§8-3 可降为一阶的二阶微分方程的解法
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本'''()y ay by f x ++=身的特解之和。
微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。
那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。
而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为(1)'''()y ay by f x ++=这里都是常数。
为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程b a 、(2)20k ak b ++=对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根。
则方程(1) 可以写成12k 、k'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记 , 则(1) 可降为一阶方程'2z y k y =-由一阶线性方程的通解公'1()z k z f x -= [5]()()[()]p x dx p x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰(3)知其通解为这里表示积分之后的函数是以为自变量的。
1130[()]xk xk tz e f t edt c -=+⎰0()xh t dt ⎰x 再由11230[()]x k xk t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰解得12212()()34012[(())]k k xxuk xk k ue y e ef t dt du c c k k --=++-⎰⎰应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k xxxk xk tk te e y ef t edt f t edt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰(4)1122121200121[()()]x x k x k t k xk t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰2 若特征方程有重根, 这时方程为k 或'''22()y ky k y f x -+='''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'1()xkxkx kt ey key e f t dt c ----=+⎰即10()()x kxkt d e y e f t dt c dx--=+⎰故(5)120()()xkx kt kx kx y ex t e f t dt c xe c e -=-++⎰例1 求解方程'''256xy y y xe -+=解 这里 的两个实根是2 , 32560k k -+=.由公式(4) 得到方程的解是2()x f x xe =332222321200xxx t t x t t x xy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200xxx t x x xe te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132xx x x x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里.321c c =-例2 求解方程'''2ln x y y y e x-+=解 特征方程 有重根1 , .由公式(5) 得到方程的解是2210k k -+=()ln x f x e x =120()ln xx t t x xy ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln xxx xe x t tdt c xe c e =-++⎰1200[ln ln ]xxxx xe x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰21213ln 24x x xx e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是, (6)'''()y py qy f x ++= , (7)'''0y py qy ++=其中 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方p q 、程(7) 的通解。
二阶常微分方程的几种解法-推荐下载
得到方程(7)的通解 (c1 c2 x)ex 。 3. 当特征方程有一对共轭复根 i 时,可得方程(7) 的两个线性无关的解e
x cos x、ex sin x 。从而得方程(7) 的通解 c1ex cos x c2ex sin x 。 综上所述可知,方程(7) 总有形如 ex cos x 、 ex x sin x 的解,其中 i 为方
程(7) 所对应的特征方程的特征根。关于方程(6) 的求解,我们就 f (x) 为 ex 或
p2 (x) cos x pn sin x时进行了讨论,给出了这两种情况下的解法。
我们将由方程(7) 的一个特解,通过参数变易法构造出方程(6) 的通解。 首先求出方程(7) 的一个特解,不妨将此解记为 y1 y1(x) ex cos x 。
(1)
(2)
y ek2x[
x (e(k1 k2 )u
0
应用分部积分法, 上式即为
y
(k1 k2 ) x
ek2 [ e x
1 [ek1x k1 k2
k1 k2
0
u
0
f
(t)dt)du
x f (t)ek1t dt 1
x f (t)ek1t dt ek2x
0
2 若特征方程有重根 k , 这时方程为
[
知其通解为
x 0
Q(x)e p(x)dxdx c] [5]
x
h(t)dt 表示积分之后的函数是以 x 为自变量的。
0
f (t)ek1t dt c3 ]
1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
二阶微分方程教学课件
再积分，得
即
所以
于是所求的特解为
*
为了求出它的解，
利用复合函数的求导法则，
于是方程(4)就变为
这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程 .
设它的通解为
分离变量并积分，得方程(4)的通解为
方程
(4)
中不显含自变量 x ．
*
例4
解
方程不显含自变量 x ，
定理1
这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性．
叠加起来的解(7)从形式上看含有 与 两个任意常数，但它还不一定是方程(6)的通解．
先讨论二阶常系数线性齐次微分方程
(6)
的解的结构．
那么
(7)
也是方程(6)的解，其中是任意常数．
*
那么在什么情况下(7)式才是(6)式的通解呢？
因此，我们可以设想二阶常系数齐次方程式的特解也是一个指数函数 ，只要求出 r ,便可得到方程(6)的解．
如果函数 是常系数线性齐次微分方程(6)的两个线性无关的特解，那么
*
所以上式要成立就必须有
(8)
反之，若r是方程(8)的一个根，
特征方程为
特征根为
*
综上所述，
的根
特征方程
方程
通解
两个不相等的实根
两个相等的实根
一对共轭复根
(3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解：
求二阶常系数线性齐次微分方程
的通解步骤如下：
（6）
(2) 求出特征方程的两个根 与 ；
(1) 写出方程对应的特征方程 ；
特征方程的根称为特征根．
可降阶的二阶微分方程
第八章
可降为一阶的二阶微分方程的解法
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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本节考虑二阶微分方程
y f (x, y, y)
中的如下的三种特殊类型:
一、
型的微分方程
二、
型的微分方程
三、
型的微分方程
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一、y(n) f (x) 型的微分方程
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
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三、y f ( y, y) 型的微分方程
特点：右端不含有自变量x。 令 y p ( y), 则 y d p d p dy
dx dy dx
答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
例6 例7
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故所求通解为
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内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
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思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些.
有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?
e
2
x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos
x
C1x
C2
y
1 8
e
重点可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解(精)
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
2 [例 2] 求方程 2 xy y 1 ( y ) 的通解. 解 令 y p ( x) ,则 y( x) p( x) ，将其代入所给方 2 2 x p p 1 p , 程,得
2 pd p d x 分离变量得 , 两边积分得 2 1 p xLeabharlann 第七章微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
[例 3] 求方程yy
y 0的通解.
2
dP 解 设 y P( y ), 则 y P , dy
dP dP 2 P 0, 即 P ( y 代入原方程得 y P P ) 0, dy dy dy dP 由 y P 0， 可得 P C1 y , C1 y , dx dy
0
1 x y ' 1 y ' 2 dx a 0
取原点O到点A的距离为定值 a
1 2 y ' ' 1 y ' a 于是有 y (0) a, y(0) 0
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
a 2 2C1 1 p 将初始条件 y ' (0) p(0) 0 代入①式，解得
a 将 C 2 0 代入②式， 解得曲线方程为 y (e e ). 2
x a
x a
此曲线为悬链线．
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
方程的特点：方程右端不显含未知函数y. 方程的解法： 令 y p( x) ,则 y p( x), 将它们
代入方程得
p( x) f ( x, p( x))
可降阶的二阶微分方程
两端积分得
再次积分得
y′=∫f(x)dx+C1
y=∫∫f(x)dxdx+C1x +C2. 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含有n个
任意常数的通解.
一、形如y″=f(x)的微分方程
【例15】
解方程y″=ex+6x. 解 连续二次积分，得
y′=ex+3x2+C1， y=ex+x3+C1x+C2.
【例18】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解.
谢谢聆听
可降阶的二பைடு நூலகம்微 分方程
可降阶的二阶微分方程
下面仅讨论几种特殊类型的二阶微分方程， 我们可以通过代换将它们化成一阶的方程来解， 即对于二阶微分方程
y″=f(x,y,y′) 设法作代换把它由二阶降至一阶，再利用前 面所学的方法来求解即可.
一、形如y″=f(x)的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)
其右端仅含自变量x，如果以y′为未知数，就是一阶微分方程，
【例16】
解方程xy″=y′lny′.
二、形如y″=f(x,y′)的微分方程
【例17】
三、形如y″=f(y,y′)的微分方程
方程
y″=f(y,y′)
(12-14)
中不显含自变量x.为了求出它的解，我们令y′=p，并利用
复合函数的求导法则把y″化为对y的导数，即
三、形如y″=f(y,y′)的微分方程
二、形如y″=f(x,y′)的微分方程
方程
y″=f(x,y′)
(12-13)
的右端不显含y.
令y′=p(x)，则
代入方程(12-13)中，得
=f(x,p)
二阶常微分方程的降阶解法
郑州航空工业管理学院毕业论文（设计）2015届数学与应用数学专业1111062班级题目二阶常微分方程的降阶解法姓名贾静静学号111106213指导教师程春蕊职称讲师2015年4月5号二阶常微分方程的降阶解法摘要常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。
常微分方程在微分理论中占据首要位置•普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面，不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。
而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的•不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难，迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。
本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。
关于二阶常系数线性微分方程的求解问题，首先，我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。
关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。
对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。
关键词二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式Order reduction method of second order ordinarydifferential equationsJingjing Jia Chun「ui Cheng 111106213AbstractOrdinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice ・ Ordinary differential equations in the theory of d if fere ntial occupied first place, it has been widely used in engi neering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem・ And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty? so far we haven't a well-established general method・This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly?we should use theintegral fact or times d if fere ntial equation and derivative operation and turn two order constant coefficient linear differential equation into the first order differential equation.Finally. We first order differential and integral form on both sides, solve the first order linear differential equations and find out a special solution or gen era I solution of the second orde r linear constant coefficie nt differential equation. We solve the problem of second order homogeneous linear differential equation with variable coefficients, and should be turned into the appropriate equation, through the order reduction method to solve the second order homogeneous general solution of differential equation with variable coefficients.Solving non-homogeneous linear differential equation, we need to calculate it by applying the method of constant variation of a particular solution, problem is solved accordingly.Keywordssecond order ordinary differential equation ；Order reduction method; Characteristic root;Constant variation method;A first order differential form.第一章预备知识 (2)第二章二阶常系数线性微分方程的降阶法 (5)2.2提出问题 (5)2.2二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法 (6)2.3举例 (6)2.4小结 (8)第三章二阶变系数线性常微分方程的降阶法 (9)3.2提出问题 (10)3.2二阶齐次变系数线性常微分方程的降阶法 (10)3.2.1求满足条件1的恰当方程的通解 (10)3.2.2求满足条件2的恰当方程的通解 (12)3.3小结 (14)第四章可降阶的二阶常微分方程 (15)4.1鬃= /（"）型的微分方程 (15)d'y _ f（ dy^4.2d'x L'd.J型的微分方程 (15)4.3=型的微分方程 (16)第五章可降阶的高阶常微分方程 (18)5.1= /（x）型的方程 (18)5.2%,严$叫...严）=o（i“s）型的方程.. (18)5.3F（y,y',y"，...,严）=0 的方程.. (19)54 F（x,y,〉「,...$"））=＜①（X,y"T）=o型的方程……20 d.x总结 (21)... (23)二阶常微分方程的降阶解法班级学号1111062贾静静指导教师程春蕊职称讲师第一章预备知识2•只有自变量、未知函数及函数的导数(或微分)构成的关系式，就是微分方程。
(整理)可降阶的二阶微分方程
第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。
因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的§5.122dxyd ＝f(x)型的微分方程 这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，积分一次得dxdyf(x)dx ＋C1再积分一次得 y f(x)dx ＋C 1］dx＋C ２上式含有两个相互独立的任意常数C 1，C 2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程22dx y d ＝－xsin 12 满足y ｜x ＝4π22ln ，dx dy 4x |π=＝1解dxdy ＝ctanx ＋C1以条件dx dy4x |π=＝1代入得C 1＝dxdy ＝ctanxy ＝ln ｜sinx ｜＋C2以条件y ｜x ＝4π22ln－22ln ln 22＋C 2 即C 2＝于是所求特解是 y ＝ln ｜sinx 这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程n n dxyd ＝f(x)，只要积分n例2. 解微分方程33dx yd ＝lnx ＋x解 积分一次得 22dxyd ＝xlnx ＋x ＋C1积分二次得 dx dy ＝21x 2lnx －4x 2＋C 1x ＋C2积分三次得 y ＝6x 3lnx ＋12x 3＋2C 1x 2＋C 2x ＋C3§5.222dx y d ＝f(x, dxdy)这种方程的特点是不明显含有未知函数y ，解决的方法是：我们把dxdydxdy＝p于是有22dx y d ＝dx dp，这样可将原方程降为如下形式的dx dp=f(x,p)这里p p ＝φ(x,C １)然后根据关系式dxdy＝py ＝∫φ(x,C 1)dx ＋C2例3. 求微分方程(1＋x 2) 22dx y d －2x dxdy ＝0的通解 这是一个不明显含有未知函数y 的方作变换 令 dx dy＝p ，则22dx y d ＝dxdp，于是原方程降(1＋x 2) dxdp －2px ＝p dp ＝2x1x2dx积分得ln ｜p ｜＝ln(1＋x 2)＋ln ｜C 1即 p ＝C 1(1＋x 2)从而 dxdy ＝C 1(1＋x 2)y ＝C 1(x ＋3x 3)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)解 取曲线上最低点N 的铅直线作Oy 轴，取水平方向的直线为Ox 轴，ON 的长暂时不定。
微分方程解法ppt课件
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
4
d 2s
dt2 4
(5)
及条件
S
t0
0, v t0
ds dt
t 0
10
(6)
对（5）式两端积分一次，得
v
ds dt
4t
c1
(7)
在积分一次，得S 2t 2 c1t c2
(8)
将条件v t0 10代入（7）式中，将条件S t0 0代入（8）式，
原方程，经整理得 C(x) ex
y C(x) 代入 x
解得
C(x) ex C
于是原方程的通解为 y 1 (ex C) x
方法二 直接利用非齐次方程的通解公式（5），得
23
y
e
1 x
dx
(
e
x
e
1 x
dx
dx
C
)
x
eln x ( e x eln xdx C) x
1 x
( exdx
b N
N Ceabt bN
于是
N
Cbeabt 1 Ceabt
1
b 1 eabt
C
这就是种群的生长规律 。
15
8.3 一阶线性微分方程
形如
y P(x)y Q(x)
(1)
的方程叫做一阶线性微分方程（linear differential equation of first
Order),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数
curve).如 y x2 c 是方程（1）的积分曲线族,而 y x2 1只是其中过（1，2）点的一条积分曲线。
10
8.2 可分离变量的一阶微分方程
可降阶的二阶微分方程
yy 2( y 2 y) 即求初值问题 y(0) 1 , y(0) 2
dp 设 y p( y ), 则 y p , dy dp 2( p 1) 代入原方程得 , dy y dp 2dy , ln( p 1) ln y 2 C , p1 y 2 将 y 1 , p 2 代入 , 得 C 0 , y p y 1 ,
设 y p( x ),
解
则 y p( x ),
代入原方程, 得 x 2 p xp 1 , 即 p 1 p 1 , x x2 1 解线性方程, 得 p (ln x C1 ), x 1 即 y (ln x C1 ), x 两端积分,得原方程通解为 1 2 y ln x C1 ln x C 2 , 2
由 y ( 0) 0 , 得 C 2 0 ,
故所求原方程的解为: y arcsin x .
三、y f ( y, y) 型的微分方程
特点： 右端不显含自变量 x . 解法： 设 y p( y ), 则 y
dp d p d y dp Hale Waihona Puke p , dx d y d x dy
故原方程通解为
y C 2e
c1 x
.
2 例 1 求方程 yy y 0 的通解.
解2
1 两端同乘 2 , y
yy y 2 d y ( ) 0, 2 dx y y
故 y C1 y ,
从而通解为 y C 2e C1 x .
解3
y y , 原方程变为 y y
p f ( x , p).
关于 p(x) 的一阶方程
设其通解为
p ( x , C1 ), 即 y ( x , C1 ) ,
二阶可降阶微分方程
二阶可降阶微分方程
二阶可降阶微分方程是指形如：
dy/dx = f(x,y)
的微分方程，其中f(x,y)是一个关于x和y的函数。
这种微分方程可以通过分离变量或者使用变量替换等方法转化为一阶微分方程或者常微分方程来求解。
例如，方程dy/dx = y2可以先对方程两边求导得到：
d²y/dx²= 2y
然后使用变量替换y = e u，得到新的微分方程：
du/dx = 1
解出这个方程得到u = x + C，其中C是常数。
将u和y 的解代入原方程得到：
e x = x + C
解出C得到C = ln|x| - C
因此，对于这个二阶可降阶微分方程，解为：
y = e x
这就是一个二阶可降阶微分方程的解。
一阶二次微分方程
一阶二次微分方程
一阶二次微分方程是指形如以下形式的微分方程：
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
其中y 是未知函数，x 是自变量，y' 和y'' 分别表示y 关于x 的一阶和二阶导数，p(x) 和q(x) 是已知函数。
一阶二次微分方程是常微分方程中的一类重要方程。
解决这类微分方程需要使用不同的方法，具体取决于方程的形式和给定的边界条件。
一些常见的一阶二次微分方程的特殊形式包括：
1.指数形式：y'' + ay' + by = 0，其中a 和b 是
常数。
2.齐次线性形式：y'' + py' + qy = 0，其中p(x)
和q(x) 是已知函数。
3.非齐次线性形式：y'' + py' + qy = f(x)，其中f(x)
是已知函数。
4.带有常数项的线性形式：y'' + py' + qy = g(x) +
C，其中C 是常数。
求解一阶二次微分方程的方法包括特征方程法、变量分离法、常系数法等。
具体的解法取决于方程的具体形式和边界条件。
需要注意的是，解一阶二次微分方程可能需要考虑初值条件或边界条件，以确定特定的解。
可降阶二阶微分方程
1 e y x.
四、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y p( x ) , 令 y p( y ) ,
思考:
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如： 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
故原方程通解为
y C 2e
c1 x
.
2 例 1 求方程 yy y 0 的通解.
解2
1 两端同乘 2 , y
yy y 2 d y ( ) 0, 2 dx y y
故 y C1 y,
从而通解为 y C 2e C1 x .
解3
y y , 原方程变为 y y
o
T t
对方程两边积分, 得
d x F0 t (t ) C1 dt m 2T
2
d x F0 t2 (t ) C1 dt m 2T
利用初始条件
2
得 C1 0, 于是
d x F0 t (t ) dt m 2T F0 t 2 t 3 ) C2 两边再积分得 x ( m 2 6T
dy dx , 2 y 1
dy dx , 2 y 1
可得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C
4 4
,
故曲线方程为 y tan( x ) .
例
求方程 y e 2 y 0 的通解. dp 解 令 y p ( y ), 则 y p , 代入方程得 dy
关于 p(x) 的一阶方程
可降阶的二阶微分方程(1)
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?
答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
P165 1 、(1) (３) (４) 2 、(１) (３) 3 、 4
解: 取坐标系如图.
考察最低点 A 到
( : 密度, s :弧长)
弧段重力大小
按静力平衡条件, 有
故有
设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定,
问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?
任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:
A 点受水平张力 H
M 点受切向张力T
两式相除得
则得定解问题:
原方程化为
满足的方程 .
积记为
( 99 考研 )
再利用 y (0) = 1 得
利用
得
两边对 x 求导, 得
定解条件为
方程化为
利用定解条件得
得
故所求曲线方程为
内容小结
可降阶微分方程的解法
—— 降阶法
逐次积分
令
令
思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
一般说, 用前者方便些.
均可.
有时用后者方便 .
解: 如图所示选取坐标系.
则有定解问题:
代入方程得
积分得
一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由
两端积分得
因此有
注意“－”号
由于 y = R 时
由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
说明: 若此例改为如图所示的坐标系,
解方程可得
问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
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§8-3 可降为一阶的二阶微分方程的解法
有一些特殊的二阶微分方程，通过适当的变换，可以化为一阶微分方程.求出解后，再积分一次，就可得到原方程的解.
第一种情形：(,)y f x y '''= (右端不显含y )
在这种情形下，只要令y z '=，则它就变成一阶微分方程),(z x f z ='. 例如方程
()()y p x y q x '''+= [令z y '=]
就变成一阶线性微分方程 )()(x q z x p z =+'.求出),(1c x z z =后，再积分得
12(,)d y z x c x c =+⎰
例10 在方程2xy y xy ''''=-中，令y z '=，则它就变成一阶微分方程
2xz z xz '=-(※) 或21
z z z x
'-
=-(※※) 右边的方程(※※)是伯努利方程，可按伯努利方程求解.不过，不如直接求解左边的方程(※).先将2
xz z xz '=-移项，变成2
z xz xz '-=；然后两端同除以2
z [注意丢掉平凡解．．．．．．．()0z x ≡]，则得
2z xz x z '-=，即x x z '
⎛⎫= ⎪⎝⎭
于是，
22
1121d 22x c x x x x c z +==+=⎰
或 21
22x z x c =+ 因此，
2122
1
2d d ln 22x
y z x x x c c x
c ==
=+++⎰⎰
或 ()y x c ≡(常数，因为上面的解法中丢掉了解()0z x ≡) 第二种情形：),(y y f y '='' (右端不显含自变量)
在这种情形下，可令)(y u y ='(看作y 的函数).注意，由于
d ()d d d ()d d d d u y u y u
y y u x y x y
''''==
== 所以方程 (,)y f y y '''=就变成 ),(d d u y f y
u
u =(暂时把y 看作自变量).求出),(c y u u =后，再用分离变量方法，求解
),(d d c y u x
y
=. 例11 求解()2
0yy y '''-= 解 令)(y u y ='，则d d d ()d d d d d d d d d d d y u y u y u u
y y u x x x y x y y
⎛⎫'''=
==== ⎪
⎝⎭，且原方程变成
d 0d u u y u y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
于是，或者()0u y =；或者d 0d u y u y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，
分离变量后为y y
u u d d =(解得u cy =).注意u y '=，因此得
0d d ≡x y 或 y c x
y
=d d 左边方程的解为≡)(x y 常数；右边方程的解为x c c y e 1=.显然，后者包括了前者(0)c =.因此，原方程的一般解为x c c y e 1=(其中c 和1c 为待定常数).
【注】另一个解法是在方程()2
0yy y '''-=两端同除以2y ，则得
2
2
()0yy y y '''-=[左端是y y ''⎛⎫ ⎪⎝⎭
]，即0y y '
'⎛⎫= ⎪⎝⎭ 因此，y c y '=或
d d y
c x y
=.解得1e cx y c = 第三种情形：像上注那样，若原方程可以写成
0),,(d d
≡'y y x x
ϕ 则(,,)x y y c ϕ'≡(变成一阶微分方程).例如微分方程 2()0yy y '''+=.它可以写成
()0yy ''=，所以 yy c '=或d d y y c x =.因此，原方程的一般解为12c x c y +=(解被表示成
隐函数).
习题
1.求下列二阶微分方程的一般解或特解：
⑴ sin 2y x ''=； ⑵ e x y x ''=； ⑶ xy y '''=； ⑷ 2()0y y '''-=
； ⑸ 0y ''=； ⑹ y y x '''=+； ⑺ 2
21)(x y y y y y +'=
'+''； ⑻ 2)0(,1)0(,0)(2='=='+''y y y y y ；
⑼ (0)1,(0)2y y y '''===.
答案：⑴212sin 4
1c x c x y ++-=；⑵21e 2e c x c x y x x ++-=；
⑶22
1c x c y +=；⑷23112)(c c x y ++=；⑸21)c o s (c x c y +-=；⑹2212
1
e c x x c y x +--=； ⑺22
21212)]1ln(2
112[2c x x x x c x c y ++++++=；⑻142+=x y ；⑼16)2(4+=x y .
2.一个物体只受地球引力作用，自无穷远处落向地球.求它落到地面时的速度.
(地球半径约为km 6400,重力加速度2m/s 8.9=g ).
提示：设物体的质量为m ，地球的质量为M .根据引力定律，地球对物体的引力为
2mM
f r
μ
=（其中r 为物体到地球中心的距离） 当物体落到地面时，r R =（地球半径），f mg =（g 为重力加速度）.于是，
2mM
mg R
μ=，即2M gR μ= 因此，地球对物体的引力为2mM f r μ=22mg
R r
=. 答案:km/s)(2.11(第二宇宙速度).
3.在上半平面求一条下凸曲线)(x y y =，其上任一点(,)P x y 处的曲率K 等于该曲线在点P 的法线段PQ 的长度的
倒数(见第3题图示)，且曲线)(x y y =在点)1,1(处 的切线平行于x O 轴.[1991年考研试题一/第九题]
提示：列出初始值问题：
⎩⎨
⎧='='+=''0
)1(,1)1(12
y y y y y 答案：1)(ch -=x y
(第3题图)。