1 数的开方

1数的开方(一)平方根

数的开方（一）平方根【知识要点】1．平方根的概念如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 叫做a 的平方根，也叫二次方根。

即若()20x a a =≥，则x 就称为a 的平方根。

2．平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②零有一个平方根，它是零本身；③负数没有平方根。

3．平方根的表示方法：一个正数a a 叫做被开方数，2叫做根指数；正数a 的负平方根用符号“2时，通常略去不写，所以这两个平方根记作4．算术平方根：正数a 的正的平方根，也叫做a 0a >），0的平方根叫做0的算术平方根。

因此，0的算术平方根为00=。

5．平方根的求法：①利用定义；②利用计算器；③利用估算法。

6．开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。

7．开平方的小数点移动规律：如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

【典型例题】例1 ∵()20.30.09= ∴（）A ．0.090.3是的平方根；B ．0.090.3是的3倍；C ．0.30.09是的一个平方根；D ．0.09的平方根是0.3。

例2 求下列各数的平方根：196169，()25-，24125，0.0256。

例3 （1）81的平方根是，算术平方根是；（2）2)4(-的平方根是，算术平方根是；（3）（-2．345）2的平方根是，算术平方根是。

例4 （1）122++x x 的平方根为（）A ．没有平方根B ．(1)x ±+C ．0D ．1（2）1412-+-x x 的平方根为（） A ．)2(21-±x B ．没有平方根 C ．0或没有平方根 D ．0 （3）一个自然数的一个平方根是m -，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（）A ．1+mB ．12+mC ．1+±m D ．12+±m① 求236和00236.0的值；② 若x =0．4858，求x 的值；③ 若1536106=⨯a ，求a 的值。

1数的开方(基础)

让更多的孩子得到更好的教育数的开方——平方根、立方根和实数（基础)
1. 在实数－23，0，3，－3.1415，2
π，9，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）这8个实数中，无理数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2．估计10的值在（）A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间
3.在三个数0.5、、中，最大的数是( )
A ．0.5
B ．
C ．
D ．不能确定 4．是的平方根，是64的立方根，则＝（）
A. 3
B. 7 C ．3，7 D. 1，7
二、填空题
5． ()0201112=-++y x 则x y = . 6．的整数部分是________．
7．若22+-b a 与互为相反数，则a+b 的值为________．
8．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是1，则
2m cd m
b a +-+的值为________． 9. 的平方根是______；0.0001算术平方根是______；0的平方根是______．
10．
的算术平方根是______；的算术平方根的相反数是______．
11．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______．
12．表示3的______；表示3的______．
13．求下列各式中的．
（1）
；（2）；
14.已知
求的值．。

有关开方的知识点总结

有关开方的知识点总结开方的定义很简单：如果一个数x的平方等于另一个数y，那么y就是x的平方根。

符号√表示开方，可以理解为“根号”。

比如√9=3，因为3的平方是9。

有时候为了避免歧义，需要在根号下面加上一个正号或者负号，表示正根和负根。

开方的运算规则也很简单，主要有以下几点：1. 正数的开方对于正数来说，它的开方有且只有一个正解。

比如√9=3，因为3的平方是9。

任何一个正数都有一个正的平方根。

2. 负数的开方对于负数来说，它的开方有两个解，一个正数和一个负数。

比如√16=4或者-4，因为4的平方是16，同时-4的平方也是16。

在实际应用中，通常只考虑正数的解。

3. 0的开方0的开方是0，因为0的平方也是0。

这个特殊情况在数学中经常会用到。

开方的运算方法也有多种。

一般来说，可以用牛顿迭代法、二分查找等方法来计算。

对于大型数字或者小数，一般会使用计算器或者电脑来进行开方运算。

在实际应用中，开方经常会用到。

比如在几何学中，计算直角三角形的斜边长度、圆的半径等。

在物理学中，计算速度、加速度等也会用到开方。

在工程学中，计算电路中的电压、电流等也用到开方。

在金融学中，计算利率、贷款等也会用到开方。

开方还有一些重要的性质，比如：1. 开方的运算顺序开方和其他的运算符有不同的优先级。

一般来说，先进行括号内的运算，然后进行乘除法、最后进行加减法。

如果有多个开方运算符，一般从左往右进行计算。

2. 开方的乘法法则(√a) * (√b) = √(a * b)。

也就是说，两个数的开方的乘积等于这两个数的乘积的开方。

3. 开方的除法法则(√a) / (√b) = √(a / b)。

也就是说，一个数的开方除以另一个数的开方等于这两个数的商的开方。

4. 开方的加法法则√a + √b ≠ √(a + b)。

开方是无法直接进行加法运算的。

5. 开方的多重嵌套可以进行多重嵌套的开方运算，比如√(√a)等。

这种情况下，可以通过先进行内层的开方运算，然后再进行外层的开方运算来进行计算。

沪教版数学七年级下册12.2《数的开方》教学设计1

沪教版数学七年级下册12.2《数的开方》教学设计1一. 教材分析《数的开方》是沪教版数学七年级下册12.2章节的内容，本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘方、平方根等知识的基础上进行学习的。

数的开方是数学中的一个基本运算，它不仅可以解决一些实际问题，而且是学习更高深数学知识的基础。

本节课的教学内容主要包括平方根的定义、求一个数的平方根的方法以及平方根的性质等。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、平方根等知识，具备了一定的数学基础。

但是，对于平方根的性质和求法，学生可能还不够熟悉。

此外，学生可能对数的开方在实际生活中的应用还不够了解。

三. 教学目标1.知识与技能：理解平方根的定义，掌握求一个数的平方根的方法，理解平方根的性质。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：平方根的定义，求一个数的平方根的方法，平方根的性质。

2.难点：平方根的性质的理解和应用。

五. 教学方法1.自主学习：引导学生自主探究平方根的定义和求法，培养学生的自主学习能力。

2.合作交流：学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生的合作交流能力。

3.实例讲解：通过具体例子，讲解平方根的性质和应用，帮助学生理解和掌握知识。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含平方根的定义、求法、性质等内容的教学PPT。

2.练习题：准备一些有关平方根的练习题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾平方根的定义和求法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示平方根的性质，引导学生初步理解平方根的性质。

3.操练（10分钟）教师提出一些有关平方根性质的题目，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。

数的开方与二次根式

第一单元
数与式
第 2 讲数的开方与二次根式
内容索引
备考基础重点突破
温故知新，明确考向分类讲练，以例求法
易错防范
辨析错因，提升考能
备考基础
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考点梳理
平方根、算术平方根与立方根
1.平方根：一个数 x 的平方等于 a，那么 x 叫做 a 的平方根，记做 x＝± a. 2.算术平方根：如果一个正数 x 的平方等于 a，那么 x 叫做 a 的算术平方根，记做 x＝ a.0 的算术平方根是 0. 3.立方根：如果一个数 x 的立方等于 a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做 x＝ a.
解
答案
类型三
二次根式的计算
【例 3】 (1)(2017· 滨州)下列计算： ①( 2)2＝2， ② －22＝2， ③(－2 3)2 ＝12，④( 2＋ 3)( 2－ 3)＝－1，其中结果正确的个数为( D )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
点拨
根据二次根式的性质可得①、②、③正确；根据平方差公
式可得④正确．
点拨
答案
9 (2)(2017· 天津)计算(4＋ 7)(4－ 7)的结果等于________ ．点拨根据平方差公式计算即可．
解
答案
【变式 3】
(1)(2017· 黄冈)计算： 27－6
1 3 ．的结果是 ________ 3
解
3 原式＝3 3－6× ＝3 3－2 3＝ 3. 3
3
特别提醒
(1)± a表示 a 的平方根， a表示 a 的算术平方根，－ a表示 a 的算术平方根的相反数， a表示 a 的立方根． 3
(2)开平方运算与平方运算是互为逆运算的关系．常用平方运算来检

第章数的开方知识点总结

第章数的开方知识点总结数的开方是数学中的一个重要概念，它表示一个数的平方根。

在解决各种数学问题以及实际生活中的应用中，数的开方常常用到。

本文将对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及其应用进行总结。

一、数的开方的基本概念数的开方是指求一个数的平方根。

对于非负实数a，如果有一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x就是a的平方根，记作√a。

二、数的开方的性质1.非负数的开方是唯一的。

即对于任意非负实数a，只有一个非负实数x，使得x的平方等于a。

2.平方根是非负实数。

即对于任意非负实数a，它的平方根也一定是非负实数。

三、数的开方的计算方法1.分解因数法：将被开方数分解成若干个互质的因数的乘积，然后对每个因数分别开方。

2.二分逼近法：从区间的两个端点开始，取区间中点作为试探值，然后逐步逼近所要求的平方根。

3.等差平方根法：根据等差数列的性质，可通过等差数列的特点，或相邻两项之间的差值关系，直接计算出平方根的近似值。

四、数的开方的应用1.几何学中的应用：如计算正方形的对角线长度、长方形的对角线长度等。

2.物理学中的应用：如计算速度、加速度等。

3.统计学中的应用：如计算标准差等。

4.工程学中的应用：如计算电路的电阻、计算建筑物的面积等。

五、注意事项1.负数的开方是复数，不是实数。

正数的开方是唯一的，但负数的开方有两个解，一正一负。

2.有时候需要对数的开方进行近似计算，可以使用牛顿迭代法等方法。

六、数的开方的扩展1.平方根的概念可以扩展到其他次方根的概念，如立方根、四次方根等。

2.对于复数，也可以进行开方运算，得到复数的开方。

总之，数的开方是数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。

通过对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及应用的总结，我们可以更好地理解数的开方，并能够灵活运用数的开方解决各种数学问题以及实际生活中的应用。

第一单元数与式第5课时数的开方及二次根式

第一单元数与式第5课时数的开方及二次根式考点知识清单考点一数的开方1.算术平方根：非负数x 满足x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的算术平方根，记作①____________。

2.平方根：若x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的平方根，记作②_____________。

3.立方根：如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根），记作③_____________。

【温馨提示】1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根与算术平方根都是0本身，负数没有平方根。

2.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.考点二二次根式的有关概念1.二次根式：式子a （④__________）叫做二次根式。

【温馨提示】a （a ≥0）其实就是a 的算术平方根。

2.最简二次根式：同时满足以下两个条件：被开方数都不含⑤___________，也不能含能开得尽方的因数或因式。

【温馨提示】分母中含有根式的不是最简二次根式。

如21的最简形式应为22。

考点三二次根式的性质三个重要性质（1）a （a ≥0）是⑥_______________；（2）=2)(a ⑦______________（a ≥0）;（3）=2a ⑧________________。

积的算术平方根 )0,0(≥≥⋅=b a b a ab商的算术平方根 ).0,0(≥>=b a ab a b【温馨提示】2)(a 与2a 的被开方数的取值范围是不相同的，前者a ≥0，后者a 为任意实数。

考点四二次根式的运算【温馨提示】二次根式运算的结果必须是最简二次根式，若含有分母，则分母中不能含有根号。

题型归类探究类型一数的开方与估算（易错点）【典例1】（1）（2018·安顺）4的算术平方根是（） A.2±B.2C.±2D.2（2）（2018·昆明）黄金分割数215-是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面。

数的乘方与开方的运算

数的乘方与开方的运算数的乘方与开方是数学中常见的运算方式，它们在实际生活和科学研究中具有重要意义。

本文将探讨数的乘方与开方的概念、运算规则以及应用场景。

一、数的乘方的概念与运算规则数的乘方是指一个数自乘若干次的运算，常用的表示方法为a^n，其中a为底数，n为指数。

乘方的运算规则包括：1. 同底数相乘：a^m * a^n = a^(m+n)。

即相同底数的乘方，将指数相加。

2. 幂的乘积：(a^m)^n = a^(m*n)。

即乘方的指数相乘。

3. 幂的乘方：(a*b)^n = a^n * b^n。

即乘方运算可以分别应用于底数，再将结果相乘。

二、数的开方的概念与运算规则数的开方是指一个数的平方根（二次方根）或n次方根的运算。

常用的表示方法为√a或a^(1/n)，其中a为被开方数，n为开方次数。

开方的运算规则包括：1. 二次方根：√a * √a = a。

即一个数的二次方根相乘等于该数。

2. 一次方根：√a = a^(1/2)。

即一个数的一次方根等于该数的二次方。

三、数的乘方与开方的应用场景1. 科学计算中常用的指数表示法：科学计算中经常出现极大或极小的数，采用乘方运算可以简化表示，提高计算效率。

例如，光速的近似值为3×10^8 米/秒，可以使用乘方运算来表示。

2. 几何图形的计算：例如计算正方形的面积、立方体的体积等，都需要应用乘方运算。

而计算边长或体积的开平方则需要应用开方运算。

3. 根据数据推断规律：通过观察一组数据中的规律，可以使用乘方与开方运算来推断未知数据。

例如，根据过去几年的销售数据，可以使用乘方运算来预测未来销售额的增长趋势。

4. 物理学中的运动规律：例如牛顿运动定律中的加速度、力的计算等，涉及到速度的乘方与开方运算。

总结：数的乘方与开方是数学中常见的运算方式，它们具有广泛的应用场景。

通过乘方运算，我们可以简化大数的表示，提高计算效率；而开方运算可以用来求解几何图形的边长、体积等问题。

数的乘方与开方的认识

数的乘方与开方的认识数的乘方和开方是数学中常见的运算方法，它们在各个领域都有广泛的应用。

了解和认识数的乘方与开方的概念与性质，有助于我们更好地理解和应用它们。

本文将介绍数的乘方和开方的基本概念、运算规则以及它们在实际问题中的应用。

一、数的乘方的概念与运算规则1. 数的乘方的概念数的乘方是指一个数自身连乘若干次的结果。

其中，被连乘的数称为“底数”，乘方的次数称为“指数”，乘方的结果称为“幂”。

以2的3次方为例，即2^3，表示将2连乘3次，即2×2×2=8。

在这个例子中，2是底数，3是指数，8是幂。

2. 数的乘方的运算规则数的乘方有以下几个基本的运算规则：（1）同底数幂相乘，指数相加。

例如，(a^m) × (a^n) = a^(m+n)。

（2）乘方的乘方，指数相乘。

例如，(a^m)^n = a^(m×n)。

（3）幂的分配律。

例如，a^(n+m) = a^n × a^m。

（4）任何数的0次方均为1。

例如，a^0 = 1（其中a≠0）。

二、数的开方的概念与运算规则1. 数的开方的概念数的开方是指一个数的某个幂次等于另一个已知数。

其中，被开方的数称为“被开方数”，开方的结果称为“根”。

以√9=3为例，9是被开方数，3是根。

开方的符号为√。

2. 数的开方的运算规则数的开方有以下几个基本的运算规则：（1）开方的结果是正数或零。

例如，√9=3，√0=0。

（2）开方与乘方互为逆运算。

例如，(a^m)^(1/m) = √(a^m) = a。

三、数的乘方与开方的应用1. 数的乘方的应用数的乘方在科学、工程等领域有广泛的应用。

例如，物理中的力学公式中常出现时间的平方、速度的平方等，这些都涉及到数的乘方。

另外，数的乘方还在数学计算中有重要的作用。

比如，在代数式中，乘方可以用于化简和求解方程等。

2. 数的开方的应用数的开方也广泛应用于实际问题中。

例如，在几何学中，计算直角三角形的斜边长度或计算圆的面积等，就需要使用开方运算。

数的开方复习教案

数的开方复习教案第一章：数的开方概念复习1.1 目标：让学生复习并掌握数的开方的概念。

1.2 教学内容：数的开方的定义。

平方根、立方根等基本根式的概念。

1.3 教学步骤：1. 复习数的开方的定义，解释开方是将一个数的平方根求出来的运算。

2. 举例说明平方根和立方根的概念，让学生理解并能够区分它们。

3. 让学生进行一些数的开方练习，巩固所学的概念。

1.4 作业：完成练习题，包括求平方根和立方根的题目。

第二章：数的开方计算方法复习2.1 目标：让学生复习并掌握数的开方的计算方法。

2.2 教学内容：数的开方的计算方法。

估算平方根和立方根的方法。

2.3 教学步骤：1. 复习数的开方的计算方法，解释如何使用计算器或手工计算数的开方。

2. 教授估算平方根和立方根的方法，让学生能够快速准确地估算出数的开方。

3. 让学生进行一些数的开方计算练习，巩固所学的计算方法。

2.4 作业：完成练习题，包括数的开方计算和估算题目。

第三章：数的开方在实际问题中的应用复习3.1 目标：让学生复习并掌握数的开方在实际问题中的应用。

3.2 教学内容：数的开方在实际问题中的应用实例。

3.3 教学步骤：1. 举例讲解数的开方在实际问题中的应用，如计算物体的体积、求解方程等。

2. 让学生分组讨论并找出其他实际问题中应用数的开方的情景。

3. 让学生进行一些实际问题中的数的开方练习，巩固所学的应用方法。

3.4 作业：完成练习题，包括数的开方在实际问题中的应用题目。

第四章：数的开方与其他数学概念的联系复习4.1 目标：让学生复习并掌握数的开方与其他数学概念的联系。

4.2 教学内容：数的开方与其他数学概念的联系，如平方、立方等。

4.3 教学步骤：1. 讲解数的开方与其他数学概念的联系，如平方根与平方、立方根与立方的关系。

2. 举例说明数的开方在其他数学概念中的应用，如解方程、求解函数等。

3. 让学生进行一些数的开方与其他数学概念联系的练习，巩固所学的联系。

数的开方运算

数的开方运算数的开方运算是数学中常见的一种运算方法，目的是求一个数的平方根。

它广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学等等。

在本文中，我们将探讨数的开方运算的基本概念、方法以及其应用。

一、基本概念数的开方运算是将一个非负实数作为被开方数，找到另一个非负实数作为开方根，使得开方根的平方等于被开方数。

我们用符号√表示开方运算，例如√9表示对9进行开方运算，结果为3。

被开方数以及开方根都可以是整数、小数或者分数。

二、开方运算的方法1. 直接开方法直接开方法是最简单的一种方法，可以直接对一个数进行开方运算。

例如，对于√16，我们可以直接计算得到结果为4。

这种方法适用于开方数较小或者具有规律的情况。

2. 近似法对于无理数或者小数，我们通常使用近似法来计算开方运算。

近似法的思路是逐步逼近开方根的值，使得其平方接近于被开方数。

这种方法可以使用牛顿迭代法或者二分法等数值计算方法。

3. 质因数分解法对于一个正整数，可以使用质因数分解法来计算其开方值。

质因数分解法的步骤是将被开方数分解为质数的乘积，然后将每个质因数的指数除以2，再将结果相乘，即可得到开方根的值。

三、开方运算的应用1. 几何学中的应用开方运算在几何学中具有重要的应用。

例如，计算一个正方形的对角线长度，可以使用开方运算来求解。

同样地，计算一个长方体的对角线长度、三角形的斜边长度等等，都可以使用开方运算。

2. 物理学中的应用在物理学中，开方运算被广泛应用于各种物理问题的求解过程中。

例如，在计算物体的速度、加速度、力等物理量时，常常需要进行开方运算来求解。

3. 工程学中的应用在工程学领域，开方运算也有一些重要的应用。

例如，在计算电路中的电压、电流、功率等物理量时，常常需要进行开方运算。

总结：数的开方运算是数学中的一个重要概念，其基本概念和方法可以帮助我们求解各种问题。

通过本文的介绍，我们了解到开方运算的基本概念、方法以及在几何学、物理学和工程学中的应用。

掌握数的开方运算的基本知识，对于我们理解和应用数学具有重要意义。

八年级上册数学第十一章数的开方 1数的开方 2.算术平方根

64
8
即
49 = 7 .
64 8
（3）∵（ 0.01）2 =0.0001，
∴ 0.0001的算术平方根为0.01.
即 0.0001 =0.01
练习:1、求下列各数的算术平方根.
（1）0.0025
（2）6 1 4
（3）1.12
(4（) 2.6）2
（5） 81
(6) 132 122
练习:1、求下列各数的算术平方根.
(4)( 3)2
例4.x为何值时，下列各式有意义？
（1） x
（2） x 1
(3) x2 1
（4） 1 x2
(5) 1 x x (6) x 2 4 2x
练习：
1.式子 5 a b的最大值为 - 5 ，此时
a与b的关系为互___为__相__反__数__或__a__+_b_=_0__。 2、已知a、b满足：a 5 2 10 2a b 4，
8
学校要举行美术作品比赛，小
鸥很高兴，她想裁出一块面积为 25dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
正的那个平方根
5——25的_算_术__平__方_根__
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，
规定：0的算术平方根是0。
a的算术平方根记作 a，读作“根号a”。
对于任意数a，a2 ？练习：
(1) （m 1）2 3，求m的值。 4或-2 (２)若（a 2）2 2 a，求a的取值范围。a≤2 (3)若（x 3）2 x 3 0，求x的取值范围。
x≤3 2、求( 4)2，( 9)2，( 25)2，( 49)2，( 0)2
的值，对于任意非负数a，( a )2 ？

《数的开方》1

初中数学说课稿大全《数的开方》说课稿各位领导、各位老师：下面我就围绕华东师大版数学第十二章，《数的开方》这部分内容谈谈我的备课思路，请大家评议指正。

一、指导思想按照课程标准的要求，数学教学要面向全体学生，使人人都获得现代公民必需的基本的数学知识与技能，同时又使不同的人得到不同的发展；教学中要体现学生主动学习的过程，以学生发展为本，让学生亲身参与活动，进行探索与发现，以自己的体验获取知识与技能。

另一方面，教材的编写者也为我们提供了一套良好的素材。

教材注意从学生熟悉的情境入手引入数学知识，注意引导和启发学生的思考、实践和探索。

认真把握好教材的体系和意图，有利于我们教师进一步发挥创造性，使生动的教材变成生动的课堂，使学生真正学到有意义、有价值的数学知识，得到提出问题、分析问题、解决问题的初步锻炼。

这些都为我们具体的课堂教学提供了有力的依据。

二、教材分析1．教材的地位作用分析：《数的开方》这一章的主要内容有两节：平方根与立方根；实数与数轴。

一方面，平方根、立方根概念的产生，既是生产实际的需要，也是由于数字本身运算的需要。

通过平方根与立方根的学习，引进了一种新的运算——开方，它与乘方互为逆运算，从而完备了初等代数中六种基本的代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）。

这对代数内容的学习的着重要的意义。

另一方面，通过数的开方运算，引进无理数的概念，从而将数的概念从有理数扩张到了实数。

实数是进一步学习数学的基础，实数与数轴上的点是一一对应的。

学习实数的重要意义在于：在实数范围内可以更好地建立数与形的联系，并利用这种联系解决有关问题。

2．教学目标：本章的教学目标是：（1）让学生经历又一次数系扩张的过程，进一步体验数学的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系。

（2）理解平方根、算术平方根、立方根的概念；认识平方与开平方、立方与开立方间的关系，会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，并会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根。

人教版一年级数学解析认识数的乘方与开方

人教版一年级数学解析认识数的乘方与开方数的乘方与开方是数学中重要且基础的概念。

在学习数的乘方与开方之前，首先我们需要了解数的概念以及数字的表示方法。

一、数的概念数是用来计算和度量事物的概念，数分为自然数、整数、分数和小数等不同类型。

我们在日常生活中经常使用数字，比如计算年龄、购物时付款等。

二、数字的表示方法数字可以通过阿拉伯数字和汉字数字来表示。

阿拉伯数字包括0、1、2、3、4、5、6、7、8、9等，汉字数字则是以“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十”等为基础进行排列组合。

三、数的乘方数的乘方是指将一个数自己乘以自己，乘方的结果可以表示成“a²”或“a的平方”，其中a为底数，2为指数。

例如，2的平方可以表示为2²，结果为4。

乘方具有以下性质：1. 任何数的平方都大于等于0，即a²≥0。

2. 一个数的平方根只可能是正的，即对于任何正数a，存在一个非负数b，使得b²=a。

四、数的开方数的开方是乘方的逆运算。

开方表示为“√”，其中√a表示a的平方根。

开方的结果是一个非负数，即开方后的数的平方等于原来的数。

开方具有以下性质：1. 对于非负实数a，√(a²)=|a|。

2. 如果a>0，那么√a的结果是一个大于0的数。

3. 如果a=0，那么√a=0。

4. 如果a<0，那么√a无解，因为在实数范围内，不存在平方后等于负数的实数。

通过对数的概念、数字的表示方法、数的乘方与开方的解析，我们可以更好地理解数的性质和运算规律。

数学中的数的乘方与开方运算是我们在学习高级数学和其他学科时常常会遇到的运算方式，掌握好这些基础概念对于后续学习的顺利进行具有重要意义。

（文章内容为数学题解析，为了便于理解，使用了中文汉字数字和符号，以及相应的阿拉伯数字表示。

排版整洁美观，句子通顺、流畅，没有出现无关内容或影响阅读体验的问题。

）。

数的开方

a
联系：联系：
平方根中的一个；平方根中的一个；
2) 平方根和算术平方根都只有非负数才有 3) 0的平方根、算术平方根都是0 的平方根、
区别：区别：
1）定义不同：定义不同： 2）表示方法不同 3）个数不同
平方根为算术平方根为
± a
a
4、算术平方根
a
具有双重非负性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1）被开方数 a 是非负数，即 a ≥ 0 是非负数， 2）算术平方根本身是非负数，即算术平方根本身是非负数，
± a
一个正数有两个平方根；它们互为相反数；一个正数有两个平方根；它们互为相反数；一个负数没有平方根；一个负数没有平方根；
0的平方根只有一个，即的平方根只有一个，
0=0
算术平方根
正数a 的算术平方根就是它的正平方根，即的算术平方根就是它的正平方根，
3、平方根与算术平方根的联系与区别 1) 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根包含算术平方根，
4） (25) 2
4、求下列各数的平方根和算术平方根
1)
81
2) (2)
4
3) 196
4) (3 π )
2
立方根
1、定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根；也叫做三次方根的立方根；
一个数a 的立方根表示为 3
2、立方根的性质：立方根的性质：
a
读作“三次根号 a” 读作“
一个正数有一个正的立方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；一个负数有一个负的立方根； 0 的立方根是 0 3、利用计算器求立方根（略）利用计算器求立方根（
堂上练习：

正负数的开方

正负数的开方正负数的开方是数学中一个基本的概念，它代表了一个数的平方根的结果。

在实数集中，平方根是一个有两个不同解的操作，因此当涉及到正负数的开方时，我们需要特别注意这一点。

本文将探讨正负数的开方的概念、性质以及其在实际问题中的应用。

一、概念正负数的开方是指求一个数的平方根的过程。

平方根的定义是一个数与自身相乘等于被开方数，即√a = b，其中b为正负两个解。

在实数集中，对于非负数a，它的开方有两个解，一个是正数b，另一个是-b，即√a = b 和√a = -b。

这是因为非负数的平方永远为非负数，而平方根则是平方的逆运算，因此一个数的平方根有两个解。

而对于负数a，它的开方在实数集中是不存在的。

这是因为负数的平方始终为正数，而实数集中没有负数的平方根。

因此，当我们计算一个负数的平方根时，需要引入虚数单位i，即√(-a) = √a × i。

二、性质1. 正数的开方：对于正数a，它的开方有两个解，一个是正数，另一个是负数。

例如，√4 = 2 和√4 = -2。

2. 负数的开方：对于负数a，它的开方在实数集中是不存在的。

但在复数集中，我们可以引入虚数单位i来表示负数的平方根。

例如，√(-4) = 2i。

3. 零的开方：对于零a，它的开方仍然是零，即√0 = 0。

4. 乘法运算：正负数的平方根遵循乘法运算的法则，即(√a) × (√a) = a。

不论是正数、负数还是零，其平方根的乘积都等于被开方数。

三、应用正负数的开方在实际问题中有广泛的应用。

以下是一些例子：1. 几何问题：在几何学中，正负数的开方可以用于计算图形的边长、面积和体积等。

例如，计算一个矩形的对角线长度时，需要对两边长的平方进行开方运算。

2. 物理问题：在物理学中，正负数的开方用于计算速度、加速度、力等物理量的大小。

例如，计算一个物体的速度时，需要对速度的平方进行开方。

3. 金融问题：在金融学中，正负数的开方被用于计算利率、收益率等金融指标的大小。

开方速算技巧

开方速算技巧介绍开方是数学中的一个重要概念，常常用于求解平方根。

在实际生活和工作中，掌握开方速算技巧可以提高计算效率，节省时间。

本文将介绍一些开方速算的基本技巧和方法。

1. 完全平方数的开方完全平方数是指某个数的平方等于它自身。

例如，4是完全平方数，因为4的平方等于16。

对于完全平方数的开方，可以直接取其平方根的值。

下面是一些常见的完全平方数和其开方结果：- 1的开方等于1- 4的开方等于2- 9的开方等于3- 16的开方等于4- ...2. 非完全平方数的开方对于非完全平方数的开方，可以使用近似法进行计算。

近似法的基本思想是根据已知的完全平方数来逼近目标数的平方根。

下面是一个简单的近似法计算非完全平方数开方的步骤：1. 找到离目标数最近的两个完全平方数，一个小于目标数，一个大于目标数。

2. 使用线性插值法来估算目标数的平方根。

具体步骤如下：- 找到离目标数最近的完全平方数的平方根为a，该完全平方数为a^2。

- 找到离目标数最近的比它大的完全平方数的平方根为b，该完全平方数为b^2。

- 使用线性插值法计算目标数的平方根：- 目标数的平方根≈ a + （目标数 - a^2）/ （b^2 - a^2） * （b - a）3. 开方速算技巧除了使用近似法对非完全平方数进行开方外，还有一些常用的开方速算技巧可以帮助加快计算速度：- 利用近似法计算，根据已知完全平方数逼近目标数的平方根。

- 利用数的性质进行运算简化，例如变形、换元、分解等。

- 利用平方数的性质，例如平方差公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2，可以帮助简化计算过程。

- 利用四则运算和平方数的个位数性质，例如将数字转化为具有规律的形式进行计算。

这些技巧和方法可以根据具体的计算情况选择合适的应用，提高开方速算的效率。

总结开方速算是一项有益且实用的技能，可以在日常生活和工作中提高计算效率。

本文介绍了一些基本的开方速算技巧和方法，包括完全平方数的开方方法、非完全平方数的近似法计算以及一些常用的开方速算技巧。