京教版相似三角形的判定2(两角对应相等)
相似三角形的判定两个角
相似三角形的性质
对应角相等
面积比等于相似比的平方
相似三角形的对应角相等，这是相似 三角形的基本性质。
相似三角形的面积之比等于其对应边 长之比的平方，这是相似三角形的一 个重要性质。
对应边成比例
相似三角形的对应边之间成比例，这 是判定两个三角形是否相似的关键性 质。
02
判定两个角相等的三 角形相似
03
判定两个角相等的方 法
利用全等三角形判定
01
02
03
ห้องสมุดไป่ตู้
判定定理1
两个三角形如果三边分别 相等，则这两个三角形全 等。
判定定理2
两个三角形如果两边及其 夹角分别相等，则这两个 三角形全等。
判定定理3
两个三角形如果两角及其 夹边分别相等，则这两个 三角形全等。
利用等腰三角形判定
01
等腰三角形的两个底角相等，因 此如果两个三角形都是等腰三角 形，则它们的对应角相等。
角度测量
相似三角形也可以用于测量角度 ，通过已知角度来推算其他角度 。
在建筑设计中的应用
比例协调
在建筑设计中，相似三角形可以用来 确保建筑各部分的比例协调，营造和 谐的美感。
结构设计
利用相似三角形原理，可以设计出结 构稳定、受力均匀的建筑结构。
THANKS
感谢观看
详细描述
根据角边角判定定理，如果两个三角形有两个角和一个对应的边分别相等，则 这两个三角形相似。这是因为一个角和一条边相等意味着这两个三角形有相同 的角和对应的边成比例，满足相似三角形的定义。
边角角判定定理
总结词
如果两个三角形有两个对应的边和一对对应的角相等，则这两个三角形相似。
详细描述
1.2.2相似三角形的判定2(两边及夹角)
E
F
C
∵∠ AEF = ∠CEA=135°.
AE EF . CE CE
∴△ AEF ∽ △CEA.
5.如图，在RtΔ ABC中，∠C=90°,P为 斜边AB上一点,过P点的直线截得的三 角形与Δ ABC相似，则这样的直线共有 条,并在图中画出这样的直线。
A
P
C
B
如图，在RtΔ ABC中，∠C=90°,P为 斜边AB上一点,过P点的直线截得的三 角形与Δ ABC相似，则这样的直线共有 条,并在图中画出这样的直线。
E 70°
C
A 4 E 3 2 D 6 C
D
C
E B
B
例题1：
如图，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9，△ADE和 △ABC，相似吗？
解：∵ AD=3，AE=4，BE=5，CD=9
∴
AD 3 1 AE 4 1 , AB 4 5 3 AC 3 9 3
AD AE ∴ AB AC
1.2.2 相似三角形的判定
第2课时
1.理解定理“两边对应成比例且夹角
相等的两个三角形相似”； 2.能灵活地选择定理判定相似三角形.
一、知识回顾: 定义
全等 三角 形
判定方法
三角、三边对应相 角边角 角角边 边角边 边边边 等的两个三角形全 （ASA） （AAS）（SAS） （SSS） 等。
相似 三角 形
如果不是夹角，则它们不一定会相似．
2．（2010·烟台中考）如图，△ABC中， A 点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下 列结论一定正确的是（ A ） A.AB2=BC·BD B.AB2=AC·BD B C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=AD·CD
相似三角形的性质及判定方法
相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。
在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。
本文将探讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。
记为AA相似性质。
2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SSS相似性质。
3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SAS相似性质。
二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也必然相等，从而满足AA相似性质。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。
三、实例分析为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。
已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。
根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。
根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。
由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。
相似三角形的判定与性质
汇报人：XX
感谢观看
地理学中的应用：测量距离、确定位置等
航海学中的应用：确定船只的位置、航向等
04
相似三角形的判定定理与性质定理的证明
判定定理的证明
定义法：利用相似三角形的定义，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
平行线法：利用平行线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
角平分线法：利用角平分线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
适用情况：适用于已知三角形角度和边长的情况
注意事项：在应用定义法时，需要仔细检查对应角和对应边的比例关系，以避免出现误差
平行线法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
适用范围：适用于直角三角形和非直角三角形
定义：利用平行线性质，通过比较对应边和角的比例关系来判定两个三角形是否相似
证明方法：利用平行线的性质和相似三角形的定义进行证明
应用举例：在几何问题中，常常利用平行线法来判定两个三角形是否相似
角角角法
性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
应用：在几何、代数、三角函数等领域有广泛的应用
定义：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
判定方法：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
边边边法
证明方法：利用相似三角形的性质和判定定理进行证明
证明：根据相似三角形的定义，可以通过相似比推导出对应角相等
对应边成比例
性质定义：相似三角形的对应边长比例相等
性质推论：相似三角形的对应高、中线、角平分线等比例
性质应用：在几何证明和计算中，利用对应边成比例的性质可以简化问题
九年级数学相似三角形的判定北京版
相似三角形的判定一、相似三角形的判定方法：相似三角形的判定方法可类比全等三角形的判定方法进行研究判定方法类比：全等三角形相似三角形判定方法两边和其夹角对应相等，两三角形全等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似两角和其夹边对应相等，两三角形全等两角对应相等，两三角形相似三边对应相等，两三角形全等三边对应成比例，两三角形相似斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似此外还有：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似二、相似三角形判定中常见常用的基本图形1、平行线型（两线平行，则相似）2、相交线形（两角相等，则相似）3、旋转型三、例题：例1、选择题：已知，如图ΔABC中，DE//BC，BE与CD交于F点，则图中相似三角形共有（）对。
（A）1（B）2（C）3（D）4分析：因为DE//BC，图中有两个基本图形，即ΔADE∽ΔABC，ΔDEF∽ΔCBF。
故应选B。
例2、填空题：如图，□ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F，则图中共有________对相似三角形。
分析：因为平行四边形对边平行，所以有AB//CD即BF//CD，又有AD//BC，所以图中相似三角形有ΔEBF∽ΔECD,ΔEBF∽ΔDAF，ΔECD∽ΔDAF，共3对。
解略。
例3、如图，ΔABC是等边三角形，∠DAE=1200，求证：AD·AE=AB·DE分析：把要证的乘积式化为比例式：=，竖着看，等式左边AD，AB在ΔABD中，等式右边DE，AE在ΔADE中，如果能证明ΔABD与ΔEAD相似问题就能得到解决。
证明：∵ΔABC是等边三角形，∴∠ABC=600，∴∠ABD=1800-∠ABC=1200，∵∠DAE=1200，∴∠ABD=∠DAE，在ΔABD和ΔEAD中，∠ABD=∠EAD，∠D=∠D，∴ΔABD∽ΔEAD，∴=∴AD·AE=AB·DE。
22.2.2两角对应相等两三角形相似
相似三角形的判定(两角对应相等)一、教学目标1、知识目标(1)探索判定两个三角形相似的条件，经历操作、归纳从而获得数学结论的过程。
(2)掌握“如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似”，并应用其解决相关问题。
2、能力目标(1)通过观察、归纳、测量、推理等手段，让学生充分体验得出结论的过程，感受发现的乐趣。
让学生在观察中学会分析，在操作中学会感知, 培养学生的合情推理能力、有条理的表达能力。
3、情感目标(1)培养学生的合作交流意识，培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现的科学精神。
(2)通过同学间的交流与合作，培养大家的合作精神。
二、教学重点、难点: 教学重点：探究并应用两角相等两个三角形相似的判定方法。
教学难点：在图形变化过程中应用相似判定方法。
活动一：1、（评价）课 （小组总结） 各小组展示成果：前检查批改导 同时分类总结 如果一个三角形的两个学案元成情况三角形相似的 角分别与另一个三角形的三判定方法：个角对应相等，那么这两个三 2、大部分准确 1、平行线法2、 角形相似。
率咼，预习有 三边法3、两边 /\ 深度，能总结 夹角4、两角法 /\ /\出结论（三角形相似 不用定义）活动二：1、重在关注基 1、通过实践强 实践探索，分析归纳 础偏下学生的 化判定方法让 判断题：理解反应情 每一位同学都 ⑴所有的等边三角形都相似. 况。
有机会分享成 （ ）2、充分调动学 功的喜悦。
让每 ⑵所有的直角三角形都相似. 生参与的热 一位同学都能 （ ）情，为下面的 成为课堂的主 ⑶所有的等腰直角三角形都 深入研究做好人。
相相似.（） 铺垫。
⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 （ ）活动三：（评价）课前 让大部分学生 （三）典例分析，巩固练习检查批改导学都能了解知识引 入 新 课学 习新课AB,AC 上的点，若/ A=60° ,/ C=7ff , / AED=50则^ ABC ABC活动四:（变式一）已知如图D E分别是△ABC的边AB,AC上的点，再添加一个条件使△ ADE与^ ABC相似。
高二数学相似三角形的判定及性质
形成结论
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
判定定理1：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应相等，那 么这两个三角形相似.
两个角对应相等，两三角形相似.
形成结论
判定定理2：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两边与另一个三 角形的两边对应成比例，那么 这两个三角形相似.
Байду номын сангаас
形成结论
定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条 直角边与另一个三角形的斜边和一 条直角边对应成比例，那么这两个 直角三角形相似.
形成结论
相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比 和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长之比等于相似比.
(3)相似三角形面积之比等于相似比的平方.
相似三角形的判定 及有关性质
复习巩固
1、相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形.相似三角形 的对应边的比值叫做相似比（或相似 系数）
复习巩固
2、相似三角形的判定
（1）两个角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，
两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似.
两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似.
形成结论
判定定理3：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的三条边与另一个 三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似.
三边对应成比例，两三角形相似.
形成结论
定理：
(1)如果两个直角三角形有一个 锐角对应相等，那么它们相似.
相似三角形的判定(两角相等)
27.2.1 相似三角形的判定（三）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握"两角对应相等，两个三角形相似"的判定方法．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：三角形相似的判定方法3--"两角对应相等，两个三角形相似"2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．3．难点的突破方法（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．（3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P48的例2，是一个圆中证相似的题目，这个题目比较简单，可以让学生来分析、让学生说出思维的方法、让学生自己写出证明过程．并让学生掌握遇到等积式，应先将其化为比例式的方法．例2是一个补充的题目，选择这个题目是希望学生通过这个题的学习，掌握利用三角形相似的知识来求线段长的方法，为下节课学习"27.2.2 相似三角形的应用举例"打基础．四、课堂引入1．复习提问：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？--引出课题．（4）教材P48的探究3 ．五、例题讲解例1（教材P48例2）．分析：要证PA?PB=PC?PD，需要证，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质"同弧上的圆周角相等"得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．证明：略（见教材P48例2）．例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用"两角对应相等，两个三角形相似"的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=）．六、课堂练习1．教材P49的练习1、2．2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．3．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．七、课后练习1．已知：△ABC 的高AD、BE交于点F．求证：．2．已知：BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．（1）求证：AC?BC=BE?CD；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学目标：（1） 类比三角形全等的判定猜想三角形相似的判定．
（2）了解相似三角形判定定理1的证明．
（3）掌握相似三角形的判定定理1的应用。
教学重难点：掌握相似三角形的判定定理1的应用。
教学过程：
一、议一议
1、 我们知道，对应角相等、对应边也相等的两个三角形全等。
你还记得三角形全等的判定
条件吗？
2、 你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件？
3、 两个三角形中，至少有几个角对应相等才能保证这两个三角形相似？
二、做一做：几何画板演示，观察两个角对应相等时两三角形的对应边的比是否相等。
课本23页
猜想：两角对应相等的两个三角形相似。
二、证明猜想。
已知，如图，在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠A=∠A ’, ∠B=∠B ’. 求证：△ABC ∽△A ’B ’C ’
板书：两角对应相等，两三角形相似。
几何语言：
三、想一想：
1、 有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？
2、 等边三角形都相似吗？
3、 各有一个内角为100°的两个等腰三角形是否相似？为什么？
4、 △ABC 和△A ′B ′C ′中∠A=80°、∠B=40°、∠A ′=80°、∠C ′=60°.那么这两个三
角形相似吗？
四、例题讲解：
例1、 已知：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高。
请找出图中的相似三角形，并
说明理由。
试一试：你能由例1的结论得到下面的关系式吗？为什么？
1、AC 2=AD ·AB
2、BC 2=BD ·AB
练习1 、填一填 （1）如图3，点D 在AB 上，当∠ ＝∠ 时， △ACD ∽△ABC 。
（2）如图4，已知点E 在AC 上，若点D 在AB 上，则满足
条件 ，就可以使△ADE 与原△ABC 相似。
A
B
D
图 3 ● A
B C E
图 4
（3）如图C 是线段BD 上的一点，AB ⊥BD.ED ⊥BD.AC ⊥EC 求证：△ABC ∽△CDE
B
C
例2、 已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．
练习：1、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FD EF
BF
AF
2、已知：如图，△ABC 和△DEF 均为等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 上。
请找出一个与△DBE 相似的三角形，并证明。
五、小结：1、两三角形相似的判定定理1.
2、证明两个角相等的方法。
六、检测：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=70°、∠B=50°、∠A ′=70°、∠C ′=60°. 求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′
作业：课本
26
页练习：1、2、3；课本36页习题A 组 1、2.。