2020年高考一轮复习《幂函数与二次函数》
2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数
2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数第4讲 二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)导师提醒1．巧记三类幂函数的图象特征(1)当α<0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y ＝x －1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大．(2)当0<α<1时，函数图象倾向x 轴，类似于y ＝x 12的图象．(3)当α>1时，函数图象倾向y 轴，类似于y ＝x 3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大．2．关注一个易错点注意二次项系数对函数性质的影响，经常对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论． 3．记牢一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c，x ∈R 不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B ．1C.32D ．2解析：选C.因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32. (教材习题改编)如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D.(教材习题改编)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤3C ．a <－3D ．a ≤－3 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是 ( ) A ．[0，3] B ．[－1，3] C ．[－1，0]D ．[1，3]解析：选B.由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，得g (x )在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝－1，而g (0)＝0，g (3)＝3. 所以g (x )的值域为[－1，3]，故选B.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a <0，解得a >120. 答案：⎝⎛⎭⎫120，＋∞幂函数的图象及性质(自主练透)1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得：33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52解析：选B.因为函数y ＝(m 2＋m －1)x－5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝1. 3．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D.因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . 4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】 法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f (x )的解析式为f (x )＝________．解析：由二次函数f (x )有两个零点0和－2，可设f (x )＝a (x ＋2)x ，则f (x )＝a (x 2＋2x )＝a (x ＋1)2－a .又f (x )有最小值－1，则a ＝1.所以f (x )＝x 2＋2x . 答案：x 2＋2x2．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为(－32，49)，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f (x )＝a (x ＋32)2＋49(a ≠0)，方程a (x ＋32)2＋49＝0的两个根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2－49a＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋40二次函数的图象与性质(多维探究) 角度一 二次函数的图象已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错． B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错． C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.【答案】 D角度二 二次函数的单调性函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． 【答案】 [－3，0][迁移探究] (变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？解：因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －3－2a ＝－1，解得a ＝－3.角度三 二次函数的最值问题设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【解】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.角度四 二次函数中的恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可． 因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． (2)2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 【答案】 (1)(－∞，－1) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D.由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C.又f (0)＝c <0，所以排除B ，故选D.2．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数． 解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， 所以f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， 所以f (x )的最小值是f (2)＝－1， 又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．分类讨论思想在二次函数问题中的应用已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值． 【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a .①当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在(0，1]内，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增．所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a . ②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧， 所以f (x )在[0，1]上单调递减． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b2a 为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建立方程求解参数．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值． 解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38； (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.[基础题组练]1．幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.因为y ＝x m 2－4m (m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，所以m 2－4m <0，即0<m <4. 又因为函数的图象关于y 轴对称，且m ∈Z ， 所以m 2－4m 为偶数，因此m ＝2.2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x n 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B.由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x－2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )解析：选A.当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，y ＝(a －1)x 2－x 开口向下，其对称轴为x ＝12（a －1）<0，排除C ，D ；当a >1时，y ＝log a x 为增函数，y ＝(a －1)x 2－x 开口向上，其对称轴为x ＝12（a －1）>0，排除B.故选A.4．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)解析：选A.二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的对称轴为x ＝2k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )>0的解集是( )A ．(－4，2)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：选C.依题意，f (x )图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a >0)，于是f (x )>0，解得x >2或x <－4.6．已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1312，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．b <a <c解析：选A.根据题意，m －1＝1， 所以m ＝2，所以2n ＝8， 所以n ＝3，所以f (x )＝x 3.因为f (x )＝x 3是定义在R 上的增函数，又－12<0<⎝⎛⎭⎫1312<⎝⎛⎭⎫130＝1<ln π， 所以c <a <b .7．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (1)＝f (3)>f (4)，则( ) A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0解析：选B.若a ＝0，f (x )不满足题意，所以a ≠0，f (x )为二次函数． 因为f (1)＝f (3)，则x ＝2为对称轴，故－b2a ＝2，则4a ＋b ＝0，又f (3)>f (4)，在(2，＋∞)上f (x )为减函数，所以开口向下，a <0. 故选B.8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时f (x )为减函数， 又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5. 答案：(3，5)9．已知二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y ＝a (x －3)2，又图象与y 轴交于点(0，3)， 所以3＝9a ，即a ＝13.所以y ＝13(x －3)2＝13x 2－2x ＋3.答案：y ＝13x 2－2x ＋310．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数，所以a ≤1，又因为g (x )＝ax ＋1在[1，2]上是减函数，所以a >0，所以0<a ≤1.答案：(0，1]11．已知函数f (x )＝bx 2－2ax ＋a (a ，b ∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14. (1)当a ＝2时，求函数y ＝log 12f (x )的单调增区间；(2)当a ＜0时，求使函数f (x )的定义域为[－1，1]，值域为[－2，2]的a 值． 解：因为f (x )＝bx 2－2ax ＋a 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14， 所以b ＝1，(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2－4x ＋2， 令f (x )＞0可得， x ＞2＋2或x ＜2－2，所以f (x )在(2＋2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2－2)上单调递减， y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y ＝log 12f (x )的单调增区间为(－∞，2－2)．(2)当a ＜0时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的对称轴x ＝a ＜0， ①a ≤－1时，函数f (x )在[－1，1]上单调递增，当x ＝－1时，函数有最小值f (－1)＝1＋3a ＝－2， 当x ＝1时，函数有最大值f (1)＝1－a ＝2， 解得a ＝－1，②0＞a ＞－1时，函数在[－1，1]上先减后增，当x ＝a 时，函数有最小值f (a )＝a －a 2＝－2，解得，a ＝2(舍)或a ＝－1(舍)， 综上可得，a ＝－1.12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]， 对称轴x ＝－32∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1.[综合题组练]1．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是 ( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0，4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选C.由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0，2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4，故选C.2．(应用型)已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关解析：选C.该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝14，又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0， 所以当x 1，x 2在对称轴的两侧时， 14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)． 当x 1，x 2都在对称轴的左侧时， 由单调性知f (x 1)<f (x 2)． 综上，f (x 1)<f (x 2)．3．(创新型)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0， 且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．。
2020届高三理数一轮讲义：2.4-幂函数与二次函数(练习版)
第4节 幂函数与二次函数最新考纲 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知 识 梳 理1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.(2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是增函数 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是减函数 [微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎨⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎨⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝2x13是幂函数.()(2)当n>0时，幂函数y＝x n在(0，＋∞)上是增函数.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()2.(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则k＋α＝()A.12 B.1 C.32 D.23.(必修1P44A9改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是________.4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝243，b＝323，c＝2513，则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b5.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是()A.f(x)＝x2－2x＋1B.f(x)＝x2－1C.f(x)＝2xD.f(x)＝2x＋16.(2018·成都诊断)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·x m2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为________.考点一幂函数的图象和性质【例1】(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()(2)若a＝⎝⎛⎭⎪⎫1223，b＝⎝⎛⎭⎪⎫1523，c＝⎝⎛⎭⎪⎫1213，则a，b，c的大小关系是()A.a <b <cB.c <a <bC.b <c <aD.b <a <c规律方法 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 【训练1】 (1)(2018·洛阳二模)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( )A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数 (2)(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.考点二 二次函数的解析式【例2】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练2】已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.考点三二次函数的图象及应用【例3】(1)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【训练3】一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()考点四二次函数的性质多维探究角度1二次函数的单调性与最值【例4－1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.角度2二次函数的恒成立问题【例4－2】(2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx ＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是() A.[－2，2] B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.[思维升华]1.幂函数y＝xα的性质和图象，由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1)α的正负：α>0时图象经过(0，0)点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时图象不过(0，0)点，经过(1，1)点，在第一象限的部分“下降”；(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹；(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.[易错防范]1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·济宁联考)下列命题正确的是()A.y＝x0的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)C.若幂函数y＝xα是奇函数，则y＝xα是增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限2.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)()A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B.在(－∞，3)上递增C.在[1，3]上递增D.单调性不能确定3.(2019·安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A.1B.0C.－1D.24.(2018·岳阳一中质检)已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是()5.(2019·巢湖月考)已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)x m在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题6.已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝12，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________.7.(2019·泉州质检)若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________.8.已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________.三、解答题9.已知奇函数y＝f(x)定义域是R，当x≥0时，f(x)＝x(1－x).(1)求出函数y＝f(x)的解析式；(2)写出函数y＝f(x)的单调递增区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可)10.已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k . (1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·武汉模拟)幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b＝( )A.0B.1C.12D.212.(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关13.已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝________.14.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.。
2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数
2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数第4讲 二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)导师提醒1．巧记三类幂函数的图象特征(1)当α<0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y ＝x －1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大．(2)当0<α<1时，函数图象倾向x 轴，类似于y ＝x 12的图象．(3)当α>1时，函数图象倾向y 轴，类似于y ＝x 3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大．2．关注一个易错点注意二次项系数对函数性质的影响，经常对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论． 3．记牢一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B ．1C.32D ．2解析：选C.因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32. (教材习题改编)如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D.(教材习题改编)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤3C ．a <－3D ．a ≤－3 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是 ( ) A ．[0，3] B ．[－1，3] C ．[－1，0]D ．[1，3]解析：选B.由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，得g (x )在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝－1，而g (0)＝0，g (3)＝3. 所以g (x )的值域为[－1，3]，故选B.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a <0，解得a >120. 答案：⎝⎛⎭⎫120，＋∞幂函数的图象及性质(自主练透)1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得：33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52解析：选B.因为函数y ＝(m 2＋m －1)x－5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝1. 3．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D.因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . 4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】 法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f (x )的解析式为f (x )＝________．解析：由二次函数f (x )有两个零点0和－2，可设f (x )＝a (x ＋2)x ，则f (x )＝a (x 2＋2x )＝a (x ＋1)2－a .又f (x )有最小值－1，则a ＝1.所以f (x )＝x 2＋2x . 答案：x 2＋2x2．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为(－32，49)，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f (x )＝a (x ＋32)2＋49(a ≠0)，方程a (x ＋32)2＋49＝0的两个根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2－49a＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋40二次函数的图象与性质(多维探究) 角度一 二次函数的图象已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错． B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错． C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.【答案】 D角度二 二次函数的单调性函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． 【答案】 [－3，0][迁移探究] (变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？解：因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －3－2a ＝－1，解得a ＝－3.角度三 二次函数的最值问题设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【解】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.角度四 二次函数中的恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可． 因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． (2)2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 【答案】 (1)(－∞，－1) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D.由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C.又f (0)＝c <0，所以排除B ，故选D.2．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数． 解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， 所以f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， 所以f (x )的最小值是f (2)＝－1， 又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．分类讨论思想在二次函数问题中的应用已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值． 【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a .①当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在(0，1]内，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增．所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a . ②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧， 所以f (x )在[0，1]上单调递减． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b2a 为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建立方程求解参数．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值． 解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38； (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.[基础题组练]1．幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1。
2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试：二次函数与幂函数
课时跟踪检测(十二) 二次函数与幕函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1幕函数y= f(x)经过点(3, 3)，则f(x)是()A•偶函数，且在(0,+^ )上是增函数B. 偶函数，且在(0,+^ )上是减函数C .奇函数，且在(0 ,+^ )上是减函数D •非奇非偶函数，且在(0,+^ )上是增函数解析：选D 设幕函数的解析式为y= x a,将(3, 3)代入解析式得3 a= 3，解得1a 2，所以y= x2 .故选D.2. (2018丽水调研股函数f(x) = ax2+ bx+ c(a^ 0, x € R),对任意实数t都有f(2 + t)= f(2-1)成立，在函数值f( —1), f(1), f(2), f(5)中，最小的一个不可能是()A. f(—1)B. f(1)C. f(2)D. f(5)解析：选B 由f(2 + t)= f(2 —t)知函数y= f(x)的图象对称轴为x = 2.当a>0时，易知f(5) = f(—1) > f(1) > f(2);当a v 0 时，f(5) = f(—1) v f(1) v f(2)，故最小的不可能是f(1).3. (2018金华模拟)已知幕函数y= f(x)的图象经过点2, 4，则它的单调递增区间为( )A. (0,+^ )B. ［0,+^ )C.(―汽0)D. ( — m,+m )解析：选C设幕函数f(x)=x a,••• f(x)的图象经过点2, 1 ,••• 2a= 1,解得a= —2,则f(x) = x—2= 4,且X M 0,••• y= x2在(—s, 0)上递减，在(0,+ s)上递增，•函数f(x)的单调递增区间是(一s, 0).4. 定义：如果在函数y= f(x)定义域内的给定区间［a , b］上存在x o(a v x o< b),满足f(x。
) =f［一fa，则称函数y= f(x)是［a , b］上的“平均值函数”，x°是它的一个均值点，如yb—a=x4是［—1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点. 现有函数f(x) = —x2+ mx+ 1是［—1,1］上的平均值函数，则实数m的取值范围是____________ .解析：因为函数f(x)=—x2+ mx+ 1是［—1,1］上的平均值函数,设X 0为均值点，所以X 。
备考2020年高考数学一轮复习：07 二次函数与幂函数
备考2020年高考数学一轮复习：07 二次函数与幂函数一、单选题(共15题；共30分)1．（2分）已知f(x)=ax2+x−a(−1≤x≤1)且|a|≤1,则|f(x)|的最大值为()A．54B．34C．3D．12．（2分）已知a∈{−1,2,12,3,13}，若f(x)=x a为奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，则实数a的值是()A．−1,3B．13,3C．−1,13,3D．13,12,33．（2分）设a,b是关于x的一元二次方程x2−2mx+m+6=0的两个实根，则(a−1)2+ (b−1)2的最小值是（）A．−494B．18C．8D．-64．（2分）若幂函数f(x)的图象过点(2,√2)，则函数y=f(x)+1−x的最大值为（）A．1B．54C．2D．735．（2分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(12,√22)，则log4f(2)的值为（）A．B．C．D．6．（2分）下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④7．（2分）若函数f(x)=x2+(2a−1)x+1在区间(−∞,2]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．8．（2分）已知幂函数f(x)=xα(α∈R)的图象过点(16,2)，若f(m)=3，则实数m的值为()A．9B．12C．27D．819．（2分）已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b∈R,c∈R)，M,N分别是函数f(x)在区间[−1,1]上的最大值和最小值，则M−N的最小值（）A．B．C．D．10．（2分）已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或211．（2分）若(a+1)−12<(3−2a)−12，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（2分）已知函数f(x)=(x−a)(x−b)（其中a>b）的图象如图所示，则函数g(x)=a x+b的图象大致是()A．B．.C．D．13．（2分）幂函数的图象过点(2,8), 则它的单调递增区间是（）A．(0,+∞)B．[0,+∞)C．(−∞,0)D．(−∞,+∞) 14．（2分）设a=1.212，b=0.912，c=1.112它们的大小关系是（）A．c<a<b B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a15．（2分）已知函数f(x)=(m2−m−1)x m2−4m+3是幂函数，且其图像与y轴没有交点，则实数m=（）A．或B．C．D．二、填空题(共5题；共6分)16．（1分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22)，则此函数的解析式为．17．（1分）若函数f(x)=x2−x+1+alnx在(0,+∞)上单调递增，则实数a的最小值是．18．（1分）已知幂函数y=x m2−9( m∈N∗)的图象关于y轴对称,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则m=.19．（1分）设α∈{13,12,−1,−2,3}，若f(x)=xα为偶函数，则α=．20．（2分）已知二次函数f(x)=x2+mx−3的两个零点为1和n，则n=；若f(a)≤f(3)，则a的取值范围是．三、解答题(共5题；共55分)21．（10分）已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设f(x)=g(x)x.（1）（5分）求a,b的值；（2）（5分）若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在区间[−1,1]上恒成立，求实数k的取值范围. 22．（10分）函数f(x)=kx+b，(k≠0)，x∈R（1）（5分）若f(−1)=1，f(1)=5，求f(x).（2）（5分）若b=3，且函数f(x)在区间[−1，3]上的最大值为6，求k的值. 23．（10分）已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1，f(x+1)−f(x)=2x.（1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）求f(x)在区间[−1，1]上的最值.24．（10分）如图，ABCD是块边长为100 m的正方形地皮，其中扇形AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST⃗⃗⃗⃗⃗上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上。
新高考数学一轮复习幂函数与二次函数重难点题型精讲(含答案)
幂函数与二次函数-重难点题型精讲1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0}2.二次函数的图象和性质R R【题型1 幂函数的图象及性质】【例1】（2021•宜春模拟）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象过点（m，8）．设a＝f（20.3），b＝f （0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解题思路】利用幂函数的定义，先求出f（x）的解析式，可得a、b、c的值，从而判断a，b，c的大小关系．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象过点（m，8），∴m﹣1＝1，且m n＝8，求得m ＝2，n ＝3，故f （x ）＝x 3．∵a ＝f （20.3）＝20.9＞1，b ＝f （0.32）＝0.36∈（0，1），c ＝f （log 20.3）=(log 20.3)3＜0， ∴a ＞b ＞c ， 故选：D ．【变式1-1】（2021•阳泉三模）已知点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 图象上， 设a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a【解题思路】推导出f （x ）＝x 3，从而45＜a ＝[（45）0.3]3＝（45）0.9＜（45）0＝1，54＞b ＝[（54）0.2]3＝（54）0.6＞（54）0＝1，c ＝（log 1254）3＜（log121）3＝0，由此能判断a ，b ，c 的大小关系．【解答过程】解：点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 图象上， ∴f （2）＝2n ＝8，解得n ＝3，∴f （x ）＝x 3， 设a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)， ∴45＜a ＝[（45）0.3]3＝（45）0.9＜（45）0＝1，54＞b ＝[（54）0.2]3＝（54）0.6＞（54）0＝1，c ＝（log 1254）3＜（log121）3＝0， ∴a ，b ，c 的大小关系是b ＞a ＞c ． 故选：A ．【变式1-2】（2020•金安区校级模拟）已知幂函数f （x ）＝mx 1+n 是定义在区间[﹣2，n ]上的奇函数，设a ＝f （sin2π7），b ＝f （cos2π7），c ＝f （tan2π7），则（ ） A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解题思路】根据幂函数的定义与奇函数的定义，求出m 、n 的值，写出f （x ），判断其单调性，再根据cos2π7、sin2π7和tan2π7的大小比较f （cos2π7）与f （sin2π7）、f （tan2π7）的大小．【解答过程】解：根据幂函数f （x ）＝mx 1+n 是定义在区间[﹣2，n ]上的奇函数， 得m ＝1，且﹣2+n ＝0，解得n ＝2；∴f （x ）＝x 3，且在定义域R 上是单调增函数； 又0＜π4＜2π7＜π2，∴cos2π7＜sin2π7＜1＜tan2π7，∴f （cos 2π7）＜f （sin 2π7）＜f （tan 2π7），即b ＜a ＜c ． 故选：A ．【变式1-3】（2020•三明模拟）已知幂函数f(x)=(m −1)2x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，函数g （x ）＝2x ﹣t ，对于任意x 1∈[1，5）时，总存在x 2∈[1，5）使得f （x 1）＝g （x 2），则t 的取值范围是（ ） A ．∅B ．t ≥7或t ≤1C ．t ＞7或t ＜1D ．1≤t ≤7【解题思路】先利用幂函数的定义和单调性，求出m 的值，得到函数f （x ）的解析式，设函数f （x ）在[1，5）的值域为集合A ，函数g （x ）在[1，5）的值域为集合B ，利用函数的单调性分别求出集合A ，集合B ，由题意可得A ⊆B ，利用集合间的包含关系列出不等式组，即可求出t 的取值范围． 【解答过程】解：∵幂函数f(x)=(m −1)2x m 2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，∴{(m −1)2=1m 2−4m +2＞0，解得m ＝0，∴f （x ）＝x 2，当x 1∈[1，5）时，f （x 1）∈[1，25），设集合A ＝[1，25），又当x 2∈[1，5）时，g （x 2）∈[2﹣t ，32﹣t ），设集合B ＝[2﹣t ，32﹣t ）， 由题意得：A ⊆B ，∴{2−t ≤132−t ≥25，解得：1≤t ≤7， 故选：D ．【题型2 二次函数的图象及性质】【例2】（2020•西湖区校级模拟）已知函数f （x ）＝mx 2+（m ﹣3）x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]【解题思路】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，应先结合m 是否为零对函数是否为二次函数进行区别，对于二次函数情况下充分结合图形的特点利用判别式和对称轴即可获得问题解答． 【解答过程】解：由题意可知：当m ＝0时，由f （x ）＝0 知，﹣3x +1＝0，∴x =13＞0，符合题意；当m＞0时，由f（0）＝1可知：{△=(m−3)2−4m≥0−m−32m＞0，解得0＜m≤1；当m＜0时，由f（0）＝1可知，函数图象恒与X轴正半轴有一个交点综上可知，m的取值范围是：（﹣∞，1]．故选：D．【变式2-1】（2020秋•龙岩期中）已知二次函数f（x）＝ax2+（a﹣5）x+a2﹣6（a≠0）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0）两点，且﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则a的取值范围是（）A．(2，1+2√3)B．(2，2√3−1)C．(1+2√3，+∞)D．(−∞，2−2√3)【解题思路】由已知结合二次函数的实根分布中特殊点函数值的符号建立关于a的不等式，可求．【解答过程】解：若a＞0，则{f(−1)=a2−1＞0f(1)=a2+2a−11＜0 f(2)=a2+6a−11＞0，解得2＜a＜2√3−1；若a＜0，则{f(−1)=a2−1＜0f(1)=a2+2a−11＞0f(2)=a2+6a−16＜0，不等式组无解．故a的取值范围是(2，2√3−1)．故选：B．【变式2-2】（2020秋•咸阳期末）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＝1时，函数f（x）的图象恰好在函数g（x）＝2x+b的图象上方（f（x）≥g（x）且恰好能取到等号），求实数b的值．【解题思路】（Ⅰ）求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为x2﹣4x+3﹣b≥0恒成立，根据判别式△≤0，求出b的值即可．【解答过程】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2，对称轴是x＝a，若函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，则a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）；（Ⅱ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+2，f（x）﹣g（x）＝x2﹣4x+3﹣b，由题意得f（x）﹣g（x）≥0，即x2﹣4x+3﹣b≥0恒成立，故△＝16﹣12+4b ≤0，解得：b ≤﹣1， 当f （x ）≥g （x ）且恰好能取到等号， 即f （x ）＝g （x ）时，b ＝﹣1．【变式2-3】（2020秋•越秀区期末）问题：是否存在二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0，b ，c ∈R ）同时满足下列条件：f （0）＝3，f （x ）的最大值为4，____？若存在，求出f （x ）的解析式；若不存在，请说明理由．在①f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意x ∈R 都成立，②函数y ＝f （x +2）的图象关于y 轴对称，③函数f （x ）的单调递减区间是[12，+∞)这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答．【解题思路】由f （0）＝3，可求得c ＝3，由条件可得函数的对称轴，又f （x ）的最大值为4，可得关于a ，b 的方程组，求解即可．【解答过程】解：由f （0）＝3，可得c ＝3，则f （x ）＝ax 2+bx +3， 若选择①f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意x ∈R 都成立， 可得f （x ）的对称轴为x ＝1，所以−b2a =1，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （1）＝4，即a +b +3＝4， 解得a ＝﹣1，b ＝2， 此时f （x ）＝﹣x 2+2x +3；若选择②函数y ＝f （x +2）的图象关于y 轴对称， 可得f （x ）关于x ＝2对称，则−b2a =2，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （2）＝4，即4a +2b +3＝4， 解得a =−14，b ＝1， 此时f （x ）=−14x 2+x +3；若选择③函数f （x ）的单调递减区间是[12，+∞)， 可得f （x ）关于x =12对称，则−b2a =12，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （12）＝4，即14a +12b +3＝4，解得a ＝﹣4，b ＝﹣4， 此时f （x ）＝﹣4x 2﹣4x +3．【题型3 二次函数的最值问题】【例3】（2020春•滨海新区期末）已知函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2在x ∈[﹣1，2]．上有最大值是4，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1或3B ．﹣4或0C ．﹣1或0D ．﹣4或3【解题思路】由函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2的图象开口向上知函数f （x ）在|﹣1，2]上的最大值在﹣1或2上取得．从而分类讨论求解．【解答过程】解：由函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2的图象开口向上知， 函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2在|﹣1，2]上的最大值在﹣1或2上取得． 若函数f （x ）在﹣1上取得最大值4，则 {−a ≥121−2a +a 2=4，解得a ＝﹣1，若函数f （x ）在2上取得最大值4，则 {−a ≤124+4a +a 2=4，解得a ＝0，故选：C ．【变式3-1】（2020秋•仓山区校级期中）如果函数y ＝4x 2﹣4ax +a 2﹣2a +3在区间[0，2]上有最小值3，那么实数a 的值为 ．【解题思路】由二次函数对称轴结合定义域进行讨论即可解决此题． 【解答过程】解：函数y ＝4x 2﹣4ax +a 2﹣2a +3的对称轴是：x =a2．当a2≤0，即a ≤0时，f （x ）在[0，2]上的最小值a 2﹣2a +3＝3，解得：a ＝0或2（舍去）；当0＜a2＜2，即0＜a ＜4时，f （x ）的最小值是f （a2）＝﹣2a +3＝3，解得：a ＝0（舍去）；a 2≥2，即a ≥4时，f （x ）的最小值是f （2）＝4×22﹣4a ×2+a 2﹣2a +3＝a 2﹣8a +19＝3，解得：a 1＝a 2＝4．综上，a 的值是0或4． 故答案为：0或4．【变式3-2】（2020•浙江模拟）已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1，则当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）的最大值为 ．【解题思路】由题知{f(1)=a +b +cf(−1)=a −b +c f(0)=c ，进而求出a ，b ，c ，所以f （x ）＝f （1）(x 2+x 2)+f （﹣1）(x 2−x2)+f（0）（1﹣x 2）再由题知对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1分别再讨论﹣2≤x ≤﹣1与1≤x ≤2区间最值，最后得出最值． 【解答过程】解：由题意{f(1)=a +b +cf(−1)=a −b +c f(0)=c ，有得{a =12[f(1)+f(−1)−2f(0)]b =12[f(1)−f(−1)]c =f(0)所以f （x ）＝f （1）(x 2+x2)+f （﹣1）(x 2−x2)+f （0）（1﹣x 2） 对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1所以当﹣2≤x ＜﹣1时，|f （x ）|≤||||+||||+||||）|≤||+||+|| =(x 2+x2)+(x 2−x2)+(x 2−1)=2x 2−1≤7当1＜x ≤2时，|f （x ）|≤||||+||||+||||）|≤||+||+||=(x 2+x 2)+(x 2−x 2)+(x 2−1)=2x 2−1≤7综上所述，当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）的最大值为7．【变式3-3】（2021春•浦东新区校级期末）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3． （1）若f （a +1）＝f （2a ），求a 的值；（2）若函数y ＝f （x ）在x ∈[2，3]的最小值为5﹣a ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在整数m 、n 使得关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]？若存在，请求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据已知条件，得到（a +1）2﹣（a ﹣2）（a +1）+a ﹣3＝（2a ）2﹣2a （a ﹣2）+a ﹣3解方程即可求出结果； （2）由于f （x ）的对称轴为x =a−22，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，判断单调性求出最小值即可；（3）根据题意转化为 m ，n 是方程 x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3＝x 的两个根，结合韦达定理得到 m +n ＝2+mn ，分离常数，根据m ，n 为整数即可求解．【解答过程】解：（1）因为f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3，且 f （a +1）＝f （2a ）， 所以（a +1）2﹣（a ﹣2）（a +1）+a ﹣3＝（2a ）2﹣2a （a ﹣2）+a ﹣3， 整理得2a 2+a ﹣3＝0，解得a ＝1或−32；（2）f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3 的对称轴为 x =a−22， 因为 x ∈[2，3]， ①当a−22≤2，即 a ≤6，则f （x ）在x ∈[2，3]上单调递增，所以f （x ）min ＝f （2）＝22﹣2（a ﹣2）+a ﹣3＝5﹣a ，符合题意；②当2＜a−22＜3，即6＜a ＜8，则f （x ）在(2，a−22)上单调递减，在(a−22，3)单调递增， 所以f(x)min =f(a−22)=(a−22)2−a−22(a −2)+a −3=−a 2+8a−164=5﹣a ， 则a ＝6，与6＜a ＜8矛盾，不符合题意； ③a−22≥3，即a ≥8，则f （x ）在x ∈[2，3]上单调递减，所以f(x)min =f(3)=32−3(a −2)+a −3=12−2a =5−a ， 则a ＝7，与a ≥8矛盾，不符合题意，综上a ≤6，因此实数a 的取值范围为（﹣∞，6]；（3）因为关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]， ①若a−22≤m ，则f （x ）在[m ，n ]上单调递增，所以{f(m)=mf(n)=n，即m ，n 是方程x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3＝x ，即x 2﹣（a ﹣1）x +a ﹣3＝0的两个根， 由韦达定理得{m +n =a −1mn =a −3，所以 m +n ＝2+mn ，所以m （1﹣n ）＝2﹣n ，当n ＝1时，m 不存在，舍去， 当n ≠1时，m =2−n 1−n =11−n +1，所以当n ＝0时，m ＝2；当n ＝2时，m ＝0，又因为m ＜n ，所以n ＝2，m ＝0，经检验，此时a ＝3，关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍去；②若m ＜a−22≤n ，则f （x ）在(m ，a−22)上单调递减，在(a−22，n +1)上单调递增，所以{f(a−22)≥m f(n)=n f(m)=n ，即{(a−22)2−(a −2)⋅a−22+a −3≥m n 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n，所以{−a 2+8a −16≥4m n 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n ，即x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3﹣n ＝0有两个不相等的实数根，且m +n ＝2﹣a ，由于m ，n 为整数，则a 为整数，则a =n 2+n−3n−1=n +2−1n−1，当n ＝0时，a ＝3，m ＝﹣1，经检验关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍去；当n ＝2时，a ＝3，m ＝﹣1，经检验符合题意； 故m ＝﹣1，n ＝2； ③若a−22≥n ，则f （x ）在[m ，n ]上单调递减，所以{f(m)=nf(n)=m，即{m 2−(a −2)⋅m +a −3=n n 2−(a −2)⋅n +a −3=m ，则m ＝n ，不合题意舍去． 综上：存在这样的m ，n 为整数，且m ＝﹣1，n ＝2． 【题型4 二次函数的恒成立问题】【例4】（2021•4月份模拟）对于任意a ∈[﹣1，1]，函数f （x ）＝x 2+（a ﹣4）x +4﹣2a 的值恒大于零，那么x 的取值范围是（ ） A ．（1，3） B ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C ．（1，2）D ．（3，+∞）【解题思路】把二次函数的恒成立问题转化为y ＝a （x ﹣2）+x 2﹣4x +4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x 的取值范围．【解答过程】解：原问题可转化为关于a 的一次函数y ＝a （x ﹣2）+x 2﹣4x +4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，只需{(−1)⋅(x −2)+x 2−4x +4＞01×(x −2)+x 2−4x +4＞0， ∴{x ＞3，或x ＜2x ＜1，或x ＞2， ∴x ＜1或x ＞3．故选：B ．【变式4-1】（2020春•玉林期末）已知函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，72）B ．（72，+∞）C ．（﹣∞，143）D ．（143，+∞）【解题思路】由题意可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，结合y ＝g （x ）的图象，只需g （1）＜0，且g （2）＜0，解不等式可得所求范围．【解答过程】解：函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，由于y ＝g （x ）的图象为开口向上的抛物线，只需g （1）＜0且g （2）＜0，所以{1+4−k −k +2＜04+2(4−k)−k +2＜0，即{k ＞72k ＞143， 可得k ＞143． 故选：D ．【变式4-2】（2020春•浙江期中）已知f （x ）＝x 2﹣|x ﹣a |+a ，若f （x ）≤0对任意x ∈[﹣1，1]恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，0]C ．[0，+∞）D ．[﹣1，0]【解题思路】利用分段思想，分类讨论，结合二次函数性质即可求解．【解答过程】解：f （x ）＝x 2﹣|x ﹣a |+a ={x 2−x +2a ，x ≥a x 2+x ，x ＜a ，∵f （x ）≤0对任意x ∈[﹣1，1]恒成立，∴①{x 2−x ≤−2a x ≥a 恒成立， 此时a ≤﹣1；②{x 2+x ≤0x ＜a在x ∈[﹣1，1]恒成立， 此时a ≤0；综上核对a ≤0，故选：B ．【变式4-3】（2021春•虹口区期末）已知函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2．（1）若对于任意x ∈R ，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若对于任意a ∈[﹣1，1]，f （x ）＞0成立，求实数x 的取值范围．【解题思路】（1）利用二次函数的图象与性质可得△≤0，从而可求得a 的取值范围；（2）f （x ）≥0恒成立等价于f （x ）min ≥0，利用二次函数的图象与性质对a 分类讨论，求出f （x ）的最小值，结合题意即可求解a 的取值范围；（3）将函数f （x ）看作关于a 的函数g （a ），结合题意可得关于x 的不等式组即可求解x 的取值范围．【解答过程】解：（1）f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2≥0恒成立，可得△＝4a 2﹣4（2﹣a ）≤0，解得﹣2≤a ≤1，即实数a 的取值范围是[﹣2，1]．（2）若对于任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，则f （x ）min ≥0，函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2的对称轴为x ＝﹣a ，当﹣a ＜﹣1，即a ＞1时，f （x ）min ＝f （﹣1）＝3﹣3a ≥0，解得a ≤1，矛盾，舍去；当﹣a ＞1，即a ＜﹣1时，f （x ）min ＝f （1）＝3+a ≥0，可得﹣3≤a ＜﹣1，当﹣1≤﹣a ≤1，即﹣1≤a ≤1时，f （x ）min ＝f （﹣a ）＝﹣a 2﹣a +2≥0，可得﹣1≤a ≤1，综上所述，求实数a 的取值范围是[﹣3，1]．（3）对于任意a ∈[﹣1，1]，f （x ）＞0成立，等价于对于任意a ∈[﹣1，1]，g （a ）＝（2x ﹣1）a +x 2+2＞0，所以{g(−1)=x 2−2x +3＞0g(1)=x 2+2x +1＞0，解得x ≠1， 所以实数x 的取值范围是{x |x ≠﹣1}．。
2020年数学(理)一轮复习：二次函数与幂函数
解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得 m＝－1 或 m＝2. 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴m＝2. 5．已知 f(x)＝4x2－mx＋5 在[2，＋∞)上是增函数，则实数 m 的取值范围是_(－__∞__，__1_6_]__． 解 析 ： 因 为 函 数 f(x) ＝ 4x2 － mx ＋ 5 的 单 调 递 增 区 间 为
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2．二次函数 (1)二次函数解析式的3种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
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(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
1
(1)函数 y＝2x 3 是幂函数．
(×)
(2)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数． ( √ )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数． ( × ) (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac4－a b2.
图象(抛物线)
定义域 值域
对称轴 顶点坐标
R
2020年高考数学一轮复习专题09幂函数与二次函数(含解析)
专题09对数与对数函数最新考纲1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的对数函数的图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.基础知识融会贯通 1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)logmnab＝nmlog a b.其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．重点难点突破【题型一】对数的运算【典型例题】若函数f（x）＝1+x3，则f（lg2）+f（1g）＝（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：∵f（x）＝1+x3；∴．故选：A．【再练一题】已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f（log4184）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，∴f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（）．故选：A．思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【题型二】对数函数的图象及应用【典型例题】设函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣1）＝2，则a ＝（）A．3 B．1 C．2 D．4【解答】解：函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入y＝log2（x+a），得﹣x＝log2（﹣y+a），∴f（x）＝﹣2﹣x+a，∵f（﹣2）+f（﹣1）＝2，∴﹣22+a﹣2+a＝2，解得a＝4．故选：D．【再练一题】已知l1，l2分别是函数f（x）＝|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x），当x＞1时，f′（x），∴l1的斜率k1，l2的斜率k2，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴k1•k2•1，即x1x2＝1．直线l1：y（x﹣x1）﹣lnx1，l2：y（x﹣x2）+lnx2．取x＝0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x，∴S△PAB|AB|•|x P|2，∵函数y＝x在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴x11+1＝2，则0，∴01．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【题型三】对数函数的性质及应用命题点1 对数函数的单调性【典型例题】已知函数y＝log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，则a的取值范围是．【解答】解：∵已知函数y＝log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，∴a＜0，且﹣a﹣1＞0，求得a＜﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1）．【再练一题】对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（）则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y＝f（x+1）是奇函数；当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，∴f（x）在定义域R上是单调增函数；由0＜2﹣0.3＜1＜log3π，∴f（）＜f（2﹣0.3）＜f（log3π），∴b＞a＞c．故选：A．命题点2 和对数函数有关的复合函数【典型例题】若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），①当a＞1时，y＝log a x在R+上单调递增，∴要使y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0，∴△＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a＜2；故答案为：1＜a＜2．【再练一题】若函数有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（1，）B．[，+∞）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，）【解答】解：由题意，令t＝x2﹣ax（t）2，则函数f（t）＝log a t∵函数有最小值，∴a＞1要使函数有最小值，则t＝x2﹣ax有最小值，且为正数∴0∴综上，实数a的取值范围是（1，）故选：A．思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．基础知识训练1．幂函数曲线y=x b,当b>1时的图像为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，根据幂函数的图象与性质，可得当b>1时,图像为选项A,当0<b<1时为选项B, 当b<0时为选项C,当b=1时为选项D，故选A.2．已知，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】故函数上是减函数则故选3．已知幂函数的图象过，若，则值为（）A．1 B． C．3 D．9【答案】B【解析】∵幂函数幂函数的图象过，解得．则故选：B．4．若幂函数在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A． B． C． D．或4【答案】A【解析】幂函数在（0，+∞）上为增函数，，解得（舍去）故选A.5．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则（）A．- B．1或2 C．1 D．2【答案】C【解析】分析：由为偶数，且，即可得结果.详解：幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，为偶数，且，解得，故选C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.6．设函数，若，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数，在第一象限为单调递增函数．由于：，所以：故选：A．7．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），则函数f（x）为（）A．奇函数且在上单调递增B．偶函数且在上单调递减C．非奇非偶函数且在上单调递增D．非奇非偶函数且在上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），∴2a=，解得a=，∴函数f（x）=，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．8．若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．9．已知幂函数过点A．，且在上单调递减B．，且在单调递增C．且在上单调递减D．，且在上单调递增【答案】A【解析】幂函数过点，，解得，，在上单调递减．故选：A．10．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，所以，解得，因为，所以，时，，图象关于轴对称，不满足题意；当时，，图象关于原点对称，满足题意，不等式化为，，因为函数上递减，所以，解这个不等式，得，即实数的取值范围是，故选B .11．已知函数是在上单调递增的幂函数，则( )A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．12．已知幂函数的图像过点，则下列说法正确的是（）A．是奇函数，且在上单调递增B．是偶函数，且在上单调递减C．既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递增D．既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，），∴2α，解得α，故f（x），故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．13．已知函数的图象恒过定点P，若幂函数的图象经过点P，则的值为______．【答案】【解析】令，则恒成立故函数恒过，即幂函数的图象经过点则，解得故本题正确结果：14．若幂函数的图象经过点（2，），则f（）=______．【答案】【解析】设幂函数f（x）＝xα，α∈R；其函数图象过点（2，），∴2α，解得α；∴f（x），∴．故答案为：．15．若为幂函数，且满足，则______．【答案】【解析】为幂函数，且满足，，则，解得，，．故答案为：．16．已知幂函数满足，则______．【答案】2【解析】幂函数满足，．故答案为：2．17．已知幂函数过点（2,4）(1)求解析式(2)不等式的解集为[1,2]，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）设幂函数解析式为因为函数图像过点（2,4），所以所以所求解析式为(2) 不等式的解集为[1,2]，的解集为，是方程的两个根，，，因此；所以不等式可化为，即，解得,所以原不等式的解集为.18．已知幂函数上单调递增．求m值及解析式；若函数上的最大值为3，求实数a的值．【答案】（1）；（2）【解析】幂函数上单调递增故：解得：故：由于所以：函数函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为由于在上的最大值为3，时，上单调递增，故：，解得．时，上单调递减，故：，解得：．时，上单调递增，在上单调递减，故：，解得：舍去，或舍去，综上所述：．19．已知幂函数上单调递增，又函数. （1）求实数的值，并说明函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得，又因为上单调递增，所以，即，即，则，因为均在上单调递增，所以函数上单调递增.（2）因为，所以是奇函数，所以不等式可变为，由（1）知上单调递增，所以，解得.20．已知幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数h（x）=4f（x）-kx-8在[5，8]上是单调函数，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4），∴f（2）=2α=4，∴a=2，∴f（x）=x2；（2）函数h（x）=4f（x）-kx-8，∴h（x）=4x2-kx-8，对称轴为x=；当h（x）在[5，8]上为增函数时，≤5，解得k≤40；当h（x）在[5，8]上为减函数时，≥8，k≥64；所以k的取值范围为（-∞，40]∪[64，+∞）．能力提升训练1．已知函数上为增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得：m∈（﹣∞，﹣8]，故选：A．2．若函数上的最大值是3，则实数（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】.因为所以时，，即故选A.3．已知函数，则在[0，2］上的最小值为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】图象的对称轴方程为，故上的最小值为.答案选B.4．已知命题p：，若命题p是假命题，则的取值范围为（）A． B． C． D．或a=0【答案】B【解析】∃x∈R，ax2+x+1≤0．若命题p是假命题，即“ax2+x+1＞0恒成立”是真命题①．当a＝0 时，①不成立，当a≠0 时，要使①成立，必须，解得＜a，故实数a的取值范围为：．故选B．5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a＝c，则函数f(x)的图象不可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，根据韦达定理，有，观察图像可以发现，对于D选项，两个根都小于，那么它们的乘积大于，故D选项不可能成立.故选D.6．已知函数的值域为，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函数的值域为，∴∴∴实数m的取值范围为故选：A7．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．（1,2]【答案】A【解析】令.∵∴函数的图象是开口向下的抛物线.∵∴若，外函数为增函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得.若，外函数为减函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得.综上，的取值范围是.故选A.8．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是( )A． B．C． D．【答案】B【解析】法一：结合二次函数的图象可知，，所以函数单调递增，排除C，D；把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，排除A，选B.法二：结合二次函数的图象可知，，所以，在中，取，得，只有选项B符合，故选:B.9．若函数有最小值，则实数的取值范围是( )A．(0,1) B． C． D．【答案】C【解析】.当a>1且有最小值时，f(x)才有最小值.∴⇒1<a<.10．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是A．f(b x)≤f(c x) B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x) D．与x有关，不确定【答案】A【解析】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2．又f（0）＝3，∴c＝3．∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．故选：A．11．已知都是常数，.若的零点为，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，又为函数的零点，且，所以可在平面直角坐标系中作出函数的大致图像，如图所示，由图可知，故选.12．己知恒成立，则实数a的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【解析】设对任意恒成立，即对任意都成立，当，则与讨论矛盾，当时，，则，解得，故选：B．13．函数的最小值为________．【答案】1【解析】由题意，可得，由于，所以当时，函数取最小值1.14．已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】∵的对称轴为x=a，且，∴函数f（x）=在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数；∴函数f（x）=的最小值为f（a）=﹣，①当2≤a＜3时，函数f（x）=（x∈）在x=0时取得最大值，且最大值为2a﹣1，由于此时2≤a＜3，则3≤2a﹣1＜5；2a﹣1∴②0＜a＜2时，函数f（x）=（x∈）在x=4时取得最大值，且最大值为42﹣8a+2a﹣1=15﹣6a，由于此时0＜a＜2，则3＜15﹣6a＜15；，∴综上，∴；即t的取值范围是：．15．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．【答案】【解析】设二次函数顶点式为.设的两个根为，且，依题意，两边平方并化简得，即，解得.故.16．若对任意，函数总有零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数总有零点，∴对任意恒成立，∴记上单调递减，∴∴故答案为：17．已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（2x）﹣m•2x+1，其中x∈[0，1]，m为常数且m∈R，求函数g（x）的最小值．【答案】（1）f（x）=x2﹣2x﹣1（2）【解析】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，且。
2020年高考 一轮复习数学(文) 二次函数与幂函数
解析：函数f(x)的图象(抛物线)开口向上，对称轴为x＝
1 a－1 a－1 1 ，若函数f(x)在区间2，1上为增函数，则 ≤ ， 2 2 2
解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.
答案：(－∞，1)
[通法在握]
1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区 间固定；③对称轴定、区间变动．
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(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中 点，一轴指的是对称轴．
2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键
(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．
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法三：(利用零点式) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 4a－2a－1－a2 又函数有最大值ymax＝8，即 ＝8. 4a 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
答案：f(x)＝x (x≥0)
2．(2019· 天一中学高三测试)已知点P1(x1,2 019)和P2(x2,2 019) 在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋9的图象上，则f(x1＋x2)的值 为________．
答案：9
1 2
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3．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为 [a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为________．
图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
y＝ x
y＝x2
y＝x3
y＝ x
y＝x－1
2020高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件文
2．形如 y＝xα(α∈R)才是幂函数，如 y＝3x 2 不是幂函数．
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， x∈[a ， b] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2 4a .( × ) (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × ) (3)二次函数 y＝x2＋mx＋1 在[1，＋∞)上单调递增的充要条件 是 m≥－2.( √ ) (4)幂函数的图象不可能出现在第四象限．( √ ) (5)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数．( √ )
C.210，＋∞ D.－210，0
解析：由题意知aΔ><00，，
即a1>－02，0a<0，
得
1 a>20.
答案：C
1
1
5．[教材改编]设 a＝2 2 ，b＝1.8 3 ，则 a，b 的大小关系是
________．
1
1
1
1
1
解析：∵2 2 >1.8 2 >1.8 3 ，∴2 2 >1.8 3 ，即 a>b.
b<a<c.
答案：A
1
1
3．若(a＋1) 2 <(3－2a) 2 ，则实数 a 的取值范围是________．
1
解析：易知函数 y＝x 2 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增 函数，
所以 a3＋ －12≥ a≥0， 0， a＋1<3－2a，
解得－1≤a<23.
答案：－1，23
悟·技 1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂， 再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
2020版高考数学一轮复习第二章函数2.6幂函数与二次函数课件文
可得其图象为选项 C.
(2)设函数 f(x)=xα,由点
1 8
,
√2 4
在函数图象上得
1 8
������
= √42,
解得
α=12,即
1
f(x)=������2.
3
因为 g(x)=xf(x)=������2为区间(0,+∞)内的增函数,所以①错误,②正确;
因为 h(x)=������(������������) = ������-12为区间(0,+∞)内的减函数,所以③正确,④错误.
m的值为
.
由
������2-3������ + 3 = ������2-������-2 ≤ 0,
1,解得
m=1
或
m=2.
1 或 经2 检验 m=1 或 m=2 都适合.
关闭 关闭
解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
-11-
5.(教材习题改编P82T10)已知幂函数y=f(x)的图象过点
2,
√2 2
即4������(-24���������-���1)-������2=8.解得 a=-4.
因此所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
-22-
考点1
考点2
考点3
解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数 法,选择规律如下:
(1)已知三个点坐标,宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式. (3)已知图象与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.
①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);
③������(������1)
2020年高考一轮复习数学(文)二次函数与幂函数
第五节二次函数与幕函数• •)必过数材美(1) 一般式：f(x) = ax2+ bx+ c(a 丰 0);(2) 顶点式：f(x) = a(x—m)2+ n(a^ 0);(3) 零点式：f(x)= a(x—x i)(x—x?)(a丰 0).［小题体验］1. _________________________________________________________________ 已知幕函数y= f(x)的图象过点(9,3)，则函数的解析式为 _______________________________________ .1答案：f(x) = X 2 (x> 0)22. (2019天一中学高三测试)已知点P i(x i,2 019)和P2(X2,2 019)在二次函数f(x) = ax + bx+ 9的图象上，贝y f(X1+ X2)的值为_________ .答案：93. 已知f(x) = ax2+ bx+ 3a + b是偶函数，且其定义域为［a—1,2a］，贝V y= f(x)的值域为答案：」，27］••>必过易错关1. 对于函数y= ax2+ bx+ c,要认为它是二次函数，就必须满足0，当题目条件中未说明a工0时，就要讨论a= 0和a^ 0两种情况.2. 幕函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幕函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幕函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.［小题纠偏］1.已知函数f(x)= ax2+ x+ 5的图象在x轴上方，则a的取值范围是答案：20，+m2.给出下列命题:①函数y= 2x是幕函数；②如果幕函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点;③当n v 0时，幕函数y= x n是定义域上的减函数;其中正确的是 _________(填序号).答案：②④二次函数 y = ax 2 + bx + c , x € [m , n ]的最值 r 曰 定是4ac — b 2 4a考点一幕函数的图象与性质基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. (2018苏州高三期中调研)已知幕函数y= x2m「m2(m€ N*)在(0,+^ )是增函数，则实数m的值是 ________ .9 . . *解析：由题意知2m—m> 0，解得0v m v 2，因为m€ N ,所以m= 1.答案：12. (2019常州一中检测)已知函数f(x)= (3 —m)x2m—5是幕函数，则f 1 = ____________ .解析：函数f(x) = (3 —m)x2m—5是幕函数，贝U 3 —m= 1,解得m= 2,••• f(x)= x—1,^ f 2 = 2.答案：21 13. _________________________________________________ 若(a+ 1)2v (3 —2a)2，则实数a的取值范围是____________________________________________ .1解析：易知函数y= x2的定义域为［0,+^)，在定义域内为增函数，［a+ 1》0,所以3—2a> 0, 解得—K a v 2.3a+ 1 v 3 —2a,- 2、答案：一1 3 /［谨记通法］幕函数的指数与图象特征的关系(1) 幕函数的形式是y= x a(a€ R),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.(2) 若幕函数y= x a(妖R)是偶函数，则a必为偶数•当a是分数时，一般将其先化为根式，再判断.⑶若幕函数y= 乂“在(0,+^ )上单调递增，则a> 0,若在(0 , +^ )上单调递减，则a v 0.考点二二次函数的解析式重点保分型考点一一师生共研［典例引领］已知二次函数f(x)满足f(2) =—1, f( —1) =—1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.解：法一：(利用一般式)设f(x) = ax2+ bx+ c(a z 0).法二：(利用顶点式) 设 f(x) = a(x — m)2+ n.因为f(2) = f( — 1)，所以抛物线对称轴为 x = 2 + 2 1 = 1.所以m = 1，又根据题意函数有最大值8,所以n = 8,所以 f(x)=— 4 x — 2 2+ 8=— 4x 2 + 4x + 7. 法三：(利用零点式) 由已知f(x)+ 1 = 0的两根为x 1 = 2, x 2=— 1,故可设 f(x)+ 1 = a(x — 2)(x + 1), 即 f(x) = ax 2— ax — 2a — 1.2又函数有最大值y max = 8，即4a — 2： — 1 — a = 8.4a解得a = — 4或a = 0(舍去), 故所求函数解析式为 f(x) =— 4x 2 + 4x + 7.［由题悟法］ 求二次函数解析式的方法［即时应用］1.已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(一2, — 1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x) = _________ .由题意得r 4a + 2b + c =— 1,a —b +c =— 1,24ac — b - =8,4a a =— 4, 解得5= 4,&= 7.故所求二次函数为f(x) =— 4x 2 + 4x + 7.a =— 4,所以 y = f(x) = a x — 8. 因为f(2) =— 1,所以a 2— 解得解析：法一：设所求解析式为f(x) = ax 2 + bx +c(a M 0).2a =-2，所以所求解析式为f(x) = 9(+ 4x — 9.法二：设所求解析式为f(x) = ax 2 + bx + c(a 丰0).a +b +c = 0,所以所求解析式为f(x) = *x 2+ 4x — 9.法三：设所求解析式为f(x)= a(x — h)2+ k(a ^ 0). 由已知得 f(x)= a(x + 2)2— 1, 1将点(1,0)代入，得a = J 所以 f(x)= 1(x + 2)2— 1, 即 f(x) = 1x 2+ 4x — 5答案：2•已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为 2,并且对任意€ R ，都有 f(2 — x)= f(2 + x),求 f(x)的解析式.解：因为f(2 — x)= f(2 + x)对x € R 恒成立， 所以f(x)的对称轴为x = 2.又因为f(x)的图象被x 轴截得的线段长为 2,所以f(x)= 0的两根为1和3.设 f(x)的解析式为 f(x)= a(x — 1)(x — 3)(a z 0). 又因为f(x)的图象过点(4,3), 所以 3a = 3, a = 1.1a = 9,_ 2由已知得 4ac — b4a=—1, — 4 解得b = 4,a +b +c = 0,由已知得2a=- 2,4a — 2b +解得 b =4,i所以所求f(x)的解析式为f(x) = (x—1)(x—3),即f(x) = x2—4x+ 3.［锁定考向］高考对二次函数图象与性质的考查•常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇.常见的命题角度有：(1) 二次函数的单调性问题；(2) 二次函数的最值问题；(3) 二次函数中恒成立问题.［题点全练］角度一：二次函数的单调性问题1. ________________ (2019 •安中学测试)已知函数f(x) = x2—(a—1)x+ 5在区间2, 1上为增函数，则f(2)的取值范围是.解析：函数f(x)的图象(抛物线)开口向上，对称轴为x = 号，若函数f(x)在区间1 1 a — 1 1上为增函数，则—<2 解得a w 2,所以f(2) = 4 —(a—1)X 2 + 5> 7，即f(2)>7.答案：［7,+^ )角度二：二次函数的最值问题2. (1)(2019苏州测试)已知函数f(x)= x2+ abx+ a+ 2b,若f(0)= 4,贝V f(1)的最大值为(2)已知函数f(x) =—x2+ 2ax+ 1—a在x€ ［0,1］时，有最大值2,贝V a的值为_______ .解析：⑴因为f(0) = 4,所以 a + 2b= 4，即a= 4—2b,所以f(1) = ab+ a+ 2b+1 = ab +5= (4 —2b)b+ 5 =—2b2+ 4b+ 5 = —2(b—1)2+ 7，所以当b= 1 时，f(1)的最大值为7.(2)函数f(x)=—x2+ 2ax+ 1 —a =—(x —a)2+ a2—a+ 1, x € ［0,1］，对称轴方程为x= a.当a V 0时，f(x)max= f(0)= 1 —a,所以1 —a= 2,所以a=— 1.当0 w a W 1时，f(x)max = f(a)= a—a+ 1,所以a2— a + 1 = 2, 即卩a2—a— 1 = 0, 解得a=号空(舍去).当 a > 1 时，f(x)m ax= f(1) = a，所以a= 2.综上可知，a =—1或a= 2.答案：(1)7 (2) — 1 或 2角度三：二次函数中恒成立问题3. 已知函数f(x) = x2+ 2x+ 1, f(x) >x+ k在区间［—3,—1］上恒成立，则k的取值范围为 ________ .解析：由题意得x 2+ x + 1> k 在区间［—3,— 1］上恒成立. 设 g(x)= x 2+ x + 1, x € ［ — 3,— 1］, •••g(x)在［—3,— 1］上 单调递减， -g(x)min = g(— 1) = 1.••• k v 1.故k 的取值范围为(一8, 1). 答案：(—3 1)［通法在握］1.二次函数最值问题的 3种类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变 动. (2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的 2大思路及1个关键(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数.⑵关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数 是否已分离.这两个思路的依据是：a > f(x)恒成立？ a > f(x)max , a W f(x)恒成立？ a < f(x)min .［演练冲关］已知函数 f(x)= x 2+ 2ax + 2, x € ［— 5,5］. (1) 当a =— 1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2) 求实数a 的取值范围，使 y = f(x)在区间［—5,5］上是单调函数.解：(1)当 a =— 1 时，f(x) = x 2— 2x + 2 = (x — 1)2+ 1, x € ［ — 5,5］,所以当 x = 1 时，f(x) 取得最小值1 ；当x =— 5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)= (x + a)2 + 2 — a 2的图象的对称轴为直线x =— a ,因为y = f(x)在区间［—5,5］上是单调函数，所以一 a < — 5或一a > 5,即a < — 5或a > 5.故a 的取值范围是(一8,— 5］ U ［5, + 3).一抓基础，多练小题做到眼疾手快冷 yf 2 ］1.(2018清河中学检测)已知幕函数f(x)= k x “的图象过点 2三"，则k + a= _______________ . 解析：由幕函数的定义知 k = 1.又f 2 =今，所以2 a =子，解得a= ,从而k + a=；. 答案：32. (2019连云港调研)若函数f(x)=— x 2+ 2(a — 1)x + 2在(―汽 4)上为增函数，则 a 的 取值范围是 _________ .0 D1=1解析：T f(x)=—x2+ 2(a —1)x+ 2 的对称轴为x= a —1,f(x)=—x2+ 2(a—1)x+ 2 在(一a, 4)上为增函数，对称轴x= a—1》4,「・a》5.答案：［5,+^ )3. ________________________ (2018淮阴模拟)已知函数f(x)= x2—m是定义在区间［—3 —m, m2—m］上的奇函数，则f(m), f(0)的大小关系为 .解析：因为函数f(x)是奇函数，所以—3—m + m2—m= 0,解得m= 3或—1.当m= 3时，函数f(x) = x—1,定义域不是［—6,6］,不合题意；当m=—1时，函数f(x) = x3在定义域［—2,2］上单调递增，又m v0,所以f(m)v f(0).答案：f(m)v f(0)4. 已知函数f(x) = x2+ x + m，若|f(x)|在区间［0,1］上单调，则实数m的取值范围为解析：因为f(x)= x2+ x+ m，且|f(x)|在区间［0,1］上单调，所以f(x)在［0,1］上满足f(0) f(1) > 0,即m(1 + 1 + m)> 0，解得m> 0 或m< — 2.答案：(一a, —2］U ［0,+^ )5. 若二次函数f(x)= —x2+ 4x +1图象的顶点在x轴上，则t= ___________ .解析：由于f(x)=—x2+ 4x+ t=—(x —2)2+ t+ 4图象的顶点在x轴上，所以f(2) = t+ 4= 0,所以t=— 4.答案：—46. _____________ (2019杭州测试)若函数f(x)= x2—2x+ 1在区间［a, a+ 2］上的最小值为4,则实数a 的取值集合为_ .解析：因为函数f(x) = x2—2x + 1 = (x —1)2的图象的对称轴为直线x = 1, f(x)在区间［a, a+ 2］上的最小值为4，所以当a> 1 时，f(x)min= f(a)= (a—4)2 = 4, a=—1(舍去)或a= 3；当a + 2w 1,即卩a w — 1 时，f(x)min = f(a+ 2) = (a+ 1)? = 4, a= 1(舍去)或a= —3;当a v 1v a+ 2,即一1v a v 1 时，f(x)min= f(1) = 0工 4.故a的取值集合为{—3,3}.答案：{ —3,3}二保咼考，全练题型做到咼考达标L 心,1. (2019海安中学检测)已知幕函数f(x) = x“，其中応* —2, —1, 1 1, 2, 3：则使f(x)为奇函数，且在区间(0 ,+a )上是单调增函数的a的取值集合为________ .解析：若幕函数f(x)为奇函数，贝y a=- 1,1,3 ,又f(X)在区间(0 , +8 )上是单调增函数，所以a 的取值集合为{1,3}.答案：{1,3}im2—4^n2. _____________________________ (2019武汉调研)已知幕函数f(x)= x (m€ Z)的图象关于y轴对称，且在区间(0, + m)上为减函数，则m的值为.2— 4^n解析：•••幕函数f(x) = x m —(m€ Z)在区间(0, + 8)上为减函数，/• m2—4m v 0,解得0 v m v 4.又m€ Z,/• m= 1 或m= 2 或m = 3.当m= 1时，f(x)= x—3，图象不关于y轴对称；当m= 2时，f(x) = x—4,图象关于y轴对称；当m= 3时，f(x)= x—3，图象不关于y轴对称.综上，m的值为2.答案：23. 若关于x的不等式x2—4x—2—a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是解析：不等式x2—4x—2—a> 0在区间(1,4)内有解等价于a v (x2—4x —2)max,令f(x) = x2—4x—2, x€ (1,4),所以f(x)v f(4) = —2,所以 a v — 2.答案：(— 8,—2)2 _4. (2018泰州中学调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x v 0时，f(x)= x —2x+ 1, 不等式f(x2—3) > f(2x)的解集为_______________ .解析：根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0) = 0,当x v 0时，f(x)= x2—2x+ 1= (x—1)2为减函数，则当x > 0时，f(x)也为减函数，综上可得f(x)在R上为减函数，若f(x2—3)>f(2x)，则有x2— 3 v 2x,解得一1 v x v 3,即不等式f(x2—3) >f(2x)的解集为(—1,3).答案：(一1,3)2—2—35•若函数f(x) = x a a(常数a€ Z)为偶函数，且在(0 ,+8 )上是单调递减函数，则a 的值为_________.解析：根据幕函数的性质，要使函数f(x )为偶函数，且在(0 , +8 )上是单调递减函数，则a2—2 a—3为偶数，且a2—2 a—3 v 0 ,解不等式可得一1 v aV 3.因为a€ Z,所以a= 0,1,2. 当a= 0时，a2—2 a—3=—3，不满足条件；当a= 1时，a —2 a—3=—4，满足条件；当a =2时，a2—2 a—3 =—3,不满足条件，所以a= 1.答案：16.若函数y= x2—3x—4的定义域为［0, m］，值域为—乎，—4 -则m的取值范围是解析：二次函数图象的对称轴为=—4由图得m €号，3.答案：~3, 3 17.对于任意实数 x ,函数f(x)= (5— a)x 2— 6x + a + 5恒为正值，则 a 的取值范围是5 — a > 0,解析：由题意可得<△= 36 — 4(5 — a (a + 5 戶 0,解得—4v a v 4.答案：(一4,4)8. (2019南通一调)若函数f(x) = ax 2+ 20x + 14(a >0)对任意实数t ,在闭区间［t — 1, t +1］上总存在两实数 x i , X 2,使得|f(x i )— f (x 2)|>8成立，则实数a 的最小值为 ____________.解析：由题意可得，当 x € ［t — 1, t + 1］时,［f(x)max — f(x)min ］min 》8,当［t — 1 , t + 1］关于 对称轴对称时，f(x)max — f(x)min 取得最小值，即 f(t + 1)— f(t)= 2at + a + 20> 8, f(t — 1) — f(t) =—2at + a — 20>8,两式相加，得 a >8,所以实数a 的最小值为8.答案：8,丿,八― (m 2 + m 厂1 *9. 已知幕函数 f(x)= x (m € N ). (1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性.⑵若该函数f(x)的图象经过点(2,2)，试确定 m 的值，并求满足条件 f(2 — a)>f(a — 1)的实数a 的取值范围.解：(1)因为m + m = m(m + 1)(m € N ),而m 与m + 1中必有一个为偶数，所以m 2 + m 为偶数，所以函数f(x)= x ( m m (m € N )的定义域为［0 ,+s )，并且该函数在［0,+g )上为增 函数.(2) 因为函数f(x)的图象经过点(2,2), 1 所以 2= 2(m2+m)— 1，即 22 = 2(m2+m)— 1 ,所以m 2 + m = 2,解得m = 1或m =— 2.1又因为 m € N *，所以 m = 1, f(x) = x 2.又因为 f(2 — a) >f(a — 1),\2-a > 0,3所以丿a — 1》0,解得1 w a v 3， 1x =2,且f3 一252—a > a—1, 故函数f(x)的图象经过点(2, 2)时，m = 1.满足条件f(2 —a)>f(a—1)的实数a的取值范围为1,孑］10. (2019 启东检测)已知a€ R,函数f(x)= x1 2—2ax+ 5.(1) 若a> 1，且函数f(x)的定义域和值域均为［1, a，求实数a的值；(2) 若不等式x|f(x)—x3 4|< 1对x € £1恒成立，求实数a的取值范围.解：⑴因为f(x) = x2—2ax + 5的图象的对称轴为x = a(a> 1),所以f(x)在［1, a］上为减函数，所以f(x)的值域为［f(a), f(1)］.又已知值域为［1, a,f(a F a2—2a2+ 5 = 1,所以* ■厂f(1 尸1 —2a+ 5 = a,解得a = 2.215 15(2)由x|f(x)—x |< 1,得-2p+ a w27+云(*)令x= t, t€ ［2,3］,则(*)可化为—*t2+詁a w *2+ 5 * * 8t 记g(t)=- 张+ ；t=_ p—2 2+詈，贝y g(t)max= g 5= 25所以a>25；1 5 1 , 52 25是［—3,0］,贝U b 的取值范围是 _____ .解析：由题意设 m(x) = f(x)— g(x)= 3x 3— x 2— 3x — b , 3贝U m ' (x)= x 2— 2x — 3,由 m ' (x)= 0,得 m =— 1 或 m = 3.••• f(x)与 g(x)在［—3,0］上是“关联函数”， ••• x =— 1是函数m(x)在［—3,0］上的极大值，同时也是最大值.要使m(x)= f(x)— g(x)在 ［ — 3,0］上有两个不同的零点，m 0 < 0,贝U m — 1 > 0,m — 3 < 0,当 x > — 1 时，令 2x 2— 1 = 1,解得 x = 1 或 x =— 1;当x v — 1时，f(x) = 1恒成立,• x 的取值集合为{x|x w — 1或x = 1}.厂 2 42x — (a + 1 K + a , x > a , (2)f( x)= (a + 1 x — a , x v a ,若f(x)在R 上单调递增，且f(x)是连续的,a +1 w a , 1则有 4 解得a >1, a + 1 > 0,即实数a 的取值范围是；，+ a /(3)设 g(x)= f(x)— (2x — 3),—b w 0,即 3 — b > 0, 解得 0W b v 3,3 3—9 — b w 0,故b 的取值范围是答案:0, 22. (2019泰州中学检测)已知函数f(x)= x + (x — 1) |x — a|.(1)若a =— 1，求满足f(x) = 1的x 的取值集合；⑵若函数f(x)在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围;⑶若a v 1且不等式f(x) > 2x — 3对一切实数 x € R 恒成立，求a 的取值范围. 解: (1)当 a =— 1 时，有 f(x)= 2x 2— 1, x > 1, x v — 1.—1,2x? —(a+ 3x+ a + 3, x》a, 则g(x)=(a —1 x—a+ 3, x v a.若不等式ax)》0对一切实数x € R恒成立，则当x v a时，T a v 1,「. g(x)单调递减，其值域为(a2—2a + 3,+ ).a? —2a + 3= (a —1)2 + 2> 2, —g(x)》0 恒成立.2当x> a 时，•/ a v 1, ••• a v a^,二g(x)min= g a^ = a+ 3 —a；3> 0,得一3< a< 5.4 I 4 丿8a v 1, •—3w a v 1, 综上，a的取值范围是［—3,1).记h(t) = 2t +2t F2^+ 2厂8 ,则h(t)min= h(2) = 7，所以a w 7,综上所述，25w a w 7.8所以实数a的取值范围是曽，7 I三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2019金陵中学期中)设f(x)与g(x)是定义在同一区间［a, b］上的两个函数，若函数y =f(x)—g(x)在［a, b］上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在［a, b］上是"关联函数”，区间［a, b］称为f(x)与g(x)的“关联区间”.若f(x)= ?x3—x2—x与g(x)= 2x + b的“关联区间”。
2020高三理科数学一轮复习讲义2.4《幂函数与二次函数》
函数
y＝ ax2＋ bx＋ c(a>0)
y＝ ax2＋ bx＋ c(a<0)
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图象 (抛 物线 )
定义域 值域
对称轴 顶点坐标
奇偶性
4
ac－
b
2
，＋∞
4a
R
x＝－ b 2a
－
b 2a
，
4ac－ 4a
b2
－∞， 4ac－b2 4a
当 b＝0 时是偶函数，当 b≠ 0 时是非奇非偶函数
数的解析式 .
解 法一 (利用“一般式”解题 )
设 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0).
由题意得
4a＋ 2b＋ c＝－ 1，
a－ b＋c＝－ 1， 4ac－ b2
4a ＝ 8，
解得
a＝－ 4， b＝ 4， c＝ 7.
∴所求二次函数的解析式为 f(x)＝－ 4x2＋ 4x＋ 7.
法二 (利用“顶点式”解题 ) 设 f(x)＝ a(x－ m)2＋n( a≠ 0).
a<0， 时，恒有
f(x)<0.
Δ<0
Δ<0
基 础自 测
1.判断下列结论正误 (在括号内打“√”或“×” )
1
(1) 函数 y＝ 2x3是幂函数 .(
)
(2) 当 n>0 时，幂函数 y＝ xn 在(0 ，＋∞ )上是增函数 .( )
(3) 二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(x∈ R)不可能是偶函数 .(
f(x)是 (
)
A. 奇函数
B.偶函数
C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数
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2020年高考数学一轮复习第二章第8节幂函数与二次函数
2020年高考数学一轮复习第二章第8节幂函数与二次函数题组一幂函数咨询题1.幂函数f (x )＝x αx112 f (x ) 122那么不等式f (|x |)≤2的解集是 ( ) A.{x |－4≤x ≤4} B.{x |0≤x ≤4} C.{x |－2≤x ≤2} D.{x |0＜x ≤2} 解析：由表知22＝(12)α，∴α＝12，∴f (x )＝12x .∴12x ()≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4. 答案：A2.函数y ＝1nx ()(n ∈N ，n >2)的图象的大致形状是 ( )解析：由n >2知－1n<0，∴x ≠0，且图象在第一象限内为减函数. 答案：A3.比较以下各组值的大小：(1)138--和－1319()；(2) 254.1、253.8-〔 1.9-〕35-(3)0.20.5和0.40.3.解：比较幂值的大小，一样能够借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值. (1)由于幂函数13y x -=在(0，＋∞)上是减函数，因此1133<89--，因此 1133<89----，即11339<18;----()(2)由于2235554.11,0 3.81, 1.9><<0<,-(-)-13y x -=因此223555><<4.11,0 3.81, 1.9-(-)-(3)由于指数函数y ＝0.2x 在R 上是减函数， 因此0.20.5<0.20.3，又由于幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数， 因此0.20.3<0.40.3，故有0.20.5<0.40.3.4.函数f (x )＝x 2＋bx ( ) A.f (－2)＜f (0)＜f (2) B.f (0)＜f (－2)＜f (2) C. f (0)＜f (2)＜f (－2) D. f (2)＜f (0)＜f (－2) 解析：∵f (1＋x )＝f (－x )，∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－b x ＋c ， ∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c ， ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12，∴f (0)＜f (2)＜f (－2). 答案：C5.(2018·海口模拟)方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ∈(0，＋∞))的解的个数是 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析：∵a ∈(0，＋∞)，∴a 2＋1＞1，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点，∴方程有两解.应选B. 答案：B6.二次函数f (x )的二次项系数为a ，满足不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)，且方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式.解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).∵f (x )＞－2x ， ∴ax 2＋bx ＋c ＞－2x ，即ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＞0.∵解集为(1,3)，故224,0,4,<0.x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥ 0,0,213,42,3<.13<a a b a b a a c c a ⎧⎪⎪⎧⎪+⎪⎪+=-⇒=--⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⎪⨯=⎪⎩由于f (x )＝－6a 有两个相等的实根，故ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0中Δ＝0. ∴b 2－4a (c ＋6a )＝0. ③ 联立①②③，故a ＝－15，b ＝－65，c ＝－35，∴f (x )＝－15x 2－65x －35.7.函数f (x )＝4x 2－mx ( ) A. f (1)≥25 B.f (1)＝25 C. f (1)≤25 D.f (1)＞25 解析：由题知8m≤－2，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25. 答案：A8.(2018·天津高考)函数f (x )＝224,0,40<,.x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥假设f (2－a 2)＞f (a )，那么实数a 的取值范畴是 ① ②( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－1,2)C.(－2,1)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：函数f (x )＝224,0,40<,.x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥的图象 如图.知f (x )在R 上为增函数. ∵f (2－a 2)＞f (a )， 即2－a 2＞a . 解得－2＜a ＜1. 答案：C9.f (x )＝x 2－2x ＋3，在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，那么m 的取值范畴是 . 解析：假设f (x )＝3，那么x ＝0或x ＝2；假设f (x )＝2，那么x ＝1.借助函数图象可知1≤m ≤2. 答案：1≤m ≤2题组四幂函数与二次函数的综合应用10.(2018·福建高考)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－2a对称.据此可估量，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是 ( )A.{1,2}B.{1,4}C.{1,2,3,4}D.{1,4,16,64}解析：设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－2b a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－2ba对称.而选项D 中4＋162≠1＋642.答案：D11.不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，那么a 的取值范畴是 .解析：当a －2＝0，即a ＝2时，－4＜0恒成立；当a －2≠0时，22042162<a a a -=⎧⎨∆=-+-⎩()()0解之得：－2＜a ＜2 ∴a 的取值范畴是－2＜a ≤2. 答案：(－2,2]12.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，假设6a ＋2b ＋c ＝0，f (1)·f (3)＞0， (1)假设a ＝1，求f (2)的值；(2)求证：方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，且3＜x 1＋x 2＜5. 解：(1)∵6a ＋2b ＋c ＝0，a ＝1， ∴f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ＝－2. (2)证明：第一讲明a ≠0，∵f (1)·f (3)＝(a ＋b ＋c )(9a ＋3b ＋c )＝－(5a ＋b )(3a ＋b )＞0， 假设a ＝0，那么f (1)·f (3)＝－b 2＜0与矛盾， ∴a ≠0，其次讲明二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2， ∵f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ，∴假设a ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，而现在f (2)＜0， ∴假设a ＜0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，而现在f (2)＞0. 故二次函数图象必与x 轴有两个不同交点， ∴ 二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，(或利用Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4a (6a ＋2b )＝b 2＋8ab ＋24a 2＝(b ＋4a )2＋8a 2＞0来讲明) ∵a ≠0，∴将不等式－(5a ＋b )(3a ＋b )＞0两边同除以－a 2得 (b a ＋3)(ba ＋5)＜0， ∴－5＜ba ＜－3.∴3＜x 1＋x 2＝－ba ＜5.。
2020年高考数学一轮复习专题2.7二次函数及幂函数练习(含解析)
第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三 比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确． 【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2， 因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五 二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2） 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3） 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． （3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2） 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042xxa -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是．【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2xm =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点． 当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点． 当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是． 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x x xx =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ． 再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限 【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________． 【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0， 解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去； 当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）． 【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4； （2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12， 又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1）， 又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0； 当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)， 令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]， 由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]， 因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围； （2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立， 所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)， 所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。
2020年高考数学一轮复习(新课改)二次函数与幂函数
第三节二次函数与幕函数突破点一幕函数抓牢双基咱学回扣[基本知识]1. 幕函数的定义形如y= X a(a€ R)的函数称为幕函数，其中X是自变量,a为常数•对于幕函数，只讨论a= 1,2,3, 2, - 1时的情形.2. 五种幕函数的图象函数性质、\y= x y= x2y= x31y= x—1y= x定义域R R R[0，）（— 3，0）u（0，+^ ）值域R[0，）R[0，）（— 3，0）u （0，+3 ）奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x€ [0，+^ )时，增；x €(—3 01 时，减增增x € (0，+3 )时，减；x € (— 3，0)时，减一、判断题(对的打，错的打“X” )(1)函数f(x)= X2与函数f(x)= 2x2都是幕函数.()⑵幕函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0).( )⑶当n>0时，幕函数y= x n在(0,+^ )上是增函数.()答案：(1)X (2)X ⑶V二、填空题1. (2019贵阳监测)已知幕函数y= f(x)的图象经过点3，3，则f = ___________ ，研透高考•深化提能［典例感悟］的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数1y = x 2的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图象所示),2 11.与函数iy = x 2解析：设幕函数的解析式为 f(x)= x a ,将3，. 3代入解析式得3「a = 3,解得a=- 1 垮 丿2••• f(x)= x P , f 1 = 2.答案：212.设 a — 1 , 2，1，3 3则使f(x)= x a 为奇函数且在(0 ,+8 )上单调递减的 a 的值是 ________ .解析: 因为f(x)= x a %奇函数，所以 a=— 1,1,3.又因为f(x)在(0 ,+^ )答案: 3.若2 1a ...y = ax 2是幕函数，则该函数的值域是 解析:2ia 一由y =所以y 》0,故该函数的值域为[0,+ m )答案: [0,1解析：选B y = x 2i=x 2 — 1的图象可看作由x 轴对称后即为选项 B.b ,c 的大小关系为()A . b<a<cB . a< b<cC . c<b<a c<a<b1 1 解析：选C 因为a = 815 , b = 165, 1 1c = 12 ®，由幕函数 y = x 5在(0 ,+^ )上为增函数，知a>b>c ,故选C. 23. (2019 河北保定调考)幕函数 f(x)= (m 2— 4m + 4) xm -6m+8在(0, +m )上为增函数,则m 的值为( )A . 1 或 3 C . 3D . 2r-2m 一 4m + 4 = 1,解析：选B 由题知* 2解得m = 1，故选B.m 一 6m + 8>0 ,［方法技巧］幕函数图象与性质的应用(1) 可以借助幕函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2) 在比较幕值的大小时，必须结合幕值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行 比较，准确掌握各个幕函数的图象和性质是解题的关键.［针对训练］2 2 21.若a =2 3 4, b = 5 3, c = 2 3，则a , b , c 的大小关系是（）A . a<b<cB . c<a<bC . b<c<aD . b<a<c2 2 2解析：选 D ••• y = x 3（x>0）是增函数，••• a = 2 3 >b =3.•.• y = 2 x 是减函数2 2,• a = 13 <c = 2 3 ,••• b<a<c.—1<m<2 ,5— 1即一2— < m<2.故选 D.突破点二 二次函数抓牢双基•自学回扣2 1C . (- 1,2)D^5—1, 21解析：选D 因为函数y = x 2的定义域为［0 , +^),2m +1>0 ,所以不等式等价于 m 2 + m - 1> 0 ,I 22m + 1>m + m — 1. 解得1m >—2，mWB . 1 一^一1或 m >［基本知识］2.二次函数f(x)= ax+ bx+ c(a0)的图象和性质一、判断题(对的打，错的打“x” )(1)二次函数y= ax2+ bx+ c, x € R，不可能是偶函数.()4ac _ b?⑵二次函数y= ax2+ bx+ c, x € ［a, b］的最值—⑶在y= ax2+ bx+ c(a丰0)中，a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小.()答案：(1)x (2)x ⑶V二、填空题1.已知抛物线y= 8x2_ (m+ 1)x + m_ 7的顶点在x轴上，则m= ____________ .解析：T抛物线y= 8x2—(m+ 1)x+ m_ 7的顶点在x轴上，•••其顶点的纵坐标4x8x m—7二2 = 0,4X 8即m2_ 30m+ 225= 0,二(m_ 15)2= 0,二m= 15.答案：152.若 f(x)= x 2 + (a + 2)x + 3, x € ［a , b ］的图象关于 x = 1 对称，则 b= _________ .a —L 2 解析：若 f(x)= x 2+ (a — 2)x + 3, x € ［a ,b ］的图象关于 x = 1 对称，则 a + b = 2,-—T — =1.「. a =— 4, b = 2— a = 6.答案：63. _____________________________________________________ 函数f(x)= 2x 2— 6x + 1在区间［—1,1］上的最小值是 _________________________________________ ，最大值是 _________ .解析：■/ f(x)= 2 x — 32— 2 在［—1,1］上为减函数，.••当 x = 1 时，f(x)min =一 3；当 X = —1 时，f(x)max = 9.答案：—3 9研透高考•深化提能［全析考法］考法一求二次函数的解析式•［例1］已知二次函数f(x)满足f(2) = — 1, f( — 1) =— 1，且f(x)的最大值是8,试确定 此二次函数的解析式.［解］法一(利用一般式)： 设 f(x) = ax 2 + bx + c(a z 0).•••所求二次函数为 f(x) =— 4x 2 + 4x — 7. 法二(利用顶点式)： 设 f(x) = a(x — m)2— n. ••• f(2) = f(— 1),•抛物线的对称轴为 x = 2 — ~1 =1,•m=£2 2 2又根据题意，函数有最大值 8,二n = 8,• f(x)= a x — 1 2— 8.••• f(2) = — 1,「. a 2— 2 2— 8 =— 1,解得 a = — 4, • f(x)=— 4 x — 2 2— 8=— 4x 2— 4x — 7. 法三(利用零点式)：由题意得4a + 2b — c =— 1,a —b —c =— 1,4ac — b 2 c=8, 4aa =— 4,解得’ b = 4,c = 7.由已知f(x)+ 1 = 0的两根为X i = 2, X 2=— 1, 故可设 f(x)+ 1 = a(x — 2)(x + 1), 即 f(x) = ax 2— ax — 2a — 1. 又函数有最大值y max = 8 ,2即 4a — 2a — 1 —a =4a 解得a = — 4或a = 0(舍).•••所求函数的解析式为 f(x)=— 4x 2 + 4x + 7. ［方法技巧］ 求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下:考法二 二次函数的图象与性质二次函数图象与性质在高考中单独考查的频率较低，与一元二次方程、一元二次不等 式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象 与性质的应用.考向一二次函数的图象识别 ［例2］ （20佃甘肃武威模拟）如图是二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的一部分，图象过点 对称轴为直线x =— 1.给出下面四个结论：① b 2>4ac ;② 2a — b = 1; ③a — b + c = 0;④ 5a<b. 其中正确的结论是（ ）A .②④ C .②③［解析］•••二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象与x 轴交于两点，• b 2— 4ac>0，即b 2>4ac , ①正确；二次函数的图象的对称轴为直线x =— 1,即一严=—1,2a — b = 0,②错误；结合A(— 3,0), J/-s -L ： o\/d宜选用顶点式:B .①④ D .①③*：宜选用一般式E>：宜选用窪点式：2a图象知，当x=—1时，y>0,即a—b+ c>0，③错误；由对称轴为直线x =—1知，b= 2a,又•••函数的图象开口向下，•••a<0,••• 5av2a ，即5a<b ,④正确.故选 B.［答案］B［方法技巧］识别二次函数图象应学会:看二衣项象救的為号*它踊定二犹禹靈图聚的^ •> ____ _ ______ ______ ___________________ *j 看对稀轴和匿值，它确定了二冼函數團舉的、 _____ _ ___________ _ ____ _ _____ _ ___ * :盾函軾图第上的一些特殊点，如审扯图采与y ；柚的先蛊、与工柚衙克点、函數国象的最髙盍 :或最低考向二二次函数)若函数f(x)= ax 2 + bx + c(a>0)对任意实数x 都有f(2［例3］ (1)(2018河+ x)=f(2 — x)，则()A . f(2)vf(1)vf(4)B . f(1)vf(2)vf(4)C . f(2)vf(4)vf(1)D . f(4)v f(2)vf(1)(2)(2019齐齐哈尔八中月考)“a = 1 ”是“函数f(x) = x 2— 4ax + 3在区间［2,+^ )上为 增函数”的()A •充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件［解析］⑴•••函数f(x)= ax 2 + bx + c 对任意实数x 都有f(2+ x) = f(2 — x), •函数图象关于 x = 2 对称，由 a>0 知 f(x)min = f(2)，由 2 — 1V4 — 2,得 f(1)vf(4)，故选 A.(2)由a = 1可得f(x) = x 2— 4x + 3= (x — 2)2 — 1，图象开口向上，图象的对称轴为直线x=2,所以f(x)在区间［2, + )上为增函数.由函数 f(x) = x 2— 4ax + 3在区间［2,+ )上为 增函数，可得 2a < 2,解得a < 1.所以“a = 1 ”是“函数f(x)= x 2— 4ax + 3在区间［2, + ) 上为增函数”的充分不必要条件，故选 A.［答案］(1)A (2)A ［方法技巧］解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1) 抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定 一不定，要注意分类讨论；(2) 要注意数形结合思想的应用， 尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解.考向三二次函数的最值问题［例 4］ 已知函数 f(x)= x 2+ (2a — 1)x — 3. (1)当a = 2, x € ［ — 2,3］时，求函数f(x)的值域;看二看对称轴 U, ________________ g i⑵若函数f(x)在［1,3］上的最大值为1,求实数a的值.［解］⑴当a= 2 时，f(x)= x2+ 3x—3= x+ 号2—琴,又X € ［—2,3］，所以f(X)min= f—2 =—21, f(x)max = f(3) = 15,所以所求函数的值域为—21，15 I2a —1(2)对称轴为x=——2a—1 1①当一~2 三1，即a> —1时，f(x)max= f(3) = 6a+ 3, 所以6a+ 3= 1,即卩a=—3，满足题意；32a_ 1 5②当一2~2—>3，即a w—5时，f(x)max= f(1) = 2a—3,所以2a—3= 1,即a= 2,不满足题意；③当1< —2a—<3，即—5<a< —*时,此时f(x)max在端点处取得，令f(1) = 1+ 2a—1 —3= 1，得a= 2(舍去),1 令f(3) = 9+ 3(2a —1) —3 = 1,得a=—3舍去).综上，可知a=—丄3［方法技巧］求二次函数在给定区间上最值的方法二次函数f(x)= ax2+ bx+ c(不妨设a>0)在区间［m, n］上的最大或最小值如下：(1)当一［m , n］，即对称轴在所给区间内时：2(b 4ac—b 卄b m+ n f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是 f ―玄= 4^ ；右—2a厂最大值为f(n)；若—2>哼，f(x)的最大值为伽).f(x)在［m, n］上是单调函数.若—2a<m, f(x)在［m , n］上是增函数，f(x)的最小值是最大值是f(n)；若n<-±, f(x)在［m, n］上是减函数，f(x)的最小值是f(n)，最大值是⑶当不能确定对称轴一石是否属于区间［m , n］时:f(x)的f(m), f(m).(2)当一士?［m,n］，即给定的区间在对称轴的一侧时:⑴(2)两种情则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述形求最值.［集训冲关］1. ［考法一］二次函数f(x)的图象经过两点(0,3), (2,3),且函数的最大值是5,则该函数的解析式是()2A. f(x)= 2x2—8x+ 11B. f(x)=—2x + 8x—12C. f(x)= 2x —4x+ 32D. f(x)=—2x + 4x+ 3解析：选D 二次函数f(x)的图象经过两点(0,3), (2,3)，则图象的对称轴为x= 1,又由函数的最大值是5,可设f(x)= a(x —1)2+ 5(a M0)，于是3= a+ 5，解得a=—2,故f(x) = —2(x —1)2+ 5 =—2x2+ 4x+ 3.故选D.2. ［考法二考向一］设abc>0，二次函数f(x) = ax2+ bx+ c的图象可能是()解析：选D 当a<0时，b, c异号，排除A、B两项；当a>0时，b, c同号，排除C 项；D项中，由图象知a>0, c<0,—玄>0，故b<0，符合题意.3.［考法二考向二］已知函数f(x)= 2ax2—ax+ 1(a<0)，若X1<X2,X1+ X?= 0,则fg)与f(X2) 的大小关系是()A . f(X1) = f(X2) B. f(X1)>f(X2)C . f(X1)<f(X2)D .与X 的值无关1解析：选C 由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴方程为x=4因为X1 + X2= 0 ,所以直线X= X1, X = X2关于直线X = 0对称，由X1<X2，结合二次函数的图象可知f(X1)<f(X2).4.[考法二考向三]函数y=—X2—2ax(0< x< 1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,2]C. [ —2,0]D. [ —1,0]解析：选 D y=- x2—2ax=—(x+ a)2+ a2.•••函数在［0,1］上的最大值是a2,••• 0w —a w 1，即一K a w 0.1将y= x' —1的图象关于2•已知a= 35, b= 45, c= 125，则2.若(2m+ 1) 2>(m2+ m- 1)2，则实数m的取值范围是()A. ― , 一f 一1B•号,+«>且在定义域内为增函数，。
2020届高考数学一轮复习 第7讲 二次函数与幂函数
课前双基巩固
5.如图 2-7-1,若 a<0,b>0,则函
课前双基巩固
[答案] ③
[解析] 函数图像的开口向下
课前双基巩固
6.设二次函数 f(x)=x2-x+a(a>0),若
课前双基巩固
7.若函数 y=mx2+x+2 在
课前双基巩固
8.已知幂函数 f(x)=������-12,若 f(a+1)<f(10-2a),则 a 的取值范
[解析] (1)由函数 f(x)的最小
课堂考点探究
[总结反思] 求二次函数解析
课堂考点探究
[答案] (1)C (2)f(x)=-x2+2
[解析] (1)由题意知-���2���=1,得 b
课堂考点探究
探究点三
微点1 通过图像识别二次函
课堂考点探究
[思路点拨] 根据二次函数的
课堂考点探究
[答案] B
[解析] 因为图像与 x 轴交于
课堂考点探究
[总结反思] 一般地,给定了二 开口方向;(2)判别式的正负;(3
课堂考点探究
微点2 二次函数的单调性问
例 4 (1)二次函数 f(x)=ax2+b
课堂考点探究
[思路点拨] (1)二次函数存在
课堂考点探究
[解析] (1)因为二次函数 f(x)有 x=1.因为 2,-32, 3与对称轴之
课堂考点探究
微点4 二次函数的恒成立问
例 6 (1)设函数 f(x)=mx2-x-32
课堂考点探究
解:(1)若 m=0,则显然不成立;
1
课堂考点探究
②若 m<1<m+2,即-1<m<1,则
2020届高三一轮复习理科数学课件 二次函数与幂函数
考点 1．幂函数的图象 与性质 2．二次函数的最 值问题 3．二次函数零点 的分布问题
五年考情 5年2考 5年2考 5年3考
素养定位 1．幂函数的图象与性质，发展数学 抽象和直观想象素养 2．二次函数的最值问题，达成直观 想象和逻辑推理素养 3．二次函数零点的分布问题，提升 直观想象和逻辑推理素养
RR
[0[，0，＋＋∞∞) )
{y{|y|∈y∈RR, , 且且yy≠≠00} }
奇奇
偶偶
奇奇 非非奇奇非非偶偶
奇奇
2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ aaxx22＋＋bbxx＋＋cc((aa≠≠00)) ． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ((mm，，nn)) ． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
定义域 值域
(－∞，＋∞) 4ac4－a b2，＋∞
(－∞，＋∞) －∞，4ac4－a b2
单调性
在－∞，－2ba上单调递减； 在 －2ba，＋∞ 上单调递增
2．一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是aΔ＞＜00，. (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是aΔ＜＜00，.
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝2x 是幂函数．(×) 解析 由于幂函数的解析式为 f(x)＝xα，故 y＝2x 不是幂函数．
4．函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图象关于直线 x＝1 对称的充要条件是(A)
2020版高考数学一轮复习：2.6 幂函数与二次函数
二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路.
-13-
考点1
考点2
考点3
考点 1 幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是 (C)
(2)已知幂函数 f(x)的图象经过点
1 8
,
√2 4
,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是
; ,其中 ,其中
(h,k) x1,x2
为顶点坐标; 为二次函数
-5-
知识梳理 双基自测
12
(2)二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
a>0
a<0
图象
定义域 x∈R
-6-
知识梳理 双基自测
12
值域
单调 性
奇偶 性 图象 特点
4������������-������2 4������ , + ∞
数
①对称轴: x=-2������������
;②顶点:
-
������ 2������
,
4������������ -������2 4������
-7-
知识梳理 双基自测
12345
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
1
(1)函数 y=-x2 与 y=2������2都是幂函数. ( )
(2)当 α>0 时,幂函数 y=xα 是定义域上的增函数. ( )
4
2
1
2
2
因为 a=23 = 43,c=253 = 53,b=33,
2
且函数 y=������3在[0,+∞)内是增函数,
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2020年高考一轮复习《幂函数与二次函数》
A组基础巩固
1.(2019·湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟联考)若幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()
A．－1<m<0<n<1
B．－1<n<0<m
C．－1<m<0<n
D．－1<n<0<m<1
解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0，综上所述，－1<n<0<m<1.
答案：D
2．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)()
A．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增
B．在(－∞，3)上递增
C．在[1，3]上递增
D．单调性不能确定
解析：由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1＞0.
所以f (x )在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的． 答案：A
3．(2019·安阳模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．2
解析：f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋a ＋4，
所以函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递增，
所以当x ＝0时，f (x )取得最小值，当x ＝1时，f (x )取得最大值，所以f (0)＝a ＝－2，f (1)＝3＋a ＝3－2＝1.
答案：A
4．已知幂函数的图象经过点(9，3)，若f (m )＝2，则m ＝( )
A ．8
B ．4
C ．2 D.2 解析：设f (x )＝x α，则9α＝3，所以α＝12
， 因此f (x )＝x ，则f (m )＝m ＝2，所以m ＝4.
答案：B
5．已知函数y ＝ax 2＋bx －1在(－∞，0]上是单调函数，则y ＝2ax ＋b 的图象不可能是( )
解析：选项A 中，a ＝0时，符合题意．
当a ≠0时，对称轴x ＝－b 2a
≥0且y ＝2ax ＋b 与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b 2a ，0应位于x 轴非负半轴，B 不符合题意．选项C ，D 符合题意． 答案：B
6．(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．
解析：因为幂函数y ＝x α是奇函数，知α可取－1，1，3.
又y ＝x α在(0，－∞)上是减函数，
所以α<0，即α＝－1.
答案：－1
7．二次函数f (x )的图象经过两点(0，3)，(2，3)，且函数的最大值是5，则函数f (x )的解析式是________．
解析：由于点(0，3)，(2，3)在y ＝f (x )图象上，
所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，
又f (x )的最大值为5，
设f (x )＝a (x －1)2＋5(a <0)．
由f (0)＝f (2)＝3，得3＝a ＋5，所以a ＝－2.
因此f (x )＝－2(x －1)2＋5＝－2x 2＋4x ＋3.
答案：－2x 2＋4x ＋3
8．(2019·潍坊调研)若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为0，则a ＋4b 的取值范围是________．
解析：依题意，知a >0，且Δ＝1－4ab ＝0，
所以4ab ＝1，且b >0.
故a ＋4b ≥24ab ＝2，
当且仅当a ＝4b ，即a ＝1，b ＝14
时等号成立． 所以a ＋4b 的取值范围是[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，
试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．
解：因为幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，
所以m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2.
又因为m ∈N *，所以m ＝1.所以f (x )＝x 12，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f (2－a )＞f (a －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，2－a ≥0，2－a ＞a －1，
解得1≤a ＜32，所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1，32. 10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R)．
(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，
F (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．
解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，
且－b 2a
＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.
所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0.
所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，
从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成立，
即b≤1
x－x且b≥－
1
x－x在(0，1]上恒成立．
又1
x－x的最小值为0，－1
x－x的最大值为－2.
所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．
B组素养提升
11．(2019·济宁调研)下列命题正确的是()
A．y＝x0的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)
C．若幂函数y＝x n是奇函数，则y＝x n是增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
解析：A中点(0，1)不在直线上，A错．
B中，y＝x n，当n<0时，图象不过原点，B不正确．
C中，当n<0，y＝x n在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，C错误．
幂函数图象一定过第一象限，一定不过第四象限．D正确．
答案：D
12．(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
解析：设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值
点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.
所以M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．答案：B
13．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，
若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.
答案：[0，4]
14．(2019·菏泽市联考)已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且f(1)＝4，f(3)＝0.
(1)求f(x)的解析式．
(2)是否存在实数m，使得在[1，4)上f(x)的图象恒在曲线y＝2x ＋m的上方？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c.
因为二次函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x ＝1对称，
即－b
2a＝1.①
因为f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(1)＝a＋b＋c＝4，②f(3)＝9a＋3b＋c＝0，③
联立①②③，解得a＝－1，b＝2，c＝3.
故f(x)＝－x2＋2x＋3.
(2)设g(x)＝－x2＋2x＋3－2x－m.
f(x)的图象恒在曲线y＝2x＋m的上方等价于g(x)>0恒成立．
所以m<－x2＋2x＋3－2x恒成立．
因为y＝－x2＋2x＋3在[1，4)上单调递减，y＝2x在[1，4)上单调递增，
所以h(x)＝－x2＋2x＋3－2x在[1，4)上单调递减，
所以h(x)>h(4)＝－16＋8＋3－16＝－21.
即m≤－21.
故实数m的取值范围是(－∞，－21]．。