高三数学一轮复习离散型随机变量及其分布列.ppt
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10.7离散型随机变量及其分布列和数字特征课件高三数学一轮复习
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有_唯__一__的__实__数__X_(_w_)_ 与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机 变量称为离散型随机变量.
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例1 (1)随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a bc
2 其 中 a，b， c成 等差 数 列 ，则 P(|X|＝ 1) ＝____3____ ，公差 d的 取值 范 围 是 __－__13_，__31_ .
解析 因为a，b，c成等差数列， 所以2b＝a＋c.
i＝1
或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的__平__均__水__平__.
(2)方差
称 D(X) ＝ (x1 － E(X))2p1 ＋ (x2 － E(X))2p2 ＋ … ＋ (xn － E(X))2pn ＝
n
_____i∑＝_1_（__x_i_－__E_（__X_）___）__2p_i_____为随机变量 X 的方差，并称____D_（__X__）___为
X 2X＋1
01234 13579
从而2X＋1的分布列为
2X＋1 P
13579 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
②由①知m＝0.3，列表为
X |X－1|
01234 10123
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有_唯__一__的__实__数__X_(_w_)_ 与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机 变量称为离散型随机变量.
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例1 (1)随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a bc
2 其 中 a，b， c成 等差 数 列 ，则 P(|X|＝ 1) ＝____3____ ，公差 d的 取值 范 围 是 __－__13_，__31_ .
解析 因为a，b，c成等差数列， 所以2b＝a＋c.
i＝1
或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的__平__均__水__平__.
(2)方差
称 D(X) ＝ (x1 － E(X))2p1 ＋ (x2 － E(X))2p2 ＋ … ＋ (xn － E(X))2pn ＝
n
_____i∑＝_1_（__x_i_－__E_（__X_）___）__2p_i_____为随机变量 X 的方差，并称____D_（__X__）___为
X 2X＋1
01234 13579
从而2X＋1的分布列为
2X＋1 P
13579 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
②由①知m＝0.3，列表为
X |X－1|
01234 10123
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
2[1].1.2离散型随机变量的分布列(1).ppt1
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1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 ｐ 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
例1：某一射手射击所得环数ξ
ξ P 4
0.02
的分布列如下:
5
0.04
6
0.06
7
0.09
8
0.28
9
0.29
10
0.22
求此射手”射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: ”射击一次命中环数≥7”是指互斥事 件”ξ=7”, ”ξ=8”, ”ξ=9”, ”ξ=10” 的和.
0.88
例2.随机变量ξ的分布列为
ξ -1 0 1 2 3
p
0.16
a/10
a2
a/5
0.3
解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有 a a 9 2 3 0.16 a 0.3 1 解得： a （舍）或 a 10 10 5 5
（1）求常数a;（2）求P(1<ξ<4)
1 1 5 C3 C10 P( 2) 2 26 A13
2 1 5 A C P( 3) 3 10 3 143 A13
分布列为：
1
10 13
2
5 26
3
5 143
4
1 286
P
例5 从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件 地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两 种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次 数 的分布列． （2）每次取出的产品都放回此批产品中； 解：
… …
P
小结: 1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会 求某些简单的离散型随机变量的分布列； 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本 性质，并会用它来解决一些简单问题； 会求离散型随机变量的概率分布列：
高考数学一轮总复习课件：离散型随机变量的分布列、均值与方差
超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次
CMkCN－Mn－k
品，则P(X＝k)＝________C_N_n __，k＝0，1，2，…，m，其中m
＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列：
X
0
P
CM0CN－Mn－0 CNn
为超几何分布列．
1
…
m
CM1CN－Mn－1 CNn
…
CMmCN－Mn－m CNn
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，那么称随机变量
X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n)．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量． (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概 率之和可以小于1. (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的．
思考题2 (1)(2021·吉林省汪清县高三月考)已知随机变 量ξ的分布列如下表，则x＝____12____．
ξ01 2
P x2 x
1 4
【解析】
由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋
1 4
＝1，且0≤x≤1，解得x＝12.
(2)(2021·青铜峡市高三期末)设随机变量ξ的概率分布列如下
表，则P(|ξ－3|＝1)＝( A )
3．设ξ是一个离散型随机变量，则下列不一定能成为ξ的概
率分布列的一组数是( C )
A．0，0，0，1，0
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，1－p(p为实数)
D.1×1 2，2×1 3，…，（n－11）·n，1n(n∈N*，n≥2)
解析
显然A、B满足分布列的两个性质；对于D，有
离散型随机变量及其分布列ppt
想一想： 几何概型的特点
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a) 试验中所有可能出现的结果（基本事件）有
无限多个； b) 每个基本事件出现的可能性相等
古典概型与几何概型的区别
• 相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的； • 不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型 要求基本事件有无限多个
一、随机变量 的概念 在随机试验中，我们确定一个对应 关系，使得每一个试验结果都用一 个确定的数字表示，在这种对应关 系下，数字随着试验结果的变化而 变化。我们把这种变量称为随机变
量．随机变量常用字母X，Y，z等 或ξ,η 表示．
随机变量：
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随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。 常用 字母 X 、Y、…表示。 、 注：(1)可以用数表示；
探
变量把随机试验的结果映为实数，函
数把实数映为实数。在这两种映射之
间，试验结果的范围相当于函数的定
义域，随机变量的取值范围相当于函
究
数的值域。我们把随机变量的取值范 围叫做随机变量的值域。
在上面的射击、产品检验等例 子中，对于随机变量可能取的 值，我们可以一一列出，这样 的随机变量叫做离散型随机变 量．
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• 那么，如何用数学语言来清楚地刻画每个随 机现象的规律呢？
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例(1)某人射击一次，可能 出现哪些结果？
可能出现命中0环，命中1环，…， 命中10环等结果， 即可能出现的结果（环数）可以由0， 1，……10 这11个数表示；
ξ p
1
1 6
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布：离散型随机变量及其分布列pptx课件人教B版
【解析】选B.由分布列的性质知2q2+ 11 -3q+ 1 =1,解得q=1或q= 1 ,
6
6
2
又因为2q2<1,0< 11 3q <1,所以舍去q=1,
6
所以q= 1 .
2
3.(选修2-3 P47习题2-1BT2改编)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
1
m
1
1
3
4
6
则P(|X-3|=1)=________.
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机 变量的是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①②④
2.若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1=
1 2
p2,则p1等于
(
)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加
n
pi
=1.
i1
2.常见的两类分布列 (1)两点分布： 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X
0
1
P
_1_-_p_
p
其中p= _P_(_X_=_1_)_称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，
CnN
k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
【解析】选C.因为P(X=1)= 1 ，所以A，B不正确；
新高考数学离散型随机变量的分布列和数字特征精品课件
课堂考点探究
变式题 (1)若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为 ( )A. B. C.3 D.
课堂考点探究
C
[解析] 由题意知x1+x2=,+=,解得或因为x1<x2,所以x1=1,x2=2,所以x1+x2=3.
课前基础巩固
x1p1+x2p2+…+xnpn
平均水平
[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn
离散程度
aE(X)+b
a2D(X)
课前基础巩固
4. 两点分布(1)定义:对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=如果P(A)=p,则P()=1-p,那么X的分布列如下表所示,称随机变量X服从两点分布或0-1分布.(2)均值与方差若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
(2)已知随机变量X的分布列为P(X=k)=mk(k=1,2,3,4,5),则实数m= ( )A. B. C. D.
课堂考点探究
C
[解析]因为随机变量X的分布列为P(X=k)=mk(k=1,2,3,4,5),所以m+2m+3m+4m+5m=1,解得m=.
(2)在某工厂年度技术工人团体技能大赛中,有甲、乙两个团体进行比赛,比赛分两轮,每轮比赛必有胜负,没有平局.第一轮比赛甲团体获胜的概率为0.6,第二轮比赛乙团体获胜的概率为0.7,第一轮获胜团体有奖金5000元,第二轮获胜团体有奖金8000元,未获胜团体每轮有1000元鼓励奖金.①求甲团体至少胜一轮的概率;②记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为X元,求X的分布列及其数学期望.
变式题 (1)若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为 ( )A. B. C.3 D.
课堂考点探究
C
[解析] 由题意知x1+x2=,+=,解得或因为x1<x2,所以x1=1,x2=2,所以x1+x2=3.
课前基础巩固
x1p1+x2p2+…+xnpn
平均水平
[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn
离散程度
aE(X)+b
a2D(X)
课前基础巩固
4. 两点分布(1)定义:对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=如果P(A)=p,则P()=1-p,那么X的分布列如下表所示,称随机变量X服从两点分布或0-1分布.(2)均值与方差若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
(2)已知随机变量X的分布列为P(X=k)=mk(k=1,2,3,4,5),则实数m= ( )A. B. C. D.
课堂考点探究
C
[解析]因为随机变量X的分布列为P(X=k)=mk(k=1,2,3,4,5),所以m+2m+3m+4m+5m=1,解得m=.
(2)在某工厂年度技术工人团体技能大赛中,有甲、乙两个团体进行比赛,比赛分两轮,每轮比赛必有胜负,没有平局.第一轮比赛甲团体获胜的概率为0.6,第二轮比赛乙团体获胜的概率为0.7,第一轮获胜团体有奖金5000元,第二轮获胜团体有奖金8000元,未获胜团体每轮有1000元鼓励奖金.①求甲团体至少胜一轮的概率;②记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为X元,求X的分布列及其数学期望.
高考理科第一轮课件(10.7离散型随机变量及其分布列)
5.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题，比赛规
定：对于每一道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答
正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是
甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能 取值是＿＿＿＿＿． 【解析】甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一道题并回答 错误，乙抢到两道题并且都回答错误，此时甲得－1分，故X的 所有可能取值为－1,0,1,2,3. 答案：－1,0,1,2,3
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的.( )
(5)如果随机变量X的分布列由下表给出， X P 2 0.3 ) 5 0.7
则它服从超几何分布.(
【解析】(1)正确.离散型随机变量的分布列是所有离散型随机 变量的概率分布情况，因此该说法是正确的. (2)错误.有些离散型随机变量的概率可以用公式表示出来，但 分布列不能. (3)错误.由概率分布列的性质可知：在分布列中随机变量的概 率之和为1.
a1
a2 p2
p1
.
(2)离散型随机变量分布列的性质
> 1 ①pi__0(i=1,2,„);②p1+p2+„=__.
3.超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取 n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么，
C k C n kM M N Cn P(X=k)=＿＿＿＿(其中k为非负整数).如果一个随机变量的分布 N
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( (A)0.28 (B)0.88 (C)0.79 (D)0.51
)
(2)一个均匀的正四面体的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字， 现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x1，x2，记X ＝(x1－3)2＋(x2－3)2. ①分别求出X取得最大值和最小值时的概率； ②求X的分布列．
2019年高考数学总复习精品课件：第十四单元第一节_离散型随机变量及其概率分布-PPT文档资料
5
（1）求常数a的值；（2）求Pξ≥
3;(3)求P(
＜ξ1 ＜
).
7
5
10
10
解析： ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
5
5
5
5
5
P
a
2a 3a 4a 5a
(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a1 = .
(2)P(ξ≥
)=3 P(ξ=
)+P3(ξ=
15 )+P(ξ4 =1)
5
5
= 3 4 5 4
P(ξ= x)1=
5 ,P (1ξ= )= 10 2
,x 2
1 10
P(ξ= x)=3 4 , 2
故ξ的概率分1布0 为5
ξ
x1
x2
x3
P
1
1
2
2
10
5
题型三 超几何分布 【例3】某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生， 4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的 男生人数，求X的概率分布.
(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球， 记“甲取到白球”的事件为A， 则P（A）=P(“X=1”或“X=3”或“X=5”)10′ 因为事件“X=1”、“X=3”、“X=5”两两互斥， 所以P(A)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5) = 3 6 1 … 2…2……………………………………14′
X 0～6 7
8
9 10
现进行两P次射击0，以该0运.2动员0两.3次射击0.中3 最高0环.2数作为他的成 绩，记为ξ. (1)求该运动员两次都命中7环的概率； （2）求ξ的分布列.
高中数学第二章 2.1.2离散型随机变量的分布列(一)课件
答案 是.离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是 彼此互斥的.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 求离散型随机变量的分布列 例1 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中 摸出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)有X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.
解析 根据所给的分布列，
由离散型随机变量的性质得12＋13＋p＝1，解得 p＝16.故选 B.
解析答案
1234
2.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ＝i)＝a(13)i，i＝1,2,3，则 a 的值为( C )
9
27
11
A.1
B.13
C.13
D.13
解析 由分布列的性质，得 a(13＋19＋217)＝1， ∴a＝1237.
假设身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子〞，身高在175 cm 以下定义为“非高个子〞，且只有“女高个子〞才能担任“礼仪小姐
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子〞和“非高个子〞中抽取5人，再从 这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子〞的概率是多少？
解析答案
(2)假设从所有“高个子〞中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任 “礼仪小姐〞的人数，试写出ξ的分布列. 解 依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，那么 P(ξ＝0)＝CC31382＝1545，P(ξ＝1)＝CC14C31228＝2585， P(ξ＝2)＝CC24C31218＝1525，P(ξ＝3)＝CC31342＝515. 因此，ξ的分布列为
P
1 10
3 10
3 5
解析答案
易错点 无视分布列的性质致误
第12章12.1离散型随机变量的分布列期望方差精品课件大纲人教版课件.ppt
1
1
A.9
B.6
1
1
C.3
D.4
答案：C
4．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率 分布为
ξ 012 P
答案：0.1 0.6 0.3
5．若 ξ～B(4，13)，则 P(ξ≥1)＝________. 答案：6851
考点探究·挑战高考
考点突破 分布列的性质
故 X～B(6，13)， 所以 P(X＝k)＝Ck6(13)k·(23)6－k， k＝0,1,2,3,4,5,6.
所以 X 的分布列为：
(2)EX＝np＝6×13＝2， Dξ＝np(1－p)＝6×13×23＝43，
即遇到红灯的次数的期望为 2，方差为43.
【思维总结】 对于 ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝ Cknpk(1－p)n－k 也是分布列的一种形式：通项公 式形式．
例4 (2010 年高考北京卷)某同学参加 3 门课 程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成
绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩 的概率分别为 p 、q(p＞q)，且不同课程是否取 得优秀成绩相互独立．记 ξ 为该生取得优秀成 绩的课程数，其分布列为
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率; (2)求p，q的值； (3)求数学期望Eξ. 【思路分析】 (1)利用对立事件“ξ＝0”． (2)利用ξ＝0与ξ＝1的概率建立p，q方程组． (3)求出：P(ξ＝1)．
分布列中随机变量取值的概率都在[0,1]，同时 所有概率和一定等于1.
例1 设随机变量 ξ 的分布列 P(ξ＝k5)＝ak(k＝ 1,2,3,4,5)．求：(1)常数 a 的值；
(2)P(ξ≥35)；(3)P(110＜ξ＜170)． 【思路分析】 将分布列简写成一个通项型 表达式，只是为了叙述方便，而表格形式更 能直观反映每种试验可能的分布，两种形式 实质内容是一致的．
高考数学一轮复习第10章第7讲离散型随机变量及其分布列课件理
B.3
C.4
D.12
答案 C
答案
解析 由分布列的性质得，112＋16＋13＋16＋p＝1， 解得 p＝14.
解析
(4)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女
生人数不超过 1 人的概率是________．
答案
4 5
解析 设所选女生人数为 x，则 x 服从超几何分布， 其中 N＝6，M＝2，n＝3，则 P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝CC20C36 34＋CC21C36 24＝45.
B．P(ξ＞1)＝45
C．P(2＜ξ＜4)＝25 D．P(ξ＜0.5)＝0
答案 C
答案
解析 由离散型随机变量 ξ 的概率分布列得， P(ξ＜3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝110＋15＋110＋15＝35，故 A 错误；P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝15＋25＝35，故 B 错误；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ ＝3)＝25，故 C 正确；P(ξ＜0.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝110＋15＝130，故 D 错误．
(4)若随机变量 X 的分布列由下表给出， X2 5 P 0.3 0.7
则它服从两点分布．( × )
2．小题热身
(1)已知 8 件产品中有 2 件次品，从中任取 3 件，取到次品的件数为随
机变量 ξ，那么 ξ 的可能取值为( )
A．0,1
B．1,2
C．0,1,2
D．0,1,2,3
答案 C 解析 由于只有 2 件次品，所以 ξ 的可能取值为 0,1,2.
□n
②
05 pi＝1
i＝1
.
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为
离散型随机变量的分布列 课件
次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，k=0,1,2,…,m，其中m=min{M,n}，
CnN
且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*，此时称分布列
X
0
1
…
m
P
C C 0 n0 M NM
C C 1 n1 M NM
CnN
CnN
…
C C m nm M NM
CnN
为超几何分布列. 如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超 几何分布.
P 1 P 3 P 5 2 8 2 8 .
15 45 9 15
答案：8
15
3.随机变量ξ的可能取值为1，2，3．
当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只
能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有
P 1
C24 C35
3； 5
当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的第二条 性质. 2.离散型随机变量在某一范围内取值的概率求法 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 围内各个值的概率的和.即 P(ξ≥xk)=P(ξ=xk)+P(ξ=xk+1)+….
【典例训练】 1.下列各表中可作为随机变量X的分布列的是( ) (A)
0
1
P
1-p
p
如果随机变量X的分布列为上述形式，就称X服从两点分布. (2)称p=P(X=1)为__成__功__概__率__. (3)两点分布又称__0_-_1__分布．由于只有两个可能结果的随机试 验叫伯努利试验，所以还称这种分布为_伯__努__利__分布．
人教版高中数学选修2-3课件：2.1 离散型随机变量及其分布列(共52张PPT)
预习探究
[探究] 以下随机变量是离散型随机变
量的是
.
①某部手机一小时内收到短信的次数
ξ;
②电灯泡的寿命ξ; ③某超市一天中的顾客量ξ; ④将一颗骰子掷两次出现的点数之和
ξ.
⑤连续不断地射击,首次命中目标所需
要的射击次数ξ.
④将一颗骰子掷两次出现点数之和ξ的取
值为2,3,…,12,是离散型随机变量;
三维目标
3．情感、态度与价值观 使学生感悟数学与生活的和谐之美，学会合作探讨，体验成功，提 高学习数学的兴趣．
重点难点
[重点] (1)随机变量、离散型随机变量的意义； (2)离散型随机变量的分布列的概念．
[难点] (1)随机变量、离散型随机变量的意义； (2)求简单的离散型随机变量的分布列．
教学建议
例1 指出下列变量中,哪些是随机变量, 哪些不是随机变量,并说明理由. (1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次,出 现正面向上的次数; (2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数 (最上面的数字); (3)某个人的属相随年龄的变化; (4)在标准状况下,水在0℃时结冰.
(3)属相是出生时便确定的,不随年龄的变化 而变化,不是随机变量. (4)标准状况下,水在0℃时结冰是必然事件, 不是随机变量.
P
分别求出随机变量η1=2ξ1,η2=ξ2的分布列.
当ξ取-1与1时,η2=ξ2取相同的值,故η2的分布 列为 η2 0 1 4 9
考点类析
例2 指出下列随机变量是不是离散型 随机变量,并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到 10号)中任取1张,被取出的卡片的号数; (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从 中任取3个,其中所含白球的个数; (3)某林场树木最高达30 m,则此林场中 树木的高度; (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与 规定的外径尺寸之差.
2023版高考数学一轮总复习11-2离散型随机变量及其分布列均值与方差课件
例 (2020山东泰安三模)某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果),购 入价为300元/袋,并以360元/袋的价格售出,若前8小时内所购进的A水果 没有售完,则批发商将没售完的A水果以220元/袋的价格低价处理完毕 (根据经验,2小时内完全能够把A水果低价处理完,且当天不再购进).该水 果批发商根据往年的销量,统计了100天内A水果在每天的前8小时的销售 量,制成如下条形统计图.
+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机
变量X服从超几何分布.
4.离散型随机变量的均值与方差
1)均值的定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散 型随机变量取值的平均水平.
2
3)=P(ξ=-3)= 1 ,P(ξ=1)=P(ξ=-1)= 3,故随机变量|ξ|的分布列为
8
8
|ξ|
1
故E(|ξ|)=1×3 +3× 1= ,3
4
42
D(|ξ|)=1
3 2
2
×
3+
4
3
3 2
2
×
=14
.故3 选B.
4
答案 B
应用 利用均值、方差进行决策 解决均值、方差实际问题的策略 1)把握“1”实质:随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差 反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变 量,是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据. 2)运用“2”策略: ①当均值不同时,两个随机变量取值的水平有区别,可直接对问题作出判断. ②若两随机变量的均值相同或相差不大,则可通过方差来研究两随机变 量的离散程度或者稳定程度,进行决策.
课件1：§7.2 离散型随机变量及其分布列
或 X～两点分布 ，此处“～”表示“ 服从 ”．
归纳总结 1．随机变量是将随机试验的结果数量化； 2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系， 这种对应是人为的，但又是客观存在的； 3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有 可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小， 从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；
入门答辩 1．抛掷一个骰子，用 X 表示骰子向上一面的点数． 问题 1：X 的可能取值是什么？ 提示：X＝1,2,3,4,5,6. 问题 2：X 取不同值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于16.
2．一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5，在袋中同时 取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码． 问题 3：随机变量的可能取值是什么？ 提示：X＝3,4,5.
§7.2 离散型随机变量及其分布列
学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.了解随机变量与函数的区别与联系. 3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. 4.理解两点分布.
知识梳理 入门答辩 1．在一块地里种下 10 颗树苗，成活的树苗棵树为 X. 问题 1：X 取什么数字？ 提示：X＝0,1,2，…，10.
问题 4：试求 X 取不同值的概率． 提示：P(X＝3)＝CC3335＝110；P(X＝4)＝CC2335＝130； P(X＝5)＝CC2435＝160＝53.
问题 5：试用表格表示 X 和 P 的对应关系． 提示：
X3 4 5
P
1 10
3 10
6 10
问题 6：试求概率和．
提示：其和等于 1.
通常将上表称为随机变量 X 的概率分布表，它和①都叫做 随机变量 X 的概率分布．显然，这里的 pi(i＝1,2，…，n) 满足条件 pi ≥ 0，p1＋p2＋…＋pn＝ 1 .
归纳总结 1．随机变量是将随机试验的结果数量化； 2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系， 这种对应是人为的，但又是客观存在的； 3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有 可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小， 从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；
入门答辩 1．抛掷一个骰子，用 X 表示骰子向上一面的点数． 问题 1：X 的可能取值是什么？ 提示：X＝1,2,3,4,5,6. 问题 2：X 取不同值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于16.
2．一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5，在袋中同时 取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码． 问题 3：随机变量的可能取值是什么？ 提示：X＝3,4,5.
§7.2 离散型随机变量及其分布列
学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.了解随机变量与函数的区别与联系. 3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. 4.理解两点分布.
知识梳理 入门答辩 1．在一块地里种下 10 颗树苗，成活的树苗棵树为 X. 问题 1：X 取什么数字？ 提示：X＝0,1,2，…，10.
问题 4：试求 X 取不同值的概率． 提示：P(X＝3)＝CC3335＝110；P(X＝4)＝CC2335＝130； P(X＝5)＝CC2435＝160＝53.
问题 5：试用表格表示 X 和 P 的对应关系． 提示：
X3 4 5
P
1 10
3 10
6 10
问题 6：试求概率和．
提示：其和等于 1.
通常将上表称为随机变量 X 的概率分布表，它和①都叫做 随机变量 X 的概率分布．显然，这里的 pi(i＝1,2，…，n) 满足条件 pi ≥ 0，p1＋p2＋…＋pn＝ 1 .
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：离散型随机变量及其分布列、数字特征
n
xipi
为随机变量
X
的均值或数学期望，
i＝1
数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的_平__均__水__平__.
(2)方差
n
(xi－E(X))2pi
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝_i＝_1___________
为随机变量X的方差，并称 DX 为随机变量X的 标准差 ，记为σ(X)，它们
跟踪训练3 某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上 篮两个项目.每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合 格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否 则得0分.现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进 行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直 接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考 核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明定点投篮考核合 格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的 概率与考核次序无关. (1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
都可以度量随机变量取值与其均值的 偏离程度 .
知识梳理
5.均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b . (2)D(aX＋b)＝ a2D(X) (a，b为常数).
常用结论
1.E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数. 2.E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2). 3.D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 4.若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).
定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①E(ξ)＝1；
人教版高中数学高考一轮复习--离散型随机变量及其分布列
增.已知学生甲答题时,若该题会做,则必得满分,若该题不会做,则不作答得
0分,通过对学生甲以往同类模拟考试情况的统计,得到他各题得分的概率
如表所示.
题目
第1题
第2题
代数
0.6
0.5
几何
0.8
0.7
数论
0.7
0.7
组合
0.7
0.6
第3题
第4题
0.4
0.2
0.5
0.3
0.5
0.3
0.3
0.2
假设学生甲考试中各题的得分相互独立.
(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列.
3.求离散型随机变量分布列的关键是求随机变量取每个值的概率,在求解
时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.
对点训练2
(1)已知一批100件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件
进行检查,设抽取的2件产品中不合格品数为X,求X的分布列.
2
1 2 2
1 1 2
2
P(X=1)=3,P(X=2)=3 × 3 = 9,P(X=3)=3 × 3 × 3 = 27.
故 X 的分布列为
X
1
2
3
P
2
3
2
9
2
27
出现这种错误解法的原因是没有明确随机变量X的意义,X=1表示第一次
试验成功;X=2表示第一次试验失败,第二次试验成功;X=3表示前两次试验
X
P
40
0.147
80
0.343
100
0.126
140
0.294
160
0.027
0分,通过对学生甲以往同类模拟考试情况的统计,得到他各题得分的概率
如表所示.
题目
第1题
第2题
代数
0.6
0.5
几何
0.8
0.7
数论
0.7
0.7
组合
0.7
0.6
第3题
第4题
0.4
0.2
0.5
0.3
0.5
0.3
0.3
0.2
假设学生甲考试中各题的得分相互独立.
(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列.
3.求离散型随机变量分布列的关键是求随机变量取每个值的概率,在求解
时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.
对点训练2
(1)已知一批100件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件
进行检查,设抽取的2件产品中不合格品数为X,求X的分布列.
2
1 2 2
1 1 2
2
P(X=1)=3,P(X=2)=3 × 3 = 9,P(X=3)=3 × 3 × 3 = 27.
故 X 的分布列为
X
1
2
3
P
2
3
2
9
2
27
出现这种错误解法的原因是没有明确随机变量X的意义,X=1表示第一次
试验成功;X=2表示第一次试验失败,第二次试验成功;X=3表示前两次试验
X
P
40
0.147
80
0.343
100
0.126
140
0.294
160
0.027
离散型随机变量的分布列【精品课件】—【A3演示文稿设计与制作】
3.离散型随机变量的概率分布列
一般地，设随机变量 的所有可能的取值为 x 1,x2,x3,,xi,,xn 的每一个取值 x i (i1,2,,n)的概率为 P(xi)pi，则称表格
x1
x2
··· x i
···
P
p1
p2
··· p i
···
为随机变量 的概率分布列简称 的分布列．
注： 1、分布列的构成
(2)算概率：可以直接借助公式 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM求解，也可以 利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解 参数 M，N，n，k 的含义.
(3)列分布表：求得的概率值通过表格表示出来.
课堂小结
1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地， 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn， X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi， 以表格的形式表示如下：
P(X＝0)＝CC3336＝210，P(X＝1)＝CC13C36 23＝290， P(X＝2)＝CC23C36 13＝290，P(X＝3)＝CC3336＝210.
所以X的分布列为
X0 1 2 3
P
1 20
9 20
9 20
1 20
感悟
超几何分布的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显 的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣” 等，或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何 分布模型.
故 X 的分布列为
X01
P
2 19 21 21
感悟
两步法判断一个分布是否为两点分布 (1)看取值：随机变量只取两个值：0和1. (2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立. 如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布， 否则不是两点分布.