重点：1. 排队的概念和基本原则。
2. 排队的技巧和策略。
3. 合作与他人一起排队的重要性。
教学准备：1. 图片或视频资源展示不同场景下的排队情况。
2. 排队活动所需的道具，如小旗、小卡片等。
3. 学生名字卡片。
教学过程：步骤一：引入（5分钟）引入排队的概念，通过展示图片或视频资源，让学生观察不同场景下的排队情况。
引导学生思考什么是排队，为什么需要排队。
步骤二：讨论排队规则（10分钟）与学生一起讨论排队的基本原则和规则，如先来后到、保持队形整齐等。
鼓励学生提出自己的观点和经验。
步骤三：排队技巧与策略（15分钟）介绍一些排队的技巧和策略，如如何选择合适的队伍、如何保持队形整齐、如何在排队中保持秩序等。
通过示范和实际操作让学生掌握这些技巧和策略。
步骤四：合作排队活动（20分钟）将学生分成小组，每个小组分配一个排队活动任务，如按照身高排队、按照生日排队等。
要求学生在排队过程中合作、协调，并按照之前学到的排队规则和技巧进行排队。
步骤五：总结与评价（10分钟）与学生一起总结本节课所学的内容，回顾排队的概念、基本原则、技巧和策略。
鼓励学生分享他们在合作排队活动中的经验和感受。
扩展活动：1. 给学生提供更复杂的排队问题，让他们应用所学知识解决。
2. 观察社会中的排队情况，让学生分析其中存在的问题并提出改进建议。
3. 组织学生参观一些需要排队的场所，如博物馆、图书馆等，让他们亲身体验排队的重要性和技巧。
教学评估：1. 观察学生在排队活动中的表现，包括是否能够按照规则排队、是否能够与他人合作等。
2. 学生的参与度和表达能力。
教学延伸：根据学生的实际情况和学习进度，可以进一步拓展排队问题的相关内容，如排队的历史背景、排队的文化差异等。
排队论问题
4 泊松分布（Poisson）
k=0,1,2,…
P{X = k} = λk e -λ/ k!
泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，它作为表述随机现象 的一种形式，在计算机性能评价等实践中扮演了重要的角色。
在实际系统模型中，一般都要假定任务（或顾客）的到来是服从 泊松分布的。实践也证明：这种假设是有效的。
• 此模型与 M/M/1模型不同之处在于有C个服 务台，各服务台的工作相互独立，服务率 相等，如果顾客到达时，C个服务台都忙着， 则排成一队等待，先到先服务的单队模型。 • 整个系统的平均服务率为 cμ ， ρ* ＝ λ/cμ ， （ρ*<1）为该系统的服务强度。
多服务台指数分布排队系统的分析（了解过程，理解结论）
M/M/1 系统运行指标
• • • • • • • • • • • • 系统中平均顾客数：
L=ρ/(1- ρ), 顾客在系统中平均等待时间： W=1/[μ( 1-ρ)] 顾客在队列中平均等待时间： Wq= ρ /[μ( 1-ρ) ] 队列中平均顾客数： Lq= ρ2 /( 1-ρ) 在单服务台系统中的little公式： ρ = λ 1/, L=Lq+ ρ 通用的little公式： Lq=λWq L=λW W=Wq+ 1/
基本排队关系
• 在对排队进行分析时，为了便于分析，经常做一些简化假设。对一个排队 系统，若满足以下三个条件： • （1）排队系统能够进入统计平衡状态； • （2）服务员的忙期与闲期交替出现，即系统不是总处于忙的状态； • （3）系统中任一顾客不会永远等待，系统也不会永无顾客到达。 • 则下列 Little 公式成立（排队论中的通用公式）： • （1） Lq =λ Wq • 我们知道一个顾客的平均排队等待时间是Wq，且顾客是以平均速率λ到 达，所以在时间Wq内有λWq个顾客到达， Lq表示排队等待服务的平均顾 客数量，所以有： Lq =λ Wq • （2） L=λW • 系统中的平均顾客数（包括等待的和正在被服务的顾客）等于顾客的平 均到达速率乘以一个顾客在系统中花费的平均时间。 • （3） W= Wq + 1/ • 一个顾客在系统中花费的时间，就是它等待服务的时间加上被服务的时间。
排队论习题解
排队论习题解10.1某修理店只有一个修理工人, 来修理的顾客到达次数服从普阿松分布,平均每小时3人,修理时间服从负指数分布,平均需10分钟, 求(1) 修理店空闲时间概率; (2) 店内有4个顾客的概率; (3) 店内至少有一个顾客的概率; (4) 在店内顾客平均数; (5) 等待服务的顾客平均数; (6) 在店内平均逗留时间; (7) 平均等待修理(服务)时间;(8) 必须在店内消耗15分钟以上的概率.04440s q s q 60M /M /1//3 6.1031(1)p 1162111(2)p (1)(1)()223211(3)1p 1223(4)L 1()631312(5)L ()632111(6)()633112(7)()636(8)1-F()W W λμρρρλμλρλμλμλρμλω∞∞====-=-==-=-=-=-====--⋅===--===--===--解：该系统为（）模型，，；；；人；人；小时；小时；1515-(6-3)--(-)6020eee .μλω⨯===11(1)(2)(3)23211(4)(5)2211(6)(7)(8)3615.15-20答：修理店空闲时间概率为；店内有三个顾客的概率为；店内至少有一个顾客的概率为；店内顾客平均数为1人；等待服务顾客平均数为人；在店内平均逗留时间分钟；平均等待修理时间为分钟；必须在店内消耗分钟以上的概率为e10.22015(1)(2)(3)(4) 1.25M /M /1.603(/20λ==设有一单人打字室，顾客的到达为普阿松流，平均到达时间间隔为分钟，打字时间服从指数分布，平均时间为分钟，求顾客来打字不必等待的概率；打字室内顾客的平均数；顾客在打字室内平均逗留时间；若顾客在打字室内的平均逗留时间超过小时，则主人将考虑增加设备及打字员，问顾客的平均到达概率为多少时，主人才会考虑这样做？解：该题属模型人小时0s s s 60)4(/).1531(1)p 11443(2)L 3()4311(3)1()431(4)1.2511.25 3.23.230.2(/).4W W μρλμλμλμλλλ===-=-====--===--=>-≥>-=-Q ，人小时；人；小时；；，，人小时1(1)(2)3(3)41(4)0.2/.答：顾客来打字不必等待的概率为；打字室内顾客平均数为人；顾客在打字室内平均逗留时间为小时；平均到达率为人小时时，店主才会考虑增加设备及打字员 10.3 汽车按平均90辆/h 的poission 流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s 。
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课题：合理利用时间(排队论问题)
设计人：王新芹学校：文汇办东营小学使用人：
教学内容：
人教版《义务教育课程标准实验教科书》四年级上册第七单元数学广角的排队论问题例3。
教学目的：
1、通过生活中常见的一些简单事例，让学生从中体会到运筹思想在解决问题中的作用
2、使学生逐渐养成合理安排时间的良好习惯，形成寻找最优化方案解决问题的意识。
教学重点：
体会合理安排时间的意义与价值，养成良好的习惯
教学难点：
理解排队等候时间的总和的意义，运用这种数学思想解决生活中的实际问题。
教学用具：PPT课件练习纸
教学过程
一、创设情景，导入新课
1、同学们，刚才老师和同学简单了解了下，发现，我们班同学还会表演小品呢，你们想不想看一下？好，同学们可要认真仔细看哦，这里可有数学问题的。
小品：水龙头风波。
（PPT1）
师旁白：一天，小红和小亮做值日，他们俩正好同时（强调读）来到一个自来水龙头前。
小红：我洗抹布只要1分钟时间。
小亮：我装一桶水要5分钟时间。
小红、小亮：我有事，让我先洗（装）吧。
小红：还是让我先洗吧，这样好一点。
师旁白：小亮疑惑不解。
为什么小红先就好一点呢？
师：同学们，小红说的有道理吗？
2、讨论后，师：现在他们都感觉自己有道理，那我们帮他们算一算时间吧，好吗？
生：1+5=6分钟
生：5+1=6分钟
师：这样看来，好象小红说的没什么道理呀，时间长短不是一样吗？
（引发学生思考：一人做事，另一人在干嘛？）
生：小红先洗，小明只等1分钟，如果小明先装水的话，小红要等5分钟。
师及时指出：是呀，我们在自己完成自己任务的时候，也要考虑到别的同学的感受，那我们来算一算，如果包含等候的时间在内，一共用多长时间吧。
生：小红先小明后：1+1+5=7分钟。
（师可有意识引导：1×2+5=7分钟）
生：小明先小红后：5+5+1=11分钟。
（或：5×2+1=11分钟）
师：现在哪位同学能说说，这里的7分钟和11分钟是什么时间？能给它们起个名字吗？（突破难点：等候时间的总和）
师：同学们，在我们日常生活中，有许多数学问题，刚才我们遇到的问题，在数学上叫做“排队问题”，今天这节课，我们就来研究这个问题。
[设计意图]：这样设计，一方面为了引入新课，创设了学生常常遇到的生活场景，学生容易产生共鸣，可以很好的吸引学生的注意力，把学生的学习状态调整到最佳，另一方面就是为了降低新课的难度，通过这个简单的事例，让学生对“同时来到”这个前提要重视，同时，也对“等候时间的总和”有了一定的认识，为新课的学习奠定基础。
二、阅读教材，初步感受新知
1、阅读提纲（PPT2）
（1）、例题中的主题图反映的是什么情景？
（2）、其中包含哪些数学信息？
（3）、要解决什么问题？有什么要求？
2、全班交流，理解题目意思
问题1：这是一个码头卸货的场景，有三艘货船来到一个码头，等待调度安排他们卸货。
问题2：已经知道了每艘货舱的卸货时间，还有一点，就是：只能一船一船地卸货。
问题3：这题要解决怎样安排卸货的顺序，使三艘船的等候总时间最少。
3、质疑：对于这个问题，你还有什么疑问？
生：等候时间的总和是什么意思？（很可有能学生对此还有疑问，这里要留时间给学生，要让学生都明白题目的意思）
[设计意图]：通过让学生读图、文，正确理解题目的意义，知道有哪些条件，要求什么问题，这个问题是建立在什么前提之下：只能一船一船的下。
而且要让所有学生都明白，要求的问题是“等候时间的总和”，这个和，既包括下货时间，也包括其他船的等候时间，为下面讨论方案，计算总时间作准备。
三、讨论合作，研究解决问题的方案
1、分组活动安排与要求（PPT3）
（1）、同桌2人为一小组。
把货船按从上到下的顺序分别命名为：甲船、乙船、丙船。
（2）、2人讨论后写出卸货方案，能写几种就写几种。
（3）、算出每种卸货方案的等候时间的总和
2、教师巡视，参与学生的讨论。
3、时间：5分钟左右。
[设计意图]：合作交流的目的，一方面是让学生互相帮助寻找卸货的方案，另一方面可以培养学生的合作意识与能力。
教师参与学生的讨论可以指导学生也可以成为学生的合作伙伴。
四、汇报交流，寻找最优化方案
1、学生汇报自己的卸货方案，教师按一定的次序板书。
主要有：
（1）按甲-乙-丙的顺序，等候时间总和：8×3+4×2+1=33小时
（2）按甲-丙-乙的顺序，等候时间总和：8×3+1×2+4=30小时
（3）按乙-甲-丙的顺序，等候时间总和：4×3+8×2+1=29小时
（4）按乙-丙-甲的顺序，等候时间总和：4×3+1×2+8=22小时
（5）按丙-甲-乙的顺序，等候时间总和：1×3+8×2+4=23小时
（6）按丙-乙-甲的顺序，等候时间总和：1×3+4×2+8=19小时
2、引导学生观察以上方案，谈谈自己的想法。
3、质疑：你还有什么问题？
4、小结：在确定排队等候顺序的时候，我们要按一定的顺序（从小到大）合理安排时间，这样可以使等候时间的总和最少。
[设计意图]：学生在汇报时，教师有次序的板书了每种方案的顺序，并要求学生计算了等候总时间，通过计算，学生很容易看出：按“丙-乙-甲” 的顺序，等候时间总和最少。
通过这个环节的教学，既让学生明确合理安排的方法，也让学生体验到合理安排的价值所在。
五、运用知识解决实际问题
1、你能用刚才我们学到的知识，解释一下小品中，小红说，让她先洗抹布好在哪儿了吗？
2、如果你也遇到类似的问题，你会解决吗？
完成P115页的做一做。
（PPT4）
学生尝试，全班交流
3、水龙头风波（下）（PPT5）
有四个同学同时来到一个水龙头前，他们分别要洗手、洗抹布、洗拖把和用水桶装水。
（1）这儿只有一个自来水龙头
（2）你能用今天学到的知识，给他们合理的安排一下排队的顺序吗？
（3）说一说，你在进行合理安排前，需要了解什么？你认为怎样安排最合理？
[设计意图]：本环节设计了三个练习，一是回到导课的小品中，运用学到的
知识，解释小品中的问题，二是解决教材中的做一做，这两个练习属于基本练习，学生完成应该比较容易。
第三个练习“水龙头风波（下）”的设计是对例题的拓展，由于人物的增多，难度也加大一些，同时，题目中没有告诉每个人所用的时间，这要求学生能够想到需要这个条件，也只有让学生明白，这个条件是进行合理安排的一个重要前提，才说明学生对排队问题有了比较深入的理解。
由于这个内容还是学生熟悉的生活场景，而且，与例题也相近，所以学生经过努力，应该能够完成。
学生运用所学知识，进行合理安排，体现了数学知识的应用价值。
教师可以此环节对学生进行惜时与合理安排时间的教育。
六、总结评价
1、这节课你有什么收获？
2、评价一下自己和同学在本节课的表现。
3、你还有什么疑问？
[设计意图]对本节课的学习做一个简单的回顾整理，形成基本的知识网络，整理学习思路.
七、布置作业
想一想，生活中，还有哪些与此有关的事件，请收集一个例子，与同学交流。
八、课堂检测
课堂测试A
李小红同学每天的作业都要爸爸妈妈检查一遍。
今天李小红做家庭作业时先估计一下做作业的时间，
语文作业20分钟
数学作业15分钟
英语作业5分钟
请问：李小红先做哪项作业，才能使爸爸妈妈检查作业的等候时间的综合最少？
课堂测试B
四（1）班的3个同学各拿一只水桶去接水，水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟，现在只有1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？
附答案：
课堂检测A
先做英语，再做数学，最后做语文。
课堂检测B
先接第三个桶，再接第二个桶，最后接第一个桶，共需13分钟。