山西省晋城市届高三数学上学期期末试卷文(含解析)【含答案】

2015-2016学年山西省晋城市高三（上）期末数学试卷（文科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4}2．x1，x2，…，x n的平均数为，方差为S2，则数据3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的平均数和方差分别是（）A．和S2B．3和3S2C．3+5和9S2D．3+5和9S2+30S+253．函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）4．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180°D．240°5．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A ．3B ．4C ．5D ．66．若某几何体的三视图 （单位：cm ） 如图所示，则此几何体的体积是（ ）cm 3A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．直线y=kx+3与圆（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=4相交于M ，N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ．[﹣，0]B ．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C ．[﹣，]D ．[﹣，0]8．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（ ）A．7πB．14π C． D．9．要得到y=cos（2x﹣）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位10．在由正数组成的等比数列{a n}中，若a3a4a5=3π，则sin（log3a1+log3a2+…+log3a7）的值为（）A．B．C．1 D．﹣11．已知向量=（1，x﹣2），=（2，﹣6y）（x，y∈R+），且∥，则的最小值等于（）A．4 B．6 C．8 D．1212．若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，则关于x 的方程f（x）=x的解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量=（2，1），=（x，﹣6），若⊥，则|+|= ．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=36，则a2+a5+a8= ．15．已知函数f（x）=4x+3sinx，x∈（﹣1，1），如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0成立，则实数a的取值范围为．16．已知变量x，y满足，则的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．18．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．19．已知S n是数列{a n}的前n项和，满足，正项等比数列{b n}的前n项和为T n，且满足b3=8，T2=6．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记，求数列{c n}的前n项和G n．20．如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求点D到平面ABC的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交弧于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．21．已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．22．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围；（3）若函数h（x）=4f（x）+{\;}^{\frac{1}{2}}x+m•2x﹣1，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年山西省晋城市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题；集合．【分析】图中阴影部分所表示了在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合．【解答】解：图中阴影部分所表示了在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是{4}，故选A．【点评】本题考查了集合的图示运算，属于基础题．2．x1，x2，…，x n的平均数为，方差为S2，则数据3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的平均数和方差分别是（）A．和S2B．3和3S2C．3+5和9S2D．3+5和9S2+30S+25【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】根据数据的平均数和方差公式即可求解．【解答】解：根据数据平均数和方差公式可知，若y=ax+b，则数据y和x的平均数和方程之间的关系为：，，∵y=3x+5，∴，方差，故选：C．【点评】本题主要考查平均数和方差的计算，要求熟练掌握满足线性关系的两个数据之间平均数和方差之间的关系，直接计算即可求值．3．函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题．【分析】根据函数零点存在定理，若f（x）=log3x﹣8+2x若在区间（a，b）上存在零点，则f（a）•f（b）＜0，我们根据函数零点存在定理，对四个答案中的区间进行判断，即可得到答案．【解答】解：当x=3时，f（3）=log33﹣8+2×3=﹣1＜0当x=4时，f（4）=log34﹣8+2×4=log34＞0即f（3）•f（4）＜0又∵函数f（x）=log3x﹣8+2x为连续函数故函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（3，4）故选B【点评】本题考查的知识点是零点存在定理，我们求函数的零点通常有如下几种方法：①解方程；②利用零点存在定理；③利用函数的图象，其中当函数的解析式已知时（如本题），我们常采用零点存在定理．4．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180°D．240°【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，可得圆锥的母线是底面半径的2倍，进而得到圆锥侧面展开图的扇形的圆心角．【解答】解：∵圆锥的侧面积为：πrl，圆锥的底面面积为：πr2，∴若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的母线l是底面半径r的2倍，即l=2r，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为α，则2πl=2πr，即α=180°，故选：C【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥中，侧面展开图的扇形的圆心角α满足：α：360=r：l=S底：S侧是解答的关键．5．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a＜，a=，k=2不满足条件a＜，a=，k=3不满足条件a＜，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．6．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）cm3A．πB．2πC．3πD．4π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，即可得出．【解答】解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，∴此几何体的体积==2π．故选：B．【点评】本题考查了由三视图恢复原几何体的体积计算，属于基础题．7．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞] C．[﹣，] D．[﹣，0]【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d≤1，即≤1，化简得 8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范围是[﹣，0]．故选：A【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，以及弦长公式的应用，属于中档题．8．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A．7πB．14π C． D．【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．9．要得到y=cos（2x﹣）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的诱导公式，化简得y=cos（2x﹣）=sin（2x+），再根据函数图象平移的公式加以计算，可得本题答案．【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=sin[（2x﹣）+]=sin（2x+），∴若函数y=sin2x=f（x），则函数g（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]=f（x+）．因此，将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin（2x+）的图象，即函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=cos（2x﹣）的图象．故选：A【点评】本题给出形状相同的两个三角函数图象，要我们求从一个图象到另一个图象所要平移的距离．着重考查了三角函数的诱导公式和函数图象平移的公式等知识，属于基础题．10．在由正数组成的等比数列{a n}中，若a3a4a5=3π，则sin（log3a1+log3a2+…+log3a7）的值为（）A．B．C．1 D．﹣【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】利用对数的基本运算化简log3a1+log3a2+…+log3a7，通过a3a4a5=3π，求出对数的值，然后求解即可．【解答】解：因为由正数组成的等比数列{a n}中，a3a4a5=3π，所以a43=3π，a4=，∴log3a1+log3a2+…+log3a7=====．∴sin（log3a1+log3a2+…+log3a7）=sin=sin（2π）=sin=．故选B．【点评】本题是基础题，考查等比数列等比中项的应用，对数的基本运算，正弦的三角函数值的求法，考查计算能力．11．已知向量=（1，x﹣2），=（2，﹣6y）（x，y∈R+），且∥，则的最小值等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】基本不等式；平行向量与共线向量．【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理可得x+3y=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵∥，∴2（x﹣2）﹣（﹣6y）=0，化为x+3y=2．又x，y∈R+，∴===6，当且仅当x=3y=1时取等号．∴的最小值等于6．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，则关于x 的方程f（x）=x的解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题．【分析】先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，从而确定关于x的方程f（x）=x的解的个数．【解答】解：∵a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，∴a，b分别为函数y=4﹣x与函数y=lgx，y=10x图象交点的横坐标由于y=x与y=4﹣x图象交点的横坐标为2，函数y=lgx，y=10x的图象关于y=x对称∴a+b=4∴函数f（x）=当x≤0时，关于x的方程f（x）=x，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0，∴x=﹣2或x=﹣1，满足题意当x＞0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意∴关于x的方程f（x）=x的解的个数是3故选C．【点评】本题考查函数与方程的联系，考查根的个数的研究，解题的关键是求出分段函数的解析式，有一定的综合性．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量=（2，1），=（x，﹣6），若⊥，则|+|= 5．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，可得x=3，再由向量模的公式，计算即可得到所求．【解答】解：向量=（2，1），=（x，﹣6），若⊥，则•=2x﹣6=0，解得x=3，即有+=（5，﹣5），则|+|==5，故答案为：5．【点评】本题考查向量的垂直的条件：数量积为0，考查向量的模的计算，属于基础题．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=36，则a2+a5+a8= 12 ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求出等差数列的第5项，然后由等差数列的性质得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由S9=36，得9a5=36，∴a5=4，再由等差数列的性质得：a2+a5+a8=3a5=3×4=12．故答案为：12．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．15．已知函数f（x）=4x+3sinx，x∈（﹣1，1），如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0成立，则实数a的取值范围为（1，）．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质．【专题】导数的综合应用．【分析】利用导数判断函数的单调性，然后判断函数的奇偶性，化简不等式，得到不等式组求解即可．【解答】解：函数f （x ）=4x+3sinx ，x ∈（﹣1，1）， 满足f （﹣x ）=﹣（4x+3sinx ）=﹣f （x ），函数是奇函数． f′（x ）=4+3cosx ，x ∈（﹣1，1），f′（x ）＞0． 函数是增函数，f （1﹣a ）+f （1﹣a 2）＜0成立， 可得f （1﹣a ）＜f （a 2﹣1）成立，可得，解得：a ∈（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想以及计算能力．16．已知变量x ，y 满足，则的取值范围是 [，] ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A （﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，数形结合可得．【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A （﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B （2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C （0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：[，]【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在[70，80）上的频率．（Ⅱ）分别求出[60，70）分数段的人数，[70，80）分数段的人数．再利用古典概型求解．【解答】解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，故成绩落在[70，80）上的频率是0.3，频率分布直方图如下图．（Ⅱ）由题意，[60，70）分数段的人数为0.15×60=9人，[70，80）分数段的人数为0.3×60=18人；∵分层抽样在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[60，70）分数段抽取2人，分别记为m，n；，[70，80）分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d；设从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…（c，d）共15种，则基本事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d0共9种，∴P（A）=【点评】本题主要考查频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，属于基础题．18．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=sin（2x+）+，利用x∈[0，]，可求得2x+∈[，]，从而可求得f（x）的取值范围；（Ⅱ）依题意可求得sin（2A+）=0，A为锐角，可知A=，b=2，c=3，利用余弦定理可求得a=，继而可求得sinB及cosB的值，利用两角差的余弦可得cos（A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ） ===…．∵，∴，．∴．…．（Ⅱ）由，得sin（2A+）=0，又A为锐角，故A=，又b=2，c=3，∴a2=4+9﹣2×2×3×cos=7，解得a=．…．由，得，又b＜a，从而B＜A，cosB=．∴…【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与值域，考查正弦定理的应用，属于中档题．19．已知S n是数列{a n}的前n项和，满足，正项等比数列{b n}的前n项和为T n，且满足b3=8，T2=6．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记，求数列{c n}的前n项和G n．【考点】数列的求和．【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系可得a n．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得b n．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）n=1，a1=S1=2n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=n+1，∴a n=n+1．设等比数列{b n}的公比为q，首项为b1，依题意可知或（舍），∴．（2）则G n=2×2+3×22+4×23+…+n×2n﹣1+（n+1）×2n，2G n=2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n+（n+1）2n+1，∴﹣T n=2×2+（22+23+…+2n）﹣（n+1）×2n+1，即﹣T n=2×2+﹣（n+1）×2n+1，﹣T n=2×2+2n+1﹣4﹣（n+1）×2n+1，﹣T n=2n+1﹣（n+1）×2n+1，﹣T n=﹣n×2n+1，T n=n•2n+1，n∈N*．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求点D到平面ABC的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交弧于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知推导出DE⊥AO，DE⊥面ABC，从而DE即为点D到ABC的距离，由此能求出点D到面ABC的距离．（2）连结OF，则FO∥AC，从而FO∥面ACD，令OG交DB于M，连结MF，则MF∥CD，由此能推导出FG∥面ACD．【解答】解：（1）△ADO中，AO=DO，且，∴AO=DO=AD．又E是AO的中点，∴DE⊥AO．又∵面ABC⊥面AOD，且ABC∩面AOD=AO，DE⊂面AOD，∴DE⊥面ABC．∴DE即为点D到ABC的距离．又DE=，AO=．∴点D到面ABC的距离为．（2）FG∥面ACD．理由如下：连结OF，则△ABC中，F、O分别为BC、AB的中点．∴FO∥AC．又∵FO⊄面ACD，AC⊂面ACD，∴FO∥面ACD，∵OG是∠DOB的平分线，且OD=OB，令OG交DB于M，则M是BD的中点，连结MF，则MF∥CD，又∵MF⊄面ACD，CD⊂面ACD，∴MF∥面ACD，且MF∩FO=F，MF、FO⊂面FOG．∴面FOG∥面ACD．又FG⊂面FOG，∴FG∥面ACD．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（1）由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简可得a，b间满足的等量关系．（2）由于 PQ==，利用二次函数的性质求出它的最小值．（3）设⊙P 的半径为R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函数的性质求得OP=的最小值为，此时，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1，从而得到圆的标准方程．【解答】解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得 PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简可得 2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故当a=时，线段PQ取得最小值为．（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．故半径最小时⊙P 的方程为+=．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆的切线的性质，两点间的距离公式以及二次函数的性质应用，属于中档题．22．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围；（3）若函数h（x）=4f（x）+{\;}^{\frac{1}{2}}x+m•2x﹣1，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数奇偶性的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则f（﹣x）=f（x），可得k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，方程log4（4x+1）﹣x=a无解，则函数g（x）=的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域；（3）函数h（x）=4x+m•2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即 log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立．∴2kx=log4（4﹣x+1）﹣log4（4x+1）===﹣x，∴k=﹣…（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，则方程log4（4x+1）﹣x=x+a即方程log4（4x+1）﹣x=a无解．令g（x）=log4（4x+1）﹣x==，则函数g（x）的图象与直线y=a 无交点．…∵g（x）在R上是单调减函数．，∴g（x）＞0．∴a≤0 …（3）由题意函数h（x）=4f（x）+{\;}^{\frac{1}{2}}x+m•2x﹣1=4x+m•2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，…∵函数y=t2+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=﹣，故当﹣≤1，即m≥﹣2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=﹣1，当1＜﹣＜3，即﹣6＜m＜﹣2时，当t=﹣时，函数取最小值=0，解得：m=0（舍去），当﹣≥3，即m≤﹣6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=﹣3（舍去），综上所述，存在m=﹣1满足条件．…【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．。