第13讲函数的应用
第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)
第13讲 函数与导数之导数及其应用一． 基础知识回顾1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ．(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ．3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ．4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上，f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为 函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为 函数．6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ．7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二．典例精析探究点一：导数的运算例1：求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .原函数 导函数 f (x )＝C f ′(x )＝ f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝ (α∈Q *) F (x )＝sin x f ′(x )＝ F (x )＝cos x f ′(x )＝ f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝ (a >0，a ≠1) f (x )＝e x f ′(x )＝ f (x )＝log a x (a >0，a ≠1，且x >0) f ′(x )＝ (a >0，a ≠1，且x >0) f (x )＝ln x f ′(x )＝变式迁移1：求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (3)y ＝ln x x 2＋1.探究点二：导数的几何意义例2：已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移2：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．探究点三：函数的单调性例3：已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；变式迁移3：已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．探究点四：函数的极值例4：若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．变式迁移4：设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值； (2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点五：求闭区间上函数的最值例5：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移5：已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式； (2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．三．方法规律总结1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧．2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．3．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．4．可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x 0一定满足f ′(x 0)＝0，但当f ′(x 1)＝0时，x 1不一定是极值点．如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．5．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．6．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．四．课后作业设计1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx 为 ( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx －2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =( )A ．64B ．32C ．16D ．83．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是 ( )A ．－ln 22B ．－ln 2 C.ln 22D ．ln 2 4．已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则0lim →∆x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值为 ( ) A ．10 B ．－10 C ．－20 D ．205．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是 ( )A.⎝⎛⎭⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(2,3) 6．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 ( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝07．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有 ( C )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )8.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <110．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥32 B ．m >32 C ．m ≤32 D ．m <3211．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 12．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1，x 2 (x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|恒成立”的只有 ( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝|x |C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝x 2 13．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论：①函数f (x )在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值；④函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)．则正确命题的序号是②④．(填上所有正确命题的序号)．14．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为 ．15．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝ 16．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为17．设点P 是曲线y ＝x 33－x 2－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是18．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．19．已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )．(1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值．20．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．21.已知函数f (x )＝12(1＋x )2－ln(1＋x )．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[1e－1，e －1]时，f (x )<m 恒成立，求m 的取值范围．。
第十三讲反比例函数详解
第十三讲 反比例函数第一部分 知识梳理一、反比例函数的解析式1．反比例函数的概念一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。
自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
二、反比例函数的图像及性质1．反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2．反比例函数的性质3．反比例函数中反比例系数的几何意义(如图)面积为k 。
连接该点和原点，所得三三角形（如图）的面积m 的值D ．21-〖选题意图〗对于反比例函数)0(≠=k xky 。
由于11-=x x ，所以反比例函数也可以写成1-=x y （k 是常数，k ≠0）的形式，有时也以xy=k （k 是常数，k ≠0）的形式出现。
（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。
〖解题思路〗根据反比例函数的定义m 2﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．〖参考答案〗解：∵函数()521-+=m xm y 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，∴⎩⎨⎧+-=-01152＜m m ，解得m =±2且m ＜﹣1，∴m =﹣2．故选B ．【课堂训练题】1．已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x =1时，y =﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式． 〖难度分级〗A 类〖参考答案〗解：设y 1=k 1x （k 1≠0），y 2=错误！未找到引用源。
2015中考夺分自主复习课件_第13讲二次函数的应用(35张PPT)
图 13－1
第13讲┃ 二次函数的应用
【归纳总结】
1．抛物线与 x 轴的交点和一元二次方程的根之间的关 系： 如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有公共点，公共点的 横坐标即为方程___________ ax2＋bx＋c＝0 _的解． 2．由抛物线与 x 轴的位置关系判断一元二次方程的根 的情况： (1)当抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有两个交点时，方程 两个不相等的 ax2＋bx＋c＝0 有_______ _____实数根； (2)当抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有一个交点时，方程 两个相等的 实数根； ax2＋bx＋c＝0 有____________ (3)当抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴无交点时，方程 ax2 没有 实数根． ＋bx＋c＝0________ 第13讲┃ 二次函数的应用
第13讲┃ 二次函数的应用
解：(1)y＝[6＋2(x－1)]×[95－5(x－1)]， 整理，得 y＝－10x2＋180x＋400(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)． (2)由－10x2＋180x＋400＝1120， 化简，得 x2－18x＋72＝0. 配方，得(x－9)2＝9， 解得 x1＝6，x2＝12(不合题意，舍去)． 所以该产品为第 6 档次的产品．
2
第13讲┃ 二次函数的应用
3．[2014· 咸宁] 用一条长为 40 cm 的绳子围成一个面积 为 a cm2 的长方形，a 的值不可能 为 ( D ) ．．． A．20 B．40 C．100 D．120 4．[2013· 贵阳] 已知二次函数 y＝x2＋2mx＋2，当 x>2 时， y 的值随 x 的增大而增大，则实数 m 的取值范围是 ________ m≥－2 ． 5． 若函数 y＝mx2＋2x＋1 的图象与 x 轴只有一个公共点， 则常数 m 的值是________ 1或0 ．
中考总复习数学13-第一部分 第13讲 反比例函数及其应用
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第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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续表
在每个象限内,y随x的增大
增减性
而⑤ 减小
对称性
是轴对称图形,对称轴为直线y=⑦
⑧ 原点O
在每个象限内,y随x的增大
而⑥增大
±x
; 是中心对称图形,对称中心是
图象由分别位于两个象限的双曲线组成,图象无限接近坐标轴,但不与
图象特征
坐标轴相交.
第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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考点 4 反比例函数的应用
1.判断同一坐标系中反比例函数图象和一次函数图象的方法
(假设法)假设反比例函数正确,即可确定 k的取值范围,再根据 k 的取值范围
确定一次函数图象,无矛盾,则正确.
2.已知两个函数图象,求交点坐标
(1)求一次函数图象与反比例函数图象的交点,将两个函数解析式联立方程组
位置关系,依据图象在上方的函数值总比图象在下方的函数值大 ,在各区域
内找对应的x的取值范围.
4.求图形面积
(1)当图形有一边在坐标轴上时,通常将坐标
轴上的边作为底边,再利用点的坐标求出底边上的高,最后用面积公式求解.
(2)当图形三边都不在坐标轴上时,一般用“割补法”.
第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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2.与反比例函数中k的几何意义有关的面积计算
S△AOP=⑩
S△APP‘=
|k|
2|k|
S△OBP= |k|
S△ABC=
|k|
S矩形OAPB=|k|
S▱ABCD=
|k|
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第13讲 函数模型及其应用
第13讲 函数模型及其应用【考点解读】1. 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义；2. 能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.【知识扫描】1、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种函数模型： ①一次函数模型:f(x)=kx b +(k 、b 为常数,k ≠0);②反比例函数模型：f(x)=xk +b(k 、b 为常数,k ≠0); ③二次函数模型：f(x)=2ax bx c ++(a 、b 、c 为常数，a ≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;④指数型函数模型：f(x)=xka b +(k 、a 、b 为常数，k ≠0,a>0且a ≠1); ⑤对数型函数模型：f(x)=log a m x n +(m 、n 、a 为常数,m ≠0,a>0且a ≠1); ⑥幂函数型模型：f(x)=nax b +(a 、b 、n 为常数,a ≠0,n ≠0); ⑦“勾”函数模型：f(x)=x+kx(k 为常数,k>0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数模型,⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.2、求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：【考计点拨】牛刀小试1．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
中考总复习数学13- 第一部分 第13讲反比例函数及其应用(精练册)
(2)若点C,D分别在函数y= (x>0)和y= (x>0)
的图象上,且不与点A,B重合,是否存在点C,D,
使得△COD≌△AOB.若存在,请直接写出
点C,D的坐标;若不存在,请说明理由.
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第13讲
反比例函数及其应用
基础全练
挑战高分
中考创新练
解:(1)如图1,过点A作AG⊥y轴于G,过点B作BH⊥y轴于H,
顺时针旋转60°得到线段QM.若点M也在该反比例函数的图象上,则k的
值为( C )
A.
B.
C.2
D.4
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第13讲
反比例函数及其应用
挑战高分
基础全练
中考创新练
6.(2022·广西贺州)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则y=-kx+b与y=
的图象为( A )
∵OA的中点是B,∴B(1,2),∴k=2;
(2)当x=2时,y=1,
∴D(2,1),∴AD=4-1=3,
∴S△OBD=S△OAD-S△BAD= ×3×2- ×3×1= .
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第13讲
反比例函数及其应用
挑战高分
基础全练
中考创新练
12.(2022·广西百色)已知:点A(1,3)是反比例函数y1= (k≠0)的图象与直线
高考数学复习知识点讲解教案第13讲 函数与方程
[解析] 令 = 2 − − 4，则 2 = 4 − 2 − 4 = −2 < 0，
3 = 8 − 3 − 4 = 1 > 0，
由 3
5
2
5
2
5
2
5
2
= 2 − − 4 < 0，
< 0知该解所在的区间为
5
,3
2
.
题组二 常错题
◆ 索引：误解函数零点的定义;忽略限制条件致误.
= 的零点.
（2）
等价关系
零点
方程 = 0有实数解⇔ 函数 = 有_______⇔
函数 = 的图象与
_______有公共点.
轴
（3）
函数零点存在定理
如果函数 = 在区间[, ]上的图象是一条连续不断的曲线,且有
至少有一个
<0
________________,那么,函数
4.函数
2
= 9 − 3 ln − 1 的零点为___.
[解析] 由题知 的定义域为 1, +∞ ，由 = 0，得
即9
− 3 = 0或ln − 1 = 0，解得 =
所以函数 =
9
1
（舍）或
2
− 3 ln − 1 的零点为2.
9
= 2，
− 3 ln − 1 = 0，
1
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1
2
= 2 − 1 > 0，
< 0，所以 的零点在区间
1
0,
2
上，故选A．
)
D. 2,3
（2）
2023年中考数学一轮复习 第13讲 函数的应用(无答案)
第13讲 函数的应用【考查要求】（1）能用一次函数解决简单实际问题． （2）能用反比例函数解决简单实际问题． （3）能用二次函数解决简单实际问题．【基础过关】1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x )件商品，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为( )A ．y ＝－10x 2－560x ＋7 350B ．y ＝－10x 2＋560x －7 350C ．y ＝－10x 2＋350xD ．y ＝－10x 2＋350x －7 3502．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 .3．小明到文具店购买了1本笔记本用了8元，然后又购买了x 支铅笔，每支铅笔0.5元，小明买笔记本和铅笔一共用y 元.写出y 元与x 之间函数关系式_________________；4．从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t ≥3（分）时，电话费y （元）与t 之间的函数关系式是___________________．5．小红驾车从甲地到乙地，她出发第xh 时距离乙地y km ，已知小红驾车中途休息了1小时，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系．B 点的坐标为（ ， ）；6．在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝－13x 2，桥下的水面宽AB 为6 m ．当水位上涨1 m 时，水面宽CD 为 m （结果保留根号）．7．一辆货车从甲地出发以50km /h 的速度匀速驶往乙地，行驶1h 后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶0.8h 后两车相遇．图中折线ABC 表示两车之间的距离y （km ）与货车行驶时间x （h ）的函数关系．（1）甲乙两地之间的距离是 km ，轿车的速度是 km/h ； （2）求线段BC 所表示的函数表达式；)（第6题）8．某水果店出售一种水果，每只定价20元时，每周可卖出300只．试销发现：每只 水果每涨价1元，那么每周将少卖出10只．如何定价，才能使一周销售收入最多？9．甲、乙两人骑车分别从A 、B 两地同时出发，沿同一路线匀速骑行，两人先相向而行，甲到达B 地后停留20 min 再以原速返回A 地，当两人到达A 地后停止骑行．设甲出发x min 后距离A 地的路程为y km ．图中的折线表示甲在整个骑行过程中y 与x 的函数关系． （1）A 、B 两地之间的路程是 km ； （2）求甲从B 地返回A 地时，y 与x 的函数表达式；【典型例题】例1 从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路．小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间．假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5 km ，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5 km ．设小明出发x h 后，到达离甲地y km 的地方，图中的折线OABCDE 表示y 与x 之间的函数关系．（2）求线段AB 、BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式；（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15 h ，那么该地点离甲地多远？y/（第3题）例2小明、小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第x min时，小明、小丽离B地的距离分别为y1 m、y2 m．y1与x之间函数表达式是y1＝－10x²－100x＋2000，y2与x之间函数表达式是y2＝－180x＋2250．（1）小丽出发时，小明距A地的距离为_________m；（2）小丽出发至小明达到B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？例3某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x(元)的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应为多少元？此时每日销售利润是多少元？例4某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？（3）若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？例5 甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品．图①中折线ABC表示甲公司销售价y1（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y2（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．（1）分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式；（2）当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大？最大值为多少？例6某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图像解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是分钟，清洗时洗衣机中的水量是升；（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升．①求排水时y与x之间的表达式；②洗衣机中的水量到达某一水位后13.9分钟又到达该水位，求洗衣机在该水位时洗衣机中的水量为多少升？kg ）y （元【课后作业】1．甲车从A 地出发以60 km/h 的速度沿公路匀速行驶，0.5 h 后，乙车也从A 地出发，以80 km/h 的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车． 请建立一次函数关系．．．．．．解决上述问题．2．某水果店经营某种水果，顾客的批发量x （kg ）与批发单价y （元/kg ）之间的关系如图所示．图中线段AB 表示：批发量x 每增加1 kg ，批发单价y 降低0.1元/kg ． （1）求m 的值；（2）已知该水果进价为6元/kg ，设该水果店获利w 元． ①求w 与x 的函数表达式；① 当0＜x ≤m 时，求w 的最大值．3.某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t （件）与每件销售价x （元/件）之间有如下关系：t ＝－3x ＋90．（1）请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y （元）与x 之间的函数表达式． （2）当x 为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？4．某观光湖风景区，一观光轮与一巡逻艇同时从甲码头出发驶往乙码头，巡逻艇匀速往返于甲、乙两个码头之间，当观光轮到达乙码头时，巡逻艇也同时到达乙码头．设出发x h后，观光轮、巡逻艇离甲码头的距离分别为y1 km、y2 km．图中的线段OG、折线OABCDEFG 分别表示y1、y2 与x之间的函数关系．（1）观光轮的速度是km/h，巡逻艇的速度是km/h；（2）求整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离；（3）求整个过程中观光轮与巡逻艇相遇的最短时间间隔．5．换个角度看问题．【原题重现】【问题再研】若设慢车行驶的时间为x（h），慢车与甲地的距离为s1（km），第一列快车与甲地的距离为s2（km），第二列快车与甲地的距离为s3 （km），根据原题中所给信息解决下列问题：（1）在同一直角坐标系中，分别画出s1、s2与x之间的函数图像；（2）求s3与x之间的函数表达式；（3）求原题的答案．（图1）家学校超市h6．如图1所示，小明家与学校之间有一超市.早上小明由家匀速行驶去学校（不在超市停留），放学后小明回家的速度比上学的速度每小时少2千米． 设早上小明出发x 小时后，到达离家y 千米的地方，图2中的折线OABC 表示y 与x 之间的函数关系． （1）小明上学的速度为 km/h ；他在校时间为 h ； （2）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式；（3）如果小明两次经过超市的时间间隔为8.48小时，那么超市离家多远？【挑战中考】1．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m /s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间的函数关系是h ＝﹣5t 2+20t ，当飞行时间t 为 s 时，小球达到最高点．2．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y ＝﹣0.2x 2+x +2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是m ．3．（2022•苏州）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为．4．（2022•南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．5．（2022•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．（1）小丽步行的速度为m/min；（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．6．（2022•苏州）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：（1）求甲、乙两种水果的进价；（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m 千克甲种水果和3m 千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m 的最大值．7．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A 、B 两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A 品牌粽子100袋和B 品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A 品牌粽子180袋和B 品牌粽子120袋，总费用为8100元． （1）求A 、B 两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B 品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B 品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B 品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B 品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？8．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？9．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝，实数k的取值范围是；（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．10．（2022•泰州）如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点B（3，1）．（1）求这两个函数的表达式；（2）当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．11．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．①求k、b的值；②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．12．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n （cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．*13．（2022•无锡）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝90°．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．*14．（2022•宿迁）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于O （0，0），A （4，0）两点，顶点为C ，连接OC 、AC ，若点B 是线段OA 上一动点，连接BC ，将△ABC 沿BC 折叠后，点A 落在点A ′的位置，线段A ′C 与x 轴交于点D ，且点D 与O 、A 点不重合． （1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD ∽△A ′BD ；②求的最小值；（3）当S △OCD ＝8S △A 'BD 时，求直线A ′B 与二次函数的交点横坐标．*15．（2022•苏州）如图，二次函数y ＝﹣x 2+2mx +2m +1（m 是常数，且m ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC ，BD ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求∠OBC 的度数； （2）若∠ACO ＝∠CBD ，求m 的值；（3）若在第四象限内二次函数y ＝﹣x 2+2mx +2m +1（m 是常数，且m ＞0）的图象上，始终存在一点P ，使得∠ACP ＝75°，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．*16．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x 轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．*17．（2022•淮安）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM＝MN时，求点P 的横坐标；（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．*18．（2022•镇江）一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a ≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D 作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．①x1＝，x2＝（分别用含n的代数式表示）；②证明：AE＝BF；（3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；②若A′M+3B′N＝2，求t的值．*19．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．。
初中复习方略数学第十三讲 二次函数的应用
第十三讲 二次函数的应用知识清单·熟掌握抛物线型问题应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路1．建立平面直角坐标系：根据题意，建立适当的坐标系，建系的原则一般是把顶点作为坐标原点．2．设函数解析式：根据所建立的坐标系，设出解析式．3．求解析式：将题中所给的数据转化为点的坐标，代入函数解析式，求出待定系数，确定函数解析式．4．解决实际问题：把问题转化为已知抛物线上点的横坐标(或纵坐标)，求其纵坐标(或横坐标)，再转化为线段的长，解决实际问题．1．飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式满足y ＝－65 t 2＋60t ，则飞机着陆至停下来滑行的距离是25 m ．(×) 2．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y ＝－112 x 2＋23 x ＋53，则小强此次成绩为10米．(√)利润最大化问题应用二次函数性质解决最优化问题的思路1．分析题中数量关系，确定变量．2．根据等量关系，构建二次函数模型．3．根据函数性质，确定最值．在实际问题中二次函数的最值不一定是顶点的纵坐标，要注意自变量的取值的限制对最值的影响．考点一应用二次函数解决抛物线型实际问题类型一：隧道和拱桥问题【典例1】(2021·衢州中考)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．(1)求桥拱顶部O离水面的距离．(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【思路点拨】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可．【自主解答】(1)根据题意可知点F 的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y 1＝a 1x 2.将F(6，－1.5)代入y 1＝a 1x 2有：－1.5＝36a 1，求得a 1＝－124 ， ∴y 1＝－124x 2， 当x ＝12时，y 1＝－124×122＝－6， ∴桥拱顶部离水面高度为6 m.(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其表达式为y 2＝a 2(x －6)2＋1，将H(0，4)代入其表达式有：4＝a 2(0－6)2＋1，求得a 2＝112 ， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y ＝112(x －6)2＋1， ②设彩带的长度为L m ，则L ＝y 2－y 1＝112 (x －6)2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x 2 ＝18 x 2－x ＋4＝18 (x －4)2＋2， ∴当x ＝4时，L 最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2 m ．类型二：运动轨迹问题【典例2】(2021·北部湾中考)2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C 1：y ＝－112 x 2＋76x ＋1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 运动． (1)当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C 2的函数解析式(不要求写出自变量x 的取值范围).(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．【思路点拨】(1)根据题意将点(0，4)和(4，8)代入C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 求出b ，c 的值即可写出C 2的函数解析式；(2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：－18 m 2＋32 m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－112m 2＋76m ＋1 ＝1，解出m 即可； (3)求出山坡的顶点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7，6112 ，根据题意即－18 ×72＋7b ＋4＞3＋6112，再解出b 的取值范围即可． 【自主解答】(1)由题意可知抛物线C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 过点(0，4)和(4，8)，将其代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝c 8＝－18×42＋4b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32c ＝4 ，∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝－18 x 2＋32 x ＋4. (2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：－18 m 2＋32 m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－112m 2＋76m ＋1 ＝1， 整理得：(m －12)(m ＋4)＝0，解得：m 1＝12，m 2＝－4(舍去)，故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．(3)C 1：y ＝－112 x 2＋76 x ＋1＝－112 (x －7)2＋6112， 当x ＝7时，运动员到达坡顶，即－18 ×72＋7b ＋4＞3＋6112， 解得：b ＞3524.此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的c 值，落地点为抛物线与x 轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．(1)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上；(2)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；(3)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比船自身的宽度对应的y 值小；(4)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高低．(2021·台州中考)以初速度v(单位：m/s)从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t (单位：s)之间的关系式是h＝vt－4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1(如图1)；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2(如图2).若h1＝2h2, 则t1∶t2＝__ 2 __．考点二利润最大化问题类型一：顶点处取最值【典例3】(2021·达州中考)渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．(1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？(3)若工厂每天的利润要达到9 750元，并让利于民，则定价应为多少元？【解析】(1)由题意得：W＝(48－30－x)(500＋50x)＝－50x2＋400x＋9 000，x＝2时，W＝(48－30－2)(500＋50×2)＝9 600(元)，答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝－50x2＋400x ＋9 000，当降价2元时，工厂每天的利润为9 600元；(2)由(1)得：W＝－50x2＋400x＋9 000＝－50(x－4)2＋9 800，∵－50＜0，∴x＝4时，W最大为9 800，即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9 800元．(3)－50x2＋400x＋9 000＝9 750，解得：x1＝3，x2＝5，∵让利于民，∴x1＝3不合题意，舍去，∴定价应为48－5＝43(元)，答：定价应为43元．类型二：不在顶点处取最值【典例4】(2021·鄂州中考)为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围).(2)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2 160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？(每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴)【思路点拨】(1)根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可．(2)根据题意写出利润关于种植面积的解析式，然后根据x≤240和二次函数的性质求出利润的最大值．【自主解答】(1)设y 与x 之间的函数关系式y ＝kx ＋b(k≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧840＝160k ＋b 960＝190k ＋b ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4b ＝200 ， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝4x ＋200；(2)设老张明年种植该作物的总利润为W 元，依题意得： W ＝[2 160－(4x ＋200)＋120]·x＝－4x 2＋2 080x ＝－4(x －260)2＋270 400，∵－4<0，∴当x<260时，W 随x 的增大而增大，由题意知： x≤240，∴当x ＝240时，W 最大，最大值为－4(240－260)2＋270 400＝268 800(元)， 答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268 800元． 类型三：在自变量不同取值范围上求最值【典例5】(2020·荆门中考)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x 天(x 为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x(天)的函数关系式为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋4（0<x≤20）－15x ＋12（20<x≤30） ，销售量y(千克)与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)当月第几天，该农产品的销售额最大？最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)【思路点拨】(1)根据函数图象中的数据，可以得到y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)根据题意和(1)中的结果，可以得到利润与x 之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．【解析】(1)当0＜x≤20时，设y 与x 的函数关系式为y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8020a ＋b ＝40 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝80 ， 即当0＜x≤20时，y 与x 的函数关系式为y ＝－2x ＋80，当20＜x≤30时，设y 与x 的函数关系式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧20m ＋n ＝4030m ＋n ＝80 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝－40 ， 即当20＜x≤30时，y 与x 的函数关系式为y ＝4x －40，由上可得，y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋80（0<x≤20）4x －40（20<x≤30） . (2)设当月第x 天的销售额为w 元，当0＜x≤20时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋4 ×(－2x ＋80) ＝－45(x －15)2＋500，∴当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500，当20＜x≤30时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15x ＋12 ×(4x－40)＝－45 (x －35)2＋500， ∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时w ＝480，由上可得，当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500.答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．1．求关于利润的二次函数解析式的两种思路(1)若题目给出销售量与单价之间的函数解析式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据：销售利润＝销售总额－成本＝销售量×销售价－销售量×进价＝销售量×(销售价－进价)来解决；(2)若题目中未给出销售量与单价之间的函数解析式，则要先求出销售量与单价之间的函数解析式，解析式一般是一次函数关系，再根据销售利润＝销售量×(销售价－进价)来解决．2．求二次函数的最值的两种方法(1)可直接利用公式法求顶点的纵坐标，即y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为4ac －b 24a (a ＜0)或最小值为4ac －b 24a(a ＞0). (2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值．1．(2021·连云港中考)某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是__1__264__元．2．(2021·南充中考)超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．(1)求苹果的进价；(2)如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式；(3)超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z(元/千克)与一天销售数量x(千克)的关系为z＝－1100 x＋12.在(2)的条件下，要使超市销售苹果利润w(元)最大，求一天购进苹果数量．(利润＝销售收入－购进支出)【解析】(1)设苹果的进价为x元/千克，根据题意得：300x＋2＝200x－2，解得：x＝10，经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克．(2)当0≤x≤100时，y＝10x；当x ＞100时，y ＝10×100＋(x －100)(10－2)＝8x ＋200；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x （0≤x≤100）8x ＋200（x ＞100）. (3)当0≤x≤100时，w ＝(z －10)x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－10 x ＝－1100(x －100)2＋100， ∴当x ＝100时，w 有最大值为100；当100＜x≤300时，w ＝(z －10)×100＋(z －8)(x －100)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－10 ×100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－8 (x －100) ＝－1100x 2＋4x －200 ＝－1100(x －200)2＋200， ∴当x ＝200时，w 有最大值为200；∵200＞100，∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大，为200元． 答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大． 考点三 几何图形面积问题【典例6】 (2020·孝义市质检)如图所示，正方形区域ABCD 是某公园健身广场示意图，公园管理处想在其四个角的三角形区域内种植草皮加以绿化(阴影部分)，剩余部分安装健身器材作为市民健身活动场所(四边形EFGH)，其中AB＝100米，且AE＝AH＝CF＝CG.则当AE的长度为多少时，市民健身活动场所的面积达到最大？【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.∵AE＝AH＝CF＝CG，∴BE＝BF＝DG＝DH，∴△AHE，△BEF，△CGF，△DGH都是等腰直角三角形；设AE＝x米，则BE＝(100－x)米．设四边形EFGH的面积为S，则S＝100×100－2×12 x2－2×12(100－x)2＝－2x2＋200x(0＜x＜100).∵S＝－2(x－50)2＋5 000.∵－2＜0，∴当x＝50时，S有最大值为5 000.答：当AE＝50米时，市民健身活动场所的面积达到最大．解决此类问题一般是根据几何图形的性质，先找变量，再确定变量与该图形周长或面积之间的关系，用变量表示出其他边的长，从而确定二次函数的解析式，再根据题意及二次函数的性质解题即可．(2019·连云港中考)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是(C)A ．18 m 2B ．18 3 m 2C ．24 3 m 2D ．4532 m 2人教版九年级下册 P29 练习 T2某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？【思路点拨】设出每间房的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论．【自主解答】设房价为(180＋10x)元，则定价增加了10x 元，此时空闲的房间为x ，由题意得，y ＝(180＋10x)(50－x)－(50－x)×20＝－10x 2＋340x ＋8000＝－10(x －17)2＋10890故可得当x ＝17，即房间定价为180＋170＝350元的时候利润最大． 答：房间定价为350元时，利润最大．(变换条件与问法)(2021·济宁中考)某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利(x －5)元， 根据题意得：900x ＋400x －5＝100， 整理得：x 2－18x ＋45＝0，解得：x ＝15或x ＝3(舍去)，经检验，x ＝15是原分式方程的解，符合实际，∴x －5＝15－5＝10(元)，答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元．(2)设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，由题意得：w ＝(15－a)(100＋20a)＝－20a 2＋200a ＋1 500＝－20(a －5)2＋2 000，∵－20<0，∴当a ＝5时，函数有最大值，最大值是2 000元．答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2 000元.(变换条件与问法)(2021·黄冈中考)红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件).(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．【解析】(1)由题知，y＝5－(x－50)×0.1，整理得y＝10－0.1x(40≤x≤100)；(2)设月销售利润为z，由题知，z＝(x－40)y＝(x－40)(10－0.1x)＝－0.1x2＋14x－400＝－0.1(x－70)2＋90，∴当x＝70时，z有最大值为90，即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；(3)由(2)知，当月销售单价是70元时，月销售利润最大，即(70－40－a)×(10－0.1×70)＝78，解得a＝4，∴a的值为4.。
2023年河北省中考数学复习全方位第13讲 反比例函数及其应用 课件
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7. (2020·河北,19)如图是8个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每
个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~8的整数).函数y= (x<0)的图象为曲线L.
(1)若L过点T1,则k= -16
;
(2)若L过点T4,则它必定还过另一点Tm,则m= 5
;
(3)若曲线L使得T 1 ~T 8 这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,则k的整数值有
(2)通过计算,说明一次函数y=kx+3-3k
(k≠0)的图象一定过点C;
(3)对于一次函数y=kx+3-3k(k≠0),当y
随x的增大而增大时,确定点P横坐标的取值范围(不必写出过程).
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解:(1)∵点B,C的横坐标相等,∴BC⊥x轴.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.
∵当x=4时,y= =1,∴点N在反比例函数y= 的图象上.
(3)4≤m≤8.
考点梳理
考点 1
反比例函数的概念
考点 2
反比例函数的图象及性质
考点 3
反比例函数解析式的确定
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考点1
考点梳理
反比例函数的概念
1. 定义:一般地,形如①
y=
(k是常数,k≠0)的函数,叫反比例函数,其中x
是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是x≠0.
2. 三种表达式(k为常数,k≠0):y= ;y=kx-1;xy=k.
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考点2
反比例函数的图象及性质
1. 反比例函数图象与性质
中考数学专题复习 第十三讲二次函数的应用(共69张PPT)
t01 2 3 4 5 6 7…
h08
1 4
1 8
2 0
2 0
1 8
1 4
…
下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球
飞行路线的对称轴是直线t= 9 ;③足球被踢出9s时落
2
地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m.其中
正确结论的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.由表格可知抛物线过点(0,0),(1,8), (2,14),设该抛物线的解析式为h=at2+bt,将点(1,8), (2,14)分别代入,得:a+b=8,4a+2b=14, 即 a4ab2b8解，1得4. :a=-1,b=9.
3
3
(2)由(1)知抛物线解析式为y=- 2 (x-1)2+ 8
3
3
(0≤x≤3).
当x=1时,y=8 .
3
所以抛物线水柱的最大高度为 8 米.
3
【答题关键指导】 利用二次函数解决实际问题的步骤 (1)根据题意,列出抛物线表达式,或建立恰当的坐标 系,设出抛物线的表达式,将实际问题转化为数学模型. (2)列出函数表达式后,要标明自变量的取值范围.
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考点二 利用二次函数解决最优化问题 【示范题2】(2017·济宁中考)某商店经销一种学生 用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场 调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价 x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩 包每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式. (2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利 润最大?最大利润是多少元? (3)如பைடு நூலகம்物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售 利润,销售单价应定为多少元?
第13讲 三角函数的综合应用(1)(顾福勇)
扬州中学教育集团树人学校
顾福勇
课前诊断 1．已知α为第三象限的角，cos2α= 则tan( +2α)= -1/7
4
3 5
) 4 1 tan 2
遇切化弦 如何求tanα？
2．设ω＞0,函数y=sin(ωx+π/3)+2的 图象向右平移4π/3个单位后与原图象重 合，则ω的最小值是 3/2
点评：
问题1：解三角形问题常规处理策略是什么？ 方案一：统一转化为“边”
方案二：由正弦定理，将AB＋2BC 转化为“角”处理
思考：方案一能求出结果吗？
例题1.
问题（1）：最小正周期T=？
问题（2）：由sin(φ+π/4)=1如何求φ 问题（3）：三角函数公式的正确运用
变式：若α给定范围 的话，则需要 注意取舍
将仰角度数化为三 角形内角度数
A
C
由题意画出图形来 探究得到BD=BA
解题反思
1、每一道题都应留足够的时间让学生读题， 尽量让学生来讲述自己的解题思路。 2、教师要帮助学生进行问题归纳，强化 通解通法。 3、要加强变式题的训练，突出针对性和 时效性，强化训练学生的运算能力，力求 做到中档题“会做即做对”.
点评：
mT= 4π/3(m非零整数)
数形结合
ω=2π/T
3.函数 f x sin x 3 cos x x R ，又 f ( ) 2， 0，且 的最小值等于 f
π 2
，则正数 的值为
．
点评：
求 的值就需要知道三角函数的什么性质？ 由已知条件怎样求周期？
例题2. 第（1）问：提问：对于三角恒等变换问题， 从哪些角度来寻找思路？ “角”“名”“式” ！ 第（2）问：已知一个角， 要求出边c，还需要什么条件？ 必须要知道另外的一条边 ， 只能对已知边的关系式化简 意外收获：(a－2)2＋(b－2)2＝0
人教版中考数学复习：第13讲 二次函数的应用
(3)结合(2)及函数 z＝－2x2＋136x－1800 的图象(如图所示)可知，当 25≤x≤43 时，z≥350. 又由限价 32 元，得 25≤x≤32. 根据一次函数的性质，得 y＝－2x＋100 中 y 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝32 时，每月制造成本最低． 最低成本是 18×(－2×32＋100)＝648(万元)． ∴所求每月最低制造成本为 648 万元．
第13讲 二次函数的应用
【问题】(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离 y(单
位：m)关于滑行时间 t(单位：s)的函数解析式是 y＝ 60t－32t2.在飞机着陆滑行中，最后 4s 滑行的距离是 ________m.
【解析】当 y 取得最大值时，飞机停下来， 则 y＝60t－1.5t2＝－1.5(t－20)2＋600， 此时 t＝20，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来． 因此 t 的取值范围是 0≤t≤20； 即当 t＝16 时，y＝576， 所以 600－576＝24(米)， 故答案是：24.
≤130 时，W≤2160，因此当该产品产量为 75kg 时，获得的利润
最大，最大利润为 2250 元．
5．(2019·贵港)如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点为 A(4，3)，与 y 轴相交于点 B(0，－5)，对 称轴为直线 l，点 M 是线段 AB 的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)写出点 M 的坐标并求直线 AB 的表达式； (3)设动点 P，Q 分别在抛物线和对称轴 l 上，当以 A， P，Q，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求 P，Q 两点的坐标．
②当 AM 是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：4＋2＝m＋4，3－1＝－12m2＋4m－5＋s， 解得：m＝2，s＝1， 故点 P、Q 的坐标分别为(2，1)、(4，1)； ③当 AM 是平行四边形的一条边且点 Q 在点 A 上方时， AQ＝MP＝2， 同理可得点 Q 的坐标为(4，5)， 故点 P、Q 的坐标分别为(6，1)、(4，－3)或(2，1)、
北师版数学九下9B教材知识梳理及中考复习 第13讲 二次函数的应用
第13讲二次函数的应用
一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的应用关键点拨
一般步骤若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，
建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次
①据题意，结合函数图象求出函数解析式；
②确定自变量的取值范围；
函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适实物抛物线
③根据图象，结合所求解析式解决问题. 当（如在x 轴，y 轴、原点、抛物线上等），方便
求二次函数丶表达式和之后的计算求解.
①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；解决最值应用题要注意两点：
实际问题中求最值②研究自变量的取值范围；
③确定所得的函数；
④检验x 的值是否在自变量的取值范围内，并求
①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最
小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”
要设为函数；
相关的值；②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）⑤解决提出的实际问题. 的取值是否在自变量的取值范围内.
结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；
②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；
③利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题
由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面
积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样
需注意自变量的取值范围.
1。
第13讲二次函数的应用考点聚焦-中考数学一轮复习作业课件
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
12k＋b＝90，
k＝－5，
根据题意得：14k＋b＝80， 解得：b＝150.
4. (202X·武汉)某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量 y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三 组对应值如表： 注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价) (1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； ②该商品进价是___4_0元/件；当售价是___7_0元/件时，周销售利润最大， 最大利润是___1_8元00． (2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m＞0)，物价部门规定该商品 售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1) 中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．
解：(1)抛物线的表达式为：y＝x2＋2x－3； (2)抛物线的对称轴为x＝－1，令y＝0，则x＝－3或x＝1，令x＝0，则y＝－ 3，故点A，B的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，点C(0，－3)，故OA＝OC＝3 ，∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当PD＝DE＝3时，以P，D，E为顶点的三角 形与△AOC全等，设点P(m，n)，当点P在抛物线对称轴右侧时，m－(－1)＝ 3，解得：m＝2，故n＝22＋2×2－3＝5，故点P(2，5)，故点E(－1，2)或(－1 ，8)；当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P(－4， 5)，此时点E坐标同上，综上，点P的坐标为(2，5)或(－4，5)；点E的坐标为( －1，2)或(－1，8).
第13讲 二次函数及其应用 (达标检测解析版)
第13讲二次函数及其应用三、【达标测试】（一）选择题1.（2019 天津中考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y＝…t m﹣2 ﹣2 n…ax2+bx+c且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C．【分析】①当x＝0时，c＝﹣2，当x＝1时，a+b＝0，abc＞0，①正确；②x＝是对称轴，x＝﹣2时y＝t，则x＝3时，y＝t，②正确；③m+n＝4a﹣4；当x＝﹣时，y＞0，0＜a＜，m+n＜，③错误；【解答】解：当x＝0时，c＝﹣2，当x＝1时，a+b﹣2＝﹣2，∴a+b＝0，∴y＝ax2﹣ax﹣2，∴abc＞0，①正确；x＝是对称轴，x＝﹣2时y＝t，则x＝3时，y＝t，∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；②正确；m＝a+a﹣2，n＝4a﹣2a﹣2，∴m＝n＝2a﹣2，∴m+n＝4a﹣4，∵当x＝﹣时，y＞0，∴a＞，∴m+n＞，③错误；故选：C．2.（2019 浙江杭州中考）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1【答案】C．【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，∴△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．3.（2019 浙江温州中考）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2【答案】D．【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．4.（2019 山东济南中考）（2019•济南）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜【答案】D．【分析】二次函数的图象过点（﹣1，0），则a﹣b+＝0，而t＝2a+b，则a＝，b＝，二次函数的图象的顶点在第一象限，则﹣＞0，﹣＞0，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），∴a﹣b+＝0，∴b＝a+，t＝2a+b，则a＝，b＝，∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，∴﹣＞0，﹣＞0，将a＝，b＝代入上式得：＞0，解得：﹣1＜t＜，﹣＞0，解得：t或1＜t＜3，故：﹣1＜t＜，故选：D．5.（2019•日照）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，下列结论中：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③ax2+bx+c+1＝0有两个相等的实数根；④﹣4a＜b＜﹣2a．其中正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．②③D．①④【答案】D．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对各个结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，与y轴的交点为在y轴的负半轴上可推出c＝﹣1＜0，对称轴为x＝﹣＞1＞0，a＞0，得b＜0，故abc＞0，故①正确；由对称轴为直线x＝﹣＞1，抛物线与x轴的一个交点交于（2，0），（3，0）之间，则另一个交点在（0，0），（﹣1，0）之间，所以当x＝﹣1时，y＞0，所以a﹣b+c＞0，故②错误；抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），由图象知二次函数y＝ax2+bx+c图象与直线y＝﹣1有两个交点，故ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，故③错误；由对称轴为直线x＝﹣，由图象可知1＜﹣＜2，所以﹣4a＜b＜﹣2a，故④正确．故选：D．6.（2019•沈阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0【答案】D．【分析】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，函数与x轴有两个不同的交点，当x＝﹣1时，y＞0；【解答】解：由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，∴b＝﹣2a＜0；∴abc＞0，A错误；由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误；当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，C错误；∵b＝﹣2a，D正确；故选：D．7.（2019甘肃兰州中考）（2019•兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2【答案】A．【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；所以2＞y1＞y2．故选：A．8.（2019 河北台湾中考）（2019•台湾）如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y＝2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为（﹣3，0），则此抛物线与y轴的交点坐标为何？（）A．（0，）B．（0，）C．（0，9）D．（0，19）【答案】B．【分析】设B（﹣3﹣m，2），C（﹣3+m，2），（m＞0），可知BC＝2m，再由等边三角形的性质可知C（﹣3+，2），设抛物线解析式y＝a（x+3）2，将点C代入解析式即可求a，进而求解；【解答】解：设B（﹣3﹣m，2），C（﹣3+m，2），（m＞0）∵A点坐标为（﹣3，0），∴BC＝2m，∵△ABC为正三角形，∴AC＝2m，∠DAO＝60°，∴m＝∴C（﹣3+，2）设抛物线解析式y＝a（x+3）2，a（﹣3++3）2＝2，∴a＝，∴y＝（x+3）2，当x＝0时，y＝；故选：B．（二）填空题1.（2019 吉林长春中考）（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y 轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M 为线段AB的中点，则a的值为．【答案】2．【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB 中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）∵点M为线段AB的中点，∴点B坐标为（4，）设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）将点P（1，）代入得＝k∴y＝（）x将点B（4，）代入得＝（）×4解得a＝2故答案为：2．2.（2019 黑龙江哈尔滨中考）（2019•哈尔滨）二次函数y＝﹣（x﹣6）2+8的最大值是．【答案】8．【分析】利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，∴y有最大值，当x＝6时，y有最大值8．故答案为8．3.（2019 湖北武汉中考）（2019•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x 的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是．【答案】x1＝﹣2，x2＝5．【分析】由于抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，从而得到抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴的两交点坐标为（﹣2，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解．【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），所以抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴的两交点坐标为（﹣2，0），（5，0），所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．故答案为x1＝﹣2，x2＝5．4.（2019 山东日照中考模拟）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图像如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a＋b＋c＝0；③a－b＋c＜0；④抛物线的顶点坐标为(2，b)；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是．【答案】①②④【分析】根据给出的抛物线的特点，对称轴为直线x＝2，可以确定a、b的关系，因为与x轴的一个交点坐标为(4，0)，可得到c＝0.【解析】由对称轴为直线x＝2和点(4，0)可判断①由对称轴为直线x＝2可得b＝－4a又c＝0可判断②当x＝－1时，y＝a－b＋c，可判断③观察图像即可判断④由函数增减性可判断⑤.故答案为:①②④.5.（2019 河北衡水中考模拟）直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为．[提示：直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2互相垂直，则k1•k2＝﹣1]【答案】（0，4）．【分析】依据直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可得∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，再根据OA⊥OB，即可得到b＝4，进而得出直线恒过顶点（0，4）．【解答】解：∵直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，∴kx+b＝x2，化简，得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，又∵OA⊥OB，∴×＝＝＝＝＝﹣1，解得，b＝4，即直线y＝kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．6.（2019 山东淄博中考模拟）已知二次函数y＝+bx的图象过点A（4，0），设点C（1，﹣3），在抛物线的对称轴上求一点P，使|PA﹣PC|的值最大，则点P的坐标为．【答案】（2，﹣6）．【分析】先把A（4，0）代入y＝+bx，求出b的值，得到二次函数解析式，再根据抛物线的对称性求出二次函数y＝﹣2x与x轴的另一交点是O（0，0），由A、O关于对称轴对称，则可知PA＝PO，则当P、O、C三点在一条线上时满足|PA﹣PC|最大，利用待定系数法可求得直线OC解析式，则可求得P点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝+bx的图象过点A（4，0），∴0＝×42+4b，解得b＝﹣2，∴y＝﹣2x，∴对称轴为x＝＝2，∵二次函数y＝﹣2x与x轴交于点A（4，0），∴它与x轴的另一交点是O（0，0），∵P在对称轴上，∴PA＝PO，∴|PA﹣PC|＝|PO﹣PC|≤OC，即当P、O、C三点在一条线上时|PA﹣PC|的值最大，设直线OC解析式为y＝kx，∴k＝﹣3，∴直线OC解析式为y＝﹣3x，令x＝2，可得y＝﹣3×2＝﹣6，∴存在满足条件的点P，其坐标为（2，﹣6）．故答案为（2，﹣6）．7.（2019 河南安阳中考模拟）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c的图象．下列结论：①二次三项式ax2+bx+c 的最大值为4；②使y≤3成立的x的取值范围是x≤﹣2；③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1；④该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；⑤4a﹣2b+c＜0．其中正确的结论有．（把所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】①④．【分析】根据题目中的图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【解答】解：由函数图象可得，二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，故①正确，使y≤3成立的x的取值范围是x≤﹣2或x≥0，故②错误，一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1×2＝﹣2，故③错误，该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，故④正确，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故⑤错误，故答案为：①④．8.（2019 湖北黄石中考模拟）如图，二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+b的交点A、B的坐标分别为（1，﹣3）、（6，1），当y1＞y2时，x的取值范围是．【答案】x＜1或x＞6．【分析】根据两函数的图象和A、B的坐标得出即可．【解答】解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+b的交点A、B的坐标分别为（1，﹣3）、（6，1），∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6，故答案为：x＜1或x＞6．（三）解答题1.（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．【分析】（1）函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即可求解；（2）物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D′（﹣h，），将点AC的坐标代入一次函数表达式即可求解；（3）分△CPQ∽△CBA、△CPQ∽△ABC，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，函数顶点D（，）；（2）物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D′（﹣h，），将点AC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝4x+4，将点D′坐标代入直线AC的表达式得：＝4（﹣h）+4，解得：h＝，故：0＜h＜；（3）过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q、H∵OB＝OC＝4，∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠QPC，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，则AB＝5，BC＝4，AC＝，S△ABC＝×5×4＝10，设点Q（m，﹣m2+3m+4），点P（m，﹣m+4），CP＝m，PQ＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，①当△CPQ∽△CBA，，即，解得：m＝，相似比为：，②当△CPQ∽△ABC，同理可得：相似比为：，利用面积比等于相似比的平方可得：S△PQC＝10×（）2＝或S△PQC＝10×（）2＝．2.（2019 浙江温州中考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B （点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．【分析】（1）把y＝0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得A、B两点的坐标，再根据函数图象不在x轴下方的x的取值范围得y≥0时x的取值范围；（2）根据题意写出B2，B3的坐标，再由对称轴方程列出n的方程，求得n，进而求得m的值．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣，解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），函数图象的对称轴为直线，∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴，∴n＝1，∴，∴m，n的值分别为，1．3.（2019 浙江杭州中考）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn ＜．【分析】（1）将（0，0），（1，0）代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）求出函数解析式即可求解；（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；（3）将已知两点代入求出m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，再表示出mn＝[﹣][﹣]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0≤﹣≤，0≤﹣≤，即可求解．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x1＝0，x2＝1，∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，当x＝时，y＝﹣，∴乙说点的不对；（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，∴mn＝[﹣][﹣]∵0＜x1＜x2＜1，∴0≤﹣≤，0≤﹣≤，∴0＜mn＜．4.（2019 陕西中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2+（c﹣a）x+c经过点A（﹣3，0）和点B （0，﹣6），L关于原点O对称的抛物线为L′．（1）求抛物线L的表达式；（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）分△POD∽△BOA、△OPD∽△AOB两种情况，分别求解．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，∴L：y＝﹣x2﹣5x﹣6（2）∵点A、B在L′上的对应点分别为A′（3，0）、B′（0，6），∴设抛物线L′的表达式y＝x2+bx+6，将A′（﹣3，0）代入y＝x2+bx+6，得b＝﹣5，∴抛物线L′的表达式为y＝x2﹣5x+6，A（﹣3，0），B（0，﹣6），∴AO＝3，OB＝6，设：P（m，m2﹣5m+6）（m＞0），∵PD⊥y轴，∴点D的坐标为（0，m2﹣5m+6），∵PD＝m，OD＝m2﹣5m+6，Rt△POD与Rt△AOB相似，①△PDO∽△BOA时，，即m＝2（m2﹣5m+6），解得：m＝或4；②当△ODP∽△AOB时，同理可得：m＝1或6；∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，∴符合条件的点P的坐标为（1，2）或（6，12）或（，）或（4，2）．5.（2019 天津中考）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．【分析】（Ⅰ）将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c关于b的代数式，再将b代入即可求出c的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；（Ⅱ）将点D（b，y D）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出点D纵坐标为﹣b﹣1，由b＞0判断出点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，过点D作DE⊥x轴，可证△ADE为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b的值；（Ⅲ）将点Q（b+，y Q）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为AM+2QM＝，所以[（﹣）﹣（﹣1）]+2 [（b+）﹣（﹣）]＝，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝3﹣1；（Ⅲ）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，∴b＝4．6.（2019 福建中考）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．【分析】（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；（2）①y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解．【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，则c＝4a；（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点；①c＝1，顶点A（1，0），抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1，②，x2﹣（2+k）x+k＝0，x＝（2+k±），x D＝x B＝（2+k﹣），y D＝﹣1；则D，y C＝（2+k2+k，C，A（1，0），∴直线AD表达式中的k值为：k AD＝＝，直线AC表达式中的k值为：k AC＝，∴k AD＝k AC，点A、C、D三点共线．7.（2019 广东中考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过项点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？【分析】（1）利用抛物线解析式求得点A、B、D的坐标；（2）欲证明四边形BFCE是平行四边形，只需推知EC∥BF且EC＝BF即可；（3）①利用相似三角形的对应边成比例求得点P的横坐标，没有指明相似三角形的对应边（角），需要分类讨论；②根据①的结果即可得到结论．【解答】解：（1）令x2+x﹣＝0，解得x1＝1，x2＝﹣7．∴A（1，0），B（﹣7，0）．由y＝x2+x﹣＝（x+3）2﹣2得，D（﹣3，﹣2）；（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF＝∠DD1F＝90°，∵∠D1FD＝∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴＝，∵D（﹣3，﹣2），∴D1D＝2，OD＝3，∴D1F＝2，∴＝，∴OC＝，∴CA＝CF＝FA＝2，∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC＝∠ACF，∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF，∵EC＝DC＝＝6，∵BF＝6，∴EC＝BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（3）∵点P是抛物线上一动点，∴设P点（x，x2+x﹣），①当点P在B点的左侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝﹣；当点P在A点的右侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣；综上所述，点P的横坐标为﹣11或﹣或﹣；②由①得，这样的点P共有3个．8.（2019 河南中考）如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y 轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；（2）①由PM⊥x轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°两种情况考虑：（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x 轴交于点D，易证△AOC∽△COD，利用相似三角形的性质可求出点D的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法可求出直线PC的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．综上，此问得解；②利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点B，M的坐标，结合点C的坐标可得出点B′的坐标，根据点M，B，B′的坐标，利用待定系数法可分别求出直线BM，B′M和BB′的解析式，利用平行线的性质可求出直线l的解析式．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x﹣2＝﹣2，∴点C的坐标为（0，﹣2）；当y＝0时，﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣4，∴点A的坐标为（﹣4，0）．将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+x+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2．（2）①∵PM⊥x轴，∴∠PMC≠90°，∴分两种情况考虑，如图1所示．（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，∴点P的纵坐标为﹣2．当y＝﹣2时，x2+x﹣2＝﹣2，解得：x1＝﹣2，x2＝0，∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）；（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D．∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，∴∠OAC＝∠OCD．又∵∠AOC＝∠COD＝90°，∴△AOC∽△COD，∴＝，即＝，∴OD＝1，∴点D的坐标为（1，0）．设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线PC的解析式为y＝2x﹣2．联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，，点P的坐标为（6，10）．综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）．②当y＝0时，x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴点B的坐标为（2，0）．∵点C的坐标为（0，﹣2），点B，B′关于点C对称，∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）．∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠0），∴点M的坐标为（m，﹣m﹣2）．利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y＝﹣x+，直线B′M的解析式为y＝x﹣，直线BB′的解析式为y＝x﹣2．分三种情况考虑，如图2所示：当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y＝﹣x﹣2；当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y＝x﹣2；当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（m，﹣m﹣2）时，直线l的解析式为y＝x﹣m﹣2．综上所述：直线l的解析式为y＝﹣x﹣2，y＝x﹣2或y＝x﹣m﹣2．。
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
∴0＝a(0－6)2＋3，a＝－ 1
∴y＝－ 1 (x－6)2＋3
12
12
(2)当x＝9，y＝－ 1 (9－6)2＋3＝2.25＜2.5
12
∴射中球门
5. (例2)如图，铅球在A点被推出，出手时球离地面1米，铅球飞行 轨迹是抛物线，当铅球飞行的水平距离为4米时达到最高点B， 最高点离地面3米． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求此次推铅球的成绩． (1) y＝－ 1 (x－4)2＋3 8 (2) 当y＝0，x＝4±2 6 ∴成绩为(4＋2 6)米
∴水池半径至少3米
7. (例3)如图是抛物线形的拱桥，水面AB＝4米，拱顶C离 水面2米． (1)求抛物线的解析式； (2)若水面下降1米，则水面宽度将增加 多少米？ (1)y＝ - 1 x2＋2
2
(2)(2 6－4)米
8. 如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，讲老师:
第二十二章 二次函数
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
一、知识储备
1．求抛物线y＝x2－8x与x轴的交点坐标． (0，0)，(8，0)
2.抛物线的顶点为(6，3)且过点(0，0)，求抛物线的解析式．
y＝
1 12
(x－6)2＋3
二、新课学习
3. (例1)如图，一个高尔夫球在地面O点被击出，球的飞行路线是 抛物线y＝－ 1 x2＋ 8 x，其中y(m)是飞行高度，x(m)是球飞 55 出的水平距离．
(1)求球飞行过程中的最大高度；
(2)求球飞行过程中的最大水平距离．
16 (1)
米
(2)8米
5
4. 如图，贝克汉姆在球门正前方9米处将球射向空门，当球飞行的 水平距离为6米时，球达到最高点A，此时球距地面3米． (1)求球飞行轨迹的抛物线的解析式； (2)若球门高2.5米，问能否射中球门？
第十三讲 广义函数的运算
问题界的唯一性得到，非常巧妙。
(i)
.令
,则
,可见 是
Cauchy 问题 得
的解.对 ,注意到
作 Fourier 变换 ,所以 也
是 Cauchy 问题
的解,由唯一性的
.
(ii)
例2
证明
.
例3 证明
.由 续性力的结果. 例４ 特别的 证明
及 的连
.
定理 (i)
(ii)
证明 (i)经典 Fourier 变换中的 Fourier 积分定理.
变换算子 的逆算子。
命题 3
证明 计算
上的 Fourier 变换
定义 1 称
的共轭算子
为 上的 Fourier 变换，仍
记为 （由命题 3 知该记法是方便的）。
的共轭算子
为 上的 Fourier 逆变换，仍记为 。
性质 1
证明
性质 2
证明
。 性质 3 证明
.
性质 4
，即
，
，
证
明
。
例1
证明 思路：先证 1 维，用变量分离积分推广到高维。1 维时通过 Cauchy
也是
线性连续算子.
稠密 单。
例1
是一个线性连续算子.
例2
是一个线性连续算
子
广义函数的微商
定义 1 称
为 阶广义微商运算,即
,
性质 1 对 证明
. 评注：广义函数微商定义公式是分部积分公式的推广. 性质 2 广义函数对微商运算是封闭的,任何局部可积函数都存在任意 次广义导数. 引述：The space of distributions is essentially the smallest extension of
13第十三讲带有拉格朗日余项的泰勒公式
13第十三讲带有拉格朗日余项的泰勒公式在数学中，泰勒公式是一种用多项式来逼近函数的方法。
它是将函数在其中一点附近展开成无穷级数的形式。
在一般情况下，泰勒公式的残余项是难以计算的，但是如果我们知道该函数的一阶和二阶导数在展开点都存在，则我们可以利用拉格朗日余项的泰勒公式来计算残余项。
下面我们来详细介绍带有拉格朗日余项的泰勒公式。
设f(x)是定义在[a,b]上的n+1阶可导函数，x0是[a,b]上一个固定的内点，则对[a,b]上任一点x成立：f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)/2!(x-x_0)^2+...+f^n(x_0)/n!(x-x_0)^n+R_n(x)其中R_n(x)是拉格朗日余项，满足R_n(x)=f^(n+1)(ξ)(x-x_0)^(n+1)/(n+1)!，其中ξ属于(x_0,x)或(x,x_0)。
带有拉格朗日余项的泰勒公式的基本思想是将函数在展开点附近进行多项式展开，并通过取有限项来逼近原函数的值。
这意味着我们可以通过已知的函数值和导函数值来计算其他未知项。
例如，我们可以用拉格朗日余项的泰勒公式来近似计算sin(x)的值。
由于sin(x)在0点处的导数值为1，我们可以选择展开点x_0为0。
根据带有拉格朗日余项的泰勒公式，展开式为：sin(x)=sin(0)+cos(0)(x-0)-sin(0)/2!(x-0)^2-...+(-1)^(n+1)sin(0)/n!(x-0)^n+R_n(x)由于sin(0)=0，cos(0)=1，我们可以将展开式简化为：sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-...+(-1)^(n+1)x^(2n+1)/(2n+1)!+R_n(x)通过取有限项，我们可以增加原函数的精确度。
当n趋向于无穷大时，展开式将趋向于sin(x)的精确值。
而拉格朗日余项R_n(x)则限制了我们的展开式的精度。
在具体计算中，我们可以通过估计R_n(x)的大小来判断所取的有限项的合理性。
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第13讲函数的应用
一、复习目标：
1．考查二次函数模型的建立及最值问题．
2．考查分段函数模型的建立及最值问题．
3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．
二、基础梳理：
1．常见的函数模型及性质
(1)几类函数模型
①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)．
特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．四个步骤
(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；
(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；
(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；
(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
三、双基自测：
1．从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )．
A ．3～4万元
B ．4～5万元
C ．5～6万元
D ．2～3万元
2．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 台.
3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为 ．
4．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文
已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
四、考点探究：
考点一、一次函数、二次函数函数模型的应用
例1、在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为：Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月生产x 台某种产品的收入为R (x )元，成本为C (x )元，且R (x )＝3 000x －
20x2，C(x)＝500x＋4 000(x∈N*)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．
(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；
(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．
方法总结：
练习1、经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天价格为
g(t)＝1
2t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
考点二、指数函数模型的应用
例2、某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲
线．
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，
治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？
方法总结：
练习2、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；
(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)
考点三、函数y＝x＋a
x模型的应用
例3、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：
cm)满足关系：C(x)＝
k
3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8
万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
方法总结：
练习3、某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？
规范解答5——应用题中的函数建模问题
示例1、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)。