第十一章 动能定理

得 d Ek =
பைடு நூலகம்
∑ d' w
i
称质点系动能定理的微分形式： 称质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增 动能定理的微分形式 量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。 等于作用于质点系全部力所作的元功的和。
积分之， 积分之，有
E k − E k 0 = ∑ wi
内力作功之和不一定等于零。（P94） 内力作功之和不一定等于零。 ）
称功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等 称功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数， 于作用于质点系的所有力的功率的代数和。 于作用于质点系的所有力的功率的代数和。
dE k dE k = P输入 − P有用 − P无用 或 P输入 = P有用 + P无用 + dt dt
系统的输入功率等于有用功率、 系统的输入功率等于有用功率、无用功率与系 统动能的变化率之和。 统动能的变化率之和。
积分之， 积分之，有
1 1 2 2 mυ 2 − mυ1 = W12 2 2
称质点动能定理的积分形式： 称质点动能定理的积分形式：在质点运动的某 动能定理的积分形式 个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力 个过程中， 做的功。 做的功。
已知：m,h,k,其它质量不计。 其它质量不计。 已知： 其它质量不计 求： δ max
4、定轴转动刚体的动能 、
5、平面运动刚体的动能 、 速度瞬心为P 速度瞬心为
1 1 2 E k = J pω = ( J C + md 2 )ω 2 2 2 1 2 1 得 E k = mvC + J Cω 2 2 2
即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和。 绕质心转动的动能之和。 之和
2
2
p 重力
ds ds = mg , p 弹性力 = − ks dt dt
dT = p 重力 + p 弹性力 dt
J ds d 2s ds ds m + = mg − ks 2 R dt dt2 dt dt
J d 2s = mg − ks m + 2 2 R dt
A1
A2
r 1 1 d ( r ⋅ r ) = d ( r 2 ) = dr 因 er ⋅ dr = ⋅ dr = r 2r 2r
W12 = ∫ r12 −k (r − l0 )dr 得 r
k 2 2 即 W12 = (δ1 − δ 2 ) 2
式中 δ 1 = r1 − l0 , δ 2 = r2 − l0 弹性力的功也与路径无关 弹性力的功也与路径无关 路径
dr P=F⋅ = F ⋅ v = Fτ v dt
功率等于切向力与力作用点速度的乘积
d 'W dϕ P= = Mz = M zω dt dt
转动刚体： 转动刚体： 功率等于作用于转动刚体上的力对转轴 的矩与角速度的乘积
单位W（瓦特）， 单位 （瓦特），1W=1J/S ），
2、功率方程 、
n n dE k d'Wi =∑ = ∑ Pi dt i =1 dt i =1
1、质点的动能定理 、
dυ = F 两端点乘 υ dt = dr ， 将 m dt 得 mυ ⋅ dυ = F ⋅ dr
1 2 由于 mυ ⋅ dυ = d( mυ ) 和 2
1 因此 d( mυ 2 ) = d ' w 2
F ⋅ d r = d' w
上式称为质点动能定理的微分形式， 上式称为质点动能定理的微分形式，即质点 质点动能定理的微分形式 动能的增量等于作用在质点上力的元功。 动能的增量等于作用在质点上力的元功。
则
W12 = ∫
M2 M1
( Fx dx + Fy dy + Fz dz )
3、常见力的功 、 （1）重力的功 ）
(2) 弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m) 弹簧刚度系数 弹性力
F = − k ( r − l0 )er
A2
弹性力的功 弹性力的功为
W12 = ∫ F ⋅ dr
A1
= ∫ − k (r − l0 )er ⋅ dr
Ep = ∫
r1 r
fm1m2 1 1 dr = fm1m2 ( − ) 2 r r1 r
取零势能点在无穷远 r1 = ∞
fm1m2 Ep = − r
3.机械能守恒定律 机械能守恒定律
质点系在某瞬时的动能和势能的代数 和称为机械能 机械能。 和称为机械能。
质点在势力场内运动时机械能保持不变， 质点在势力场内运动时机械能保持不变， 这就是机械能守恒定律 机械能守恒定律。 这就是机械能守恒定律。
例: 已知 m . l0 .k . R .J 系统的运动微分方程。 求：系统的运动微分方程。 解： S = R ϕ
1 ds T = m 2 dt
2
1 dϕ + J 2 dt
1 J d s = m + 2 2 R d t
普遍定理的综合应用 动量、动量矩 动能
矢量，有大小方向 非负的标量，与方向无关 内力不能使之改变 只有外力能使之改变 内力做功时可以改变动能 约束力是外力时对之有影响。不与 只有做功能改变动能 能量相互转化，应用时不考虑能量 理想约束不影响动能 的转化与损失。 当外力主矢为零时，系统动量守恒 在势力场中，机械能守恒 当外力对定点或质心的主矩为零时， 系统对定点或者质心的动量矩守恒。 动量定理描述质心的运动变化 动量矩定理描述绕质心或绕定点的 动能定理描述质心运动及相对质 运动变化。 心运动中动能的变化。
第十一章 动能定理
第十一章 动能定理
§11.1 动能的概念和计算 §11.2 功的概念和计算 §11.3 动能定理 §11.4 功率 功率方程 机械效率 §11.5 势力场 势能 机械能守恒
§11.1 动能的概念和计算
1 E k = mυ 2 2
1、质点的动能 、
单位：J（焦耳） 单位：J（焦耳）
第十一章 动能定理
§11.1 动能的概念和计算 §11.2 功的概念和计算 §11.3 动能定理 §11.4 功率 功率方程 机械效率 §11.5 势力场 势能 机械能守恒
§11.5 势力场 势能 机械能守恒
1.势力场 势力场 力场
F = F ( x, y , z )
空间某区域内任意位置处，存在大小、方向均 空间某区域内任意位置处，存在大小、 取决于质点位置的力，该区域称为力场 取决于质点位置的力，该区域称为力场 如：磁力场、万有引力场、重力场 磁力场、万有引力场、
2、变力的功 、 元功 d ' w = F cos θ ·ds 即
d' w = F ⋅ d r
M 1 ~ M 2 路程上的功为
M2 M1
力F 在
W12 = ∫
d' w = ∫
M2
M1
F ⋅ dr
记 F = F i + F j + F k x y z
d r = d x i + d yj + d zk
令 δ0 为弹簧静伸长，即 为弹簧静伸长， mg=k δ0 ,以平衡位置为 以平衡位置为 原点
S = δ 0 + x,
J d2x m + 2 2 = mg − k δ 0 − kx = − kx R dt
J d2x + kx = 0 m + 2 2 R dt
势力场： 场力的功只与力作用点的始、末位置有关， 势力场： 场力的功只与力作用点的始、末位置有关，
与路径无关。 与路径无关。 如：重力场、弹性力场 重力场、
2.势能 势能 在势力场中，质点从点 运动到点 运动到点M 在势力场中，质点从点M运动到点 0， 由势力所做的功称为质点在点M相对于点 相对于点M 势能。 由势力所做的功称为质点在点 相对于点 0的势能。
解：
E k1 = 0,Ｅ 2 = 0, ｋ
k 2 0 − 0 = mg (h + δ max ) − δ max 2
δ max
mg 1 = + m 2 g 2 + 2kmgh k k
2、质点系的动能定理 、
1 由 d ( miυi 2 ) = d ' wi 2
求和
1 2 ∑ d ( 2miυi ) = ∑ d' wi
3、理想约束 、
光滑接触面、固定铰链支座、 光滑接触面、固定铰链支座、光滑圆柱铰链 、柔索类等约束的约束力作功等于零。 柔索类等约束的约束力作功等于零。 称约束力作功等于零的约束为理想约束。 称约束力作功等于零的约束为理想约束。 理想约束 对理想约束， 对理想约束，在动能定理中只计入主动力的 功即可。 功即可。
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§11.1 动能的概念和计算 §11.2 功的概念和计算 §11.3 动能定理 §11.4 功率 功率方程 机械效率 §11.5 势力场 势能 机械能守恒
§11.2 功的概念和计算
1、常力的功 、
W = F cosθ ⋅ s = F ⋅ s
功是代数量 单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m （焦耳）
3、机械效率 、
在工程中，把有效功率（ 在工程中，把有效功率（包括克服有用阻力的 功率和使系统动能改变的功率） 功率和使系统动能改变的功率）与输入功率的比值 称为机器的机械效率， 称为机器的机械效率，用η表示 。
dE k 有效功率 P有效 = P有用 + dt P有效 机械效率 η = P输入
P97 例 11-5
W12 = ∫ M z dϕ
ϕ1
ϕ2
若 M z = 常量 则 W12 = M z (ϕ 2 − ϕ1 )
第十一章 动能定理