肖太课堂实录的学案(等差数列前n项和一)

§2.3等差数列前n 项和（一）学案
学习要求：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.
学习重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用.
学习难点：灵活运用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题.
（一）课前热身 1.等差数列定义
一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等
于 ，那么这个数列就叫做等差数列。

即： 2.等差数列通项公式
a n = 扩展： a n =a m +(n-1)d (m n ∈N ﹡n ＞m ≥1) 3.等差数列有关性质
(1)若a 、b 、c 成等差数列，则2b=a+c （b 叫a c 的等差中项）
(2)若m n p q ∈N ﹡,且m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q
若m n p ∈N ﹡,且m+n=2p,则a m +a n =2a p （a p 叫a m 与a n 的等差中项）
(3)a 1+ a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…= a k-1+a k+1=… (n k ∈N ﹡
) 4.公差的几种求法： d=a n -a n-1 d=
1
n 1--a a n d=m n --m
n
a a
（二）故事导入
1.1+2+ 3+…+100=？ 被誉为“数学王子”的德国数学家高斯在10岁时，老师提出问题后仅花几秒钟的时间就说出答案，你知他是怎么得出来的吗？
S 100=1+2+ 3+…+100=（1+ ）+（2+ ）+（3+ ）+…+( + ) =（ + ）×50=
（三）探究出等差数列前n 项和公式.
1.给出S n 的定义：一般地，我们称123n a a a a ++++为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示，即123n n S a a a a =+++
+ 2．设 S 100=1+ 2 + 3 +···+99+100 则S 100= 100+99+98+···+ 2 + 1 故 2S 100=(1+100)+(2+99)+···+(100+1) =(1+100)×101
S 100=
由此猜想等差数列{an}前n 项和sn 为：
s n =
3.用字母代替高斯算法中的数套出等差数列设等差数列{an}的前n 项和为S n 公式。

S n =a 1 + a 2 + a 3 + … + a n-2 + a n-1 + a n S n =a n + a n-1 + a n-2 + … + a 3 + a 2 + a 1 两式对应相加得
2S n = 在上式中由m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q 有：
a 1+ a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…= a k-1+a k+1=… ∴ 2 S n =n(a 1+a n ) 故：s n =
2
)
(n 1n a a +……………… ① 4.把a n =a 1+(n-1)d 代入s n =
2
)
(n 1n a a +得等差数列求和的另一计算公式 s n =na 1+d n ⨯2
1-n ）
（……………… ②
5 方法2：.拓展提升，如何根据等差数列a n =a 1+(n-1)d 来推导等差数列前n 项和公式s n ?
拓展提升,再用“倒序相加”的思想探究出等差数列前n 项和公式 由等差数列通项a n =a 1+(n-1)d 公式运用倒序相加可得:
∵S n =a 1 + a 2 + a 3 + … + a n
S n =a 1 + (a 1+d) + (a 1+2d) +…+[a 1+(n-1)d] S n =a n + (a n -d) +(a n -2d)+…+[a n -(n-1)d] 2 S n =n(a 1+a n )
∴s n = ……………… ①
由a n =a 1+(n-1)d 代入公式① 得：
s n = ……………… ②
6.热身练习
根据下列条件，求出等差数列﹛a n ﹜的前n 项和
(1) a 1=5, a n =95, n=10 (2) a 1=100, d=-2, n=50
(四)运用公式解决实际问题,
例1:如图 超市一堆放铅笔的V 形架，最下面第一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就这样一层一层地往上放。

最上面一层放120支。

求这个V 形架上共放着多少支铅笔？
解：依题知，各层铅笔数自下而上成等差数列，设为{an} 则a 1=1,a n =120,n=120,d=1代入公式得（有两种方法）：
法一： s n = =7260
法二： s n = =7260
答：这个V 型架共放了7260枝铅笔.
(五)等差求和公式的灵活选用，培养学生方程的思想解题，函数的思想认识a n
与n 、s n 与n 的函数关系
1.建立方程在a 1、a n 、n 、s n 或a 1、n 、d 、s n 中知三求一
例２:等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？ 引导学生绘制a n =f(n) S n = f(n)的函数图像
解：设等差数列{an}首项a1= -10,前n 项和Sn=54,公差d=4, 代入s n =na 1+
d n 2
1-n ）
（公式
得 整理得 解得
故该等差数列前 项和是54.
绘制a n =f(n)与S n =f(n 的函数图像
热身练习：等差数列5，4，3，2，···前多少项和是-30？
2．建立方程组探究a 1、a n 、n 、s n 、n 间的关系（ 知三求二）
【教师】例3 已知在等差数列﹛a n ﹜中，d=20,n=37,s n =629,求a 1及a n 解： ……………… ①
…………… ②
由以上两式建立方程组求解得 a 1= a n =
（六）横用公式（若m+n=p+q 则a m +a n =a p +a q ，若m n p ∈N ﹡,且m+n=2p,则
a m +a n =2a p )进行整体代换 例4 在等差数列 {a n } 中 （1） 已知a 3+a 99=200.求S 101
（2） 已知a 15+a 12+a 9+a 6=20,求S 20?
解:（1） （2）
小结：
例5 根据数列{an}前n 项和公式,判断下列数列是否为等差数列. (1) s n =2 n 2 - n
(2) s n =2 n 2 - n + 1 。

(七)小结回顾,实现飞跃 1.从特殊到一般的研究方法;
2.体会倒序相加的算法,掌握等差数列的两个求和公式,体会方程(组)思想，函数的思想（前n 项和公式是关于n 的函数）。

3．学习了已知等差数列中首项、公差、末项、前n 项和中的某几项求他量的方
法。

4、借助梯形面积公式的表达形式帮助学生记忆等差数列的前n 项和公式（注意：只是类比帮助记忆）。

s n =
2
)
(n 1n a a ……………… ① s n =na 1+
d n 2
1-n ）
（……………… ②
布置作业
1.阅读教材P 42到P 44，复习数列、等差数 列 列定义、数列图像、二次函数图像 。

2.教科书第46页习题§2.3A 组1、2、3、4题。

3.课外练习：已知等差数列16，14，12，10， … (1)前多少项的和为72？ (2)前多少项的和为0？ (3)前多少项的和最大？。