2018届人教A版(理) 不等式与推理证明 检测卷 3
2018届高中数学人教A版 推理与证明单元测试(Word版,含答案)5
2017-2018学年度xx学校xx月考卷一、选择题(共15小题,每小题5.0分,共75分)1.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形2.根据下面一组等式S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，…可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1等于()A． 2n2B．n3C． 2n3D．n43.用数学归纳法证明等式：1＋2＋3…＋3n＝，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是()A． 3k＋1B． (3k＋1)＋(3k＋2)C． 3k＋3D． (3k＋1)＋(3k＋2)＋(3k＋3)4.欲证不等式－<－成立，只需证()A． (－)2<(－)2B． (－)2>(－)2C． (＋)2<(＋)2D． (－－)2<(－)25.已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于()A． 1B．－1C． 0D． ±16.如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第39颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大7.观察下面关于循环小数化分数的等式：＝，＝＝，，，据此推测循环小数，可化成分数()A．B．C．D．8.观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63等于()A． 192B． 202C． 212D． 2229.记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：S 1＝n2＋n，S 2＝n3＋n2＋n，S 3＝n4＋n3＋n2，S 4＝n5＋n4＋n3－n，S 5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，….可以推测A－B等于()A．B．C．D．10.下列类比推理的结论正确的是()①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；②类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；③类比“设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8成等差数列”，得到猜想“设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，成等比数列”；④类比“设AB为圆的直径，P为圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在，则kPA·kPB为常数”，得到猜想“设AB为椭圆的长轴，p为椭圆上任意一点，直线PA·PB的斜率存在，则kPA·kPB为常数”．A．①④B．①②C．②③D．③④11.下列类比推理中，得到的结论正确的是()A．把log a(x＋y)与a(b＋c)类比，则有log a(x＋y)＝log ax＋log byB．向量a，b的数量积运算与实数a，b的运算性质|ab|＝|a|·|b|类比，则有|a·b|＝|a||b|C．把(a＋b)n与(ab)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bnD．把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和12.根据给出的数塔猜测123 456×9＋2等于()1×9＋2＝11，12×9＋2＝111，123×9＋2＝1 111，1 234×9＋2＝11 111，12 345×9＋2＝111 111.A． 111 111B． 1 111 111C． 1 111 112D． 1 111 11013.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(3n＋1)＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A． 3k＋2B． 3k＋4C． (3k＋2)＋(3k＋3)D． (3k＋2)＋(3k＋3)＋(3k＋4)14.先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下方法：令＝x，则有x＝，两边同时平方，得1＋x＝x2，解得x＝(负值已舍去)”可用类比的方法，求得1＋的值等于()A．B．C．D．15.用数学归纳法证明：＋＋…＋≥，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边需添加的项是() A．＋＋B．＋＋－C．。
2018年全国卷3理科数学试题及参考答案-
绝密★启用前试题类型：新课标Ⅲ2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}0,1,2B =，则A B = ( ) A ．{}0 B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}0,1,2 【答案】C【解析】:1A x ≥，{}1,2A B ∴= 【考点】交集2．()()12i i +-=( )A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 【答案】D【解析】()()21223i i i i i +-=+-=+【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B 答案能看见小长方体的上面和左面，C 答案至少能看见小长方体的左面和前面，D 答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失 【考点】三视图 4.若1sin 3α=，则cos 2α=( ) A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 【答案】B【解析】27cos 212sin 9αα=-= 【考点】余弦的二倍角公式5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 【答案】C【解析】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +项为：()521035522rr r r r r C x C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，故令2r =，则10345240r r r C x x -=【考点】二项式定理俯视方向D.C. B.A.6．直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于点,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[]2,6B ．[]4,8 C． D．⎡⎣【答案】A【解析】()()2,0,0,2A B --，AB ∴=，可设()2,P θθ+，则4P ABd πθ-⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭[]12,62ABP P AB P AB S AB d ∆--∴=⋅=∈ 注：P AB d -的范围也可以这样求：设圆心为O ，则()2,0O，故P AB O AB O AB d d d ---⎡∈+⎣，而O AB d -==，P AB d -∴∈ 【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数) 7．422y x x =-++的图像大致为( )【答案】DxxxxyyyyD.C.B.A.OO11OO111111【解析】()12f =，排除A 、B ；()32'42212y x x x x =-+=-，故函数在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单增，排除C【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10为成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3 【答案】B【解析】由题意得X 服从二项分布，即()~10,X p ，由二项分布性质可得()101 2.4DX p p =-=，故0.4p =或0.6，而()()()()64446610104161P x C p p P x C p p ==-<==-即()221p p -<，故0.5p >0.6p ∴=【考点】二项分布及其方差公式9.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2224a b c+-，则C =( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】2221sin 24ABCa b c S ab C ∆+-==，而222cos 2a b c C ab+-= 故12cos 1sin cos 242ab C ab C ab C ==，4C π∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理10.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -的体积最大值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，O为球心，F为等边ABC∆的重心，易知OF⊥底面ABC，当,,D O F三点共线，即DF⊥底面ABC时，三棱锥D ABC-的高最大，体积也最大. 此时：6ABCABCABS∆∆⎫⎪⇒==等边，在等边ABC∆中，233BF BE AB===，在Rt OFB∆中，易知2OF=，6DF∴=，故()max163D ABCV-=⨯=【考点】外接球、椎体体积最值11.设12,F F是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若1PF=，则C的离心率为( )AB．2CD【答案】C【解析】渐近线OP的方程为：by xa=，利用点到直线的距离公式可求得2PF b=，(此结论可作为二级结论来记忆)，在Rt ABC∆中，易得OP a=，1PF∴=，在1POF∆中，由余弦定理可得：22216cos2a c aPOFac+-∠=，又2cosaPOFc∠= 22262a c a aac c+-∴+=，故cea==【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形OF ECBAD12. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则( )A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 【答案】B【解析】首先由0.2log y x =单调递减可知0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21a =<=<=，同理可知21b -<<-，0,0a b ab ∴+<<，排除C 、D 其次：利用作商法：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b ab a b+=+=+=<(注意到0ab <) a b ab ∴+>【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,c λ=. 若()//2c a b + ，则_______.λ= 【答案】12【解析】()24,2a b +=，故24λ=【考点】向量平行的坐标运算14. 曲线()1xy ax e =+在点()0,1处的切线斜率为2-，则______.a =【答案】3-【解析】()'1x xy ae ax e =++，12k a ∴=+=-【考点】切线斜率的计算方法15.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为_________.【答案】3【解析】[]0,x π∈，3,3666t x ππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，由cos y t =图像可知，当35,,222t πππ=时cos 0t =，即()f x 有三个零点 或者：令362x k πππ+=+，则93k x ππ=+，当0,1,2k =时，[]0,x π∈，故3个零点【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质16. 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于,A B 两点，若90AMB ∠= ，则_______.k =【答案】2 【解析】(1) 常规解法：设直线方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可求121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由()()12121212110MB MA y y y y x x x x ⋅=-++++++= ，可得12m =，故2k =(2) 二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切设AB 中点为N ，则由二级结论可知NM ⊥准线，1N M y y ∴==，故22A B N y y y +==，由点差法可得，42A B k y y ==+ 进一步可得二级结论：AB M k y p ⋅=【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17. (12分)等比数列{}n a 中，1531,4a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和. 若63m S =，求m . 【答案】(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =【解析】(1)25334a a a q ==，2q ∴=±，∴12n n a -=或()12n n a -=-(2) 当2q =时，()()112631mmS -==-，解得6m =当2q =-时，()()112633mm S --==，得()2188m-=-无解综上：6m =【考点】等比数列通项公式与前n 项和公式 18. (12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式8655689 9 7 627012234 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3281445 2 11 009(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式 第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥ 0.0500.010 0.001k3.8416.63510.828【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min 之间，而第一组数据集中在80min~90min 之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上168727677798283838485868787888990909191928420E +++++++++++++++++++==同理274.7E =，21E E < ，故第二组生产方式效率更高 (2)由茎叶图可知，中位数7981802m +==，且列联表为：超过m 不超过m第一种生产方式15 5 第二种生产方式515(3)由(2)可知()22224015510 6.63520202020K -==>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验 19．(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在的平面垂直，M 是CD 上异于,C D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积的最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析； 【解析】(1)ABCD CDM BC DCM BC DM DM BMC ADN BMC BC CD MC DM ⎫⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⎪⇒⊥⇒⊥⊥⎬⎭⎪⊥⎭(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)(2)ABC S ∆ 恒定，故要使M ABC V -最大，则M ABC d -最大，结合图象可知M 为弧 CD中点时，M ABC V -最大. 此时取CD 的中点O ，则MO DC ⊥，故MO ⊥面ABCD ，故可建立如图所示空间直角坐标系 则：()0,0,1M ，()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -MBCDA()()0,2,0,2,1,1AB MA ==--，∴平面MAB 的法向量为()11,0,2n = ，易知平面MCD 的法向量为()21,0,0n =，故12cos ,5n n <>== ， ∴面MAB 与面MCD【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法 20. (12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >.(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=. 证明,,FA FP FB 成等差数列，并求该数列的公差. 【答案】(1)见解析；(2)28d =±【解析】(1) 点差法：设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减化简可得： 1212121234y y y y x x x x -+⋅=--+，34OM AB k k ⋅=-(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，34m k ∴=-，易知中点M 在椭圆内，21143m +<，代入可得12k <-或12k >，又0m >，0k ∴<，综上12k <-联立法：设直线方程为y kx n =+，且()()1122,,,A x y B x y ，联立22143x y y kx n⎧⎪+=⎨⎪=+⎩可得，()2224384120k x knx n +++-=，则122212284341243kn x x k n x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()121226243ny y k x x n k +=++=+224143343M M kn x k n y m k -⎧==⎪⎪+∴⎨⎪==⎪+⎩，两式相除可得34m k =-，后续过程和点差法一样(如果用∆算的话比较麻烦)(2) 0FP FA FB ++= ，20FP FM ∴+= ，即()1,2P m -，214143m ∴+=，()304m m ∴=>∴71,4k n m k =-=-=，由(1)得联立后方程为2171404x x -+=，1,2114x ∴=±， ()22121223c a c a cFA FB x x a x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫∴+=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(此处用了椭圆的第二定义，否则需要硬算，计算量太大)而32FP =2FA FB FP ∴+=故,,FA FP FB成等差数列.221212214c a c a c d FA FB x x x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫=±-=±---=±-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭28d ∴=±【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义21. (12分)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-.(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a . 【答案】(1)见解析；(2)16a =-【解析】(1)常规方法：当0a =时，()()()()2ln 121f x x x x x =++->-，()()1'ln 111f x x x∴=++-+ ()()2''1xf x x ∴=+，当10x -<<时，()''0f x <；当0x >时，()''0f x >()'f x ∴在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，而()'00f =， ∴()'0f x ≥恒成立，()f x ∴单调递增，又()00f = ∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >改进方法：若0a =，则()()()()()22ln 122ln 12x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦令()()2ln 12x g x x x =+-+，则()()()()22214'01212x g x x x x x =-=>++++ 所以()g x 在()0,+∞单增，又因为()00g = 故当10x -<<时，()()00g x g <=，即()0f x <； 当0x >时，()()00g x g >=，即()0f x >；方法对比：若直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出()2x +之后对数单独存在，一次求导就可消掉对数(2) 方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数y =()f x 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前21n -阶导数等于0，第2n 阶导数小于0()()()22ln 12f x x ax x x =+++-()()()21'21ln 111ax f x ax x x +∴=+++-+，()'00f ∴=()()()2234''2ln 11ax ax xf x a x x ++∴=+++，()''00f ∴=()()232661'''1ax ax x a f x x +-++∴=+0x =是()f x 的极大值点，()'''0610f a ∴=+=，16a ∴=-，下证：当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点，()()()3163'''1x x f x x -+=+，所以()''f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减 进而有()()''''00f x f ≤=，从而()'f x 在()1,-+∞单减，当()1,0x ∈-时，()()''00f x f >=，当()0,x ∈+∞时，()()''00f x f <= 从而()f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减，所以0x =是()f x 的极大值点.方法二： 0x =是()f x 的极大值点，所以存在0δ>，使得在()(),00,δδ- ，()()00f x f <=，即()()22ln 120x ax x x +++-<当()0,x δ∈时，()ln 10x +>，故()()()()2222ln 122ln 1ln 1xx x x x x a x x x +--+-++<=+，当(),0x δ∈-时，()ln 10x +<，故()()()222ln 1ln 1x x x a x x -++>+即()()()()()()()()()()()22000022ln 11ln 1limlimln 121ln 11ln 111lim lim 42642ln 144ln 141x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x x →→→→-++-++==++++--++===-++++++++(洛必达法则，极限思想)【考点】导数的应用(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修44-：坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于,A B 两点.(1) 求α的取值范围；(2) 求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；(2)23,,44222x y αππαα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎪⎩【解析】(1)当2πα=时，直线:0l x =，符合题意；当2πα≠时，设直线:l y kx =-1d =<，即()(),11,k ∈-∞-+∞ ，又tan k α=，3,,4224ππππα⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)可设直线参数方程为cos 3,44sin x t y t αππαα=⎧⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎪⎝⎭⎩，代入圆的方程可得：2sin 10t α-+=122P t t t α+∴==cos 3,44sin x y ααππααα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎪⎩即点P的轨迹的参数方程为23sin 2,,244x y ππααα⎧⎛⎫=⎪⎛⎫∈⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎩(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程23. 选修45-：不等式选讲(10分)已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 【答案】(1)见解析；(2)5【解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，图象如下(2)由题意得，当0x ≥时，ax b +的图象始终在()f x 图象的上方，结合(1)中图象可知，3,2a b ≥≥，当3,2a b ==时，a b +最小，最小值为5， 【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题xy21.531-0.5O。
2018届高三数学人教A版文复习习题：第七章 不等式、推
单元质检卷七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]2.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为,则不等式bx2-5x+a>0的解集为()A. B.C.{x|-3<x<2}D.{x|x<-3或x>2}3.下面四个推理中,属于演绎推理的是()A.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 015的末两位数字为43B.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,可得偶函数的导函数为奇函数C.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似的,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积之比为1∶8D.已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应4.(2017浙江,4)若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)5.(2017北京丰台一模,文8)某校举行了以“重温时代经典,唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛.该校高一年级有1,2,3,4四个班参加了比赛,其中有两个班获奖.比赛结果揭晓之前,甲同学说:“两个获奖班级在2班、3班、4班中”,乙同学说:“2班没有获奖,3班获奖了”,丙同学说:“1班、4班中有且只有一个班获奖”,丁同学说:“乙说得对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则这两人是()A.乙,丁B.甲,丙C.甲,丁D.乙,丙6.(2017福建厦门一模,文7)实数x,y满足则z=4x+3y的最大值为()A.3B.4C.18D.247.(2017湖南岳阳一模,文10)已知O为坐标原点,点A的坐标为(3,-1),点P(x,y)的坐标满足不等式组若z=的最大值为7,则实数a的值为()A.-7B.-1C.1D.78.(2017安徽安庆模拟)设实数m,n满足m>0,n<0,且=1,则4m+n()A.有最小值9B.有最大值9C.有最大值1D.有最小值19.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件10.(2017山东菏泽一模,文9)已知实数x,y满足约束条件若z=的最小值为-,则正数a的值为()A. B.1C. D.11.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+〚导学号24190983〛12.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.观察分析下表中的数据:正方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.14.(2017广东揭阳一模,文11改编)已知抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R)恒过第三象限上一定点A,且点A在直线3mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,则的最小值为.15.已知a,b,μ∈(0,+∞),且=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是.16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=n2+n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=n2-n,六边形数N(n,6)=2n2-n,……可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)= .〚导学号24190984〛单元质检卷七不等式、推理与证明1.D∵2x+2y=1≥2,∴≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2.2.C由题意知a>0,且,-是方程ax2-5x+b=0的两根,∴解得∴bx2-5x+a=-5x2-5x+30>0,即x2+x-6<0,解得-3<x<2,故选C.3.D选项A,B都是归纳推理,选项C为类比推理,选项D为演绎推理.故选D.4.D画出约束条件所表示的平面区域为图中阴影部分所示,由目标函数z=x+2y得直线l:y=-x+z,当l经过点B(2,1)时,z取最小值,z min=2+2×1=4.又z无最大值,所以z的取值范围是[4,+∞),故选D.5.B假设乙的说法是正确的,则丁也是正确的,那么甲丙的说法都是错误的,如果丙是错误的,那么1班、4班都获奖或1班、4班都没有获奖,与乙的说法矛盾,故乙的说法是错误,则丁也是错误的;故说法正确的是甲、丙.6.D画出满足条件的平面区域,如图示:由解得A(3,4),由z=4x+3y得y=-x+z,结合图象得直线过点A(3,4)时,z最大,z的最大值是24,故选D.7.C不等式组的可行域如图阴影部分:O为坐标原点,点A的坐标为(3,-1),点P(x,y),z==3x-y,z=的最大值为7,可得3x-y=7,由可得B(3,2),代入x-y=a,可得a=1.8.C因为=1,所以4m+n=(4m+n)=5+.又m>0,n<0,所以-≥4,当且仅当n=-2m,即m=,n=-1时等号成立,故5+≤5-4=1,当且仅当m=,n=-1时等号成立,故选C.9.B设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=≥2=20,当且仅当(x>0),即x=80时等号成立,故选B.10. 实数x,y满足约束条件的可行域如图阴影部分.已知a>0,由z=表示过点(x,y)与点(-1,-1)连线的斜率,且z的最小值为-,所以点A与点(-1,-1)连线的斜率最小,由解得A,z=的最小值为-,即=-,解得a=.故选D.11.B不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2∈(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+.故选B.12.B若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,故选B.13.F+V-E=2三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.14.12抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R)恒过第三象限上一定点A,∴A(-1,-3),∴m+n=,又=6+3≥6+6=12,当且仅当m=n=时等号成立.15.(0,16]∵a,b∈(0,+∞),且=1,∴a+b=(a+b)=10+≥10+2=16(当且仅当a=4,b=12时等号成立).∴a+b的最小值为16.∴要使a+b≥μ恒成立,只需16≥μ.∴0<μ≤16.16.1 000由题中数据可猜想:含n2项的系数为首项是,公差是的等差数列,含n项的系数为首项是,公差是-的等差数列,因此N(n,k)=n2+n=n2+n.故N(10,24)=11n2-10n=11×102-10×10=1 000.。
2018 年全国 III 卷数学(理)答案及解析
a1 = 1 ，
an = 2n −1 或 an =
( −2 )
n −1
S = 63 ， (2) mn −1 ∴ 当通项公式为 an = 2 时， 1 − 2
(1 − 2 ) = 63
m
，得 m =6
当通项公式为
an =
( −2 )
n −1
1 − ( −2 )m = 63 m −1) 2m = 188 ( + 1 2 时， ，得 ,
− x + x + 2 的图像大致为（ 7.函数 y =
4 2
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【考点】函数图像以及性质 【难易程度】基础题 【解析】当 x=1 时，函数值大于 0，排除 A、B;因为 F(x)=F(-x)，函数为偶函数，图像关于 y 轴
−4 x 3 + 2 x =0 ,解得 x=0、 、 对称， 令F '( x) =
,函数在（-∞，
）单调递增， （
，0）
单调递减， （0， ）单调递增， （ ，+∞）单调递减，故选 D。
8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 体的 10 位成员中使用移动支付的人数， A. 0.7 【答案】B 【考点】二项分布概率与方差 【难易程度】基础题 【解析】使用移动支付符合二项分布， B.0.6
是带卯眼的木构件的俯视图可以是（
）
A.
B.
C. 【答案】A 【考点】三视图 【难易程度】基础题
D.
【解析】卯眼的空间立体图如图，同时需要注意在三视图中，看不见的线用虚线表示， 故答案选 A
4、若
，则
（
）
A. 【答案】B
2018届高三数学(理)一轮总复习练习-第六章不等式与推理证明6-2Word版含答案
课时规范训练[A 级 基础演练]1．不等式x 2>x 的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：选D.由x 2>x ，得x (x －1)>0.所以解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D.2．(2017·山东临沂模拟)不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( )A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：选A.由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．3．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选 A.由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，则不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |－1＜x ＜2}．由根与系数的关系求得，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.4．(2017·武汉模拟)一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是( )A ．(－3，0)B ．(－3，0]C ．[－3，0]D ．(－∞，－3)∪[0，＋∞)解析：选 A.由一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3，0)．5．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是 ．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}6．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}，则a 的值为 ． 解析：∵(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}，∴1－a <0，即a >1.于是原不等式可化为(a －1)x 2＋4x －6<0，a －1>0，其解集为{x |－3<x <1}．则方程(a －1)x 2＋4x －6＝0的两根为－3和1.由⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－3＋1＝－4a －1，－3×1＝－6a －1， 解得a ＝3. 答案：37．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2， x <0，x ＋1，x ≥0，则不等式f (x )>4的解集为 ． 解析：当x <0时，解x 2>4，得x <－2；当x ≥0时，解x ＋1>4，得x >3.所以不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)8．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .求a 的取值范围．解：∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎨⎧a >0，Δ＝（2a ）2－4a ≤0， 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．9．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.①若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；②若对于x ∈[1，3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：①由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围是(－4，0]．②∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1，3]恒成立， 只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1，3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1，3]上为增函数． 则g (x )在[1，3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67. [B 级 能力突破]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1，1]B ．[－2，2]C ．[－2，1]D ．[－1，2]解析：选A.法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2，∴－1≤x ≤0； ①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1，1]．2．关于x 的不等式ax －b >0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则关于x 的不等式ax －2b －x ＋5>0的解集是( )A ．(1，5)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，5)D ．(－∞，1)∪(5，＋∞)解析：选A.不等式ax －b >0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞⇒a >0，且a －2b ＝0，则不等式ax －2b －x ＋5>0等价于x －1－x ＋5>0⇔(x －1)(x －5)<0⇔1<x <5，故选A. 3．(2017·广西南宁模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：选C.(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立．∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32.4．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为 ．解析：设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ， x ＞0，0， x ＝0，－x 2－4x ， x ＜0.当x ＞0时，由x 2－4x ＞x 得x ＞5；当x ＜0时，由－x 2－4x ＞x 得－5＜x ＜0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)5．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为 ．解析：(1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )＜c .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ， 即－a 2－c ＜x ＜－a 2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.答案：96．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.那么当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0，1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。
2018高考数学(文理通用版)一轮复习检测第六章 不等式、推理与证明 第3讲 Word版含答案
第六章第三讲组基础巩固一、选择题．(·辽宁沈阳四校联考)下列各点中，与点()位于直线＋－＝的同一侧的是( )．() ．(－)．(－) ．(，－)[解析]点()使＋－>，点(－)使＋－>，所以此两点位于＋－＝的同一侧．故选．[解法总结]作平面区域时要“直线定界，测试点定域”，当不等式无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．若直线不过原点，测试点常选取原点．．(·辽宁省铁岭市协作体高三上学期第三次联考数学试题)已知变量，满足约束条件(\\(＋－≤－＋≥－－≤))则＝＋的最大值为( ) ．．．．[解析]先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，＝＋表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可．解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为()，()，(－，－)，验证知在点()时取得最大值当直线＝＋过点()时，最大是，故选．．(·石家庄高三年级摸底考试)已知，满足约束条件(\\(＋≤，－≤，－＋≥))则下列目标函数中，在点()处取得最大值的是( )．＝－＋．＝－．＝－．＝＋[解析]画(\\(＋≤－≤－＋≥))的线性区域求得，，三点坐标为()、()、(－，－)由于只在()处取得最大值否定、、，故选．．(·浙江)在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点的直线上的投影．由区域(\\(－≤，＋≥，－＋≥))中的点在直线＋－＝上的投影构成的线段记为，则＝( )．．．．[解析]作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点，分别作直线＋－＝的垂线，垂足分别为，，则四边形为矩形，又(，－)，(－)，所以＝＝＝.故选．．(·四川成都模拟)某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，且甲、乙两种产品都需要在，两种设备上加工．在每台设备、每台设备上加工件甲产品所需工时分别为和，加工件乙产品所需工时分别为和，设备每天使用时间不超过，设备每天使用时间不超过，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是( )．万元．万元．万元．万元[解析]设每天生产甲、乙两种产品分别为件，件，企业获得的利润为万元，则，满足约束条件(\\(＋≤，＋≤，，∈，))且＝＋．。
2018届高中数学人教A版 推理与证明单元测试(Word版,含答案)1
2017-2018学年度xx学校xx月考卷一、选择题(共15小题,每小题5.0分,共75分)1.已知{an}为等差数列，a1 006＝3，a1＋a2＋a3＋…＋a2 011＝3×2 011，若{bn}为等比数列，b1 006＝3，则{bn}的类似结论是()A．b1＋b2＋…＋b2 011＝3×2 011B．b1b2…b2 011＝3×2 011C．b1＋b2＋…＋b2 011＝32 011D．b1b2…b2 011＝32 0112.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数3.已知数列的前几项为1，，，…，它的第n项(n∈N*)是()A．B．C．D．4.某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误5.下面几个类比中正确的有()(1)l1∥l2，l1∥l3⇒l2∥l3类比为a1∥a2，a1∥a3⇒a2∥a3；(2)a≠0，ab＝ac⇒b＝c类比为a1·a2＝a1·a3⇒a2＝a3；(3)平面α⊥l1，平面α⊥l2⇒l1∥l2类比为平面α1⊥平面α，平面α2⊥平面α⇒平面α1⊥平面α2；(4)|a＋b|≤|a|＋|b|类比为|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|(其中z1，z2为复数)．A． 0个B． 1个C． 2个D． 3个6.数列4,7,10,13，…，(3n＋1)按照如下方式排列413107161922 2528……第i行第j列的记作ai－j，例如a3－3＝22，a3－4＝25，则a20－4的值是()A． 1 192B． 1 310C． 1 201D． 707.实数a，b，c不全为0等价于()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为08.要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A． 2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C．－1－a2b2≤0D． (a2－1)(b2－1)≥09.用数学归纳法证明＋＋＋…＋≥(n∈N*)，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是()A．B．＋C．＋－D．＋－－10.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中和第n个图中有小正方形的个数分别为()A． 28，B． 14，C． 28，D． 12，11.在平面上，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4；类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它的体积比为()A． 1∶4B． 1∶6C． 1∶8D． 1∶912.下面使用类比推理正确的是()A．由“a(b＋c)＝ab＋ac”类比推出“cos(α＋β)＝cosα＋cosβ”B．由“若3a＜3b，则a＜b”类比推出“若ac＜bc，则a＜b”C．由“平面中垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”D．由“等差数列{an}中，若a10＝0，则a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)”类比推出“在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)”13.在△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S－ABC中，若SA，SB，SC两两互相垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S－ABC的外接球半径R等于()A．B．C．D．14.①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理，作为大前提的是()A．①B．②C．③D．其他15.已知函数f(x)＝|sin x|的图象与直线y＝kx(k＞0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A＝，B＝.则()A．A＞BB．A＜BC．A＝BD．A与B的大小不确定二、填空题(共5小题,每小题5.0分,共25分)16.在平面几何中，若DE是△ABC中平行于BC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC＝1∶4.把这个结论类比到空间：若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则VA－EFG∶VA－BCD＝________.17.用符号“⇒”或“⇏”填空．(1)a≠0或b≠0________ab≠0；(2)a≠0或b≠0________a2＋b2＞0；(3)a＞－b________(a＋b)(a2＋b2)＞0；(4)a＞|b|________a＋|b|＞0.18.在平面上有如下命题：“O为直线AB外的一点，则点P在直线AB上的充要条件是：存在实数x，y满足＝x＋y，且x＋y＝1”，我们把它称为平面中三点共线定理，请尝试类比此命题，给出空间中四点共面定理，应描述为：____________.19.将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为________.20.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．已知直角三角形具有性。
2018年高考数学理人教A版一轮复习习题：第七章 不等式
考点规范练35合情推理与演绎推理基础巩固1.下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得出n 边形的内角和是(n-2)·180°.A.①②B.①③C.①②④D.②④2.命题“因为有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是()A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”,但推理形式错误D.使用了“三段论”,但小前提错误3.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)4.设实数a,b,t满足|a+1|=|sin b|=t,()A.若t确定,则b2唯一确定B.若t确定,则a2+2a唯一确定C.若t确定,则sin唯一确定D.若t确定,则a2+a唯一确定5.(2016湖北七市3月联合调研)小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时, 小赵说:我没去过; 小钱说:小李去过;小孙说:小钱去过; 小李说:我没去过.假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是()A.小赵B.小李C.小孙D.小钱6.从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为()A.2 011B.2 012C.2 013D.2 0147.(2016全国甲卷,理15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.〚导学号37270340〛8.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.9.(2016山东潍坊一模)观察下列各式:1+1+1+……照此规律,当n∈N*时,1++…+< .10.(2016山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得100的所有正约数之和为.能力提升11.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“及格”“不及格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人〚导学号37270341〛12.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=a x-a-x,C(x)=a x+a-x,其中a>0,且a≠1,下面正确的运算公式是()①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y)③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y)A.①②B.③④C.①④D.②③13.(2016湖北重点中学高三第一次联考)已知“整数对”按如下规律排一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是()A.(7,5)B.(5,7)C.(2,10)D.(10,1) 〚导学号37270342〛14.(2016河南郑州三模)已知数列{a n},{b n}满足a1=,a n+b n=1,b n+1=,n∈N*,则b2016= .〚导学号37270343〛高考预测15.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是.参考答案考点规范练35合情推理与演绎推理1.C解析①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理.2.C解析∵大前提“有些有理数是无限循环小数”不是全称命题,∴不符合三段论的推理方式,∴推理形式错误,故选C.3.D解析由已知得偶函数的导函数为奇函数,故g(-x)=-g(x).4.B解析当t=0时,sin b=0,即b=kπ,k∈Z,所以b2不确定,故A错;sin=sin=0或1或-1,故C错;当t=2时,|a+1|=2,解得a=1或a=-3,所以a2+a=2或a2+a=6,故D错;因为|a+1|=t,所以a2+2a=t2-1;当t确定时,t2-1唯一确定,即a2+2a唯一确定,故B正确.5.D解析由题意可知,小钱的说法与小李的说法矛盾,必有一个人说了假话.又由四人中只有一人说了假话,可知小赵和小孙的说法正确,故可知小钱去过.故选D.6.B解析根据题图所示的规则排列,设第一层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104.结合选项可知,只有当9a+104=2 012时,a=212是自然数.故选B.7.1和3解析由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.8.A解析由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.9解析观察前几个不等式,可知不等式右边的分母从2,3,4逐渐增大到n+1,分子从3,5,7逐渐增大到2n+1,故答案为10.217解析类比求36的所有正约数之和的方法,可知100的所有正约数之和可按如下方法得到:因为100=22×52,所以100的所有正约数之和为(1+2+22)(1+5+52)=217.11.B解析用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.12.B解析经验证易知①②错误.依题意,注意到2S(x+y)=2(a x+y-a-x-y),S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(a x+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).13.B解析在平面直角坐标系中,将各点按顺序连线,如图所示:可得(1,1)为第1项,(1,2)为第1+1=2项,(1,3)为第1+1+2=4项,(1,4)为第1+1+2+3=7项,(1,5)为第1+1+2+3+4=11项,……依此类推得到:(1,11)为第1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56项,故第57项为(2,10),第58项为(3,9),第59项为(4,8),第60项为(5,7).14解析∵数列{a n},{b n}满足a1=,a n+b n=1,b n+1=,n∈N*,∴b1=1-a1=,b n+1=∴b2=,b3=,b4=,…,∴b n=,∴b2 016=15.甲解析由题意可知丙说的话与丁说的话互相矛盾,必有一个人说了真话.又四人中只有一人说真话,可知甲和乙都说了假话.又只有一人偷了珠宝,故偷珠宝的人是甲.。
2018届高三数学(理)高考总复习教师用书：第六章 不等式、推理与证明 Word版含答案
第六章⎪⎪⎪不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒n a > nb (n ∈N ，n ≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b ． 答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞2．限速40 km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是__________．答案：v ≤40 km/h3．若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c 的大小关系为________．答案：b ＋c a ＋c >a ＋cb ＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ．2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B ．1a <1b C ．a 2>b 2 D ． a 3>b 3答案：D2．若ab >0，且a >b ，则1a 与1b 的大小关系是________．答案：1a <1b考点一 比较两个数(式)的大小(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m ＞n C ．m ≤n D ．m ＜n 答案：B 2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5．当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5．综上可知S 3a 3＜S 5a 5．答案：S 3a 3＜S 5a 5[谨记通法]比较两实数(式)大小的2种常用方法考点二 不等式的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．2．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．a d ＞b cB ．a d ＜b cC ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0， 所以1－d ＞1－c＞0．又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c，所以a d ＜bc ．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒c cd ＜dcd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒⎭⎬⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－bc ⇒ad ＜b c．法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，bd ＝－1，排除选项C 、D ； 又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．(2016·河南六市第一次联考)若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a ＋b ＜0D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |解析：选D ∵1a ＜1b ＜0，∴b ＜a ＜0，∴b 2＞a 2，ab ＜b 2，a ＋b ＜0，∴选项A 、B 、C 均正确，∵b ＜a ＜0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 项错误，故选D ．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b ． 其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当0＞c ＞d 时，不等式不成立．④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B ．考点三 不等式性质的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围． 解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ． f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10． 即f (－2)的取值范围为[5,10]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[即时应用]1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )A ．[9,18]B ．(15,30)C ．[9,30]D ．(9,30)解析：选D ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2． 由－1<x <4,2<y <3， 得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18． 答案：(－4,2) (1,18)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ． 2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a －b >1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立．3．若a ，b 都是实数，则“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a －b ＞0得a ＞b ≥0， 则a 2＞b 2⇒a 2－b 2＞0；由a 2－b 2＞0得a 2＞b 2，可得a ＞b ≥0或a ＜b ≤0等，所以“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的充分不必要条件，故选A ．4．(2017·资阳诊断)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：选D 当a ＝1，b ＝－2时，选项A 、B 、C 均不正确；对于D 项，a >|b |≥0，则a 2>b 2． 5．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2B ．⎝⎛⎭⎫－3π2，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2．又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定 解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0． ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0．∴M >N ．2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．(2016·湘潭一模)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．4．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．综上可知，选D ．5．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎨⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎨⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4．6．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b ． ∴a ＜b 和1a ＜1b 同时成立的条件是a ＜0＜b ．答案：a ＜0＜b7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x2 m ，即⎝⎛⎭⎫15－x 2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216 8．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2． ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0．∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b ． 答案：a b 2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解． 综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0．求证：e (a －c )2>e(b －d )2． 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0． 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0． ∴(a －c )2>(b －d )2>0． ∴0<1(a －c )2<1(b －d )2． 又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎨⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2·ca <4， ∴ca 的取值范围为(0,2)． 2．设a ＞b ＞0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m ＞ba时，m 满足的条件是________． 解析：由b ＋m a ＋m ＞b a 得(a －b )m a (a ＋m )＞0，因为a ＞b ＞0，所以mm ＋a＞0．即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＋a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＋a ＜0.∴m ＞0或m ＜－a ． 即m 满足的条件是m ＞0或m ＜－a ． 答案：m ＞0或m ＜－a3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7．5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ．所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5． 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2．因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C 由题意得T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}， 所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}．2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅3．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是________． 解析：由题意知－12，13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根， 则a ＝－12，b ＝－2． 所以a ＋b ＝－14． 答案：－141．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏]1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x ＜1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)≤0，x －1≠0，解得1＜x ≤3．2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1．由①②知0≤m <1． 答案：[0,1)考点一 一元二次不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43．所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5 3．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0． 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43． (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3．[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤考点二 含参数的一元二次不等式的解法(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0， 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a ．综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ． 当a ＝1时，不等式的解集为∅．当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1． [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( ) A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ．解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3．当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞． 考点三 一元二次不等式恒成立问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立， 即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2．又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1 ＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立， 解得b ＜－1或b ＞2．∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4．由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3．故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法(1)ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是{ a >0，Δ≤0；(2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是{ a <0，Δ≤0[演练冲关]1．(2017·济宁模拟)不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．解：因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4．答案：[－8,4]2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1．因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}， 所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝⎛⎭⎫12，94．3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2． 答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3．2．不等式2x ＋1<1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1)解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1．3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3， 化为(|k |＋2)(|k |－1)＜0，所以|k |＜1， 所以－1＜k ＜1．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3．综上可得－4≤a ≤3．6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16． ∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45． 答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 8．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32．答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6． (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ． (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4．因为x >0，所以x ＋1x ≥2．当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2．所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2．(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，4则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0． 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，2∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32． 第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念[小题体验]1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A 时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4． 答案：41．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)． 2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．若用阴影表示不等示组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2017·兰州诊断)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5．答案：5考点一 二元一次不等式(组)表示平面区域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4， 对应的平面区域，如图． 要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A ．2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．(2017·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝⎛⎭⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43．答案：43[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点． 考点二 求目标函数的最值(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2016·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A 时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10角度二：求非线性目标函数的最值2．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25． 所以d 2的最小值为45，最大值为13．所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13． 答案：⎣⎡⎦⎤45，13角度三：线性规划中的参数问题3．(2017·郑州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：5[通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2． (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]1．(2017·海口调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z ＝3x －y 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，125 B ．[0,2] C ．⎣⎡⎦⎤2，125 D ．⎣⎡⎦⎤2，83解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝⎛⎭⎫85，125(该点是直线4x －y －4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y 取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，125，选A ． 2．(2017·合肥质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实数k 的值为( )A ．－3B ．3或－5C ．－3或－5D ．±3解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3，选项D 正确．3．(2016·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________． 解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1,1)连线的斜率， ∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12．答案：－12考点三 线性规划的实际应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5 kg ，乙材料0．3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83．所以S △ABC ＝12×83×1＝43．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C ． 3．(2016·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选D由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函数z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3．由图可知，当直线y ＝－23x ＋z 3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23．4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23．答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 5．(2017·昆明七校调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2。
【高三数学试题精选】2018届高考数学第一轮复习阶段不等式、推理与证明质量检测试题及答案1
2018届高考数学第一轮复习阶段不等式、推理与证明质量
检测试题及答案1
5 c 阶段质量检测(六) 不等式、推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
第Ⅰ卷 (选择题，共40分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中的真命题是 ( )
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若|a|＞b，则a2＞b2
c．若a＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2
解析由a＞|b|，可得a＞|b|≥0 a2＞b2
答案D
2．已知函数f(x)＝x2，x≤02x－1，x＞0，若f(x)≥1，则x的取值范围是 ( )
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
c．(－∞，0]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析将原不等式转化为x＞02x－1≥1或x≤0x2≥1，从而得x≥1或x≤－1
答案D
3．若集合A＝{x||2x－1|＜3}，B＝{x|2x＋13－x＜0}，则A∩B 是 ( )
A．{x|－1＜x＜－12或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3}
c．{x|－12＜x＜2} D．{x|－1＜x＜－12}
解析∵|2x－1|＜3，∴－3＜2x－1＜3∴－1＜x＜2
又∵2x＋13－x＜0，∴(2x＋1)(x－3)＞0，
∴x＞3或x＜－12∴A∩B＝{x|－1＜x＜－12}．
答案D
4．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，c。
2018届高中数学人教A版 推理与证明单元测试(Word版,含答案)9
2017-2018学年度xx学校xx月考卷一、选择题(共15小题,每小题5.0分,共75分)1.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都小于0B．假设a，b，c都大于0C．假设a，b，c中都不大于0D．假设a，b，c中至多有一个大于02.在平面几何中有“三角形的两边之和大于第三边”；在立体几何中“四面体任意三个面的面积之和________第四个面的面积”．()A．等于B．小于C．大于D．不能确定3.已知n是正偶数，用数学归纳法证明某命题时，若假设n＝k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明()A．n＝k＋1时，命题成立B．n＝k＋2时，命题成立C．n＝2k＋2时，命题成立D．n＝2(k＋2)时，命题成立4.推理“①三角函数都是周期函数；②正切函数是三角函数；③正切函数是周期函数”中的小前提是()A．①B．②C．③D．①和②5.已知一段演绎推理：“一切奇数都能被3整除，(25＋1)是奇数，所以(25＋1)能被3整除”，则这段推理的()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论错误6.正整数按下表的规律排列(下表给出的是上起前4行和左起前4列)，则上起第2 015行，左起第2 016列的数应为()A． 2 0152B． 2 0162C． 2 015＋2 016D． 2 015×2 0167.如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为an，则＋＋＋…＋等于()A．B．C．D．8.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>1(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边()A．增加了项B．增加了项＋＋C．增加了项＋－D．以上均不对9.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是()A．B．C．D．10.把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数，设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数中从上往下数第i行，从左往右数第j列的数，如a32＝5，若aij＝2 015，则i＋j等于()12435 768 10129 11131517141618202224A． 111B． 110C． 108D． 10511.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2(＋＋…＋)时，第一步应验证()A． 1＝2×B． 1－＋＝2(＋)C． 1－＋－＝2(＋)D． 1－＝2×12.若a，b∈R，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a，b中至少有一个数大于1”的条件有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个13.利用数学归纳法证明＋＋＋…＋＜1(n∈N*，且n≥2)时，第一步不等式左端是() A． 1＋B．＋C． 1＋＋D．＋＋14.某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2 014时对应的指头是()A．大拇指B．食指C．中指D．无名指15.下列类比中：①与圆心距离相等的两弦相等，类比到空间：与球心距离相等的两个截面圆的面积相等；②圆的面积S＝πr2，类比到空间：球的体积为V＝πr2；③圆心与弦(垂直经)中点的连线垂直于弦，类比到空间，球心与截面圆(不经过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面．其中正确的类比是()A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题(共5小题,每小题5.0分,共25分)16.正偶数列有一个有趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；…，按照这样的规律，则2 016在第________ 个等式中.。
【高三数学试题精选】2018届高考理科数学一轮第六章不等式与推理证明复习题(有答案)
2018届高考理科数学一轮第六章不等式与推理证明复习题
（有答案）
5 c 第7时数学归纳法
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
【梳理自测】
1．(教材习题改编)用数学归纳法证明1 n＋2 (n－1)＋3 (n－2)＋…＋n 1＝16n(n＋1)(n＋2)时，当n＝1时，等式左边有________．( )
A．1项 B．2项
c．3项 D．n项
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于( )
A．1 B．2
c．3 D．0
3．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( ) A．1 B．1＋a
c．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
4．记凸边形的内角和为f()，则凸＋1边形的内角和f(＋1)＝f()＋________
5．(教材习题改编)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N，且n＞1)，第一步要证的不等式是________．答案1A 2c 3c 4180° 51＋12＋13＜2
◆以上题目主要考查了以下内容
数学归纳法。
2018年高考数学(理)人教A版一轮复习习题第七章 不等式、推理与证明 考点规范练37 Word版含答案
考点规范练数学归纳法
基础巩固
.在用数学归纳法证明等式…()时,当时的左边等于()
.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数,总有>,则验证不等式成立所取的第一个的最小
()
值应该是
>,且∈*
.在数列{}中,已知,当≥时,依次计算后,猜想的表达式是()
.
.用数学归纳法证明“()()∈*,能被整除”,要利用归纳假设证当(∈*)时的情况,只需展开()
.()
.()
.()()
.()
.对于不等式<(∈*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:
()当时,<,不等式成立.
()假设当(∈*且≥)时,不等式成立,即<,则当时
(),
所以当时,不等式成立,则上述证法()
.过程全部正确
验得不正确
.归纳假设不正确
.从到的推理不正确
.凸多边形有()条对角线,则凸()边形的对角线的条数()为()
()
()
〚导学号〛
()
()
.由下列不等式>>……>,……你能得到一个怎样的一般不等式?并加
以证明.
.(浙江宁波期中)请用数学归纳法证明…(∈*).
.设>(),令()∈*.
()写出的值,并猜想数列{}的通项公式;
()用数学归纳法证明你的结论.
〚导学号〛
能力提升
.利用数学归纳法证明不等式…<()(≥∈*)的过程,由到时,左边增加了()。
2018届高三数学人教A版文复习习题：第七章 不等式、推
课时规范练32基本不等式及其应用基础巩固组1.设0<a<b,则下列不等式正确的是()A.a<b<B.a<<bC.a<<b<D.<a<<b2.(2017山东枣庄一模,文5)若正数x,y满足=1,则3x+4y的最小值是()A.24B.28C.25D.263.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.64.函数y=(x>-1)的图象的最低点的坐标是()A.(1,2)B.(1,-2)C.(1,1)D.(0,2)5.(2017山东日照一模,文6)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为()A.8B.9C.16D.186.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元7.若两个正实数x,y满足=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)8.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2,则的最大值为()A.2B.C.1D.〚导学号24190921〛9.(2017山东,文12)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.10.(2017江苏徐州模拟)已知正数a,b满足2a2+b2=3,则a的最大值为.11.(2017山西临汾二模,文14)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/千克、b元/千克,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋,家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠).(在横线上填甲或乙即可)12.设a,b均为正实数,求证:+ab≥2.〚导学号24190922〛综合提升组13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为()A.1B.2C.3D.414.已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则的最小值是.15.如果a,b满足ab=a+b+3,那么ab的取值范围是.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?〚导学号24190923〛创新应用组17.若正实数x,y满足x+y+=5,则x+y的最大值是()A.2B.3C.4D.518.(2017山东德州一模,文9)圆:x2+y2+2ax+a2-9=0和圆:x2+y2-4by-1+4b2=0有三条公切线,若a ∈R,b∈R,且ab≠0,则的最小值为()A.1B.3C.4D.5〚导学号24190924〛课时规范练32基本不等式及其应用1.B∵0<a<b,∴a<<b,故A,C错误;-a=)>0,即>a,D错误,故选B.2.C∵正数x,y满足=1,∴3x+4y=(3x+4y)=13+≥13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.∴3x+4y的最小值是25.故选C.3.B由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.4.D∵x>-1,∴x+1>0.∴y==(x+1)+≥2,当且仅当x+1=,即x=0时等号成立,即当x=0时,该函数取得最小值2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2).5.B由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以(a+b)=5+≥5+4=9,当且仅当,即2a=b=时等号成立,故选B.6.C设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4 m2.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.7.D x+2y=(x+2y)=2++2≥8,当且仅当,即x=2y=4时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.8.C由a x=b y=3,.因为a>1,b>1,所以ab≤=3,所以lg(ab)≤lg 3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.9.8∵直线=1过点(1,2),∴=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)·=4+≥4+2=8.当且仅当b=2a时等号成立.10. a(2a2+b2+1)=×(3+1)=,当且仅当a=,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立.故a的最大值为.11.乙甲购买产品的平均单价为,乙购买产品的平均单价为.∵≥0,且两次购买的单价不同,∴a≠b,∴>0,∴乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙.12.证明因为a,b均为正实数,所以≥2,当且仅当,即a=b时等号成立,又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时等号成立,所以+ab≥+ab≥2,当且仅当即a=b=时等号成立.13.D令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,∴2x+≥f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.14.2+4x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,可得x+3y=1.+4≥2+4=2+4.当且仅当x=y,x+3y=1,即y=,x=时等号成立.的最小值是2+4.15.(-∞,1)∪(9,+∞)∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2.∵(a+b)2≥4ab,∴(ab-3)2≥4ab,即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.16.解 (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,依题意得,当0<x<80时,L(x)=(0.05×1 000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250;当x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)-51x-+1 450-250=1 200-,则L(x)=(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x≥80时,L(x)=1 200-≤1 200-2=1 200-200=1 000,当且仅当x=时,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.因为950<1 000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为 1 000万元.17.C∵x>0,y>0,xy≤,∴,即,∴x+y+≥x+y+.即x+y+≤5.设x+y=t,则t>0,∴t+≤5,得到t2-5t+4≤0,解得1≤t≤4,∴x+y的最大值是4.18.A由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a)2+y2=9,x2+(y-2b)2=1,圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为3和1,故有a2+4b2=16,∴·(a2+4b2)=(8+8)=1,当且仅当,即a2=8,b2=2时,等号成立,故选A.。
2018高考数学文理一轮复习检测：第六章 不等式、推理与证明 第3讲 含答案 精品
第六章 第三讲A 组基础巩固一、选择题1．(2016·辽宁沈阳四校联考)下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是导学号 30071709( C )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)[解析] 点(1,2)使x ＋y －1>0，点(－1,3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C ．[解法总结] 作平面区域时要“直线定界，测试点定域”，当不等式无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．若直线不过原点，测试点常选取原点．2．(2017·辽宁省铁岭市协作体高三上学期第三次联考数学试题)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤03x －y ＋1≥0x －y －1≤0则z ＝2x ＋y 的最大值为导学号 30071710( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ＋y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为(0,1)，(1,0)，(－1，－2)， 验证知在点(1,0)时取得最大值2当直线z ＝2x ＋y 过点A (1,0)时，z 最大是2， 故选B ．3．(2017·石家庄高三年级摸底考试)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，x －4y ≤0，x －y ＋3≥0则下列目标函数中，在点(4,1)处取得最大值的是导学号 30071711( D )A ．z ＝15x －yB ．z ＝－3x ＋yC ．z ＝15x ＋yD ．z ＝3x －y[解析] 画⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5x －4y ≤0x －y ＋3≥0的线性区域求得A ，B ，C 三点坐标为(4,1)、(1,4)、(－4，－1)由于只在(4,1)处取得最大值否定A 、B 、C ，故选D ．4．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 的直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝导学号 30071712( C )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C ．5．(2016·四川成都模拟)某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工．在每台设备A 、每台设备B 上加工1件甲产品所需工时分别为1 h 和2 h ，加工1件乙产品所需工时分别为2 h 和1 h ，设备A 每天使用时间不超过4 h ，设备B 每天使用时间不超过5 h ，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是导学号 30071713( D )A ．18万元B ．12万元C ．10万元D ．8万元[解析] 设每天生产甲、乙两种产品分别为x 件，y 件，企业获得的利润为z 万元， 则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，2x ＋y ≤5，x ，y ∈N ，且z ＝3x ＋2y ．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，2x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0表示的可行域，如图所示．由x ∈N ，y ∈N 可知最优解为(2,1)，即生产A 产品2件，B 产品1件，可使企业获得最大利润，最大利润为8万元．故选D ．6．(2017·湖南省示范性高中高三上学期百校联考数学试题)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤4ax ＋by ＋c ≤0且目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则a ＋b ＋ca＝导学号 30071714( D )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[解析] 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ＋y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．解：由题意得：目标函数z ＝2x ＋y 在点B 取得最大值为7， 在点A 处取得最小值为1， ∴A (1，－1)，B (3,1)，∴直线AB 的方程是：x －y －2＝0， ∴则a ＋b ＋c a＝－2.故选D ．7．(2016·广东惠州模拟)设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，3x －y －6≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则3a ＋2b的最小值为导学号 30071715( D )A ．256B ．83C ．113D ．4[解析] 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，∴4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6．∴3a ＋2b ＝(3a ＋2b )·2a ＋3b 6＝16(12＋9b a ＋4a b)≥4， 当且仅当9b a ＝4a b ，即a ＝32，b ＝1时，等号成立．∴3a ＋2b 的最小值为4，故选D ．8．(2016·湖北鄂州模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y －1≥0，则s ＝y ＋1x ＋1的取值范围是导学号 30071716( D )A ．[1，32]B ．[12，1]C ．[1,2]D ．[12，2][解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y －1≥0表示的可行域如图所示．s ＝y ＋1x ＋1可以看作是可行域中的一点(x ，y )与点(－1，－1)连结的斜率． 由图可知，当x ＝1，y ＝0时，斜率最小，即s ＝y ＋1x ＋1取最小值12．当x ＝0，y ＝1时，斜率最大，即s ＝y ＋1x ＋1取最大值2．故s ＝y ＋1x ＋1的取值范围是[12，2]，故选D ．二、填空题9．(2016·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为－10.导学号 30071717[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z ＝2x ＋3y －5经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．10．(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是[45，13].导学号 30071718[解析] 不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x ＋y －2＝0的距离为25，所以(x 2＋y 2)min ＝45，又当(x ，y )取点(2,3)时，x 2＋y 2取得最大值13，故x 2＋y 2的取值范围是[45，13]．11．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )．若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是(1，＋∞).导学号 30071719[解析] 作出可行域，可行域为三条直线所围成的区域，则它的最大值在三条直线的交点处取得，三个交点分别为(1,3)，(7,9)，(3,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞9－7a ，3－a ＞1－3a .所以a ＞1．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －3y ≤－4，3x ＋5y ≤30.导学号 30071720(1)求目标函数z ＝2x －y 的最大值和最小值；(2)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；(3)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求实数a 的值； (4)求z ＝y ＋5x ＋5的取值范围；(5)求z ＝x 2＋y 2的取值范围．[分析] 利用函数性质及几何意义解决目标函数最值的答题模板． 画区域——在平面区域内作出可行域 转化——把所求目标函数转化为关于基本量的函数 得结论——利用函数的性质及几何意义，求得关于目标函数的结论 [解析] (1)作出不等式组表示的可行域如图：作直线l ：2x －y ＝0，并平行移动使它过可行域内的B 点，此时z 有最大值；过可行域内的C 点，此时z 有最小值，解⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B (5,3)． 解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝30，得C (1，275)．∴z max ＝2×5－3＝7，z min ＝2×1－275＝－175．(2)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取得最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A (1，53)．解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B (5,3)． ∴z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113．(3)一般情况下，当z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z ＝ax ＋y 平行于直线3x ＋5y ＝30时，线段BC 上的任意一点均使z 取得最大值，此时满足条件的点即最优解有无数个．又k BC ＝－35，∴－a ＝－35，∴a ＝35．(4)z ＝y ＋5x ＋5＝y －(－5)x －(－5)，可看作区域内的点(x ，y )与点D (－5，－5)连线的斜率．由图可知，k BD ≤z ≤k CD ．∵k BD ＝3－(－5)5－(－5)＝45，k CD ＝275－(－5)1－(－5)＝2615，∴z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是[45，2615]．(5)z ＝x 2＋y 2，则z 为(x ，y )与原点(0,0)的距离，结合不等式的区域，易知A 点到原点距离最小为343，最大值为|OB |，|OC |，原点O 到直线3x ＋5y ＝30距离三者之一，计算得，最大值为|OB |＝34．∴x 2＋y 2的取值范围为[349，34]．13．(教材改编题)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个、乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总用料面积最省？导学号 30071721[解析] 设A 、B 两种金属板各取x 张，y 张，总用料面积为z ， 则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ，y ∈N ，目标函数z＝2x ＋3y ．作出不等式组的可行域，如图所示．将z ＝2x ＋3y 化成y ＝－23x ＋z 3，得到斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z 变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上点M 时，截距最小，z 取得最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得点M 的坐标为(5,5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25．所以两种金属板各取5张时，总用料面积最省．B 组能力提升1．(2017·福建省福州外国语学校高三适应性考试三数学试题)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －a ≤0，x －y ≥0，2x ＋y ≥0，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为2，则实数a 的值为导学号 30071722( A )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[解析] 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥02x ＋y ≥0的图象如图，因为目标函数z ＝x ＋y 的最大值为2，所以x ＋y ＝2与可行域交于如图A 点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝0，得A (1,1)，由A (1,1)在直线3x －y －a＝0上，所以有3－1－a ＝0，a ＝2，故选A ．2．(改编题)设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋2y ≤3，4x －y ≥－6，则z ＝2x4y 的取值范围为导学号 30071723( A )A ．[132，4]B ．[116，8]C ．[4,32]D ．[8,16][分析] 作出不等式组所表示的平面区域→对所求目标函数进行转化，确定最大、最小值点→列出方程组求得相应的坐标，代入所求即可求得结论[解析] 如图所示，作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋2y ≤3，4x －y ≥－6确定的可行域，因为z ＝2x 4y ＝2x －2y ，设t＝x －2y ，则当直线x －2y －t ＝0过点C 时，取得最小值，当直线x －2y －t ＝0过点B 时，取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3＝0，4x －y ＋6＝0，解得C (－1,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，4x －y ＋6＝0，解得B (－2，－2)． 所以t 的最小值为－1－2×2＝－5，最大值为－2－2×(－2)＝2.故t ∈[－5,2]． 所以z ＝2x 4y ＝2x －2y 的取值范围为[132，4]．3．(2016·衡水模拟)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0x －2y ＋2≥0x ＋y －2≥0表示的区域为D ，B ，C 为区域D 内的任意两点，设OB →，OC →的夹角为θ，则tan θ的最大值是导学号 30071724( C )A ．43B ．35C ．34D ．45[解析] 当B ，C 处于如图所示位置时， OB →，OC →的夹角为θ最大， 得到B (23，43)，C (43，23)，则cos θ＝OB →·OC→|OB →||OC →|＝23×43＋43×23(23)2＋(43)2(43)2＋(23)2＝45． 所以0<θ<π2，且sin θ＝35， 因为tan θ在(0，π2)是增函数， 所以tan θ的最大值为sin θcos θ＝34，故选C ． 4．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216_000 元.导学号 30071725[解析] 由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 1.5x ＋0.5y ≤150x ＋0.3y ≤905x ＋3y ≤600x ≥0y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216000(元)． 5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的一个零点为x ＝1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率.导学号 30071726(1)求a ＋b ＋c ；(2)求b a的取值范围．[解析] (1)因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝－1．(2)因为c ＝－1－a －b ，所以f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1－a －b ＝(x －1)[x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1]，从而另两个零点为方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，一根大于零小于1，设g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，由根的分布知识画图可得⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)>0，g (1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>0，2a ＋b ＋3<0， 作出可行域如图所示．而b a ＝b －0a －0表示可行域中的点(a ，b )与原点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－12，直线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2，所以k ∈(－2，－12)，即b a ∈(－2，－12)．。
2018单元滚动检测卷高考数学理人教A版全国通用：精练
单元滚动检测十三 推理与证明、算法、复数考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·青岛质检)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．2B ．－2C ．－12D.122．观察下列各式：71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，…，则72016的末两位数字为( )A ．49B ．43C ．07D ．013．(2016·黄岗质检)已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．2B ．－1C.12D.144．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥05．(2016·安徽“江淮十校”第三次联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…等于( ) A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－526．(2016·宝鸡质检)定义某种运算s ＝a b ，运算原理如程序框图所示，则2ln e＋2(13)－1的值为( )A ．12B ．11C ．8D ．47．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋18．(2016·沈阳质检二)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取( ) A ．7B ．8C ．9D ．109．(2016·西安地区八校联考)执行如图所示的程序框图，若输出的值是13，则判断框内应为( )A ．k ＜6?B ．k ≤6?C ．k ＜7?D ．k ≤7?10．(2016·陕西第三次质检)已知整数按如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( ) A ．(4,8) B ．(5,7) C ．(6,6)D ．(7,5)11．(2016·湖南长郡中学月考二)某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类(n ∈N *)，分别编号为1,2，…，n ，买家共有m 名(m ∈N *，m ＜n )，分别编号为1,2，…，m .若a ij ＝⎩⎨⎧1，第i 名买家购买第j 类商品，0，第i 名买家不购买第j 类商品，1≤i ≤m,1≤j ≤n ，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( ) A ．a 11＋a 12＋…＋a 1m ＋a 21＋a 22＋…＋a 2m B ．a 11＋a 21＋…＋a m 1＋a 12＋a 22＋…＋a m 2 C ．a 11a 12＋a 21a 22＋…＋a m 1a m 2 D ．a 11a 21＋a 12a 22＋…＋a 1m a 2m12．(2016·陕西质检二)小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)．小明依次共答了10道题，设正确率依次相应为a 1，a 2，a 3，…，a 10.现有三种说法： ①若a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 10，则必是第一题答错，其余题均答对；②若a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 10，则必是第一题答对，其余题均答错；③有可能a 5＝2a 10. 其中正确的个数是( ) A ．1B ．0C ．3D ．2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知i 为虚数单位，a ∈R .若a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数，则复数z ＝a ＋(a －2)i 在复平面内对应的点位于第________象限．14．(2016·济南一模)执行如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，则输入的实数x 的取值范围是________．15．(2016·湖南长郡中学月考)对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎨⎧3，5，33＝⎩⎨⎧7，9，11，43＝⎩⎨⎧13，15，17，19，….依此，若m 3的“分裂数”中有一个是2015，则m ＝________.16．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数(shù)，三三数(shǔ)之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？________.(只写出一个答案即可) 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(1)已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，求z ·z 的值；(2)求满足z ＋iz ＝i(i 为虚数单位)的复数z ； (3)计算(21－i )2016＋(1＋i 1－i)6(i 是虚数单位).18.(12分)有一种密英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a ，b ，c ，…，z 的26个字母(不分大小写)，依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见如下表格： 给出如下变换公式：x ′＝错误!将明文转换成密文，如8→82＋13＝17，即h 变成q ；如5→5＋12＝3，即e 变成c.(1)(2)按上述规定，若将某明文译成的英文是shxc ，那么原来的明文是什么？19.(12分)如图的程序可产生一系列随机数，其工作原理如下：①从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入；②从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算；③输出函数值y .若D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.(1)求y ＝4的概率；(2)将程序运行一次，求输出的结果是奇数的概率.20.(12分)用数学归纳法证明不等式2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1(n ∈N *)．21.(12分)在△ABC 中，若AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D ，则1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.类比上述结论，在四面体ABCD 中，你能得到怎样的猜想，并予以证明.22.(12分)已知a＝(cos x＋sin x，sin x)，b＝(cos x－sin x，2cos x)．(1)求证：向量a与向量b不可能平行；(2)若f(x)＝a·b，且x∈[－π4，π4]，求函数f(x)的最大值及最小值.答案精析1．A [∵1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a 5＋2a ＋15i ，∴2－a 5＝0，2a ＋15≠0，∴a ＝2.故选A.]2．D [71,72,73,74,75，…的末两位数字分别为07,49,43,01,07，…，周期性出现(周期为4)，而2 016＝4×504，所以72 016的末两位数字必定和74的末两位数字相同，故选D.]3．C [由于a ＝2，i ＝1；a ＝12，i ＝2；a ＝－1，i ＝3；a ＝2，i ＝4；…，由此规律可知，a ＝2，i ＝3k ＋1；a ＝12，i ＝3k ＋2；a ＝－1，i ＝3k ＋3，其中k ∈N *.从而可知当i ＝20时，退出循环，此时a ＝12.] 4．D [要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0， 只要证(a 2－1)(b 2－1)≥0.] 5．C [设1＋11＋11＋…＝x ，则1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)．故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.]6．A [由程序框图知s ＝a b ＝⎩⎨⎧a (b ＋1)，a ≥b ，b (a ＋1)，a ＜b ，∴2ln e ＝212＝3,2(13)－1＝23＝9， ∴2ln e ＋2(13)－1＝12，故选A.]7．C [1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域，故选C.]8．B [据已知可转化为1×(1－12n )1－12＞12764，整理得2n＞128，解得n ＞7，故原不等式的初始值为n ＝8，故选B.]9．A [依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k ＝1，c ＝2，a ＝1，b ＝2；进行第二次循环时，k ＝2，c ＝3，a ＝2，b ＝3；进行第三次循环时，k ＝3，c ＝5，a ＝3，b ＝5；进行第四次循环时，k ＝4，c ＝8，a ＝5，b ＝8；进行第五次循环时，k ＝5，c ＝13，a ＝8，b ＝13；进行第六次循环时，k ＝6，因此当输出的值是13时，判断框内应为“k ＜6？”．]10．B [由已知数对得数对中两个数的和为2的有1对，和为3的有2对，和为4的有3对，…，和为n 的有n －1对，且和相等的数对的第一个数以1为公差递增，从n ＝2到n ＝11共有数对1＋2＋3＋…＋10＝55，n ＝12时有11个数对，分别是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，故第60个数对是(5,7)，故选B.]11．C [因为a ij ＝⎩⎨⎧1，第i 名买家购买第j 类商品，0，第i 名买家不购买第j 类商品，1≤i ≤m,1≤j ≤n ，所以若第i名买家同时购买第1类和第2类商品，则a i 1a i 2＝1，否则a i 1a i 2＝0，所以同时购买第1类和第2类商品的人数是a 11a 12＋a 21a 22＋…＋a m 1a m 2，故选C.]12．C [对于①，若第一题答对，则a 1＝1，a 1≥a 2，与题意不符，所以第一题答错，若剩余的9道题有答错的，不妨设第k (k ≥2)道题答错，则a k ≤a k －1，与题意不符，所以剩余的题均答对，①正确；对于②，若第一道题答错，则a 1＝0，a 1≤a 2，与题意不符，所以第一题答对，若剩余的9道题有答对的，不妨设第k (k ≥2)道题答对，则a k ≤a k －1，与题意不符，所以剩余的题均答错，②正确；对于③，设前5道题答对x 道题，后5道题答对y 道题，则由a 5＝2a 10得x5＝2·x ＋y 10，解得y ＝0，即当后5道题均答错时，a 5＝2a 10，③正确．综上所述，正确结论的个数为3，故选C.] 13．四解析 因为a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以a ＝1.所以z ＝1－i 对应的点在第四象限． 14．[－2，－1]解析 若x ∉[－2,2]，则f (x )＝2∉[14，12]，不合题意；当x ∈[－2,2]时，f (x )＝2x ∈[14，12]，得x ∈[－2，－1]． 15．45解析 由题意不难找出规律，23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，m 增加1，累加的奇数个数便多1，我们不难计算2015是第1008个奇数，若它是m 的分解，则1至m －1的分解中，累加的奇数一定不能超过1008个． ∴1＋2＋3＋…＋(m －1)<1008,1＋2＋3＋…＋(m －1)＋m ≥1008，即m (m －1)2<1008，m (m ＋1)2≥1008，解得m ＝45. 16．23(23＋105(n －1)，n ∈N *均可)解析 由题意可得物体的个数为3m ＋2＝5n ＋3＝7k ＋2，m ，n ，k ∈N *，所以物体的个数可以是23. 17．解 (1)∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝3＋i－2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ＝－34－14i ，∴z ·z ＝(－34＋14i)(－34－14i)＝316＋116＝14. (2)由已知得，z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ， 即z ＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－i 2.(3)原式＝[(21－i )2]1008＋(1＋i 1－i )6＝(2－2i )1008＋i 6＝i 1008＋i 6＝i 4×252＋i 4＋2＝1－1＝0.18．解 (1)g →7→7＋12＝4→d ；o →15→15＋12＝8→h ；d →4→42＋13＝15→o. 则明文good 的密文为dhho. (2)逆变换公式为x ＝⎩⎨⎧2x ′－1(x ′∈N ，1≤x ′≤13)，2x ′－26(x ′∈N ，14≤x ′≤26)，则有s →19→2×19－26＝12→l ； h →8→2×8－1＝15→o ； x →24→2×24－26＝22→v ； c →3→2×3－1＝5→e. 故密文shxc 的明文为love.19．解 (1)∵D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.∴第一步：从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入，共有5种方法， 第二步：从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算，共有2种方法， ∴该运算共有f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，f (5)，g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，g (5)，10种方法， 而满足y ＝4的有f (1)，g (2)两种情况，∴由古典概型概率公式得y ＝4的概率P ＝210＝15.(2)输出结果是奇数有以下几种情况：f (2)，f (4)，g (1)，g (3)， g (5)，共5种，∴由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率 P ＝510＝12.20．证明 ①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ＞k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1，要证当n＝k ＋1时不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，得2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，当n ∈N *时，不等式2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1成立．21．解 猜想：在四面体ABCD 中，若AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.证明：如图所示，连接并延长BE ，交CD 于点F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴AB ⊥平面ACD ，又AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.∵CD ⊂平面ACD ，∴AB ⊥CD ，又AE ⊥CD ，AB ∩AE ＝A ，AB ⊂平面ABF ，AE ⊂平面ABF ，∴CD ⊥平面ABF ，又AF ⊂平面ABP ，∴在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2，∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.22．(1)证明 假设a ∥b ，则a ＝k b (k ≠0，k ∈R )，有⎩⎨⎧cos x ＋sin x ＝k (cos x －sin x )， ①sin x ＝2k cos x ，②将②代入①，整理得cos x (1＋2k )＝k cos x (1－2k )，即cos x (－2k 2－k －1)＝0，∵－2k 2－k －1＜0恒成立，∴cos x ＝0，代入②得sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾．∴向量a 与向量b 不可能平行．(2)解 由题知f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2(22cos2x ＋22sin2x )＝2sin(2x ＋π4)，∵－π4≤x ≤π4，∴－π4≤2x ＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2； 当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π4时，f (x )有最小值－1.。
2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式综合检测新人教A版
第四讲 用数学归纳法证明不等式讲末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用数学归纳法证明不等式1＋123＋133＋…＋1n 3<2－1n (n ≥2，n ∈N ＋)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋123<2－12B ．1＋123＋133<2－13C ．1＋123<2－13D ．1＋123＋133<2－14解析：选A.第一步验证n ＝2时不等式成立，即1＋123<2－12.2.设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14解析：选D.S (n )的项数应为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，S (2)＝12＋13＋14，故选D.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A ．12n ＋1 B ．12n ＋2 C ．12n ＋1＋12n ＋2 D ．12n ＋1－12n ＋2解析：选D.因为f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， 所以f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.4．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( )A ．f (k )＋k ＋1B ．f (k )＋kC ．f (k )＋k －1D ．f (k )＋k －2解析：选C.当k 棱柱变为k ＋1棱柱时，新增的一条侧棱与和它不相邻的k －2条侧棱确定k －2个对角面，而原来的一个侧面变为对角面，所以共增加k －1个对角面．5．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝2a n ＋a n －1(n ∈N ＋)，用数学归纳法证明a 4n 能被4整除，假设a 4k 能被4整除，然后应该证明( )A ．a 4k ＋1能被4整除B ．a 4k ＋2能被4整除C ．a 4k ＋3能被4整除D ．a 4k ＋4能被4整除解析：选D.由假设a 4k 能被4整除，则当n ＝k ＋1时，应该证明a 4(k ＋1)＝a 4k ＋4能被4整除．6．设0<θ<π2，a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n 等于( )A ．2cos θ2nB ．2cos θ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n解析：选 B.因为a 1＝2cos θ，所以a 2＝2＋2cos θ＝ 22cos2θ2－1＋1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.又因为0<θ<π2，所以0<θ2<π4，所以a 2＝2cos θ2，所以a 3＝2＋2cos θ2＝2cos θ4＝2cos θ22，故猜想a n ＝2cos θ2n －1.7．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N ＋)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有①F (8)不真； ②F (8)真； ③F (6)不真； ④F (6)真； ⑤F (5)不真； ⑥F (5)真． 其中真命题是( ) A ．③⑤ B ．①② C ．④⑥D ．③④解析：选A.因为F (k )(k ∈N ＋)真，则F (k ＋1)真的逆否命题是：F (k ＋1)不真，则F (k )不真，从而可结合数学归纳法的原理知：当F (7)不真时，F (6)不真，F (5)亦不真，故③⑤是真命题．8．用数学归纳法证明：“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：选A.当n ＝k ＋1时，证明“(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3能被9整除”．由归纳假设，n ＝k 时，k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，所以只需将(k ＋3)3展开．9．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A ．2（n ＋1）2 B ．2n （n ＋1）C ．22n －1D ．1n －1解析：选B.由已知a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ≥2)，得a 1＋a 2＝4a 2，解得a 2＝13＝22×3，同理a 3＝23×4，a 4＝24×5，…，猜想a n ＝2n （n ＋1）.10．对任意n ∈N ＋，34n ＋2＋a2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a 为( )A ．1B ．2C ．5D ．3解析：选C.因为当n ＝1时，34n ＋2＝36＝729＝52×14＋1，所以只需1＋a 3是14的倍数． 于是可排除选项A 、B ， 若a ＝3，则当n ＝2时，34n ＋2＋32n ＋1＝35×22×61，不是14的倍数，这样又排除选项D. 因此答案只能是C.11．上一个n 层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法总数为f (n )，则下列猜想中正确的是( )A ．f (n )＝nB ．f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)C ．f (n )＝f (n －1)f (n －2)D ．f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＝1，2）f （n －1）＋f （n －2）（n ≥3）解析：选D.当n ＝1时，有1种上法，当n ＝2时，有2种上法．当n ≥3时，f (n )为第1次上一层的上法f (n －1)与第1次上两层f (n －2)的和．故选D.12．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n(na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，则a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：选A.因为等式对一切n ∈N ＋均成立， 所以n ＝1，2，3时等式成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3（a －b ）＋c ，1＋2×3＝32（2a －b ）＋c ，1＋2×3＋3×32＝33（3a －b ）＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14，c ＝14.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．用数学归纳法证明cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n －1)α＝sin 2n α2sin α(sin α≠0，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等式右边的式子是________．解析：当n ＝1时，右边＝sin 2α2sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α.答案：cos α14．对于任意自然数n ，n 3＋11n 都能被m 整除，则m 的最大值为________． 解析：设f (n )＝n 3＋11n ，则f (1)＝12，f (2)＝30，f (3)＝60，f (4)＝108.因为12，30，60，108的最大公约数为6， 所以m 的最大值为6. 答案：615．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋n ，用数学归纳法证明f (n )≤3.在“假设n＝k 时成立”后，f (k ＋1)与f (k )的关系是f (k ＋1)＝f (k )·________．解析：当n ＝k 时，f (k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ；当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1·(1＋1k ＋2)…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2， 所以应乘⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2·k k ＋1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2·k k ＋1 16．已知数列{a n }，其中a 2＝6，且满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n ，则a 1＝________，a 3＝________，a 4＝________，猜想a n ＝________．解析：由已知可得a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，将a 2＝6代入以上三式，解得：a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28.由于a 1＝1，a 2＝2×3，a 3＝3×5，a 4＝4×7， 猜想得a n ＝n (2n －1)． 答案：1 15 28 n (2n －1)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)求证：平面上通过同一点的n 条直线分平面为2n 个部分． 证明：(1)当n ＝1时，一条直线把平面分成两部分，故命题成立．(2)假设n ＝k(k≥1，k ∈N ＋)时，平面上通过同一点的k 条直线把平面分成2k 个部分，设第(k ＋1)条直线落在相邻的两条直线之间，它把这两条直线所围成的平面上的两个区域变成4个区域，也即增加一条直线后，平面上的区域共有2k ＋2＝2(k ＋1)个，故命题对于n ＝k ＋1也成立．由(1)、(2)知，原命题对于任何正整数n 都成立．18．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：f (n )＝3·52n ＋1＋23n ＋1(n ∈N ＋)能被17整除．证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝391＝17×23， 故f (1)能被17整除．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立． 即f (k )＝3·52k ＋1＋23k ＋1能被17 整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3·52k ＋3＋23k ＋4＝52·3·52k ＋1＋52·23k ＋1－52·23k ＋1＋23k ＋4＝25f (k )－17·23k ＋1.由归纳假设，可知f (k )能被17整除，又17·23k ＋1显然可被17整除，故f (k ＋1)能被17整除．综合(1)(2)可知，对任意正整数n ，f (n )能被17整除．19．(本小题满分12分)已知a i >0(i ＝1，2，3，…，n )，考察下列式子： ①a 1·1a 1≥1；②(a 1＋a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2≥4；③(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.归纳对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法证明． 解：由所给不等式可归纳(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥n 2.证明如下：(1)当n ＝1时，显然成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立． 当n ＝k ＋1时，(a 1＋a 2＋…＋a k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋a k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1a k ＋1(a 1＋a 2＋…＋a k )＋1≥k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 1＋a 1a k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 2＋a 2a k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＋a k a k ＋1＋1≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2， 即n ＝k ＋1时，不等式成立．综上，(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥n 2.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x －x ln x ，数列{a n }满足0<a 1<1，a n ＋1＝f (a n )． (1)证明：函数f (x )在区间(0，1)上是增函数； (2)证明：a n <a n ＋1<1.证明：(1)f ′(x )＝1－(1＋ln x )＝－ln x . 因为x ∈(0，1)，所以ln x <0. 所以f ′(x )>0，所以f (x )在(0，1)上为增函数． (2)运用数学归纳法证明0<a n <1， 当n ＝1时，由于0<a 1<1， 所以不等式成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，0<a k <1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝f (a k )＝a k －a k ln a k ＝a k (1－ln a k )．因为ln a k <0，所以a k ＋1>0. 因为f (x )在(0，1)上为增函数， 又0<a k <1，所以a k ＋1＝f (a k )<f (1)＝1－0＝1. 即对于任意的正整数n 均有0<a n <1. 而a n ＋1－a n ＝－a n ·ln a n >0， 所以a n ＋1>a n ， 故a n <a n ＋1<1.21．(本小题满分12分)设集合M ＝{1，2，3，…，n }(n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1)求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值； (2)猜想T n S n的表达式，并证明．解：(1)当n ＝3时，M ＝{1，2，3}，S 3＝1，T 3＝2，T 3S 3＝2，当n ＝4时，M ＝{1，2，3，4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72. (2)猜想T n S n ＝n ＋12.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝3时，由(1)知猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥3)时，猜想成立， 即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，所以T k ＝k ＋12C 3k ，则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1.而当集合M 从{1，2，3，…，k }变为{1，2，3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k (k －1) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1 ＝k ＋22C 3k ＋1＝（k ＋1）＋12S k ＋1， 即T k ＋1S k ＋1＝（k ＋1）＋12. 所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综上所述，猜想成立．22．(本小题满分12分)记f n (x ，y )＝(x ＋y )n－(x n＋y n)，其中x ，y 为正实数，n ∈N ＋.给定正实数a ，b 满足a ＝bb －1.用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，f n (a ，b )≥f n (2，2)．证明：欲证不等式为(a ＋b )n－a n－b n≥22n－2n ＋1.(*)(1)当n ＝1时，不等式(*)左边＝0，右边＝0，不等式(*)成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式(*)成立，即(a＋b)k－a k－b k≥22k－2k＋1.由a>0，b>0及a＝bb－1，得a＋b＝ab.因为a>0，b>0，所以a＋b≥2ab，从而ab≥4，a＋b＝ab≥4.进而a k b＋ab k≥2（ab）k＋1≥24k＋1＝2k＋2，则当n＝k＋1(k∈N＋)时，(a＋b)k＋1－a k＋1－b k＋1＝(a＋b)[(a＋b)k－a k－b k]＋a k b＋ab k≥4[(a＋b)k－a k－b k]＋2k＋2≥4(22k－2k＋1)＋2k＋2＝22(k＋1)－2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对n∈N＋，不等式(*)成立，即原不等式成立．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A 组 基础演练
1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab
B.1
a ＋1
b
>2
ab
C.b a ＋a b
≥2
D ．a 2＋b 2>2ab
解析：选C.因为ab >0，所以b a >0，a b >0，即b a ＋a b
≥ 2
b a ·a
b
＝2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以选C. 2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.1
2 C.34
D.23
解析：选B.∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝3
4. 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝1
2
时取等号．
3．若函数f (x )＝x ＋1
x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )
A ．1＋ 2
B ．1＋ 3
C ．3
D ．4
解析：选C.f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2
＋2. ∵x ＞2，∴x －2＞0. ∴f (x )＝x －2＋
1
x －2
＋2≥2 x －2 ·
1
x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝
1
x －2
，即x ＝3时，“＝”成立． 又f (x )在x ＝a 处取最小值．∴a ＝3.
4．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )
A.43
B.53 C ．2
D.54
解析：选C.由x ＞0，y ＞0知4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，故选C.5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4
b
的最小值是( )
A.72 B ．4 C.92
D ．5
解析：选C.y ＝1a ＋4b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝52＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫4a b ＋b a ≥52＋1
2×2
4a
b ·b a ＝9
2
，当且仅当4a b ＝b a ，即a ＝23，b ＝4
3时，不等式取等号，故选C.
6．已知2x ＋2
y
＝1，(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8解析：选D.∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x y ＋y x ≥4＋4
x y ·y x
＝8.
当且仅当x y ＝y x
，即x ＝y ＝4时取等号． 7．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ． B ．
C ．
解析：选D.∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1， ∴22x ＋y ≤1，∴2x ＋y ≤1
4＝2－2，
∴x ＋y ≤－2.
即(x ＋y )∈(－∞，－2]．
8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a ＜v ＜ab B ．v ＝ab C.ab ＜v ＜
a ＋
b 2
D ．v ＝
a ＋
b 2
解析：选A.设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b
，从而v ＝
2s
s a ＋s b
＝
2ab
a ＋b
. ∵0＜a ＜b ，∴ab ＜a ＋b 2
，
2ab a ＋b ＞2ab
2b
＝a ， ∴
2a ＋b ＜1ab
，即2ab a ＋b ＜ab ，∴a ＜v ＜ab . 9．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝
⎛⎭⎪⎫
x 2＋14＞lg x (x ＞0)
B ．sin x ＋1
sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.
1
x 2＋1
＞1(x ∈R ) 解析：选C.应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，
x ＋y 2
≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)
逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·1
2
＝x ，
所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；
运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；
当x ＝0时，有
1
x 2＋1
＝1，故选项D 不正确． 10．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋a y ≥9对任意正实数x ， y 恒成立，则正实数a 的最
小值是( ) A ．2 B ．4C ．6
D ．8
解析：选B.(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ，∴当1＋a ＋2a ≥9时不
等式恒成立，故a ＋1≥3，a ≥4.
B 组 能力突破
1. 函数y ＝x 2＋2
x －1(x ＞1)的最小值是( )
A ．23＋2
B ．23－2
C ．2 3
D ．2
解析：选A.∵x ＞1，∴x －1＞0.
∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1
＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1
＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1
＝x －1＋
3
x －1
＋2≥2 x －1
3
x －1
＋2 ＝23＋2.
当且仅当x －1＝3
x －1
，即x ＝1＋3时，取等号．
2．设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋3
2＋y ＝1，则xy 的最小值为( )
A ．4
B ．4 3
C ．9
D ．16
解析：选D.由
32＋x ＋32＋y
＝1得xy ＝8＋x ＋y . ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即
xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 3．已知x ＞1，则x ＋
4
x －1
的最小值为________． 解析：∵x ＞1，∴x －1＞0， ∴x ＋
4x －1＝(x －1)＋4x －1
＋1≥4＋1＝5， 当且仅当x －1＝4
x －1
即x ＝3时等号成立． 答案：54．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．
解析：依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20. 答案：20
5．若点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1
n
的最小值为
__________．
解析：由已知得m ＋n ＝2，所以1
m ＋1
n ＝12(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥
12⎝
⎛
⎭
⎪⎫
2＋2n m ×m n ＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号． 答案：2
6．已知a ＞0，b ＞0，若不等式2a ＋1
b ≥m
2a ＋b
恒成立，则m 的最大值是________．
解析：∵a ＞0，b ＞0， ∴2a ＋1b ≥m 2a ＋b
恒成立，等价于m ≤5＋
2a
b
＋
2b
a
恒成立．
又5＋
2a
b ＋
2b
a
≥5＋24＝9，
当且仅当2a b ＝2b
a
，即a ＝b 时，等号成立．
∴m ≤9，则m 的最大值为9. 答案：9。