1 数的开方
1数的开方(一)平方根
数的开方（一）平方根【知识要点】1．平方根的概念如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 叫做a 的平方根，也叫二次方根。
即若()20x a a =≥，则x 就称为a 的平方根。
2．平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②零有一个平方根，它是零本身；③负数没有平方根。
3．平方根的表示方法：一个正数a a 叫做被开方数，2叫做根指数；正数a 的负平方根用符号“2时，通常略去不写，所以这两个平方根记作4．算术平方根：正数a 的正的平方根，也叫做a 0a >），0的平方根叫做0的算术平方根。
因此，0的算术平方根为00=。
5．平方根的求法：①利用定义；②利用计算器；③利用估算法。
6．开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。
7．开平方的小数点移动规律：如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
【典型例题】例1 ∵()20.30.09= ∴（ ）A ．0.090.3是的平方根；B ．0.090.3是的3倍；C ．0.30.09是的一个平方根；D ．0.09的平方根是0.3。
例2 求下列各数的平方根：196169，()25-，24125，0.0256。
例3 （1）81的平方根是 ，算术平方根是 ；（2）2)4(-的平方根是 ，算术平方根是 ；（3）（-2．345）2的平方根是 ，算术平方根是 。
例4 （1）122++x x 的平方根为（ ）A ．没有平方根B ．(1)x ±+C ．0D ．1（2）1412-+-x x 的平方根为（ ） A ．)2(21-±x B ．没有平方根 C ．0或没有平方根 D ．0 （3）一个自然数的一个平方根是m -，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ）A ．1+mB ．12+mC ．1+±m D ．12+±m① 求236和00236.0的值；② 若x =0．4858，求x 的值；③ 若1536106=⨯a ，求a 的值。
1数的开方(基础)
让更多的孩子得到更好的教育 数的开方——平方根、立方根和实数（基础)
1. 在实数－23，0，3，－3.1415，2
π，9，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0） 这8个实数中，无理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2．估计10的值在（ ）A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间
3.在三个数0.5、、中，最大的数是( )
A ．0.5
B ．
C ．
D ．不能确定 4．是的平方根，是64的立方根，则＝（ ）
A. 3
B. 7 C ．3，7 D. 1，7
二、填空题
5． ()0201112=-++y x 则x y = . 6． 的整数部分是________．
7．若22+-b a 与互为相反数，则a+b 的值为________．
8．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是1，则
2m cd m
b a +-+的值为________． 9. 的平方根是______；0.0001算术平方根是______；0的平方根是______．
10．
的算术平方根是______；的算术平方根的相反数是______．
11．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______．
12．表示3的______；表示3的______．
13．求下列各式中的．
（1）
； （2）；
14.已知
求的值．。
有关开方的知识点总结
有关开方的知识点总结开方的定义很简单：如果一个数x的平方等于另一个数y，那么y就是x的平方根。
符号√表示开方，可以理解为“根号”。
比如√9=3，因为3的平方是9。
有时候为了避免歧义，需要在根号下面加上一个正号或者负号，表示正根和负根。
开方的运算规则也很简单，主要有以下几点：1. 正数的开方对于正数来说，它的开方有且只有一个正解。
比如√9=3，因为3的平方是9。
任何一个正数都有一个正的平方根。
2. 负数的开方对于负数来说，它的开方有两个解，一个正数和一个负数。
比如√16=4或者-4，因为4的平方是16，同时-4的平方也是16。
在实际应用中，通常只考虑正数的解。
3. 0的开方0的开方是0，因为0的平方也是0。
这个特殊情况在数学中经常会用到。
开方的运算方法也有多种。
一般来说，可以用牛顿迭代法、二分查找等方法来计算。
对于大型数字或者小数，一般会使用计算器或者电脑来进行开方运算。
在实际应用中，开方经常会用到。
比如在几何学中，计算直角三角形的斜边长度、圆的半径等。
在物理学中，计算速度、加速度等也会用到开方。
在工程学中，计算电路中的电压、电流等也用到开方。
在金融学中，计算利率、贷款等也会用到开方。
开方还有一些重要的性质，比如：1. 开方的运算顺序开方和其他的运算符有不同的优先级。
一般来说，先进行括号内的运算，然后进行乘除法、最后进行加减法。
如果有多个开方运算符，一般从左往右进行计算。
2. 开方的乘法法则(√a) * (√b) = √(a * b)。
也就是说，两个数的开方的乘积等于这两个数的乘积的开方。
3. 开方的除法法则(√a) / (√b) = √(a / b)。
也就是说，一个数的开方除以另一个数的开方等于这两个数的商的开方。
4. 开方的加法法则√a + √b ≠ √(a + b)。
开方是无法直接进行加法运算的。
5. 开方的多重嵌套可以进行多重嵌套的开方运算，比如√(√a)等。
这种情况下，可以通过先进行内层的开方运算，然后再进行外层的开方运算来进行计算。
沪教版数学七年级下册12.2《数的开方》教学设计1
沪教版数学七年级下册12.2《数的开方》教学设计1一. 教材分析《数的开方》是沪教版数学七年级下册12.2章节的内容，本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘方、平方根等知识的基础上进行学习的。
数的开方是数学中的一个基本运算，它不仅可以解决一些实际问题，而且是学习更高深数学知识的基础。
本节课的教学内容主要包括平方根的定义、求一个数的平方根的方法以及平方根的性质等。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、平方根等知识，具备了一定的数学基础。
但是，对于平方根的性质和求法，学生可能还不够熟悉。
此外，学生可能对数的开方在实际生活中的应用还不够了解。
三. 教学目标1.知识与技能：理解平方根的定义，掌握求一个数的平方根的方法，理解平方根的性质。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：平方根的定义，求一个数的平方根的方法，平方根的性质。
2.难点：平方根的性质的理解和应用。
五. 教学方法1.自主学习：引导学生自主探究平方根的定义和求法，培养学生的自主学习能力。
2.合作交流：学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生的合作交流能力。
3.实例讲解：通过具体例子，讲解平方根的性质和应用，帮助学生理解和掌握知识。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含平方根的定义、求法、性质等内容的教学PPT。
2.练习题：准备一些有关平方根的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾平方根的定义和求法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示平方根的性质，引导学生初步理解平方根的性质。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关平方根性质的题目，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
数的开方与二次根式
数与式
第 2 讲 数的开方与二次根式
内容 索引
备考基础 重点突破
温故知新，明确考向 分类讲练，以例求法
易错防范
辨析错因，提升考能
备考基础
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考点梳理
平方根、算术平方根与立方根
1.平方根： 一个数 x 的 平方等于 a， 那么 x 叫做 a 的平方根， 记做 x＝± a. 2.算术平方根：如果一个正数 x 的平方 等于 a，那么 x 叫做 a 的算术平 方根，记做 x＝ a.0 的算术平方根是 0. 3.立方根：如果一个数 x 的 立方等于 a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做 x＝ a.
解
答案
类型三
二次根式的计算
【例 3】 (1)(2017· 滨州)下列计算： ①( 2)2＝2， ② －22＝2， ③(－2 3)2 ＝12，④( 2＋ 3)( 2－ 3)＝－1，其中结果正确的个数为( D )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
点拨
根据二次根式的性质可得①、②、③正确；根据平方差公
式可得④正确．
点拨
答案
9 (2)(2017· 天津)计算(4＋ 7)(4－ 7)的结果等于________ ． 点拨 根据平方差公式计算即可．
解
答案
【变式 3】
(1)(2017· 黄冈)计算： 27－6
1 3 ． 的结果是 ________ 3
解
3 原式＝3 3－6× ＝3 3－2 3＝ 3. 3
3
特别提醒
(1)± a表示 a 的平方根， a表示 a 的算术平方根，－ a表示 a 的算术 平方根的相反数， a表示 a 的立方根． 3
(2)开平方运算与平方运算是互为逆运算的关系．常用平方运算来检
第章数的开方知识点总结
第章数的开方知识点总结数的开方是数学中的一个重要概念，它表示一个数的平方根。
在解决各种数学问题以及实际生活中的应用中，数的开方常常用到。
本文将对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及其应用进行总结。
一、数的开方的基本概念数的开方是指求一个数的平方根。
对于非负实数a，如果有一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x就是a的平方根，记作√a。
二、数的开方的性质1.非负数的开方是唯一的。
即对于任意非负实数a，只有一个非负实数x，使得x的平方等于a。
2.平方根是非负实数。
即对于任意非负实数a，它的平方根也一定是非负实数。
三、数的开方的计算方法1.分解因数法：将被开方数分解成若干个互质的因数的乘积，然后对每个因数分别开方。
2.二分逼近法：从区间的两个端点开始，取区间中点作为试探值，然后逐步逼近所要求的平方根。
3.等差平方根法：根据等差数列的性质，可通过等差数列的特点，或相邻两项之间的差值关系，直接计算出平方根的近似值。
四、数的开方的应用1.几何学中的应用：如计算正方形的对角线长度、长方形的对角线长度等。
2.物理学中的应用：如计算速度、加速度等。
3.统计学中的应用：如计算标准差等。
4.工程学中的应用：如计算电路的电阻、计算建筑物的面积等。
五、注意事项1.负数的开方是复数，不是实数。
正数的开方是唯一的，但负数的开方有两个解，一正一负。
2.有时候需要对数的开方进行近似计算，可以使用牛顿迭代法等方法。
六、数的开方的扩展1.平方根的概念可以扩展到其他次方根的概念，如立方根、四次方根等。
2.对于复数，也可以进行开方运算，得到复数的开方。
总之，数的开方是数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。
通过对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及应用的总结，我们可以更好地理解数的开方，并能够灵活运用数的开方解决各种数学问题以及实际生活中的应用。
第一单元 数与式 第5课时 数的开方及二次根式
第一单元 数与式第5课时 数的开方及二次根式考点知识清单考点一 数的开方1.算术平方根：非负数x 满足x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的算术平方根，记作①____________。
2.平方根：若x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的平方根，记作②_____________。
3.立方根：如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根），记作③_____________。
【温馨提示】1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根与算术平方根都是0本身，负数没有平方根。
2.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.考点二 二次根式的有关概念1.二次根式：式子a （④__________）叫做二次根式。
【温馨提示】a （a ≥0）其实就是a 的算术平方根。
2.最简二次根式：同时满足以下两个条件：被开方数都不含⑤___________，也不能含能开得尽方的因数或因式。
【温馨提示】分母中含有根式的不是最简二次根式。
如21的最简形式应为22。
考点三 二次根式的性质三个重要性质（1）a （a ≥0）是⑥_______________；（2）=2)(a ⑦______________（a ≥0）;（3）=2a ⑧________________。
积的算术平方根 )0,0(≥≥⋅=b a b a ab商的算术平方根 ).0,0(≥>=b a ab a b【温馨提示】2)(a 与2a 的被开方数的取值范围是不相同的，前者a ≥0，后者a 为任意实数。
考点四 二次根式的运算【温馨提示】二次根式运算的结果必须是最简二次根式，若含有分母，则分母中不能含有根号。
题型归类探究类型一 数的开方与估算（易错点）【典例1】（1）（2018·安顺）4的算术平方根是（ ） A.2±B.2C.±2D.2（2）（2018·昆明）黄金分割数215-是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面。
数的乘方与开方的运算
数的乘方与开方的运算数的乘方与开方是数学中常见的运算方式，它们在实际生活和科学研究中具有重要意义。
本文将探讨数的乘方与开方的概念、运算规则以及应用场景。
一、数的乘方的概念与运算规则数的乘方是指一个数自乘若干次的运算，常用的表示方法为a^n，其中a为底数，n为指数。
乘方的运算规则包括：1. 同底数相乘：a^m * a^n = a^(m+n)。
即相同底数的乘方，将指数相加。
2. 幂的乘积：(a^m)^n = a^(m*n)。
即乘方的指数相乘。
3. 幂的乘方：(a*b)^n = a^n * b^n。
即乘方运算可以分别应用于底数，再将结果相乘。
二、数的开方的概念与运算规则数的开方是指一个数的平方根（二次方根）或n次方根的运算。
常用的表示方法为√a或a^(1/n)，其中a为被开方数，n为开方次数。
开方的运算规则包括：1. 二次方根：√a * √a = a。
即一个数的二次方根相乘等于该数。
2. 一次方根：√a = a^(1/2)。
即一个数的一次方根等于该数的二次方。
三、数的乘方与开方的应用场景1. 科学计算中常用的指数表示法：科学计算中经常出现极大或极小的数，采用乘方运算可以简化表示，提高计算效率。
例如，光速的近似值为3×10^8 米/秒，可以使用乘方运算来表示。
2. 几何图形的计算：例如计算正方形的面积、立方体的体积等，都需要应用乘方运算。
而计算边长或体积的开平方则需要应用开方运算。
3. 根据数据推断规律：通过观察一组数据中的规律，可以使用乘方与开方运算来推断未知数据。
例如，根据过去几年的销售数据，可以使用乘方运算来预测未来销售额的增长趋势。
4. 物理学中的运动规律：例如牛顿运动定律中的加速度、力的计算等，涉及到速度的乘方与开方运算。
总结：数的乘方与开方是数学中常见的运算方式，它们具有广泛的应用场景。
通过乘方运算，我们可以简化大数的表示，提高计算效率；而开方运算可以用来求解几何图形的边长、体积等问题。
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数的开方
问题一： 请同学们回忆一下，已知正方形的边长，如何求出正方形的面积？
如果正方形的边长为2，正
方形的面积是多少？
求出正方形的边长吗？
1．已知正方形的面积为
25cm 2，正方形的边长是多少？
你能求出来吗？
2．已知正方形的面积为a ，
正方形的边长是多少？结合前
一个问题说说如何求？
设正方形的边长是x ，试写出x 与a 的关系式．
把问题的实质表述出来．
问题四： 上面两个问题中，我们对“求出的数”给出一个称呼：
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．
1．求一个数，这个数的平方等于25． 2．求一个数，这个数的平方等于a ． 正方形的边长是x ，它的面积为x 2， 已知正方形的面积为a ，
∴ x 与a 的关系式是 x 2＝a ． 正方形的面积为：边长×边长．
∵ 5×5＝25，即52＝25， ∴ 正方形的边长是5cm ．
正方形面积为：边长×边长．
∵ 2×2＝4， ∴ 正方形的面积是4cm 2．
例如，5叫做25的平方根；
x叫做a的平方根．
事实上，平方根的定义隐含着数学方法：
平方根的定义
给出了求一个数的平方根的方法．。