第4课时二次根式
2020河南中考数学考点突破(课件+训练)：4二次根式
B. 2 2 =2 2 33
D. 1 = 3 - 2 3 2
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3.如果ab>0,a+b<0,那么下列各式:① a = a ,② a · b =1,③ ab ÷ a =-b.其中正
b b ba
b
确的是 ( B )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
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一、选择题
1.(2019山东济宁)下列计算正确的是 ( D )
A. (-3)2 =-3 B. 3 -5= 3 5
C. 36 =±6
D.- 0.36 =-0.6
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2.(2019山东聊城)下列各式不成立的是 ( C )
A. 18- 8 = 7 2 93
C. 8 18 = 4 + 9 =5 2
A. 5-1<0.5 2
B.若ab=0,则a=b=0
C. a = a bb
D.若a>0,则3a可以表示边长为a的等边三角形的周长
解析 5-1≈0.6>0.5,故选项A错误;若ab=0,则a=0或b=0,故选项B错误;选项C应 2
加上a≥0,b>0,故选项C错误.故选D.
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超级总结 方法技巧 二次根式的估值一般有两种方法. 方法一:无限逼近法——①先对根式平方, 找出与平方后所得数字相邻的两个能 开得尽方的整数;②对找出的两个整数开方即可确定这个整式在哪两个整数之间; 方法二:借助无理数的近似值确定.如 2 ≈1.414, 3≈1.732, 5≈2.236等.
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1-2 (2019郑州外国语中学模拟)若使二次根式 1 有意义,则字母x必须满足 2x 1
第4讲 二次根式(第1课时 定义与性质)(8类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版8年级上册
是
．
【变式 1】（2023 春·吉林·八年级统考期中）若式子 5 a 在实数范围内有意义，则实数 a 的取值范围
是
．
x
【变式 2】（2023 春·江苏·八年级期末）使得 x 2 有意义的 x 的取值范围是
．
题型 02 求二次根式的值
【典例 1】（2023 春·浙江温州·八年级校考期中）当 a 1时，二次根式 7 a 的值是
A．2
B． 2
C． 2
D． 2
5．（2023·全国·八年级假期作业）已知 3n 是正整数，则自然数 n 的最小值为（ ）
A． 0
B． 2
C． 3
D．12
6．（2023 春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图， a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示，化简
a2 b (b c)2 的结果是（ ）
．
2
【变式 1】（2023 春·江苏·八年级期末）计算： 2
； (2)2
．
【变式 2】（2023 春·河南信阳·八年级校考阶段练习）化简： (2 5)2
．
题型 05 二次根式的乘法
【典例 1】（2023 春·山东东营·八年级统考期末）计算 8 12 的结果是 ． 【变式 1】（2023 春·山西吕梁·八年级统考期末）计算 12 3 的结果是
2
2
2 21 2 1 2
∴ 3 2 2 (1 2)2 1 2 ； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1) 5 2 6 ； (2) 7 4 3
A． a 2b c
B． a c
C． a 2b c
D． a c
二、填空题
2
7．（2023 春·福建厦门·八年级统考期末）计算：（1） 3 =
2015年浙江省杭州数学中考总复习课件第4课时：数的开方及二次根式
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
先化简分式后，再将相应的 x 的值代入，最后 根据二次根式的运算法则求得结果．
思路点津
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
x－3 x －6x＋9 解：原式＝ ÷ x x x－ 3 x 1 ＝ · . 2＝ x （x － 3 ） x－ 3 1 2014 当 x＝ 2014＋3 时，原式＝ ＝ . 2014 2014
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
【知识树】
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
杭 考 探 究
探究一 二次根式的估算
3 例 1 [2012·杭州 ] 已知 m ＝ ( － )×(－ 2 21) ，则有 3 ( A )
A． 5 ＜m ＜ 6 C．－5＜m＜－4
B ． 4＜ m ＜5 D．－6＜m＜－5
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·江干模拟] 下列各式中，错误 的是 ．．
( D )
A．(－ 3)2＝3 B．－ 32＝－3 C．( 3)2＝3 D. （－3）2＝－3
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
【归纳总结】 二次 式子 a(a≥0)，即非负数 a 的算术平方根 二次 根式 根式 最简二 ①被开方数中的因数是整数，因式是整式； 相关 次根式 ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式 概念 二次 a 根式 ①( a)2＝____(a≥0)； a ② a2＝|a|＝ －a 的性 a· b 质 ③ ab＝________(a≥0，b≥0)； a a b ④ ＝________(a≥0， b>0) b
二次根式教案(实用7篇)
二次根式教案（实用7篇）二次根式教案第1篇一、教学目标1．理解分母有理化与除法的关系．2．掌握二次根式的分母有理化．3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想二、教学设计小结、归纳、提高三、重点、难点解决办法1．教学重点：分母有理化．2．教学难点：分母有理化的技巧．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程【复习提问】二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：（1）（先乘除，后加减）．（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．（3）辨别有理化因式：有理化因式：与，与，与…不是有理化因式：与，与…化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．例如：等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？引入新课题．【引入新课】化简式子，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以的有理化因式，而这个式子就是，从而可将式子化简．例2 把下列各式的分母有理化：（1）；（2）；（3）解：略．注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．二次根式教案第2篇1.教学目标(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;(2)会用公式化简二次根式.2.目标解析(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;(2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气.，培养学生良好的运算习惯.在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：(1)如果被开方数是分数或分式(包括小数)，可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简(例见教科书例6解法1)，也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号(例见教科书例6解法2);(2)如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简.教学过程设计1.复习引入，探究新知我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?师生活动学生回答。
八年级下册数学二次根式
八年级下册数学二次根式八年级下册数学课程中，二次根式是一个重要的知识点。
在这里，我们将为大家详细介绍二次根式的相关内容，包括定义、性质、简化、运算和应用等方面。
一、定义二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a$是一个非负实数。
其中$\sqrt{a}$是该非负实数的二次根，也就是说，$\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$。
二、性质1. 二次根式的值为非负实数。
2. 二次根式与绝对值的运算具有相同的性质，即$|\sqrt{a}|=\sqrt{a}$。
3. 如果$a>b>0$，则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$。
4. 如果$a>b\geq0$，则$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$。
三、简化1. 若$a$为完全平方数，则$\sqrt{a}$可被化简为一个整数。
2. 若$a$为非完全平方数，则$\sqrt{a}$需保留在根号内。
3. 要注意化简后的二次根式是否符合原式。
四、运算1. 加减法：$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}=\sqrt{a\pm2\sqrt{ab}+b}$。
2. 乘法：$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（其中$b$不能为零）。
五、应用二次根式在各个领域中均有广泛应用，例如：1. 数学中的勾股定理、三角函数等概念均涉及二次根式。
2. 物理中常见的速度、加速度、力等量的平方根也是二次根式。
3. 工程领域中还涉及到诸如距离、面积、体积等二次根式的运用。
以上就是关于八年级下册数学二次根式的详细介绍。
希望本文能帮助大家更好地理解这一知识点，提高数学学习成绩。
第七节 二次根式 第4课时 导学案
子洲三中 “双主”高效课堂 数学 导学案2014-2015学年第一学期 姓名： 组名： 使用时间2014年 月 日年 级科 目课 题主 备 人备 课 方 式负责人（签字） 审核领导（签字） 序号 八（3） 数学 第七节 二次根式 第4课时 乔智一、【学习目标】1．理解分母有理化的概念。
2．掌握二次根式的混合运算顺序。
二、【学习过程】 （一）、学习准备1、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含________________，我们说这两个代数式互为有理化因式。
2、二次根式：形如)0(≥a a 的式子叫做________________，其中____________叫做被开方数。
3、二次根式的乘、除法则（1）);0,0(__________≥≥=b a ab（2）)0,0(__________>≥=b a ba。
4、阅读教材：第七节《二次根式》（四） （二）、教材精读 5、分母有理化的概念 例1计算：（1）；31 （2）52。
归纳：分母有理化：把 中的根号化去叫做分母有理化。
实践练习：把下面各式分母有理化：（1）；33（2）522。
解：（1）)(()______;3333==⨯⨯=（）（）6、分母有理化的依据 例2 将351-分母有理化。
解：()()()()==⨯-⨯=-)35(1351 归纳：分母有理化的依据是分式的基本性质。
实践练习：化简：（1）；222+ （2）231-。
7、有理化因式 例3化简（1）；121+ （2）32236-。
归纳：常见的有理化因式有a 与________，b a +与____________，d c b a +与___________。
实践练习：计算（1）01)22()32(----； （2）253+。
（三）、教材拓展 8、例4计算（1）132121++-； （2）0)13(8121-+-+。
归纳：分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。
第4课时 二次根式
第4课时 二次根式【课标要求】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)。
【知识要点】1.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含 ；⑵被开方数中不含 ； ⑶分母中不含 。
2.同类二次根式：二次根式化成 后，若被开方数 ，则这几个二次根式就是同类二次根式。
3.二次根式的性质： （1）a a =2（0≥a ）， ()a a =2（0≥a ）（2）（3）ab =b a ∙（a ≥0,b ≥0）；（4）()0,0>≥=b a ba ba4.二次根式的运算：【典型例题】【例1】（07，福州）当x ___________时，二次根式【例2】（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A.【例3】（06合并的二次根式为（ ） A.【例4】（08，广州）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：【例5】计算÷a （a ＞0）==a a 2 a -（a ＜0）0 （a =0）；【课堂检测】▲1.（07，上海）计算：2=_________ _．▲2.化简：（1= ．（2）3＋（5－3）＝________ _.▲3.（08，黄冈）化简=__ ____。
▲4．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A.▲5. 若无理数a 满足不等式14<<a ，请写出两个符合条件的无理数__________ ___. ▲6.）A.1-▲7.（08，重庆）计算28-的结果是（ ）A.6B.6C.2D.2 ▲8．（08，聊城）下列计算正确的是（ ） A．=B．=C．3=D3=-▲9.函数1y x =-的自变量x 的取值范围为 。
▲10.(08，益阳) 一个正方体的水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在A. 4cm~5cm 之间B. 5cm~6cm 之间C. 6cm~7cm 之间D. 7cm~8cm 之间▲11.（08，芜湖）估计算结果应在（ ）A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间 ▲12.（08，大连）若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为 ( )A.a 2B.b 2C.b a +D.b a - ▲13.若2-a ＋3-b ＝0，则=-b a 2 。
第4课时 二次根式
二次根式的混合运算
(2013· 泰安 )化简： 3( 2－ 3)－ 24－ | 6－ 3|＝－6. 【思路点拨】根据二次根式的乘法运算法则以及 绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即 可．
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(2013· 宿迁 ) 计算 2( 2 － 3) ＋ 6 的 值是 2.
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9的平方根是 ± 3 . － 27 的立方根是－ 3 .
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考点二
二次根式的性质
x (2013· 广州 )若代数式 有意义，则实数 x x－1 的取值范围是( A． x≠ 1 C． x＞ 0 D ) B ． x≥ 0 D． x≥ 0 且 x≠ 1
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(2013· 泰州)下列计算正确的是 ( C ) A． 4 3－ 3 3＝ 1 C． 2 1 ＝ 2 2 B. 2＋ 3＝ 5
D． 3＋ 2 2＝ 5 2
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考点四
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11．计算 10 A. 5＋ 2
1 ＋5 2 B. D.
1 － 32的结果是 ( 5 5 5－ 2 3 的值是 ( 6 3 C. 3 B )
中考数学一轮教材梳理复习课件：第4课二次根式
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最简二次根式3】(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的 是( B )
1 A. 2
B． 2
C. 4
D． 12
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10.(2020·上海)下列二次根式中，与 3 是同类二 次根式的是( C )
A． 6
B． 9
C． 12
D． 18
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5.(2020·济宁)下列各式是最简二次根式 的是( A )
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
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5.二次根式的性质与运算
(1)双重非负性： a ≥0 且 a≥0；
(2)( a )2＝a(a≥0)， a2 ＝|a| (a 取全体实数)；
(3) ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；
(4)
a b
＝
a b
(a≥0，b>0).
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6. (1)计算：
52 ＝___5___；( 5 )2＝___5___；
（－5）2 ＝__5____．
(2)计算：
1 2
×
8 ＝___2____．
(3)计算： 63 ÷ 7 ＝____3____．
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考点精炼
二次根式有意义的条件(7 年 6 考)
【例 1】(2020·武汉)式子 x－2 在实数范围内有
意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x≥0
B．x≤2
C．x≥－2
D．x≥2
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7.(2020·常德)若代数式
2 在实数范围内有 2x－6
意义，则 x 的取值范围是___x_＞_3___．
人教版初中数学八年级下册《数的开方与二次根式》
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考点聚焦
考向探究
第4课时┃数的开方与二次根式
考点聚焦 考点1 平方根、算术平方根与立方根 平方
平方
立方
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第4课时┃ 数的开方与二次根式
考点聚焦
考点1 平方根、算术平方根与立方根
名称
性质
算术平方根
只有_非___负__数__才有算术平方根，而 且算术平方根都是_非__负___数__.
二次根式 1. a • b＝ ab(a___≥__0___，b__≥__0____)；
的乘除
2.
b＝ a
ba(a___＞__0___，b___≥__0___).
二次根式 如：要估算 7在哪两个相邻的整数之间，先对 7进 的估算 行平方，因为 4＜7＜9，所以 2＜ 7＜3.
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第4课时┃数的开方与二次根式
乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的，如：1＋1
＝ 2
（
12×＋（1）（2－12）－1）＝
2－1，
1 3＋
2＝（
1×（ 3－ 3＋ 2）（
3－
2）＝
3
－ 2.
回归教材
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考向探究
第4课时┃数的开方与二次根式
考 向 探 究4
二次根式的大小比较
命题角度
1.比较二次根式与有理数的大小、比较两个二次根式的大小；
A B CD
2.二次根式
（1）二次根式、最简二次根式的概念
√
（2）用有理数估计二次根式值的大致范围
√
（3）用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运
算法则进行简单四则运算
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
(完整版)2017年数的开方及二次根式
二次根式 的乘法
a· b＝ ab(a___≥_0____，b___≥_0____)
二次根式 的除法
b＝ a
ba(a___>_0____，b___≥_0____)
第4课时┃数的开方及二次根式
考点5 把分母中的根号化去
常用形式 及方法
(1)
1＝ a
1· a·
a＝ a
aa；(2)
1＝ a＋b
a＋b a＋b
考点6 二次根式的估值
1.先对二次根式平方2.找出平方后所得数字相邻的两方开得 尽方的整数3.对以上两个整数开方4.确定这个二次根式的 值在这两个整数之间
归类探究
探究一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
例1 (1)[2013·资阳] 16的平方根是( B )
第4课时┃数的开方及二次根式
探究二 二次根式的有关概念
命题角度： 1．二次根式的概念； 2．最简二次根式的概念．
例2 围是(
[2012·广州]若代数式 D)
x x－1
有意义，则
D．x≥0且x≠1
第4课时┃数的开方及二次根式
解 析 由题意得x≥0且x－1≠0，解得x≥0且x≠1， 故选D. 方法点析
解析
第4课时┃数的开方及二次根式
(1)若4是腰长，则三角形的三边长为4，4，8，不能 组成三角形；
(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4，8，8， 能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20. 方法点析
(1)常见的非负数有三种形式：|a|， a，a2. (2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
方
立方根 一个数x的___立__方___等于a，那么x叫做a的立方根
二次根式乘除法(第4课时)
二次根式乘除法（第4课时）二次根式乘除法（第4课时）一．选择题（共14小题）．C D ．C D．．．D．D．6．（2011•台湾）计算之值为何（）．C D．．C8．（2005•广元）如果，那么（）2．+1 ﹣．C D．．12．计算：的结果为（）．13．最简二次根式的被开方数相同，则a的值为（）．C14．若成立，则x的取值范围是（）二．填空题（共10小题）15．（2014•福州）计算：（+1）（﹣1）=_________．16．（2013•连云港）计算：=_________．17．（2013•青岛）计算：2﹣1+=_________．18．（2013•武汉元月调考）计算：2÷=_________．19．（2013•平南县二模）计算：=_________．20．（2007•河北）计算：=_________．21．（2007•青岛）计算：=_________．22．计算：=_________．23．=_________，（）2=_________，=_________．24．2﹣的倒数是_________．三．解答题（共6小题）25．（2002•绍兴）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中x=1226．化简：．27．（2004•湖州）计算：（﹣2）0++．28．（2000•河北）已知：，，求的值．29．阅读下列解题过程：===﹣=﹣2；===﹣．请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子=_________；（2）利用上面所提供的解法，请化简++++…+的值．30．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：==；（一）=（二）==（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：=（四）（1）请用不同的方法化简．①参照（三）式得=（）；②参照（四）式得=（）（2）化简：．二次根式乘除法（第4课时）参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）．C D •，．C D．==，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故符合最简二次根式的定义，故的被开方数中含有分母，故（）•xy．D．÷（，D．=2÷=，此选项错误．6．（2011•台湾）计算之值为何（）．C D．．C8．（2005•广元）如果，那么（）﹣=2．+1 ﹣﹣（（（（=．C D．，故主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则．．+212．计算：的结果为（）．×=113．最简二次根式的被开方数相同，则a的值为（）．C最简二次根式14．若成立，则x的取值范围是（）=•解：根据题意得：二．填空题（共10小题）15．（2014•福州）计算：（+1）（﹣1）=1．+1﹣=16．（2013•连云港）计算：=3．）×）17．（2013•青岛）计算：2﹣1+=．故答案是：18．（2013•武汉元月调考）计算：2÷=4．=2．19．（2013•平南县二模）计算：=+1．，再与分母约分即可．==20．（2007•河北）计算：=a．=a=．除法法则= 21．（2007•青岛）计算：=1．==．除法法则=22．计算：=．解：（（+2=23．=，（）2=10，=1．，对分式进行分母有理化；）根二次根式的性质，推出=故答案为24．2﹣的倒数是2+．﹣的倒数是．+中的根号去掉，要用（）﹣三．解答题（共6小题）25．（2002•绍兴）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中x=1226．化简：．==﹣27．（2004•湖州）计算：（﹣2）0++．+1=328．（2000•河北）已知：，，求的值．，29．阅读下列解题过程：===﹣=﹣2；===﹣．请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子=﹣；（2）利用上面所提供的解法，请化简++++…+的值．）﹣；1+﹣+=．30．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：==；（一）=（二）==（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：=（四）（1）请用不同的方法化简．①参照（三）式得=（）；②参照（四）式得=（）（2）化简：．），；+。
八年级数学下册 第12章 二次根式 12.2 二次根式的乘除 第4课时 二次根式的除法及化简课件
目标突破
目标(mùbiāo)一 会化去根号中的分母或分母中的根号
例 1 教材例 7，例 8 变式题 化简：
(1)10 50 3；
(2) 1n8m(m＞0，n≥0)；
(3)4
38.
第四页，共十八页。
12.2 第4课时 二次根式(gēnshì)的除法及化简
[解析] (1)分子、分母同乘 2；(2)根号内分子、分母同乘 2m；(3)根号内分
第十八页，共十八页。
知识点三 最简二次根式(gēnshì)
1．一般地，化简二次根式就是使二次根式满足： (1)被开方数中不含能开得尽方的____因_数_(_yī_ns_hù_)或__因_式_； (2)被开方数中不含___分_母____； (3)分母中不含有___根__号___． 这样化简后得到的二次根式叫做__最_简__二_次__根_式___． 2．如果被开方数是小数，应先将其化为分数再化简．
正解：原式＝ 5÷5＝ 5×8＝
内容 总结 (nèiróng)
第12章 二次根式。12.2 第4课时 二次根式的除法(chúfǎ)及化简。12.2 第4课时。12.2 第4课时 二次根式的除法(chúfǎ)及化简。知识点二 化去 分母中的根号——分母有理化。最简二次根式
知识(zhī shi)目标
1．通过观察、讨论，能运用二次根式的除法运算法则化去根 号中的分母或分母中的根号．
2．经过自学阅读，了解最简二次根式的概念． 3．通过讨论，能进行二次根式乘除法的综合运算，并把结果 化为最简二次根式．
第三页，共十八页。
12.2 第4课时 二次根式(gēnshì)的除法及化简
第十一页，共十八页。
12.2 第4课时(kèshí) 二次根式的除法及化简
2015年河北中考数学总复习课件(第4课时_二次根式)
图 4－1
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第4课时┃ 二次根式
探究二 二次根式的化简与计算
命题角度： 1．将一般二次根式化成最简二次根式； 2．二次根式的加、减、乘、除运算．
例 3 [2013· 上海 ] 下列式子中，属于最简二次根式的是( B ) 1 A. 9 B. 7 C. 20 D. 3
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( B )
解 析 由最简二次根式的定义可知最简二次根式必须 同时满足以下两个条件： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
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3．下列各式运算正确的是 A. 2＋ 2 3＝3 5 B. 8＝ 4 2 C. 27÷ 3＝3 D. 25＝ ± 5
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例 5 计算：(1)[2014· 宜宾] |－2|－(－ 2)
0
1 － 1 ＋ ； 3
解：原式＝2－1＋3＝4.
1 － 1 (2) ＋(1＋ 5
3)(1－ 3)－ 12；
3＝3－2
2016
解：原式＝5－2－2
2015
3.
3 0 (3)(2－ 3) ·(2＋ 3) － ( － 2) . 2 3 2015 解：原式＝[(2－ 3)(2＋ 3)] · (2＋ 3)－2× －1 2 ＝ 2＋ 3－ 3－ 1＝1.
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第4课时┃ 二次根式
在判断最简二次根式的过程中要注意： ( 1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就 不是最简二次根式； (2)对于二次根式的被开方数中的每一个因式 (或因数)， 如 果幂的指数大于或等于 2，那么也不是最简二次根式．
第4课时：《二次根式》(1)——二次根式及二次根式的乘除运算
第1课时《二次根式》（1）——二次根式及二次根式的乘除运算【知识点拨】 1、二次根式：（1）概念：形如______的式子叫做二次根式。
（2）被开方数可以是数，也可以是式子，但必须为____________。
[例题1] 1、函数13--=x xy 中，自变量x 的取值范围是 ． 【答案】3≤x 且1≠x2、下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A.x -2 B. 2+x C. 2-x D.21-x 【答案】C2、）（0≥a a 是一个________数。
[例题2]1、若20a -=，则2a b -= ． 【答案】12、已知x 、y 为实数，且1y =，求x y +的值．【答案】解：由题意得，20090x -≥，且20090x -≥．∴2009x =， ∴1y =． ∴2010x y +=．3、二次根式的性质：（1）=2)(a ___________（________）； （2）⎩⎨⎧<≥=)0______()0______(2a a a[例题3]1、有一道练习题是：对于式子2a 后求值.其中a =小明的解法如下：2a 2a -2(2)a a --＝2a +2.小明的解法对吗？如果不对，请改正.【答案】解：小明的解法对不对.改正如下：由题意得，2a =(2)2a a =--=-+．∴2a 2a 2(2)a a --+＝32a -＝2．4、二次根式的乘法：（1）法则：=⋅b a ______（00≥≥b a ，），即两个二次根式相乘，把被开方数______，根指数_______。
（2）应用：=ab _______⋅（00≥≥b a ，）→二次根式的化简。
5、二次根式的除法： （1）法则：=ba _________（00>≥b a ，），即两个二次根式相除，把被开方数________，根指数______。
（2）应用：=ba________（00>≥b a ，）→二次根式的化简。
第4课时 二次根式混合运算
(3)(3－ 7 )(3＋ 7 )＋ 2(2－ 2 )＋(2－ 3)2018 (2＋ 3 )2017
原式＝9－7＋22－2＋(2－
3) (2＋
3 )(2－
2017
3 )
＝2 2＋2－ 3
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题型 1 乘法公式在二次根式求值中的应用
11．已知 a＝
1 ，b＝ 5－2
1 ，求 5＋2
a2＋b2＋7 的值．
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8．(中考•滨州)下列计算：
2
2① 2 ＝2 ；② －22 Nhomakorabea2 ；③ －2 3 ＝12 ；
④ 2＋ 3 2－ 3 ＝－1，其中结果正确的个
数为( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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9．(中考•泸州)已知三角形的三边长分别为a，b，c，求 其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古 希腊的几何学家海伦(Heron，约公元50年)给出求其
解：(1)
1 ＝ n＋1－ n (n为自然数，且n≥1)．
n＋1＋ n
(2)原式＝ 2－1 ＋ 3－ 2 ＋＋ 2018－ 2017
＝ 2018－1.
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第二章 实数
2.7 二次根式 第4课时 二次根式混合运算
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知识点 1 二次根式的混合运算
1．二次根式的运算顺序与整式的运算顺序相同，先算 ___乘__方___，再算___乘__除___，最后算___加__减___；有括 号的先算____括__号__内__的______，再算__括__号__外__的__．整 式的运算律及相关运算法则在二次根式的运算中同 样适用．
二次根式的知识点
二次根式的知识点
二次根式是高中数学必修部分，也是一种非常重要的算法，它的用途也很广泛，在解决数学问题的时候也有很大的帮助作用。
在高中数学中，学习二次根式的目的是帮助学生掌握二次根式的概念，熟悉二次根式的运用方法，从而将其应用到实际的数学问题中去。
首先，需要对二次根式的定义有个正确的理解，二次根式实际上是由一个变量（x）的平方项与两个一次项构成的多项式，习惯上将其写成这样：ax² + bx + c = 0，其中a、b和c都是常量。
二次根式可以描述出各种不同的数学问题，也可以用来解决实际的数学问题，因此，如何正确的掌握、利用二次根式，成为了高中数学学习中的一个重要课程内容。
其次，学习二次根式必须了解其求解方法。
根据二次根式的结构可以推断，它和一次方程的求解方法有一定的相似性，可以采用常见的移项法对二次根式求解，即先将二次根式的式子转化为(x+c)²=0的形式，再求出c，最后解出x即可。
另外，学习二次根式还要熟悉它的一个重要概念，二次函数，它也是运用二次根式的一个重要概念。
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解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|
x≥2， ∴ x≤2， ＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)
第4课时 要点梳理：
1、二次根式的双重非负性：
二次根式
a
有意义
a0
a 0
2、二次根式的两个公式： (1)根式：
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．
最简二次根式，满足两个条件：
若分母 是两部分的 和，不要求分母有 ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．理化
.
1 3 2
9 4 4 3 8
15
4 3 48 6 4816 7
与被开方数相邻的平方数 4 3 7 6
？
例2、关注隐含条件： (1)已知 36 (2)若y＝a、b、c是△ABC的三边长，试化简： ＋ 6－3x ＋x3，则10x＋2y的值是______。 3x－6
∴x＝2，y＝23＝8，
＝2a＋2b＋2c.
∴10x+2y=36 “双重非负性”是二次根式的基本性质，但往往被忽视，解决有关问 题时要注意挖掘这一隐含条件。
①被开方数不含分母； 4.同类二次根式和合并同类二次根式： 化成最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫最简二次根式。 二次根式加减运算的实质是合并同类根式。
补充例题： 例1、估计无理数的大小： （1）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） (3)估计： 6 1 的大小介于那两个整数之间？ （4）估计： 4 3 的大小介于那两个整数之间？ （2） 10 的整数部分是a ，小数部分是b ,则a= ,b= A．2与3之间 B．3与4之间C． 4与5之间D． 5与6之间