§2.1.1 函数的概念和图象
高中数学 第2章 函数2.1.1函数的概念和图象(一)配套课件 苏教版必修1
2.1.1 函数的概念和图象(一)
【学习要求】 1．理解函数的概念，明确决定函数的三个要素； 2．学会求某些函数的定义域； 3．掌握判定两个函数是否相同的方法； 4．理解静与动的辩证关系． 【学法指导】 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要 数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数， 体会对应法则在刻画函数概念中的作用，感受学习函数的必要 性与重要性.
第二十一页，共24页。
练一练•当堂检测(jiǎn cè)、目标达成 落实处 2．下列关于函数与区间的说法正确的是___④_____．(填序号)
①函数定义域必不是空集，但值域可以是空集； ②函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了； ③数集都能用区间表示； ④函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应． 解析 函数的值域不可能为空集，故①错； 当两函数的定义域和值域分别相同时，但两函数的对应法则可 以不同，故②错； 由于整数集没法用区间表示，故③错． 只有④正确．
(3) 若 f(x) 是 偶 次 根 式 ， 那 么 函 数 的 定 义 域 是 ____根__号__(ɡ_ē_n__h_à_o_)_内__的_式__子__不__小__于__零___的实数的集合； (4)若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是 ____使__各__部__分__式__子_都__有__意__义___________的实数的集合(即使每个部 分有意义的实数的集合的交集)； (5)若 f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本 身有意义且符合____实__际__意__义______的实数的集合.
第三页，共24页。
填一填·知识要点(yàodiǎn)、记下 疑难点 2．求函数的定义域实质上是求使函数表达式有意义的自变量的取
2.1.1 函数的概念与图象(二)
厉庄高级中学 布置
2011-2012 学年度第一学期
高一数学学科电子教案
P28 练习：1,2
作业
板书 设计
课后 反思
注：1、课题字体：黑体小二加粗 2、栏目字体：仿宋四号加粗 3、内容字体：宋体小四
第 4 页 共 4 页
y 3 0 ，解得 y≠3，即即所求函数的值域为｛y | y ≠3｝ ． y 1 y 3 1
点评： （1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和 求值域的一些常用方法； （2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先 配方，找出对称轴，在对照图象观察． （三）课堂小结 （1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同 （2） 求解函数值域问题主要有两种方法： 一是根据函数的图象和性质 （或 借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用 分离常数法得 第 3 页 共 4 页
教 学 过 程
（一）创设情境 下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数？为什么？ （1）f(x)＝ (x－1) 0；g(x)＝1 ； （3）f(x)＝x 2；g(x)＝(x + 1) ＝ x2． （二）讲解新课 总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同 例1 求下列函数的定义域： （1） y x 1 x 1 ； （3） y 3
A B
x
f
C
f ( x)
厉庄高级中学
2011-2012 学年度第一学期
高一数学学科电子教案
数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了． 例 2．求下列两个函数的定义域与值域： （1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}； （2）f (x)=( x-1)2+1． 解（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，f(-1)= 5，f(0)=2，f(1)=1， f(2)=2，f(3)=5，所以这个函数的值域为{1，2，5}． （2） 函数的定义域为 R， 因为(x-1)2+1≥1， 所以这个函数的值域为{y ∣y ≥1} 说明 通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来
2.1.1 函数的概念和图象(一)
2.1.1 函数的概念和图象（一）一、教学目标1．知识与技能（1）能利用集合与对应关系的语言来刻画函数（2）了解函数的定义域及对应法则的含义2．过程与方法经历函数概念的发生过程，并归纳函数的概念，提高学生解决问题的能力和语言表达能力．3．情感、态度与价值观在探索函数本质的过程中,体会函数是刻画现实世界中的一类运动变化规律的模型,使学生养成运用无限运动、发展、变化的观点认识客观世界的思维习惯．二、重点难点教学重点：利用集合与对应关系的语言来刻画函数教学难点：对应法则f的理解三、教学过程（一）创设情境我们生活在这个世界上，每时每刻都在感受其变化．请大家看下面的实例：（1）一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，炮弹距地面高度h（米）随时间t（秒）的变化而变化，其规律是2=-．1305h t t（2）近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积随时间变化而变化情况．（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低．从下表中的数据，可以看出“八五”计划以来我们城镇居民的生活质量发生了显著的变化．（二）讲解新课问题1：在上面的每一个变化过程中，存在哪些变化的量？这些变化过程有什么共同的特点？问题2：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？每一个问题均涉及两个非空数集A、B的关系．存在某种对应法则f，对于A 中的某个元素x，B中总有一个元素y与之对应．问题4：如何理解对应法则f ？问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？给出函数的定义．指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素．一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合A 中的每一个元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y和它对应，这样的对应叫做从A到 B的一个函数，通常记为y＝f (x)，x ∈A．其中，所有的输入值 x组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域．函数的近代定义：集合语言、对应的观点．在掌握函数时，必须把握以下几点：（1）函数是一种特殊的对应f：BA→，集合A，B是非空的数的集合．（2）对应法则的方向是从A到B．（3）特别注意“非空”、“数集”、“每一个”、“惟一”这几个关键词．例1 判断下列对应是否为集合A到 B的函数：（1）A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛0，2，4，6，8｝， x ∈A，f：x→2x；（2）A＝R，B＝R，x ∈A，f：x → y ，y＝x；（3）A＝[0，＋∞)，B＝R，x ∈A，f：x → y ，y2＝x．解（1）对于集合A中的元素5，在集合B找不到中所对应的元素10，故这个对应不是从集合A到 B的函数；（2）对于任意一个实数x，x被x惟一确定，所以这个对应是从集合A到 B 的函数，这个函数也可以表示为 f (x)＝x；（3）考虑输入值为4，即当x＝4 时输出值y，由y2＝4给出，得y＝2和 y ＝－2．这里一个输入值与两个输入值对应（不是单值对应），所以，x → y（y2＝x）不是函数．研究函数时，除了符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号表示．例2 已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)．分析求x分别等于3、-2、a、a+1时函数f(x)的值．解 f(3)=3×32-5×3+2=14，f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52，f(a)=3a2-5a+2，f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a．说明：区别符号f(x)和f(a)，f(a)表示x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是一个函数．（三）课堂小结1．函数的集合观点的概念及其与初中的定义的区别.2．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的抽象的数学表示，f是对应法则，它可以是解析式，也可以是图象、表格．（四）课后作业P24练习Ex 5，6；P28习题 1，2，5．。
2012届高考数学第一轮复习精品试题：函数-学生版
2012届高考数学第一轮复习精品试题：函数§2.1.1 函数的概念和图象经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域： （1）H （x ）=f （x2+1）；（2）G （x ）=f （x+m ）+f （x －m ）（m ＞0）.当堂练习：1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A．(),()f x x g x ==B．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D．()()f x g x ==2函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是（ ）A ．{}1x x ≠ B ．{}2x x ≠- C ．{}1,2xx ≠-- D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是（ ）A ．5[,)4+∞B ．5(,]4-∞C ． 4[,)3+∞D ．4(,3-∞ 5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ）（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( ) A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）6．在对应法则,,,x y y x b x R y R→=+∈∈中,若25→,则2-→ ， →6．7．函数()f x 对任何x R +∈恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，已知(8)3f =，则f = ．8．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R+∆++∈，、. 若13k ∆=，则函数()fx k x=∆的值域是___________．9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ．10．函数2522y x x =-+的值域是 ．11． 求下列函数的定义域 ： (1)()121x f x x =-- (2)(1)()x f x x x+=-12．求函数y x =13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．14．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ． （1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求f[f(3)]的值．§2.1.2 函数的简单性质经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在［0，＋∞ )上图象与f （x ）的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是 f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ）③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 当堂练习：1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f(1)等于 （ ）A ．-3B ．13C ．7D ．含有m 的变量2．函数1()x f x -=是（ ）A ． 非奇非偶函数B ．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数C ． 偶函数D ． 奇函数3．已知函数(1)()11f x x x =++-,(2)()f x =2()33f x x x =+(4)0()()1()R x Q f x x C Q ∈=∈⎧⎨⎩,其中是偶函数的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．奇函数y=f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为（ ）5．已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是a,则集合B 中元素的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．函数2()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是 ．7． 已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2(1)f x x ++与()34f 的大小关系是 ．8．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是 ．9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称．10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是(,)22y x +-,若点A 在f 作用下的对应点是B(2,0),则点A 坐标是 ．13. 已知函数2122()x x f x x++=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．14．已知函数2211()a f x aa x+=-，常数0>a 。
函数的概念和图像
函数 - 函数的概念和图像一、函数的概念和图像● 定义总结1. 函数的定义设,A B 是非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个．．．元素x ，在集合B 中都有唯一．．的元素y ，和它对应，这样的对应叫做A 到B 的一个函数，通常记为(),y A f x x =∈.其中，所有的输入值x 所组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，与输入值x 对应的所有的输出值y 所组成的集合B 称为函数的值域. 1. 函数的图像将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值()0f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点()()00,x f x ，当自变量取遍．．函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合为()(){},x f x x A ∈，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象.● 知识归纳1. 相同函数的判断关键点：定义域、不等式.【例1】判断下列各组函数中的两个函数是否为同一函数： （1）()()2221,21x x x g t t f t =+-=+-；（2）()(),f x x g x ==（3）()(),f x x g x ==；（4）()()24,22x f x g x x x -==+-；（5）()()2f x g x x ==+.2. 函数的图像及应用关键点：作图、识图、用图.【例2】下图中可以作为函数图像的是 .A B C D【例3】画出()223f x x x =-++的图象，并根据图像回答问题：（Ⅰ）比较()()()0,1,3f f f 的大小；（Ⅱ）若121x x <<，比较()1f x 与()2f x 的大小.3. 函数的定义域关键点：熟知各种基本函数的定义域，列不等式组求解； 【例4】求下列函数的定义域：（1）03x y +=（2）y =注意点：注意y =2y =. 4. 定义域的逆向问题关键点：已知函数定义域，求参数的值. 【例5】已知函数y =的定义域为[]3,6-，求,a b 的值.424232121132132142【例6】已知函数y =的定义域是R ，求实数k 的取值范围.5. 函数的值域常用方法：直接法、配方法、判别式法、反表示法、换元法、部分分式法、图象法. 【例7】求下列函数的值域：（1）3y =；（2）y =二、函数的表示方法● 定义总结1. 解析法、列表法、图象法；2. 分段函数对于自变量x 的不同的取值范围有不同的解析式.● 知识归纳1. 函数的解析式常用方法：待定系数法、换元法、整体代换法（换元注意范围．．．．．．）. 【例1】已知()f x 是二次函数，其图象的顶点是()1,3，且过原点，求()f x .【例2】（1）已知()3221f x x -=+，求()f x 的解析式； （2）已知21111f x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.2. 简单函数图像的作法关键点：化简，注意定义域；列表，描点，作图。
蒋王中学2.1.1函数的概念和图象(1)
第二章、函数概念与基本初等函数2．1．1 函数的概念和图象（1）一、学习目标：1、理解函数的概念，了解函数的三要素；2、通过对函数抽象符号的认识与使用，提高在符号表示方面的能力；3、通过函数定义由变量观点向映射观点的过渡，从发展与联系的角度看待数学学习。
重点、难点：理解函数的概念与要素。
二、课前自学：阅读必修一第21—23页并完成下列问题。
1、一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式29.4x y =，若一物体下落2s ,则该物体下落的距离_____m 。
2、江苏高考成绩查分热线，当你输入一考生的准考证号码，就对应得到该考生的高考成绩，你还能找到类似的对应吗？3、你能抽象出函数的定义吗？4、下列对应中是函数的有________（1）R x x xx ∈≠→,0,2； （2）R y N x x y y x ∈∈=→,,,2这里； （3）R y R x x y y x ∈∈=→,,,这里（4）Z y Z x x y y x ∈∈=→,,,这里5、对于函数B A f →:而言，集合B 一定是其值域C 吗？6 、必修一第24页1、2。
三、问题探究例1、下列各组中的两个函数是否是同一函数？（1）22)(x y x y ==与； （2）2)()(t t g x x f ==与（3）11)(1)(2-⋅+=-=x x x g x x f 与； （4）1)(11)(2+=--=x x g x x x f 与例2、已知),(2)(),1,(11)(2R x x x g x R x x x f ∈+=-≠∈+=求： （1）的值)2(),2(g f ； （2）))2((g f 的值。
例3：求下列函数的定义域：（1）1)(-=x x f ； （2）11)(+=x x g ； （3）11)(+=x x f ； （4）14)(2--=x x x g例4：求下列函数的值域：（1）}3,2,1,0,1{,1)1()(2-∈+-=x x x f ； （2）42)(2+-=x x x g四、反馈小结反馈：必修一第24页3、4、5、6；第28页2。
函数的概念和图象
对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：
（1）对于变量x允许取的每一个值组成的集合A 为函数y=f(x)的定义域. （2）对于变量y可能取到的每一个值组成的集 合B为函数y=f(x)的值域. （2）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许 取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。
2.1 函数的概念和图象
在初中, 我们把函数看成是刻画和描述
两个变量之间依赖关系的数学模型.
设在某变化过程中有两个变量x，y。如果 对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有 唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数， x叫做自变量。
在现实生活中,我们可能会遇到下列问题:
(1)我国人口随年份的变化而变化,如:
年份 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 人口数 807 909 975 1035 1107 1177 1246
(百万)
你根据这个表说出在这几年中我国人口的变化情吗? 这是通过1969—1999年我国人口数据表来体现 人口随年份的变化而变化
在现实生活中,我们可能会遇到下列问题:
函数的定义:
一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按 某种对应法则f,对于集合A中的每一个元数x, 在集合B中都有唯一确定的元素与它对应,这样 的对应叫做从A到B的一个函数(functin), 通常记为: y=f(x),x∈A. 其中,所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x) 的定义域(domain). 所有的输出值y组成的集合B叫做函数y=f(x) 的值域(range).
8 θ /0c
6 2
-o2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
T/h
(1)上午6时的气温约是多少?全天的最高、 最低气温分别是多少? (2)在什么时刻,气候为00C? (3)在什么时段内,气温在00C以上?
省优获奖课件 高中数学 2.1.1函数的概念和图象(1)课件 苏教版必修1
定义域 函数的三要素 值域
函数的图象
A＝{x|y＝ f(x)}
函数存在的范围
C＝{y|y＝ f(x)，x A} 函数变化的范围
M＝{(x，y)|y＝ f(x)，xA}
函数本质属性的直观反映
下表的对应关系能否表示一个函数呢？
x
1
3
5
7
y －1 －3 0
0
数学应用：
1．1 n mile(海里)约为1854m，根据这一关系，写出米数y关于海里数x 的函数解析式．
350 360 350 320
270 200 110
0
根据上表确定销售价格，使得利润最大！
利 此题能否利用解析式求使利润最大的销售价格？ 润
数学建构：
表示法 列表法 图象法 解析法
优点 对应关系清晰明了
直观而形象 简单便于研究
缺点 不连续、容量小 对应关系不清晰
抽象
数学应用：
已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：
情境问题
4．如图，A(－2，0)，B(2，0)，点C在直线y＝2上移动．则△ABC的面积S与 点C的横坐标x之间的变化关系如何表达？
y
C
y＝2
AO
Bx
(1)这个过程中，涉及哪几个变量？ (2)我们能否说S是x的函数呢？
情境问题
5．用集合表示函数y＝ 1 x x 1 的定义域和值域．
(1)从函数的角度看这个问题中的函数，有什么问题吗？ (2)如何改变函数的定义，使之满足函数的要求呢？
/℃ 10
6
22
O
10
24
20
t/h
情境问题
2．估计人口数量变化趋势是我们指定一系列相关政策的依据．下表是我国从 1949年至1999年人口数据资料：
2.1.1函数的概念和图像 课件
建构数学
(1)
1
1
2
3
2
4
5
3
6
(2)
1
1
-1
2
4
-2
3 -3
9
A 乘2 B
A 平方 B
f(x)=2x
建构数学
观察下列两个非空数集A、B的元素之间 的对应关系，它们有什么共同点？
1
1
2
3
2
4
5
3
6
A 乘2 B
(1)
1
1
-1
2
4
-2
3 -3
9
A 平方 B
(2)
1
1
2
1/2
3
4
1/3
1/4
A 求倒数 B
(3)
建构数学
函数的定义： 设A、B是非空 的数集 ，如果按照某种对应
法则f，对于集合A中的每一个 数x，在集合B中 都有惟一 的元素y和它对应，这样的对应叫做 从A到B的一个函数 ，通常记为
f(x)=x2
x∈{1,2,3} x∈{-3,-2,-1,1,1/2
3
4
1/3
1/4
A 求倒数 B
g(x)=1/x x∈{1,2,3,4}
回顾反思 理解函数的定义我们要注意些什么呢？
1.函数是非空数集到非空数集上的一种对应；
2.集合A中每一个元素在集合B中有唯一输出值， 集合B中每一个元素在集合A中未必有输入值；
2013版高考数学 2.1.1 第1课时 函数的概念课件 苏教版必修1
提升总结：求函数的值域需要注意的问题有哪些？
（1）要看清函数的定义域；
（2）最后的结果一定要写成区间或集合的形式。
1.函数y
1 的定义域是 _____ x 1
【解析】要使函数式有意义，须满足x 1 0 x -1.故定义域为 -1, . 【答案】 -1, .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次函数
(a 0)
R
例 1 判断下列对应是否为函数： 2 （1）x ,x 0 ,x R; x （2）x y ,这里 y 2 x ,x N ,y R
函数的定义
（2）考虑输入值为4，即当x=4时输出值y由 y 2 = 4 给 出，得y=2和y=-2.这里一个输入值与两个输出值对应（不
当x 2时，y 4.9 22 19.6 m
3.如图为某市一天24小时内的气温变化图。
(1)全天的最高、最低气温分别是多少？
9 ℃、-2 ℃
(2)在什么时刻，气温为0℃? 7时与23时
(3)在什么时段内，气温在0℃以上？7时-23时
θ/℃
10 8 6 4 2
O -2
2
4
6
8
10
函数的值域为 1，2，5 .
2 （2）函数的定义域为 R, 因为（x 1） 1 1 ,所以这个函
数的值域为 y y 1 .
求下列函数的值域：
2 （ 1 ）f ( x) （x -1） 1；
（2）f ( x) x 1，x 1 ，2
解：（1）值域为 {y y ? （2）值域为 (2 ，3 ]. 1} .
例 2 求下列函数的定义域： （1）f ( x) x 1 1 （2）g(x) x 1
人教版A版必修一《函数的概念及其表示》课件ppt
自主诊断 2.(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是
√
√
√
在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中， 图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函 数图象.
自主诊断
3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是
A.y＝ x3＋－3x与 y＝
x＋3 3－x
(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式.
0
(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2，
①
∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2，
②
由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，
∴f(x)＝3x－2(x∈R).
思维升华
函数解析式的求法 (1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.
√B.y＝x2 与 y＝(x－1)2 √C.y＝ x2与 y＝x
√D.y＝1 与 y＝x0
自主诊断
对于 A 选项，y＝ x3＋－3x的定义域是[－3,3)， y＝ x3＋－3x的定义域是[－3,3)， 并且 x3＋－3x＝ x3＋－3x，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同， 所以是同一个函数；
√C.f(x)＝x－，xx，≥x0<，0， g(t)＝|t|
D.f(x)＝x＋1，g(x)＝xx2－－11
对于 A，f(x)＝ x2的定义域为 R，g(x)＝( x)2 的定义域为[0，＋∞)， 不是同一个函数； 对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一 个函数； 对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数； 对于 D，f(x)＝x＋1 的定义域为 R，g(x)＝xx2－－11的定义域为{x|x≠1}， 不是同一个函数.
《函数的概念与基本初等函数Ⅰ》
2.对数的运算性质:
对数运算有如下性质: log a MN log a M log a N , M log a log a M log a N N 其中 a 0, a 1, M 0, N 0
1 2
当a 0, a 1, M 0时, log a M n n log a M , n R .
proper num ber .
通常将以10为底的对数称为常用对数 commonlog arithm.
在科学技术中 常常使用以e 为底的对 , 数, 这 种 对数 称为自然对数 ( natural log arithm) , e 2.71828 是 一个无理 数 .正数N 的自然对数loge N 一般记为 ln N .
对数函数的图象与性质
a 1
0 a 1
图象见几 何画板 图象见几 何画板
图 象
1定义域: 0,; 2值域: R ; 性 3图象过点1,0; 4 在0,上是
质
单调增函数;
在0,上是 单调减函数;
那么它的反函数记作 f 1 x . y
为y a x的反函数.一般地, 如果y f x 存在反函数,
yx
1
(1,1)
1 2
2 在第一象限内, 函数的图
象随 x 的增大而上升 函数在 , 区间0,上是单调增函数.
y x3
O
1
x
§2.5函数与方程
1.二次函数与一元二次方程
当a 0 时, 可以得到方程ax2 bx c 0的根与函数 y ax2 bx c 的图象之间的关系如下表所示. ,
1
1 定义域: R ; 2 值域: 0, ; 性 3图象过定点0,1; 质 4 在R上 在R上是
函数概念及图像(2)
§2.1.1函数的概念与图象（2）例1．求下列函数的定义域：（1）()f x x = （2）)(x f =x x -1（3）1()21f x x=+ （4）)(x f =+-x 5x -21 分析：如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母0≠的实数的集合；如果()f x 是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的表达式≥0的实数的集合。
★注意定义域的表示可以是集合或区间。
例2．周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域例3．若函数=y )(x f 的定义域为[]1,1-（1）求函数(1)f x +的定义域；（2）求函数=y )41()41(-++x f x f 的定义域。
[课内练习]１．函数()1f x x x =-的定义域是―――――――――――――――――（ ） Ａ．(),0-∞ Ｂ．()0,+∞ Ｃ．[0,)+∞ Ｄ．Ｒ２．函数f(x)的定义域是[12,1]，则y=f(3-x)的定义域是―――――――――（ ） A ［0,1］ B ［2，52］ C ［0，52］ D (),3-∞ ３．函数()f x =()01x -的定义域是：４．函数)5lg()(-=x x f 的定义域是5．函数()()1log 143++--=x x x x f 的定义域是[归纳反思]１．函数定义域是指受限制条件下的自变量的取值；２．求函数的定义域常常是归结为解不等式和不等式组；[巩固提高]1．函数y =21x -+12-x 的定义域是----------------------------[ ]A ．[1-，1]B ．（),1[]1,+∞-∞-C ．[0，1]D ．{1,1-}2．已知)(x f 的定义域为[2,2-]，则)21(x f -的定义域为------------[ ]A ．[2,2-]B ．[]23,21-C ．[]3,1-D ．[,2-]23 3．函数01x y+=------------------------------------[ ]A ．{}0x x >B ．{}0x x <C ．{}0,1x x x <≠-D ．{}0,1x x x ≠≠- 4．函数y =xx 1+的定义域是 5．函数)(x f =1+x 的定义域是 ；值域是 。
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§2.1.1 函数的概念和图象
重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f（x）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法；函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解．
考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；
③了解简单的分段函数，并能简单应用；
（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；
（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( )
A．（1），（2），（3） B．（1），（3），（4） C．（2），（4） D．（2），
（3）
6．在对应法则,,,x y y x b x R y R →=+∈∈中,若25→,则2-→ ，7．函数()f x 对任何
x R +
∈恒有122()()f x x f x ⋅=，已知(8)3f =，则f 8．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R +
∆=+∈，、. 若13k ∆=，则函数(
)
f x
k x
=∆的值域是___________．
9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)
的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ． 10．函数2
522
y x
x =
-+的值域是 ．
11． 求下列函数的定义域 ： (1)()121
x f x x =
-
-
12．求函数y x =-
13．已知
f(x)=x 2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．
14．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ． （1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求f[f(3)]的值．
A
B
§2.1.1 函数的概念和图象
经典例题：
解：（1）∵f （x ）的定义域为［0，1］， ∴f （x 2+1）的定义域满足0≤x 2+1≤1． ∴－1≤x 2≤0．
∴x =0． ∴函数的定义域为｛0｝．
（2）由题意，得⎩⎨⎧≤-≤≤+≤.10,10m x m x 得⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-.1,
1m x m m x m
则①当1－m ＜m ，即m ＞
2
1时，无解； ②当1－m =m
③当1－m ＞m ＞0，即0＜m ＜2
1时，m ≤x ≤1－m ．
综上所述，当0＜m ≤2
1时，G （x ）的定义域为{x |m ≤x ≤1－m
(1,)+∞;9. f(x)= -6x 2
+12x+9; 10.(0,5];
⋃(-1,0)．12. 设
,0t t =≥，则
112
-
,所求函数的值域为1[,)12
-+∞.
,即32t -≤≤-时g(t)=f(-2);③当t>-2时, -2-t< (t+1)-(-2), 即t 52
>-
时, h(t)=
5)
2
5)
2
t t ≤->- 14. 解：（1）当02x <≤时，S=x ；当24x <≤时，S=2；当46x <<时，S=6-x 。
定义域是（0，6），值域是（0，2） (2) f[f(3)]=f(2)=2．。