因式分解讲义
因式分解经典讲义(精)
第一章分解因式【知识要点】1 .分解因式(1)概念：把一个化成几个的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
(2 )注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。
②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。
③分解因式要分解到不能再分解为止。
2•分解因式与整式乘法的关系整式乘法是_____________________________________________________ ___分解因式是_____________________________________________________ ___所以，分解因式和整式乘法为________ 系。
3•提公因式法分解因式(1 )公因式：几个多项式____________ 因式。
(2 )步骤：①先确定____________,②后____________________ 。
(3)注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。
②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。
4•运用公式法分解因式(1 )平方差公式：_____________________________(2 )完全平方公式：____________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。
【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：【随堂练习】1 .分解因式：,、小34“23小22（1） 2x y 10x y 2x y32(1) 4m 16m 26 m(2) 2x(y z) 3(y z)2(3)x(x y)(x y) x(x y)(4)(3a 4b)(7a 8b) (11a 12b)(7a 8b)号，再提公因式 2m ；（ 2）题的公因式为 y z ；(3) 题的公因式为 x(x y) ;答案：(1) 2m(2m 28 »m13)；(3)2xy(x y);【例:2】(1 ）已知x y 5, xy 6 ,(2 ?）已知ba 6,ab7,解析：(1) 题：2x2y 2 x y 22xy(x（2）题：a|2bab2a b(a答案：(1) 60(2)42（4）题的公因式为7a 8b 。
因式分解ppt讲义
整式乘法 整式乘法 因式分解
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
因式分解
下列代数式从左到右旳变形是因式分解吗？
（1） a2 a a(a 1)
Байду номын сангаас
是
（2）(a 3)(a 3) a2 9
不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
阐明
• 本课是在学生学习了整式乘法旳基础上，研究对整 式旳一种变形即因式分解，是把一种多项式转化成 几种整式相乘旳形式，它与整式乘法是互逆变形旳 关系．
你能发觉这两组等式之间 旳联络和区别吗? 它们旳左 右两边有何特点？
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
a2-2ab+b2=(a-b)2
十字相乘法
要点: 一拆(拆常数项), 二乘(十字相乘),
三验(验证十字相乘后旳和是否等于一次项.
x2 px q
x
a
x
b
x2+Px+q=(x+a)(x+b),其中p=a+b,q=ab
一般环节与注意点
1 一般环节: 先提公因式,再利用公式或十字相乘,后分组分 解,最终是重新整顿再分解.
注意： 1、要分解到不能再分为止，括号内合并同 类项后注意把数字因数提出来。
2、因式分解旳成果是连乘式。 3、因式分解旳成果里没有中括号。
因式分解讲义
因式分解1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式→几个整式的积例：111()333ax bx x a b +=+ 2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
⎧⎪⎨⎪⎩系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：333234221286a b c a b c a b c -+的公因式是 ．②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
例1：把2233121824a b ab a b --分解因式.例2：把多项式3(4)(4)x x x -+-分解因式.（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2222233223322.()().2().()().()()a ab a b a b b ab b a bc a b a b a ab bd a b a b a ab b -=+-±+=±+=+-+-=-++逆用平方差公式：逆用完全平方公式：a 逆用立方和公式：（拓展）逆用立方差公式：（拓展） 注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
例1：因式分解21449a a -+例2：因式分解222()()a a b c b c ++++（3）分组分解法（拓展）①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式1ab a b -+-分解因式解：1ab a b -+-=()(1)ab a b -+-=(1)(1)(1)(1)a b b a b -+-=+-②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.例：将多项式2221a ab b --+因式分解解：2221a ab b --+=222(2)1()1(1)(1)a ab b a b a b a b -+-=--=-+--（4）十字相乘法（形如2()()()x p q x pq x p x q +++=++形式的多项式，可以考虑运用此种方法）方法：常数项拆成两个因数p q 和，这两数的和p q +为一次项系数2()x p q x pq +++2()()()x p q x pq x p x q +++=++例：分解因式230x x -- 分解因式252100x x ++（5）拆、添项法将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式。
北师大数学八年级下册第四章-因式分解经典讲义
第01讲_因式分解知识图谱因式分解知识精讲概念（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，（2）因式分解与整式乘法是互逆过程2222()2()a ab a a bx yx y x y-=-++=+（√）（√）注意事项（1）分解的对象必须是多项式；（2）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；（3）要分解到不能分解为止2323623x y x y=⋅（×）2(1)(2)2x x x x+-=--（×）3229633(32)a a a a a a-+=-（×）概念（1）多项式()am bm cm m a b c++=++，其中m叫做这个多项式各项的公因式（2）m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式（1）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是5m2n（2）m(n-2) -m2(2-n)可化简为m(n-2)＋m2(n-2)，公因式是m (n-2)分解因式得m(n-2) (m＋1)步骤（1）公因式的系数——找各因式系数的最大公约数（2）公因式的字母——各因式中相同的字母 （3）相同字母指数——取各字母指数的最低次幂平方差公式（1）()()22a b a b a b -=+-即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积()()()22249232323x x x x -=-=+-完全平方公式 （1）()2222a ab b a b ±+=±其中，222a ab b ±+叫做完全平方式即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方()()()2222241292223323x xy y x x y y x y -+=-⋅⋅+=-三点剖析一．考点：1．概念；2．提公因式法；3．公式法．二．重难点：提公因式法；公式法三．易错点：没有分解彻底，一定要分解到每一项都不能再分解为止．概念例题1、 下列各等式从左到右的变形是因式分解，且分解正确的是（ ） A.ax 2＋bx ＋x ＝x （ax ＋b ）B.a 2＋2ab ＋b 2－1＝（a ＋b ）2－1C.（x ＋5）（x －1）＝x 2－4x －5D.2211()42x x x -+=-【答案】 D【解析】 A 、公因式是x ，应为ax 2＋bx ＋x ＝x （ax ＋b ＋1），故本选项错误； B 、a 2＋2ab ＋b 2－1＝（a ＋b ）2－1＝（a ＋b ＋1）（a ＋b －1），分解不彻底，故本选项错误； C 、右边不是积的形式，故本选项错误；D 、完全平方公式分解因式，故本选项正确．例题2、 下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ）（1）2(1)(2)2x x x x +-=-- （2）()ax ay a a x y a --=-- （3）2323623x y x y =⋅ （4）24(2)(2)x x x -=+-（5）3229633(32)a a a a a a -+=- A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】 B【解析】 从左到右，式（1）是整式乘法；式（2）右端不是积的形式；式（3）中左右两边均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成几个整式的乘积形式；式（5）的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式（4）是正确的．例题3、 若多项式x 2＋ax ＋b 分解因式的结果（x －2）（x ＋3），则a ，b 的值分别是（ ） A.a ＝1，b ＝－6 B.a ＝5，b ＝6 C.a ＝1，b ＝6 D.a ＝5，b ＝－6 【答案】 A【解析】 ∵多项式x 2＋ax ＋b 分解因式的结果为（x －2）（x ＋3）， ∴x 2＋ax ＋b ＝（x －2）（x ＋3）＝x 2＋x －6， 故a ＝1，b ＝－6．随练1、 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A.2xy+6xz+3=2x （y+3z ）+3 B.（x+6）（x ﹣6）=x 2﹣36 C.﹣2x 2﹣2xy=﹣2x （x+y ） D.3a 2﹣3b 2=3（a 2﹣b 2） 【答案】 C【解析】 A 、在等式的右边最后计算的是和，不符合因式分解的定义，故A 不正确； B 、等式从左边到右边属于整式的乘法，故B 不正确；C 、等式从左边到右边把一个多项式化成两个整式积的形式，符合因式分解的定义，故C 正确；D 、多项式a 2﹣b 2仍然可以继续分解为（a+b ）（a ﹣b ），故D 属于分解不彻底，故D 不正确； 故选C ．随练2、 下列变形，属于因式分解的有（ ） ①x 2－16＝（x ＋4）（x －4） ②x 2＋3x －16＝x （x ＋3）－16 ③（x ＋4）（x －4）＝x 2－16 ④x 2＋x ＝x （x ＋1） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 B【解析】 由因式分解的意义可知： ①④是因式分解，提公因式法例题1、 3322222491421a bc a b c ab c +-在分解因式时，应提取的公因式是（ ） A.27abc B.227ab c C.2227a b c D.337a bc 【答案】 A【解析】 因为()3322222224914217723a bc a b c ab c abc a c ab b +-=+-，所以提取的公因式为27abc ，故选A 选项． 例题2、 单项式2234a b c -，212ab c ，38ab 的公因式是________． 【答案】 24ab【解析】 由公因式的定义可知，题目中三项的公因式为24ab ． 例题3、 多项式（x+y ﹣z ）（x ﹣y+z ）﹣（y+z ﹣x ）（z ﹣x ﹣y ）的公因式是（ ） A.x+y ﹣z B.x ﹣y+z C.y+z ﹣x D.不存在 【答案】 A【解析】 （x+y ﹣z ）（x ﹣y+z ）﹣（y+z ﹣x ）（z ﹣x ﹣y ） =（x+y ﹣z ）（x ﹣y+z ）+（y+z ﹣x ）（x+y ﹣z ） =（x+y ﹣z ）（x ﹣y+z+y+z ﹣x ） =2z （x+y ﹣z ），故多项式（x+y ﹣z ）（x ﹣y+z ）﹣（y+z ﹣x ）（z ﹣x ﹣y ）的公因式是：x+y ﹣z 例题4、 若x －y ＝5，xy ＝6，则x 2y －xy 2＝________． 【答案】 30【解析】 ∵x －y ＝5，xy ＝6， ∴x 2y －xy 2＝xy （x －y ）＝6×5＝30．例题5、 计算：20182－2018×2017＝________． 【答案】 2018【解析】 20182－2018×2017＝2018（2018－2017）＝2018×1＝2018． 例题6、 若m ﹣n=﹣1，则（m ﹣n ）2﹣2m+2n=______． 【答案】 3【解析】 ∵m ﹣n=﹣1， ∴（m ﹣n ）2﹣2m+2n =（m ﹣n ）2﹣2（m ﹣n ） =（﹣1）2﹣2×（﹣1） =1+2 =3．例题7、 分解因式：（1）324x x y -（2）324(1)2(1)q p p -+- （3）22x y xy - （4）22x xy -【答案】 （1）2(4)x x y -（2）22(1)(221)p q pq --+（3）22()x y xy xy x y -=-（4）()2x x y -【解析】 （1）()32244x x y x x y -=-（2）()()()()()()322241212121121221q p p p q p p q pq -+-=--+=--+⎡⎤⎣⎦ （3）()22x y xy xy x y -=- （4）()222x xy x x y -=-随练1、 下列各组代数式中没有公因式的是（ ） A.5()m a b --与()b a - B.2()a b +与a b -- C.mx y +与x y +D.2a ab -+与22a b ab -【答案】 C【解析】 A 选项公因式为a b -；B 选项公因式为a b +；C 选项没有公因式；D 选项公因式为()a a b -；故答案为C 选项．随练2、 多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是（ ） A.x －1 B.x ＋1 C.x 2－1 D.（x －1）2 【答案】 A【解析】 暂无解析随练3、 在分解3225(32)(23)x a b b a --+-时，提出公因式2(32)a b --后，另一个因式是（ ） A.35xB.351x +C.351x -D.35x -【答案】 C【解析】 因为()()()()22233532233251x a b b a a b x --+-=---，所以另一个因式是351x -，故选C 选项． 随练4、 若m －n ＝－1，则（m －n ）2－2m ＋2n ＝________． 【答案】 3【解析】 ∵m －n ＝－1， ∴（m －n ）2－2m ＋2n ＝（m －n ）2－2（m －n ） ＝（－1）2－2×（－1） ＝1＋2 ＝3．随练5、 已知m 2＝n ＋2，n 2＝m ＋2，m ≠n ，求m 3－2mn ＋n 3的值． 【答案】 －2【解析】 暂无解析随练6、 （﹣8）2014+（﹣8）2013能被下列数整除的是（ ） A.3 B.5 C.7 D.9【答案】 C【解析】 （﹣8）2014+（﹣8）2013 =（﹣8）2013×（﹣8+1） =﹣7×（﹣8）2013，则（﹣8）2014+（﹣8）2013能被7整除 随练7、 把下列各多项式分解因式 （1）5232a b a b a b -+（2）222271449x y xy x y --+（3）22()(1)()(1)x y a a x y a a +++--++ （4）222318(2)24(2)12(2)x x y xy y x x y x ----- （5）()()()x x y z y x y z z x y z ++++++++【答案】 （1）232(1)a b a b -+（2）7(27)xy x y xy -+-（3）22(1)y a a ++（4）26(2)(58)x y x x y --（5）2()x y z ++【解析】 （1）()52322321a b a b a b a b a b -+=-+ （2）2222714497(27)x y xy x y xy x y xy --+=-+-（3）()()()()()()()222211121x y a a x y a a a a x y x y y a a +++--++=+++-+=++（4）()()()()()22322182242122623422x x y xy y x x y x x x y x y x y -----=--+-⎡⎤⎣⎦()()26258x x y x y =--（5）()()()()2x x y z y x y z z x y z x y z ++++++++=++公式法例题1、 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A.a 2+（﹣b ）2 B.5m 2﹣20m C.﹣x 2﹣y 2 D.﹣x 2+9 【答案】 D【解析】 A 、a 2+（﹣b ）2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； B 、5m 2﹣20m=5m （m ﹣4），无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； C 、﹣x 2﹣y 2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； D 、﹣x 2+9=（3﹣x ）（3+x ），符合题意，故此选项正确．例题2、 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A.21x x ++ B.221x x +- C.21x - D.269x x -+ 【答案】 D【解析】 A 、21x x ++不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A 错误； B 、221x x +-不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B 错误； C 、21x -不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C 错误；D 、22693x x x +=--（）2，故D 正确． 例题3、 下列多项式可以用公式法因式分解的是（ ）A.m 2+4mB.﹣a 2﹣b 2C.m 2+3m+9D.﹣y 2+x 2 【答案】 D【解析】 A ．m 2+4m 只有一项平方项，所以不能用平方差公式因式分解，故此选项错误； B ．﹣a 2﹣b 2两项的符号相同，所以不能用平方差公式因式分解，故此选项错误； C ．m 2+3m+9不符合完全平方公式形式，故此选项错误；D ．﹣y 2+x 2符合平方差公式因式分解的式子的特点，故选项正确． 例题4、 分解因式（1）p 2（q －1）－p （1－q ）．（2）（a 2＋4b 2）2－16a 2b 2． 【答案】 （1）p （p ＋1）（q －1） （2）（a ＋2b ）2（a －2b ）2 【解析】 暂无解析 例题5、 因式分解： （1）x 2－36；（2）3x （a －b ）－6y （b －a ）； （3）（y 2－1）2－6（y 2－1）＋9． 【答案】 （1）（x ＋6）（x －6） （2）3（a －b ）（x ＋2y ） （3）（y ＋2）2（y －2）2【解析】 （1）x 2－36＝（x ＋6）（x －6）；（2）3x （a －b ）－6y （b －a ）＝3x （a －b ）＋6y （a －b ）＝3（a －b ）（x ＋2y ）； （3）原式＝（y 2－1－3）2 ＝（y 2－4）2＝（y ＋2）2（y －2）2．例题6、 已知x ＋y ＝4，xy ＝1，求下列各式的值： （1）x 2y ＋xy 2； （2）（x 2－1）（y 2－1）． 【答案】 （1）4 （2）－12【解析】 （1）当x ＋y ＝4、xy ＝1时， x 2y ＋xy 2＝xy （x ＋y ）＝1×4＝4； （2）当x ＋y ＝4、xy ＝1时， 原式＝x 2y 2－x 2－y 2＋1 ＝x 2y 2－（x 2＋y 2）＋1＝（xy ）2－（x ＋y ）2＋2xy ＋1 ＝1－16＋2＋1 ＝－12．例题7、 分解因式： （1）2269x ax a ++（2）2244x y xy --+（3）29()6()1a b a b -+-+【答案】 （1）2(3)x a +（2）2(2)x y --（3）2(331)a b -+【解析】 （1）222226923(3)(3)x ax a x x a a x a +++⋅⋅++==（2）222222244(44)[222](2)x y xy x xy y x x y y x y --+=--+=--⋅⋅+=--（） （3）222229()6()1[3()]23()11[3()1](331)a b a b a b a b a b a b -+-+-+⋅-⋅+-+-+===例题8、 分解因式：（1）48610369b x c y - （2）22(2)(2)x y x y +-- （3）8881x y -（4）()()223223a b a b +-+【答案】 （1）243524359(2)(2)b x c y b x c y +-（2）8xy （3）442222(9)(3+)(3)x y x y x y +-（4）()5()a b a b +-【解析】 （1）4861048610242352243524353699(4)9[(2)()]9(2)(2)b x c y b x c y b x c y b x c y b x c y ---+-＝＝＝，（2）22(2)(2)x y x y +--[(2)(2)][(2)(2)](22)(22)(2)(4)8x y x y x y x y x y x y x y x y x y xy =++-+--=++-+-+=＝ （3）8881x y -42424444442222442222442222(9)()(9)(9)(9)[(3)()](9)[(3+)(3)](9)(3+)(3)x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y =-=+-=+-=+-=+-（4）()()223223a b a b +-+[(32)(23)][(32)(23)](3223)(3223)(55)()5()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++++-+=++++--=+-=+-随练1、 下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）①x 2﹣4x+8；②﹣x 2﹣2x ﹣1；③4m 2+4m ﹣1；④﹣m 2+m ﹣14；⑤4a 4﹣a 2+1a．A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】 C【解析】 ①x 2﹣4x+8，不能；②﹣x 2﹣2x ﹣1，能；③4m 2+4m ﹣1，不能；④﹣m 2+m ﹣14，能；⑤4a 4﹣a 2+1a，不能，则不能用完全平方公式分解的个数为3个， 故选C随练2、 已知a ＝20182，b ＝2017×2019，则a －b 的值为________． 【答案】 1【解析】 ∵a ＝20182，b ＝2017×2019，∴a －b ＝20182－2017×2019＝20182－（2018－1）×（2018＋1）＝20182－20182＋1＝1． 随练3、 因式分解x 4－4＝________（实数范围内分解）． 【答案】2(2)(x x x ++ 【解析】 x 4－4＝（x 2＋2）（x 2－2）222(2)[]x x =+-2(2)(x x x =+-．随练4、 下列各式：x 2－y 2，－x 2＋y 2，－x 2－y 2，（－x ）2＋（－y ）2，x 4－y 4中能用平方差公式分解因式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C【解析】 x 2－y 2＝（x ＋y ）（x －y ），－x 2＋y 2＝（y ＋x ）（y －x ），－x 2－y 2，（－x ）2＋（－y ）2，x 4－y 4＝（x ＋y ）（x －y ）（x 2＋y 2），则能用平方差公式分解因式的有3个．随练5、 若x 2＋2（m －3）x ＋16＝（x ＋n ）2，则m ＝________． 【答案】 7或－1【解析】 ∵x 2＋2（m －3）x ＋16＝（x ＋n ）2， ∴n ＝±4，∴2（m －3）＝±8， 解得：m ＝7或－1．随练6、 分解因式:（1）5a b ab -（2）44()()a m n b m n +-+ （3）11116m m a a +--+【答案】 （1）2(1)(1)(1)ab a a a ++-（2）22()()()()m n a b a b a b +++-（3）11(4)(4)16m a a a --+-【解析】 （1）54222(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b ab ab a ab a a ab a a a -=-=+-=++-（2）4444222222()()()()()()()()()()()a m n b m n m n a b m n a b a b m n a b a b a b +-+=+-=++-=+++-（3）11121111(16)(4)(4)161616m m m m a a a a a a a +----+=--=-+- 随练7、 把下列各式因式分解： （1）x （x －5）2－x （－5＋x ）（x ＋5） （2）（a ＋2b ）2－a 2－2ab ； （3）－2（m －n ）2＋32；（4）－x 3＋2x 2－x ； 【答案】 （1）－10x （x －5） （2）2b （a ＋2b ）（3）－2（m －n ＋4）（m －n －4） （4）－x （x －1）2【解析】 （1）原式＝x （x －5）2－x （x －5）（x ＋5）＝x （x －5）[（x －5）－（x ＋5）]＝－10x （x －5） （2）原式＝a 2＋4ab ＋4b 2－a 2－2ab ＝2ab ＋4b 2＝2b （a ＋2b ） （3）原式＝－2[（m －n ）2－16]＝－2（m －n ＋4）（m －n －4） （4）原式＝－x （x 2－2x ＋1）＝－x （x －1）2 随练8、 （1）分解因式2a 3－8ab 2； （2）计算：（－2a 2b ）2•（3ab 2－5a 2b ）÷（－ab ）3； （3）先化简后求值：[（x －y ）2＋（x ＋y ）（x －y ）]÷2x ，其中x ＝5，y ＝3． 【答案】 （1）2a （a ＋2b ）（a －2b ） （2）－12a 2b ＋20a 3 （3）x －y ；2【解析】 （1）2a 3－8ab 2 ＝2a （a 2－4b 2） ＝2a （a ＋2b ）（a －2b ）；（2）原式＝4a 4b 2•（3ab 2－5a 2b ）÷（－a 3b 3） ＝（12a 5b 4－20a 6b 3）÷（－a 3b 3） ＝－12a 2b ＋20a 3；（3）[（x －y ）2＋（x ＋y ）（x －y ）]÷2x ＝[（x 2－2xy ＋y 2）＋（x 2－y 2）]÷2x ＝（2x 2－2xy ）÷2x ＝x －y ，当x ＝5，y ＝3时，原式＝5－3＝2． 随练9、 分解因式：（1）42222244a x a x y x y -+ （2）22()12()36x y x y z z +-++ （3）222(4)8(4)16x x x x ++++（4）22222241(2)2(2)22x y x y y y ---+【答案】 （1）222(2)x a y -（2）2(6)x y z +-（3）4(2)x +（4）221(2)(2)2x y x y +-【解析】（1）()24222222422222222244(44)[()2()(2)2](2)a x a x y x y x a a y y x a a y y x a y -+=-+=-⋅⋅+=-（2）22222()12()36()2()(6)(6)(6)x y x y z z x y x y z z x y z +-++=+-++=+-（3）222222222224(4)8(4)16(4)2(4)44(44)[(2)](2)x x x x x x x x x x x x ++++=++⋅+⋅+=++=+=+（4）22222241(2)2(2)22x y x y y y ---+ 22222242222222222222222221[(2)4(2)4]21[(2)2(2)(2)(2)]21(22)21(4)21[(2)(2)]21(2)(2)2x y x y y y x y x y y y x y y x y x y x y x y x y =---+=--⋅-⋅+=--=-=+-=+-拓展1、 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A.3x ＋3y －5＝3（x ＋y ）－5 B.（x ＋1）（x －1）＝x 2－1 C.x 2＋2x ＋1＝（x ＋1）2 D.x （x －y ）＝x 2－xy 【答案】 C【解析】 暂无解析2、 下列变形：①（x+1）（x ﹣1）=x 2﹣1；②9a 2﹣12a+4=（3a ﹣2）2；③3abc 3=3c•abc 2；④3a 2﹣6a=3a （a ﹣2）中，是因式分解的有__________（填序号） 【答案】 ②④【解析】 分析：直接利用因式分解的意义分析得出答案． 解：①（x+1）（x ﹣1）=x 2﹣1，是多项式乘法，故此选项错误； ②9a 2﹣12a+4=（3a ﹣2）2，是因式分解； ③3abc 3=3c•abc 2，不是因式分解； ④3a 2﹣6a=3a （a ﹣2），是因式分解； 故答案为：②④．3、 下列从左到右的变形，是在式分解的是（ ）①()a x y ax ay +=+ ②22111()()a a a b b b-=+- ③29(3)(3)ax a a x x -=+-④221()()1x y x y x y --=+-- ⑤222222()2()x x y y x y x y -+-=---A.②③B.③C.③⑤D.③④ 【答案】 B【解析】 暂无解析4、 多项式4x 2﹣4与多项式x 2﹣2x +1的公因式是（ ） A.x ﹣1 B.x +1 C.x 2﹣1 D.（x ﹣1）2 【答案】 A【解析】 ∵4x 2﹣4=4（x +1）（x ﹣1），x 2﹣2x +1=（x ﹣1）2， ∴多项式4x 2﹣4与多项式x 2﹣2x +1的公因式是（x ﹣1）． 5、 多项式15m 3n 2+5m 2n ﹣20m 2n 3的公因式是（ ） A.5mn B.5m 2n 2 C.5m 2n D.5mn 2 【答案】 C【解析】 多项式15m 3n 2+5m 2n ﹣20m 2n 3中， 各项系数的最大公约数是5，各项都含有的相同字母是m 、n ，字母m 的指数最低是2，字母n 的指数最低是1， 所以它的公因式是5m 2n ．6、 如多项式339363x y xy xy -+提取公因式________后，另一个因式是________． 【答案】 3xy ，223121x y -+【解析】 由提公因式法可知，()3322936333121x y xy xy xy x y -+=-+所以提出公因式3xy 之后，另一个公因式为223121x y -+．7、 分解因式()()()()x m n a b y n m b a -----=_________． 【答案】 ()()()m n a b x y ---【解析】 ()()()()()()()()()()()x m n a b y n m b a x m n a b y m n a b m n a b x y -----=-----=--- 8、 因式分解：x 2﹣2x+（x ﹣2）=______________． 【答案】 （x+1）（x ﹣2）【解析】 原式=x （x ﹣2）+（x ﹣2）=（x+1）（x ﹣2）． 9、 因式分解：（a －b ）2－（b －a ）＝________． 【答案】 （a －b ）（a －b ＋1）【解析】 原式＝（a －b ）2＋（a －b ）＝（a －b ）（a －b ＋1），10、 若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，则x y （填＞，＜或=）【答案】 ＜．【解析】 ∵x ﹣y=123456789×123456786﹣123456788×123456787 =（123456788+1）×123456786﹣123456788×（123456786+1）=123456788×123456786+123456786﹣123456788×123456786﹣123456788 =﹣2＜0， ∴x ＜y.11、 代数式x 4﹣81，x 2﹣9与x 2﹣6x+9的公因式为（ ）A.x+3B.（x+3）2C.x ﹣3D.x 2+9【答案】 C【解析】 x 4﹣81=（x 2+9）（x 2﹣9）， =（x 2+9）（x+3）（x ﹣3）； x 2﹣9=（x+3）（x ﹣3）； x 2﹣6x+9=（x ﹣3）2．因此3个多项式的公因式是x ﹣3． 故选：C ．12、 分解因式：9（a －1）2－4（b －2）2． 【答案】 （3a ＋2b －7）（3a －2b ＋1）【解析】 原式＝[3（a －1）＋2（b －2）][3（a －1）－2（b －2）] ＝（3a －3＋2b －4）（3a －3－2b ＋4） ＝（3a ＋2b －7）（3a －2b ＋1）．13、 分解因式：（1）2249a b -（2）24162516a y b -+【答案】 （1）()23(23)a b a b +-（2）8282(45)(45)b ay b ay +-【解析】 （1）222249(2)(3)(23)(23)a b a b a b a b -=-=+-（2）241616248222828225161625(4)(5)(45)(45)a y b b a y b ay b ay b ay -+=-=-=+-14、 因式分解： （1）2x 2－18；（2）3m 2n －12mn ＋12n ； （3）（x －y ）2－6（x －y ）＋9； （4）（m 2＋4n 2）2－16m 2n 2． 【答案】 （1）2（x ＋3）（x －3） （2）3n （m －2）2 （3）（x －y －3）2 （4）（m ＋2n ）2（m －2n ）2【解析】 （1）原式＝2（x 2－9）＝2（x ＋3）（x －3）； （2）原式＝3n （m 2－4m ＋4）＝3n （m －2）2； （3）原式＝（x －y －3）2； （4）原式＝（m 2＋4mn ＋4n 2）（m 2－4mn ＋4n 2） ＝（m ＋2n ）2（m －2n ）2． 15、 分解因式（1）244ma ma m -+ （2）232a a a -+（3）22244a b ab c +--【答案】 （1）2(2)m a -（2）2(1)a a -（3）(2)(2)a b c a b c ---+【解析】 （1）22244(44)(2)ma ma m m a a m a -+=-+=- （2）23222(12)(1)a a a a a a a a -+=-+=- （3）2222244(2)(2)(2)a b ab c a b c a b c a b c +--=--=-+-- 16、 分解因式：（1）22229()12()4()a b a b a b -+-++（2）42363a a -+11 （3）112n n n a a a +-+-（4）22222(1)4m n m n +--【答案】 （1）2(5)a b -（2）223(1)(1)a a +-（3）12(1)n a a --（4）(1)(1)(1)(1)m n m n m n m n +++--+--【解析】（1）22229()12()4()a b a b a b -+-++2222222[3()]12()()[2()][3()]23()2()[2()][3()2()](3322)(5)a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =-++⋅-++=-+⨯-⨯+++=-++=-++=-（2）4242222223633(21)3(1)3[(1)(1)]3(1)(1)a a a a a a a a a -+=-+=-=+⋅-=+-（3）1111121222(21)(1)n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +-+---+-=-+=-+=-（4）22222(1)4m n m n +-- 2222222222(12)(12)[(2)1][(2)1][()1][()1](1)(1)(1)(1)m n mn m n mn m mn n m mn n m n m n m n m n m n m n =+-+⋅+--=++--+-=+---=+++--+--。
2017(学生)八下第4章 因式分解讲义
第1课时 因式分解（1）提公因式法学习目标：1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
2、熟练运用提取公因式法分解因式。
学习重点:理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。
学习难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。
学习过程：因式分解概念：像这样把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，称作因式分解。
对象：多项式 结果：整式的乘积形式因式分解和多项式的乘法的区别:(1)因式分解是将多项式的和差化为几个整式积的形式。
（2）多项式的乘法（计算）是将几个整式积化为几个单项式的和差（多项式）。
（3）因式分解与整式乘法是互逆的两个变形过程。
思考：整式的乘法与因式分解的关系1、因式分解整式的乘法 2、利用整式的乘法检验因式分解的正确性。
辩一辩：判断下列各式是不是因式分解，为什么？⑴ 12x 3y 2=3x 3·4y 2⑵ 5x-5y+5z=5(x-y+z)⑶ax+bxy-xy=ax+xy(b-1) ⑷a 2-b 2=(a-b)·(a+b)说明：1、等式左边是多项式，右边是整式的乘积形式;2、因式分解一般分解到不能再分解为止。
二、 新知 mc mb ma ++=()c b a m ++想学习这样分解因式的方法吗？这种方法就是提取公因式法公因式：多项式mc mb ma ++中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式。
根据多项式和提供的整式，寻找出下面多项式的公因式。
① 3a+3b ② 3a 2-9ab ③ 21x 2y 2+7x 2y3 , a , b 3a 2 , 3ab , 3a 21xy , 7x 2y , 7x 2y2④ -x 3y 2+3xy 2-xy ⑤ x(x-y)2-y(x-y)xy ，-xy , 3xy x(x-y) , y(x-y) , (x-y)寻找公因式的方法：⑴ 取多项式中各项系数的最大公约数作为公因式中的数字因式。
⑵ 各项中的相同字母（或多项式）作为公因式中的字母（或多项式），并取它们的最低次幂。
因式分解讲义(适合0基础的)
因式分解知识网络详解：因式分解的基本方法：1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。
2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：平方差公式()()22a b a b a b -=+-； 完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。
要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。
4、十字相乘法——))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 【课前回顾】1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）（A ）()b a b a 222-=-（B ）()()1112-+=-m m m（C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是()，（A ）－8a 2bc （B ）2a 2b 2c 3（C ）－4abc （D ）24a 3b 3c 33．下列因式分解中，正确的是（）（A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2（C ）()2222y x y xy x --=-+-（D ）()222y x y x +=+4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）（A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()．（A ）4x 2－1（B ）4x 2＋4x －1（C ）x 2－xy ＋y 2D ．x 2－x ＋6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（）（A ）3（B ）4（C ）12（D ）±12 经典例题讲解：提公因式法：提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律例：22x y xy -()()p x y q y x ---()()x a b y a b +-+变式练习：1．多项式6a 3b 2－3a 2b 2－21a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是()A.3a 2bB.3ab 2C.3a 3b 2D.3a 2b 22．如果()222332x y mx x n -+=--，那么（）A ．m=6，n=yB ．m=-6，n=yC ．m=6，n=-yD ．m=-6，n=-y3．()()222m a m a -+-，分解因式等于（）A ．()()22a m m --B ．()()21m a m --C ．()()21m a m -+D ．以上答案都不能4．下面各式中，分解因式正确的是()A.12xyz －9x 2.y 2=3xyz(4－3xy)B.3a 2y －3ay+6y=3y(a 2－a+2)C.－x 2+xy －xz=－x(x 2+y －z)D.a 2b+5ab －b=b(a 2+5a)5．若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是（）A ．7B ．10C ．70D ．176.因式分解1．6x 3－8x 2－4x2．x 2y(x －y)+2xy(y －x)3.()()x m ab m x a +-+4.()()()x x x --+-212运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=-完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+±立方和：)b ab a )(b a (b a 2233+-+=+立方差：)b ab a )(b a (b a 2233++-=- 例1.把下列各式分解因式：（1）x 2－4y 2（2）22331b a +- （3）22)2()2(y x y x +--(4)442-+-x x例2．（1）已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++的值 （2）已知0136422=+--+b a b a ，求b a +。
因式分解-讲义
因式分解(一)-一般方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．1．(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．4、(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2= ；(2)x2-y2+5x+3y+4= ；(3)xy+y2+x-y-2= ；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2= ;(5)2x2-7xy-22y2-5x+35y-3= .因式分解(二)--求根法分解因式我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例1 分解因式：x3-4x2+6x-4．例2 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
因式分解讲义
因式分解知识与技能目标：1、使学生了解因式分解的意义。
2、知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。
过程与方法目标：1、通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系。
2、培养学生的观察能力和语言概括能力。
情感态度与价值观目标：1、通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系。
2、让学生了解事物间的因果联系重点1、理解因式分解的意义；2、识别分解因式与整式乘法的关系．教学过程1、通过学过的公式，引入新课计算(a＋b)(a－b)＝a2－b2．这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a＋b)(a－b)＝a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2＝(a＋b)(a－b)是否成立呢？a2－b2＝(a＋b)(a－b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．学生提出问题：老师，这个要学的内容就是换个形式来写多项式，具体有什么用途啊？回答：这部分内容是一个基础型的内容，因式分解学好了之后在后面我们还要学到一元二次方程，因式分解在一元二次方程就会用的很频繁，方便我们来求解一元二次方程。
它在数学求根作图方面有很广泛的应用。
2、讲授新课1．讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．93－99能被100整除．因为993－99＝99×992－99＝99×(992－1)＝99×9800＝99×98×100，其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除．993－99还能被哪些正整数整除？（99，98，980，990，9702）从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式．2．议一议你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式．a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)3．做一做（1）计算下列各式：①(m＋4)(m－4)＝__________；②(y－3)2＝__________；③3x(x－1)＝__________；④m(a＋b＋c)＝__________；⑤a(a＋1)(a－1)＝__________．（2）根据上面的算式填空：①3x2－3x＝( )( )；②m2－16＝( )( )；③ma＋mb＋mc＝( )( )；④y2－6y＋9＝( )2．⑤a3－a＝( )( )．能分析一下两个题中的形式变换吗？在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．4．想一想由a(a＋1)(a－1)得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a(a＋1)(a－1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？总结一下：联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式．区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．5．例题下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a(a＋2b)＝4a2＋8ab；（2）6ax－3ax2＝3ax(2－x)；（3）a2－4＝(a＋2)(a－2)；（4）x2－3x＋2＝x(x－3)＋2．接下来，我们具体来了解一下因式分解常见的第一种方法：提公因式法：知识与技能目标：1、让学生了解多项式公因式的意义。
因式分解四种方法(讲义)
因式分解得四种方法(讲义)➢课前预习1.平方差公式:___________________________;完全平方公式:_________________________;_________________________.2.对下列各数分解因数:210=_________; 315=__________;91=__________; 102=__________.3.探索新知:(1)能被100整除吗？小明就是这样做得:所以能被100整除.(2)能被90整除吗？您就是怎样想得？(3)能被哪些整式整除？➢知识点睛1.__________________________________________叫做把这个多项式因式分解.2.因式分解得四种方法(1)提公因式法需要注意三点:①___________________________;②___________________________;③___________________________.(2)公式法两项通常考虑_____________,三项通常考虑_____________.运用公式法得时候需要注意两点:①___________________________;②___________________________.(3)分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法,首先找____________,然后再考虑____________或者_____________.(4)十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式得结构,其原理就是:3.因式分解就是有顺序得,记住口诀:“___________________”;因式分解就是有范围得,目前我们就是在______范围内因式分解.➢精讲精练1.下列由左到右得变形,就是因式分解得就是________________.①; ②;③; ④;⑤; ⑥;⑦.2.因式分解(提公因式法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3);解:原式=(4); (5).解:原式= 解:原式=3.因式分解(公式法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5);解:原式=(6);解:原式=(7); (8);解:原式= 解:原式=(9); (10).解:原式= 解:原式=4.因式分解(分组分解法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5); (6).解:原式= 解:原式=5.因式分解(十字相乘法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5); (6);解:原式= 解:原式=(7); (8).解:原式= 解:原式=6.用适当得方法因式分解:(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5);解:原式=(6).解:原式=【参考答案】➢课前预习1.2.210=7×5×3×2;315=7×5×3×3;91=13×7;102=17×3×23.(2)∴能被90整除∴能被1,m,m+1,m-1,m(m+1),m(m-1),(m+1)(m-1),m (m+1)(m-1)整除➢知识点睛1.把一个多项式化成几个整式得积得形式2.(1)①公因式要提尽②首项就是负时,要提出负号③提公因式后项数不变(2)平方差公式,完全平方公式①能提公因式得先提公因式②找准公式里得a与b(3)公因式,完全平方公式,平方差公式3.一提二套三分四查,有理数➢精讲精练1.④⑥⑦2.(1)(2)(3)(4)(5)3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) 4.(1)(2)(3)(4)(5)(6) 5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 6.(1)(2)(3)(4)(5)(6)。
因式分解-讲义--资料
因 式 分 解类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
例如：分解因式：（1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+2、利用完全平方公式因式分解：()2222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。
例如：分解因式：（1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2+---n m n m 1682++x x典型例题：例1 用平方差公式分解因式：（1）22)(9y x x -+-； （2）22331n m - 说明 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。
例2 分解因式：（1）ab b a -5；（2）)()(44n m b n m a +-+. 说明 将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？（1）962+-a a ； （2）982+-x x ； （3）91242--x x ； （4）223612y x xy ++-. 说明 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4 把下列各式分解因式：⑴ 442-+-x x ； ⑵ 22914942y x xy -- ⑶ mn n m 4422+-- 说明：在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号.例5 分解因式：⑴ 22363ay axy ax ++. ⑵ 22222)(624b a b a +-说明 ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.例6 分解因式：⑴ 22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---；⑵ 4224168b b a a +-；⑶ 1)2(2)2(222++++m m m m .⑷ 63244914b b a a +- ⑸ 1)2(6)2(92+---b a b a说明 在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重 要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.例7 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值. 说明 根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟练公式中的“a 、b ”便可自如求解.例8 已知2=+b a ，求222121b ab a ++的值. 说明 将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值.例9 已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值. 说明 这类问题一般不适合通过解出x 、y 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明 可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.例11 已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+346423y x y x ，求代数式2249y x -的值。
因式分解讲义
1 分解因式分解因式注意:①.结果应是积的形式. ②每个因式都是整式. ③要分解到不能分解为止.练习:下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）()()1122+-+=+-y x y x y x ； （2）()()2122--=+-x x x x ； （3）232236xy xy y x ⋅=；（4）()()()()221a y x a x y y x --=-+-；(5).96962⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++x x xy y xy y x 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）A 、－a 、B 、))((b x x a a ---C 、)(x a a -D 、)(a x a --2、若22)32(9-=++x kx mx，则m ，k 的值分别是（ ）A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=-123、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个4、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。
5、22)(n x m x x -=++则m =____n =____6、232y x 与y x 612的公因式是＿7、若n my x-=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。
8、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的有______ ，其结果是 ____。
9、若22(3)16x m x +--是平方差形式，则m=_______。
9、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x10、已知,01200520042=+++++xxx x 则.________2006=x11、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。
十字相乘法因式分解讲义
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(4) (x-3)(x-4)
2、提问：你有什么快速计算类似 以上多项式的方法吗？
整个二次三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
(1)x2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12 (4)x2-11x-12 (5)x2+13x+12 (6)x2-x-12
达标测验
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 (2)x2-3x-43 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18 (6)x4+13x2+36
(2)由于把x2 + px + q中的q分解成两个因数有多种情况，
怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才
能确定采用哪种情况来进行因式分解.
课下作业
课本121页 （1） （2） （3）（4）
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数 q能分解成两个因数a、b的积，而且一次 项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可 以进行如上的因式分解。
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
因式分解1讲义模板
教学目标
重点、难点
考点及考试要求 教学内容
一、因式分解的意义 把一个多项式化成为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 总结：(1)因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆变 形. (2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式. (3)分解因式都是在指定的数集内进行(如无特殊说明，一般指有理数)，其结果要使每一个因式不 能再分解为止. 二、提公因式法 (1)公因式：多项式中每一项都含有的因式，叫公因式. (2)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. (3)公因式的构成： ①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 提公因式时要一次提尽.公因式可以是单项式，也可以是多项式。 练习： （1）2x2y－xy （2）6a2b3－9ab2 （3）x（a－b）＋y（b－a） （4）ax＋ay＋bx＋by
a 4 1 a 2 1 a 1a 1
4、对某些多项式还要了解经过一定变形后才能分解的因式，如：分解 x 2 4 xy 3 y 2 的因式，此题用 现有的方法还不能分解因式.但若适当处理后配成完全平方，就可以继续分解.
x 2 4 xy 3 y 2 x 2 4 xy 3 y 2 y 2 y 2 x 2 4 xy 4 y 2 y 2 x 2 y y 2 x 2 y y x 2 y y x y x 3 y
（2）3ax2+6axy+3ay2
（3）4x2－12x＋9
（4）16x4+24x2+9；
因式分解讲义
龙文教育学科教师辅导讲义学生: 教师: 庞现胜日期: 课题因式分解教学目标1、了解因式分解的意义。
2、熟练运用适当的方法进行因式分解。
重点、难点重点：因式分解的概念以及运用提取公因式法和公式法分解因式。
难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。
教学内容一、概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
二、因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-32x+x=-x(3x-1)）基本方法1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。
有时提公因式后再用公式法。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例1：22x-3x解：=x(2x-3)针对性练习：提公因式法1.用提取公因式法分解因式正确的是（）A.12abc－9a2b2=3abc(4－3ab)B.3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)C.－a2+ab－ac=－a(a－b+c)D.x2y+5xy－y=y(x2+5x)2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( )A.x 2-yB.x 2+2xC.x 2+y 2D.x 2-xy+y 23.如果b －a =－6，ab =7，那么a 2b －ab 2的值是( )A.42B.－42C.13D.－134.将下面各式进行因式分解(1)c b a c ab b a 233236128+- (2) ab ab b a 7142122-+-(3) ma 2-4ma+4a (4) -28y 4-21y 3+7y 25.已知2x －y =81，xy =2，求2x 4y 3－x 3y 4的值.6.已知(4x -2y -1)2+2-xy =0，求4x 2y -4x 2y 2-2xy 2的值. 【中考链接】1、(2008青海)分解因式：． 2、（2008青海西宁）分解因式：； 3. （2008湖南株洲）分解因式：4. （2008广州市）分解因式5. (2008浙江丽水)因式分解：． 2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
因式分解讲义
分解因式知识归纳：一．知识点1 分解因式的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式注意:①.结果应是积的形式.②每个因式都是整式.③要分解到不能分解为止.2.因式分解的方法:知识点2 提公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c)（公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式）知识点3 公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.知识点4 分组分解法形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.知识点5 十字相乘法：形如：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.二．典型例题例1 10b(x-y)2-5a(y-x)2例2.a2-b2+a+b；例3 (ab+b)2-(a+1)2例4 (x+y)2-9y2例5 a2-2ab+b2-c2 例6 x2+2xy+y2-4例7 a2-ab+ac-bc 例8 (a+b)-4(a2-b2)+4(a-b)2 例9 x2+3x+2 例10 x2-2x-3例11 （x2-1）2-6（x2-1)+9 例12 7x2+13x-2三.课堂训练⑴3222245954a b c a bc a b c +- (2)433()()()a b a a b b b a -+-+-(3)2244x y xy --+ (4)543351881a b a b a b ++(5)22616x xy y -- (6)2()2()80x y y x ----(7)322222--++-y x y xy x (8)224426x xy y x y -+-+-四．巩固提高1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）A 、－a 、B 、))((b x x a a ---C 、)(x a a -D 、)(a x a --2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ）A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个4、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。
因式分解经典讲义【范本模板】
第六讲、分解因式第一部分：方法介绍提公因式法。
：ma+mb+mc=m(a+b+c)1、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是（ ) A 、5mn B 、225m n C 、25m n D 、25mn2．把（x －y ）2－（y －x ）分解因式为( ） A ．（x －y ）（x －y －1） B ．（y －x)(x －y －1） C ．（y －x ）(y －x －1） D ．（y －x ）（y －x ＋1）3、用提提公因式法分解因式5a （x －y ）－10b ·(x －y)，提出的公因式应当为( ） A 、5a －10b B 、5a ＋10b C 、5(x －y) D 、y －x4、nx ny - 5、()()m m n n n m -+-6、计算 9992＋9997、已知：x ＋y=21，xy=1。
求x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3的值.运用公式法.（1)（a+b ）（a —b ） = a 2—b 2 ----———-—a 2-b 2=(a+b ）（a —b ）；（2） (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 —-— a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2；(3） （a+b ）(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3-————- a 3+b 3=（a+b)(a 2—ab+b 2)；(4) (a —b ）（a 2+ab+b 2） = a 3-b 3 —-—-——a 3-b 3=（a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：（5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c ）2；（6）a 3+b 3+c 3—3abc=(a+b+c ）（a 2+b 2+c 2—ab-bc-ca)；例1、若k —12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）A 。
2 B.4 C 。
2y 2 D 。
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因式分解讲义
【例1】33228273654.
x y x y xy +++【例2】222499181212.
a b c bc ca ab ++--+【例3】66.
a b -【例4】()()2222ab c d a b cd
---【例5】()()()333
333.a b b c c a a b c ++++++++
【例6】4242422424242222.
a b b c c a a b b c c a a b c ++++++【例7】444222222222.
a b c a b b c c a ---+++【例8】已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720.a ac c ab bc b ++--+=求证：2b a c
=+【例9】()()()()2
45610123x x x x x ++++-【例10】()()2
11a b ab +-+
【例11】()4
4444a a ++-【例12】将198551-分解为三个大于1005的因数相乘.
【知1】余数定理：x c -除()f x 时，所得的余数为().f c （其中()f x 为整系数多项式）
【知2】多项式的有理根：有理根p c =的分子p 是常数项0a 的因数，而q 是首项系数n a 的因数.【例1】323648.
x x x +++【例2】()()()()3232232.
l m x l m n x l m n x m n +++-+---+
【例3】4325121797.
x x x x +++-【例4】42 1.
x px px p +++-【知3】待定系数法分解四次式：设为()()22x ax b x cx d ++++，解系数对应的方程组.
【例1】43 2.
x x --【例2】43222 1.
x x x -++【例3】证明42631;1x x x x +-+-均在整系数多项式范围内不可约.
【知4】对称式：一个关于多个（字母）变量的多项式，交换其中两个任意变量，多项式不发生改变。
那么这个多项式关于任意两个变量都是对称的，称为对称式；将一个式子对称求和，通常采用sym 求和符号，比如：32323232323232.
sym
a b c a b c b c a c a b a bc b ca c ab =+++++∑【知5】轮换式：如果一个多项式中的变量字母按照任何次序轮换后（如：()()(),,,,,,a b c b c a c a b →→），原多项式不变，那么称该多项式是轮换（多项）式；将一个式子轮换求和，通常采用cyc 求和符号，比如：32323232
cyc
a b c a b c b c a c a b =++∑.【知6】轮换式和对称式关于四则运算封闭（假如能整除）.
【知7】轮换式和对称式的一个因式或者自身轮换对称或对称，或者其所有轮换或对称均为因式.
【例1】()
3cyc
a b c -∑【例2】()()
33
cyc a b c a b c ++-+-∑【例3】()()()555
x y y z z x -+-+-
【例4】()()()
2211cyc
y z xy xz -++∑【例5】33.a abc -∑（对称轮换等价时，可以省略下方字母）
【例6】()()()()633229cyc cyc
b c a b a c a b ⎡⎤------⎣⎦∑∏（乘积式的轮换与对称）
【例7】()()(),,,222cyc a b c d
b c d b c c d d b ---∑（通常而言，对称或轮换关于三个字母，但有时字母更多，可以标
记在上方）
【知8】代数基本定理：任何复系数一元n 次多项式方程在复数域上至少有一根(n ≥1)，由此推出，n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根（重根按重数计算）.
【知9】实系数多项式的复数根两两共轭，因此任何实系数多项式可以分解为一次因式和二次因式的乘积.
【知10】单位根：多项式1n x -的根称为n 次单位根.
【知11】三次单位根：213.10.2
ωωω-=++=【例1】5422
x x x x ++++【例2】()4
44x y x y +++
【知12】艾森斯坦因（Eisenstein ）判别法：设()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++ 为整系数多项式.如果存在一个质数p ，满足以下条件：()20;|01;.n i p a p a i n p a ≤≤- 则()f x 在有理数集内不可约.
【知13】判别法的应用技巧：()f x 不可约的充分必要条件是存在整数a 、b ，()f ax b +不可约.
【例1】4321x x x x ++++不可约.
【例2】631x x ++不可约.
【例3】证明：()2312!3!!
p
x x x f x x p =+++++ 不可约，其中p 为质数.【知14】在模2的意义下考虑多项式：即将偶数变为0，奇数变为1.此时一次多项式仅有;1x x +，二次多项式仅有2222;1;; 1.x x x x x x ++++其中仅有21x x ++不可约.
【例1】当()2,b c d + 32x bx cx d +++不可约.
【例2】521x x +-不可约.
【例3】证明：4431;1x x x x ++++均不可约.
【习1】()()2268144812.
x x x x +++++【习2】()()32132
a x ax a x a ----+-【习3】432221
x x x -++【习4】()44cyc a b c -∑
【习6】()()()()3
22222422.a ab b a b a b a b ++--++【习7】()7
77.x y x y +-+【习8】()
33cyc
b c b c -∑
【习10】()7
77x y x y +++【习11】证明不可约：4432521;1214 1.x x x x x x ++++++。