2020年云南省名校数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2020年云南省昆明市数学高二下期末学业水平测试试题含解析
2020年云南省昆明市数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知数列{}n a 是等比数列，若151,16,a a ==则3a 的值为（ ） A ．4 B ．4或-4C ．2D ．2或-22．函数的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．3．已知,,0a b c >，则,,b c aa b c的值( )A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于14．某批零件的尺寸X 服从正态分布()210,N σ，且满足()198P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．45．曲线22:21x xy y Γ-+=的图像（ ） A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称,但不关于直线y x =对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称，关于直线-y x =对称6．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01ab<< B ．a b c c > C ．0ac bc -<D ．ln0a b> 7．若()()221f x xf x '=+，则()0f '等于（ ） A ．2 B ．0C ．-2D ．-48．已知0,0a b >>，直线1ax by +=过点()1,3，则113a b+的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．19．以下四个命题中是真命题的是 ( )A ．对分类变量x 与y 的随机变量2k 观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C ．若数据123,,,...n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,...2n x x x x 的方差为2D ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好 10．如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是区间上的“双中值函数”.已知函数是区间上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，3）C ．（，1）D ．（，1） 11．已知函数()1ln af x x x=-+，若存在00x >，使得()00f x ≤有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a <B ．1a ≤C ．2a >D ．3a ≥12．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．命题“0x ∃∈R 2000,x x +>”，此命题的否定是___．(用符号表示)14．函数()1xe f x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程是_____________.15．已知'()f x 是函数f(x)的导函数，()()22ln 1(0)xf x x f '=++⋅,则(1)f '=________.16．已知定点(4,0)A 和曲线228x y +=上的动点B ，则线段AB 的中点P 的轨迹方程为________ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数().1axe f x x =-（1）当1a =时，求曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间. 18．已知0a >，0b >，c R ∈.（1）用分析法证明：252323a b a b≤++；（2）用反证法证明：614c c ++与3212c c ++不能同时为负数.19．（6分）如图，在平面直角坐标系中， 已知圆，椭圆，为椭圆右顶点．过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中．设直线的斜率分别为．（1）求的值；（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线必过点．20．（6分）数列{}n a 满足112,2+-==n n a a a ，等比数列{}n b 满足1148,==b a b a . （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .21．（6分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计,其中120分(含120分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图:（1）根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表: 成绩性别 优秀不优秀合计男生 女生 总计（2）根据(1)中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()20P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取2人,求取到的2人中至少有1名女生的概率.22．（8分）已知函数2()(1)2xf x ax x e =++-（e 是自然对数的底数）.（1）当1a =-时，求函数在[3,2]-上的最大值和最小值； （2）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】设数列{a n }的公比为q ，由等比数列通项公式可得q 4＝16，由a 3＝a 1q 2，计算可得． 【详解】因422513116,4,4a a q q a a q =====故选：A 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，属于简单题． 2．A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，排除选项B,D ，再利用特殊点的函数值判断即可． 【详解】函数为非奇非偶函数，排除选项B,D ； 当,f （x ）<0，排除选项C ，故选：A ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的图象的变化趋势是判断函数的图象的常用方法．3．D 【解析】 【分析】先假设a b c ==，这样可以排除A ，B.再令1,2,4a b c ===，排除C.用反证法证明选项D 是正确的. 【详解】解:令a b c ==，则1b c aa b c ===，排除A ，B. 令1,2,4a b c ===，则12,4b c a a b c ===，排除C.对于D ，假设1,1,1b c aa b c<<<，则,,b a c b a c <<<，相加得a b c a b c ++<++，矛盾，故选D. 【点睛】本题考查了反证法的应用，应用特例排除法是解题的关键. 4．D 【解析】 【分析】计算()39114P X <<=，根据题意得到101131C C 0.1444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()()1314nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断数列单调递减，又()40.1f <，()30.1f >，得到答案. 【详解】 因为()210,X N σ:，且()198P X <=，所以()39114P X <<=， 即每个零件合格的概率为34. 合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个.合格零件个数为零个或一个的概率为101131C C 444n n nn -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由101131C C 0.1444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得()1310.14nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭①，令()()()1314nf n n n *⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N .因为()()1341124f n n f n n ++=<+， 所以()f n 单调递减，又因为()40.1f <，()30.1f >， 所以不等式①的解集为4n ≥. 【点睛】本题考查了正态分布，概率的计算，数列的单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 5．D 【解析】 【分析】构造二元函数()22,21f x y x xy y =-+-，分别考虑(),f x y 与(),f x y -、(),f x y -、(),f x y --、(),f y x 、(),f y x --的关系，即可判断出相应的对称情况.【详解】A ．()()22,21,f x y x xy y f x y -=++-≠，所以不关于x 轴对称；B ．()()22,21,f x y x xy y f x y --=-+-=，()()22,21,f y x y xy x f x y =-+-=，所以关于原点对称，也关于直线y x =对称；C ．()()22,21,f x y x xy y f x y -=++-≠，所以不关于y 轴对称；D ．()()22,21,f y x y xy x f x y --=-+-=，所以关于直线y x =-对称，同时也关于直线y x =对称.故选：D . 【点睛】本题考查曲线与方程的综合应用，难度一般.若曲线关于x 轴对称，则将曲线中的y 换成y -，此时曲线的方程不变；若曲线关于y 轴对称，则将曲线中的x 换成x -，此时曲线的方程不变；若曲线关于y x =对称，则将曲线中的x 换成y 、y 换成x ，此时曲线的方程不变；若曲线关于原点对称，则将曲线中的x 换成x -、y 换成y -，此时曲线的方程不变. 6．D 【解析】 【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：由于a ＞b ＞0，1ab>，A 错； 当0＜c ＜1时，c a ＜c b ；当c ＝1时，c a ＝c b ；当c ＞1时，c a ＞c b ，故c a ＞c b 不一定正确，B 错； a ＞b ＞0，c ＞0，故ac ﹣bc ＞0，C 错．lnln10ab>= ，D 对； 故选D ． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 7．D【解析】 【分析】先求导，算出()1f '，然后即可求出()0f ' 【详解】因为()()221f x xf x '=+，所以()()212f x f x ''=+所以()()1212f f ''=+，得()12f '=- 所以()42f x x '=-+，所以()04f '=- 故选：D 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单. 8．A 【解析】 【分析】先得a+3b=1，再与113a b+相乘后，用基本不等式即可得出结果. 【详解】依题意得31a b +=，00a b ＞，＞，所以()1111331124333a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当2a 2b 3==，时取等号； 故选A 【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，熟记基本不等式即可，属于基础题． 9．D 【解析】 【分析】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，即可得到答案. 【详解】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项D 是正确的． 【点睛】本题主要考查了线性相指数的知识及其应用，其中解答中熟记相关指数的概念和相关指数与相关性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.试题分析：，，所以函数是区间上的“双中值函数”等价于在区间有两个不同的实数解，即方程在区间有两个不同的实数解，令，则问题可转化为在区间上函数有两个不同的零点，所以，解之得，故选C.考点：1.新定义问题；2.函数与方程；3.导数的运算法则.【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数的运算法则以及学生接受鷴知识的能力与运用新知识的能力，难题.新定义问题是命题的新视角，在解题时首先是把新定义问题中的新的、不了解的知识通过转翻译成了解的、熟悉的知识，然后再去求解、运算. 11．B 【解析】 【分析】先将()00f x ≤化为000ln a x x x ≤-,再令()ln g x x x x =-,则问题转化为:max ()a g x ≤,然后通过导数求得()g x 的最大值代入可得. 【详解】若存在00x >，使得()00f x ≤有解,即存在00x >,使得000ln a x x x ≤-, 令()ln g x x x x =-,则问题转化为:max ()a g x ≤, 因为()1(1ln )ln g x x x '=-+=-,当01x << 时,()0g x '> ;当1x > 时,()0g x '< , 所以函数()g x 在(0,1) 上递增,在(1,)+∞ 上递减, 所以max ()(1)1g x g == , 所以1a ≤. 故选B . 【点睛】本题考查了不等式能成立问题,属中档题.【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---，故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．∀x ∈R ，x 2+x ≤1． 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x 1∈R ，x 12﹣2x 1+1＞1的否定是：∀x ∈R ，x 2+x≤1． 故答案为：∀x ∈R ，x 2+x≤1． 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系及否定形式，属于基本知识的考查． 14．e 4e 0x y -+= 【解析】 【分析】首先求出()f x 在1处的导数，再求出()f x 在1处的函数值()1f ，然后用点斜式求出方程即可.【详解】()()2e 1xx f x x '=+，∴()e 14f '=且()e 12f =，切线方程是()e e124y x -=-，即e 4e 0x y -+=． 【点睛】本题考查利用导数求函数在点处的切线方程，属于基础题. 15．ln 2 【解析】分析：先求导，再求()0f '，再求()1f '. 详解：由题得2()2ln 2(0),1xf x f x =+'+' 令x=0得02(0)2ln 2(0),(0)ln 201f f f '''=+∴=-+， 所以12(1)2ln 2(2)211f ln ln =+-=+'. 故答案为：ln2.点睛：(1)本题主要考查求导和导数值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力，属于基础题.(2)解答本题的关键是求(0)f '. 16．22(2)2x y -+= 【解析】 【分析】通过中点坐标公式，把点P 的坐标转移到B 上，把点B 的坐标代入曲线方程，整理可得点P 的轨迹方程。
2020-2021学年云南省部分名校高二下学期期末联考数学(理)试题解析版
云南省部分名校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试卷（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2,1,0,1,{)2A =--，43{|}B x x =-<，则A B ⋂=（ ） A ．{2}B ．{}2-C ．{}0,1,2D ．}2,0{1,--2．设复数z 满足()22i z i -=+．则z 的虚部为（ ） A ．35B ．35-C ．45D ．45- 3．已知a ，b 的等比中项为1，则22a b +的最小值为（ ）A．1C．．24．若双曲线22:1x C y mt-=的一条渐近线方程为20x y =+．则m =（ ） A ．14B ．12C ．4D ．2 5．已知平面向量()3,a m =，()1,1b =．且()a b b -⊥．测m =（ ） A ．1B ．1-C ．12D ．2 6．已知x ，y 满足约束条件21000x y x y y -+≥⎧⎪-=⎨⎪=⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．37．已知抛物线C ：28y x =的燃点为F 抛物线C 上一点A 满足5AF =，则以点A 为圆心，AF 为半径的圆被x 轴所截得的弦长为（ ） A ．1B ．2C．8．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：0101lnt k θθθθ-=--（t 为时间，单位为分钟．0θ为环境温度．1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设一杯开水温度1100θ=℃，环境温度020θ=℃，常数0.2k =，大约经过多少分钟水温降为50℃？（ ）（参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈） A ．5B ．6C ．7D ．89．点P 在函数ln y x =的图象上，若满足到直线y x a =+的距离为1的点P 有且仅有1个，则a =（ ） A1B1C．1D．110．将1，2，3．4．5．6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，要求表格每一行数字之和均相等，则可组成不同表格的个数为（ ） A ．8B ．24C ．48D ．6411．已知圆锥的侧面积为8π，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆．则该圆锥外接球的表面积为（ ） A．3B ．9πC ．92πD ．643π12．将数列{21}n -和{2}n 中的所有项按从小到大排成如下数阵：用i j a ⨯表示第i 行第j 列的数．则1121223132919899a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++++⋯++⋯++=（ ） A ．1647B ．1570C ．1490D ．1442第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知函数()cos()()30f x x ϕϕπ=+≤<为奇函数，则ϕ=__________．14．6()a x x-开式中的常数项为160-，则a =__________．15．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是11C D ，BC 的中点，P 是11A D 上一点，且113PD A P =，则异面直线AP 与MN 所成角的余弦值为__________．16．已知0a >，,()0,,x a x af x a x a c a x a +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩函数，若不等式()()10f x f x ++-≥恒成立，则a 的取值范围为__________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （―）必考题：共60分． 17．（12分）ABC 的内角A ，B ．C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC的面积为222)4b c a +-． （1）求A ；（22b c +=，求sinC ． 18．（12分）如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB AC BC ===，平面SAB ⊥平面ABC ，E ，F 分别是SA ，AC 的中点．（1）证明：EF AB ⊥．（2）若120ASB ∠=︒，求二面角S AC B --的余弦值 19．（12分）在“低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，依次回答A ，B ，C 三道题，且A ，B ，C 三道题的分值分别为30分、20分、20分．竞赛规定：选手累计得分不低于40分即通过测试，并立即停止答题．已知甲选手回答A ，B ，C 三道题正确的概率分别为0.1、0.5、0.5，乙选手回答A ，B ，C 三道题正确的概率分别为0.2、0.4、0.4，且回答各题时相互之间没有影响． （1）求甲通过测试的概率；（2）设Y 为本次测试中乙的得分，求Y 的分布列以及期望； （3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁通过测试的概率更大？ 20．（12分）已知F 是椭圆E 2222:1(0)x y a b a b+=>>的右焦点，点3(1,)2P 是椭圆上一点，且PF x ⊥轴．（1）求椭圆E 的方程；（2）过F 作直线l 交E 于A ，B 两点，且OAB的面积为7，O 为坐标原点．求直线l 的斜率． 21．（12分）已知函数()1()xf x x e =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()lnx f x a ≥+恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 3ρθθ=． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）已知点()3,0P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||PA PB +的值． 23．［选修4—5，不等式选讲]（10分） 已知函数()2f x x x a =+-． （1）当1a =时，解不等式()3f x <；（2）当0a >时，若2()f x a >恒成立求a 的取值范围．云南省部分名校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试卷参考答案（理科）1．A 因为,()1B =+∞，所以}2{A B ⋂=． 2．C 2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i z i i i i ++++====+--+，则的虚部为45．3．D 由题可知．1ab =．所以2222a b ab +≥=，当且仅当1a b ==±时，取得最小值． 4．Ｃ由题意知双曲线的渐近线方程为(0)y m =>，20x y +=可化为12y x =-12=，解得4m =．5．B 由()a b b -⊥，得2a b b ⋅=，所以32m =+，则1m =-．6．C 画出可行域（图略）知，当:l z x y =+平移到过点()1,1时，z 取得最大值，最大值为2． 7．B 由抛物线方程可得4p =由抛物线定义可得||252A A pAF x x =+=+=．则3A x =，||A y =则以点A 为圆心，AF 为半径的圆被x轴所截得的弦长为2=． 8．A 由题意知，150203ln 5ln 5(3ln 213)50.2100208t n -=-=-=-≈-分钟，故选A ． 9．B 设直线y x m =+与y=lnx 相切于点00( ,)x y ，则00000ln 11y x y x m x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得切点为()1,0，由题可知()1,0到直线y x a =+的距离为11=，解得1a =，结合图象（图略）可知，1a =． 10．C 由162534+=+=+，则可组成不同表格的个数为2223222348A A A A =．11．D 设圆锥的底面半径为r ，高为h ．母线长为l ．则8rl ππ=，2l r ππ=，解得2r =，4l =，h =设圆锥外接球的半径为R ．所以222)2R R +=，解得R =26443R ππ=．12．A 由(18)89452+⨯+=，可知99a 是第45个数，推理可知前45项中，{2}n 占有6项，{}21n -占有39项，所以61121223132919899(177)392(12)1647212a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯-+++++⋯++⋯++=+=-．13．2π(0)cos 0f ϕ==，则2πϕ=． 14．62()a x x -的通项公式为662166()()r r r r r r r a T C x C a x x --+=-=-，当620r -=时，3r =，此时6()a x x-展开式中的常数项为33362016)0(C a a =-=--，则2a =．15．3411B C 上取点E ，使得11114C E C B =，连接M E ，NE ，则EN AP ∥，所以MNE ∠为异面直线AP 与MN 所成角．设4AB =，则ME =MN =NE =cosMNE ∠==． 16．1(0,)2结合函数()f x 的图象（图略）可知，()f x 为奇函数，所以不等式()()10f x f x ++->，可化为()()1f x f x +>，所以21a <，则12a <，即a 的取值范围为1(0,)2．17．解：（1）由题可知2221sin )cos 2bc A b c a A =+-=，则tan A =3A π=．（22b c +=2sin sin 2sin A B C +=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=，整理可得3sin C C -=．即3sin )6C C C π-=-=∴sin()6C π-=由2(0,)3C π∈，(,)662C πππ-∈-，所以64C ππ-=，46C ππ=+，sin sin()464C ππ=+=． 18．（1）证明：作O 为AB 的中点，连接SO ，CO ，则SO AB ⊥，CO AB ⊥． 又SO CO O ⋂=，所以AB ⊥平面SOC ． 所以AB SC ⊥．因为E ，F 分别为SA ，AC 的中点，所以//EF SC ，则EF AB ⊥． （2）解：由平面SAB ⊥平面ABC ，交线为AB ，所以SO ⊥平面ABC ．以O 为坐标原点，以OA ，OC ，OS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz ，设6SA =，则A，(B -，()0,0,3S ，()0,3,0C ， 所以(33,0,3)SA =-，(AC =-． 设平面SAC 的一个法向量(),,m x y z =，由00m SA m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3030z y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，取(1,3,m = 又易知平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =，故3cos ,7||||7m n m n m n⋅〈〉===，所以二面角S AC B --的余弦值为7． 19．解：（1）若甲通过测试，则甲的得分X 为40或50，()400.90.50.50.225P X ==⨯⨯=，()500.10.50.50.10.50.0250.050.075P X ==⨯⨯+⨯==＋，所以()()40500.2250.0750.3P P X P X ==+==+=． （2）Y 的可能取值为0，20，30，40，50．()00.80.60.60.288P Y ==⨯⨯=，()200.80.40.60.80.60.40.384P Y ==⨯⨯⨯⨯=＋， ()300.20.60.60.072P Y ==⨯⨯=， ()400.80.40.40.128P Y ==⨯⨯=，()500.20.60.40.20.40.128P Y ==⨯⨯⨯=＋．Y 的分布列为则21.36EY =．（3）甲通过测试的概率更大． 理由如下：乙通过测试的概率()()40500.1280.1280.256P P Y P Y ==+==+=， 甲通过测试的概率为0.3，大于乙通过测试的概率．20．解：（1）由题可知2132c b a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2a =，1c =，b =所以椭圆的方程为22143x y +=． （2）设l 的方程为()1y k x =-，11(),A x y ，22(),B x y ， 联立方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，可得22223484)12(0k x k x k +-+-=， 则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+， 所2212(1)||34k AB k +==+．О到直线l，所以OAB的面积22112(1)2347k S k +==+， 解得21k =，即直线l 的斜率为1±．21．解：（1）()()111x x x f x e xe x e '=-+=+-．令()()11x F x x e =+-，则()()2x F x x e '=+，则函数()F x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,-∞+上单调递增．又因为()00F =．且当1x <-时，()0F x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(0),-∞上单调递减． （2）若()ln f x x a ≥+恒成立，则ln ()1xa x e x ≤--在(0,)∞+上恒成立．令()()1lnx xg x x e =--，则1()(1)()xg x x e x'=+-，10x +>． 令1()xh x e x =-．则21()xh x e x'=+，故()h x 在(0,)+∞上单调递增， 故存在00(),x ∈+∞，使得0()0h x =，从而001x x e =，00ln x x =-，故()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(),x ∞+上单调递增， 故()()0min 0000()1ln 11xg x g x x e x x x ==--=-+=，故()g x 的最小值是1，即a 的取值范围是(1],-∞．22．解：（1）曲线C 的参数方程为11x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），所以22212x m m =++，22212y m m=-+， 相减可得224x y -=．即曲线C 的普通方程为22144x y -=． 直线l的极坐标方程为cos sin 3ρθθ=，则转换为直角坐标方程为30x -=．（2）直线l 过点(3,0)P ，直线l的参数方程为312x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． 令点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t将312x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22144x y -=，得2100t ++=，得12t t +=-1210t t =，∴121211||||||||||||t t PA PB PA PB PA PB t t +++===． 23．解：（1）（1）当0x ≤时，得(12)3x x -+-<，解得23x >-，所以203x -<≤； （2）当102x <<时，得(12)3x x +-<，解得2x >-，所以102x <<； （3）当12x ≥时，得(12)3x x --<，解得43x <，所以1423x ≤<． 综上所述，原不等式的解集为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭（2）3,0(),023,2x a x a f x x a x a x a x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩所以min ()22a af x f ⎛⎫==⎪⎝⎭， 又2()f x a >恒成立，所以22a a >，解得102a <<，所以a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
云南省名校2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析
云南省名校2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题 ，；命题 ，函数的图象过点，则（ ） A ．假真 B ．真假 C ．假假 D ．真真【答案】A 【解析】 试题分析：∵，∴，∴或，∴不存在自然数，∴命题P 为假命题；∵，∴函数的图象过点，∴命题q 为真命题．考点：命题的真假．2．函数()212sin f x x =-是（）A ．偶函数且最小正周期为2πB ．奇函数且最小正周期为2πC ．偶函数且最小正周期为πD ．奇函数且最小正周期为π【答案】C 【解析】 【分析】首先化简为()cos2f x x =，再求函数的性质. 【详解】()cos2f x x =()()f x f x -= ，是偶函数，22T ππ== 故选C. 【点睛】本题考查了三角函数的基本性质，属于简单题型.3． “3a =”是“圆O ：222x y +=与圆C ：()()228x a y a -+-=外切”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件【答案】B 【解析】由圆O ：222x y +=与圆C ：()()228x a y a -+-=外切可得，圆心(0,0)O 到圆心(,)C a a 的距离是求出a 的值，然后判断两个命题之间的关系。
【详解】由圆O ：222x y +=与圆C ：()()228x a y a -+-=外切可得，圆心(0,0)O 到圆心(,)C a a 的距离是== 可得 3.a =± 所以“3a =”是“圆O ：222x y +=与圆C ：()()228x a y a -+-=外切”的充分不必要条件。
【点睛】本题考查了两个圆的位置关系及两个命题之间的关系，考查计算能力，转化思想。
属于中档题。
4．若随机变量~(,)X B n p ，其均值是80，标准差是4，则n 和p 的值分别是( ) A ．100，0.2 B ．200，0.4C ．100，0.8D ．200，0.6【答案】C 【解析】 【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n 和p 的方程组，解方程组得到要求的两个未知量． 【详解】∵随机变量~(,)X B n p ，其均值是80，标准差是4， ∴由()80,116np np p =-=， ∴0.8100p n ==,． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．5．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 【答案】B由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=1．6．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 【答案】B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .7．设函数,( )A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】分析：由－2＜1，2log 121>知两个函数值要选用不同的表达式计算即可．详解：2(2)1log [2(2)]3f -=+--=，22log 121log 62(log 12)226f -===， ∴2(2)(log 12)369f f -+=+=． 故选C ．点睛：本题考查分段函数，解题时要根据自变量的不同范围选用不同的表达式计算． 8．若复数(8)z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】分析：根据复数的乘法运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论． 详解：∵z=（﹣8+i ）i=﹣8i+i 2=﹣1﹣8i ，对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限， 故选C ．点睛：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的运算先化简是解决本题的关键，属于基础题． 9．以下四个命题，其中正确的个数有（ ）①由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀.②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程^0.212y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.2个单位； ④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】对于命题①认为数学成绩与物理成绩有关，不出错的概率是99%，不是数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀，不正确；对于④，随机变量K 2的观测值k 越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小，不正确；容易验证②③正确，应选答案B 。
云南省名校2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析
云南省名校2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．函数()f x 在其定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数'()y f x =的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．将点M 的极坐标1,3π⎛⎫⎪⎝⎭化成直角坐标为（ ） A ．31,⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B ．(1,3)--C ．13,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭ D ．(1,3)3．如图所示正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则向正方形内随机掷一点P ，该点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．18B ．16C ．15D ．144．22221231111,,,xS x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 15．将曲线πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭按照伸缩变换3,12x x y y =⎧⎪⎨=''⎪⎩后得到的曲线方程为（ ）A．π2sin4 y x⎛⎫''=-⎪⎝⎭B．1πsin24y x⎛⎫''=-⎪⎝⎭C．1πsin924y x⎛⎫''=-⎪⎝⎭D．π2sin94y x⎛⎫''=-⎪⎝⎭6．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同．现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛项目是（）A．跑步比赛B．跳远比赛C．铅球比赛D．无法判断7．已知集合{1,2,3,4,5}A=，{5,8,9}B=，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，则可以组成这样的新集合的个数为（）A．8B．12C．14D．158．如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（）A．122434B．82434C．82438D．8212389．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为1l和2l．已知两个人在试验中发现对变x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都为t，那么下列说法正确的（）A．1l与2l相交于点（s，t）B．1l与2l相交，交点不一定是（s，t）C．1l与2l必关于点（s，t）对称D．1l与2l必定重合10．设0.213121log3,,53a b c⎛⎫⎪⎝⎭===,则（）A．a b c<<B．a c b<<C．c a b<<D．b a c<<11．已知8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是 A ．82B ．83C ．813或D ．812或12．在数列{}n a 中，111,3n n a a a +==，则4a 等于（ ） A ．9B ．10C ．27D ．81二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知2sin cos 113cos 4ααα⋅=+，且()1tan 3αβ+=，则tan β=____________． 14．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，其外接圆的直径为d ，且满足cos cos 4cos 0b A a B c C +-=，则cd=______________. 15．一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为______．16．试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项_____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()21f x ax x=+，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）若()1,3a ∈，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,23a b c a =其中，且()()()23sin sin sin b A B c b C +-=-． （1）求角A 的大小；（2）求△ABC 的面积的最大值.19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，直线:l y kx =，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=.设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，M 点在N 点的下方. （Ⅰ）当3k =时，求M ，N 两点的直角坐标；（Ⅱ）当k 变化时，求线段MN 中点P 的轨迹的极坐标方程. 20．（6分）公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比．（1）求数列的通项公式；（2）设，证明对任意的，恒成立．21．（6分）已知函数()f x ，若定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数．（1）已知二次函数2()24(,)f x ax bx a a b =+-∈R ，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由（2）设()21xf x m =++是定义在[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．22．（8分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“课外体育达标”. （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表；（Ⅱ）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】分析：根据函数单调性、极值与导数的关系即可得到结论.详解：观察函数()y f x =图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单调递增.对应的导数符号为正，负，正.,选项D 的图象正确. 故选D.点睛：本题主要考查函数图象的识别和判断，函数单调性与导数符号的对应关系是解题关键. 2．C 【解析】 【分析】利用极坐标与直角坐标方程互化公式即可得出． 【详解】x ＝cos132π=，y ＝sin 3π=，可得点M 的直角坐标为1,22⎛ ⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．D 【解析】 【分析】根据正方形的对称性求得阴影部分面积占总面积的比例，由此求得所求概率. 【详解】根据正方形的对称性可知，阴影部分面积占总面积的四分之一，根据几何概型概率计算公式可知点落在阴影部分内的概率为14，故选D. 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题. 4．B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力. 5．B 【解析】 【分析】根据伸缩变换的关系表示已知函数的坐标，代入已知函数的表示式得解. 【详解】由伸缩变换，得132x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩， 代入πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 得π2sin 4y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，即 1πsin 24y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭．选B 【点睛】本题考查函数图像的伸缩变换，属于基础题. 6．A 【解析】分析：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.详解：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中； 再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛. 故选：A.点睛：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力. 7．C 【解析】 【分析】利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理计算即可，注意5这个特殊元素的处理. 【详解】已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}5,8,9B =，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，分为2类：含5，不含5；则可以组成这样的新集合的个数为34214⨯+=个. 故选C. 8．A 【解析】 【分析】根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积. 【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥P ABC -，其中P A B 、、是棱长为4的正方体的顶点，C 为正方体的底面中心，注意到,PC BC AB PB ⊥⊥所以1=224422PCA S ∆⨯=11262243,4428222PCB ABP S S ∆∆=⨯==⨯⨯=1222242ABC S ∆=⨯=，因此该三棱锥的表面积等于122434.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系． 9．A 【解析】 【分析】根据线性回归方程l 1和l 2都过样本中心点（s ，t ），判断A 说法正确． 【详解】解：根据线性回归方程l 1和l 2都过样本中心点（s ，t ）， ∴1l 与2l 相交于点(),s t ，A 说法正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题． 10．A 【解析】 【分析】利用中间值0、1比较大小，即先利用确定三个数的正负，再将正数与1比较大小，可得出三个数的大小关系． 【详解】由于函数12log y x =在定义域上是减函数，则1122log 3log 10a =<=，且0.2103b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，1350c =>，由于函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上是减函数，则0.211133b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数5xy =在定义域上是增函数，则103551c =>=，因此，a b c <<，故选A.本题考查指对数混合比大小，常用方法就是利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来建立桥梁来比较各数的大小关系，属于常考题，考查分析问题的能力，属于中等题． 11．C 【解析】分析：由展开式通项公式根据常数项求得a ，再令1x =可得各项系数和． 详解：展开式通项为882188()()r rr r r r r aT C xa C x x--+=-=-，令820r -=，则4r =，∴448()1120a C -=，2a =±，所以展开式中各项系数和为8(1)1a -=或83．故选C ．点睛：赋值法在求二项展开式中系数和方面有重要的作用，设展开式为2012()n n f x a a x a x a x =++++，如求所有项的系数和可令变量1x =，即系数为(1)f ，而奇数项的系数和为(1)(1)2f f +-，偶数项系数为(1)(1)2f f --，还可以通过赋值法证明一些组合恒等式．12．C 【解析】 【分析】利用题设中递推公式，构造等比数列，求得等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由题意，在数列{}n a 中，111,3n n a a a +==，即111,3n na a a +== 可得数列{}n a 表示首项11a =，公比3q =的等比数列，所以33411327a a q ==⨯=，故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．-1 【解析】 【分析】通过sin α，cos α的齐次式，求得tan α的值；再利用两角和差的正切公式求解tan β. 【详解】2222sin cos sin cos tan 113cos sin 4cos tan 44ααααααααα⋅⋅===+++又()tan tan 2tan 1tan 1tan tan 12tan 3αββαβαββ+++===--解得：tan 1β=- 本题正确结果：1- 【点睛】本题考查同角三角函数关系以及两角和差公式的应用，属于基础题. 14．15 【解析】 【分析】先利用余弦定理化简已知得1cos 4C =，所以15sin 4C =，再利用正弦定理求解. 【详解】由cos cos 4cos 0b A a B c C +-=及余弦定理，得222224cos 22b c a a c b b a c C bx a +-+-⋅+⋅-0=，得22224cos 022b c a a c bc C c c+-+-+-=，得4cos 0c c C -=，即()14cos 0c C -=， 所以1cos 4C =，所以15sin C =. 由正弦定理，得sin cd C=， 则15sin c C d ==. 故答案为15【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 15．【解析】 【分析】画出满足题意的三棱锥图形，根据题意，画出高，利用直角三角形，求出此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积． 【详解】由题意画出图形，如图所示： 因为三棱锥是正三棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，在三角形中： 因为三角形三边长，，所以， 则这个棱锥的侧面积．故答案为：18。
云南省2020版数学高二下学期理数期末考试试卷(II)卷(精编)
云南省2020版数学高二下学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，若与为共线向量，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知函数则的值为（）A . -20B . -10C . 10D . 203. （2分）复数等于（）A . -1+IB . 1-IC . 1+ID . 3+i4. （2分） (2019高三上·抚州月考) 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推，若该数列前项和满足：① ② 是2的整数次幂，则满足条件的最小的为（）A . 21B . 91C . 95D . 105. （2分）设随机变量X的概率分布列为，则a的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·武宁期末) 一组数据的茎叶图如图所示，则数据落在区间内的概率为（）A . 0.2B . 0.4C . 0.5D . 0.67. （2分）用反证法证明命题：“,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为（）A . a,b,c,d中至少有一个正数B . a,b,c,d全为正数C . a,b,c,d全都大于等于0D . a,b,c,d中至多有一个负数8. （2分） (2018高二下·滦南期末) 已知随机变量服从正态分布，且，（）．A .B .C .D .9. （2分）如图所示，阴影部分的面积是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·黑龙江月考) 如图，在长方体中，，，点是棱的中点，则点到平面的距离为（）.A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·赤峰期末) 某快递公司共有人，从周一到周日的七天中，每天安排一人送货，每人至少送货天，其不同的排法共有（）种.A .B .C .D .12. （2分） (2018高三上·河南期中) 已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中e＝2．71828…为自然对数的底数），则实数的取值范围是（）A . （， ]B . （， ]C . [ ，）D . [ ，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·龙江期末) 某种疾病的患病率为0.50，患该种疾病且血检呈阳性的概率为0.49，则已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为________.14. （1分） (2015高二上·广州期末) 计算定积分（x2+sinx）dx=________．15. （1分） (2017高二下·广安期末) 从1=12 ， 2+3+4=32 ， 3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是________．16. （1分） (2016高一上·泗阳期中) 设m，n∈R，定义在区间[m，n]上函数f（x）=x2的值域是[0，4]，若关于t的方程|3﹣|t|﹣ |﹣n=0恰有4个互不相等的实数解，则m+n的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知，（Ⅰ）求a1+a2+…+a7的值；（Ⅱ）求a0+a2+a4+a6的值．18. （15分） (2017高三下·武邑期中) 已知函数f（x）=lnx，g（x）= x2﹣bx（b为常数）．（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；（3）若b≥2，∀x1 ，x2∈[1，2]，且x1≠x2 ，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数b的取值范围．19. （10分） (2017高二下·眉山期中) 已知，数列{an}的前n项的和记为Sn ．（1）求S1 ， S2 ， S3的值，猜想Sn的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想．20. （5分） (2019高二下·黑龙江月考) 甲、乙两人各进行次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，（Ⅰ）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多击中目标次的概率．21. （10分）(2019·中山模拟) 如图所示，在平行四边形中，点是边的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且 .（1）求证：平面平面；（2）若平面和平面的交线为，求二面角的余弦值.22. （5分）(2019·九江模拟) 已知函数．1 试讨论函数的单调性；参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
2020年云南省名校数学高二下期末综合测试试题含解析
2020年云南省名校数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设函数 ()'fx 是奇函数()f x 的导函数，当0x >时，()ln ()0f x x x f x '⋅+<，则使得2(1)()0x f x -<成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(1,)-∞-+∞U B ．(,1)(0,1)-∞-U C ．(1,0)(0,1)-UD ．(1,0)(1,)-??2．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．甲、丁可以知道对方的成绩D ．甲、丁可以知道自己的成绩3．在极坐标系中，圆cos ρθθ=的圆心的极坐标为（ ） A ．1,3π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,6π⎛⎫-⎪⎝⎭4．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.55．若曲线2y x mx n =++在点（0，n ）处的切线方程x-y+1=0，则（ ） A ．m 1=，n 1= B ．1m =-，n 1= C ．m 1=，n 1=-D ．m 1=-，n 1=-6．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为23，则甲获胜的概率为 ( )．A ．22123221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．22232233C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．22112221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．21112221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、 ，其焦距为2c ，点,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且1125|PF PQ F F +恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．12,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．12,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．12,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．22,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭8．某大学中文系共有本科生5 000人，期中一、二、三、四年级的学生比为5:4:3:1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生 A ．100人B ．60人C ．80人D ．20人9．集合{}22A x x =-≤≤，{}0,2,4B =，则A B =I （ ） A ．{}0B ．{}02，C ．[]0,2D ．{}012，， 10．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B =I A ．(1,0)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,2)-11．已知m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ，n 没有公共点，则//m n B ．若,m n ⊂α⊂β，//αβ，则//m n C ．若,//m m n ⊂α，则//n α D ．若//m n ⊥αα，，则m n ⊥12．已知函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩若关于x 的方程()()()210f x a f x a ⎡⎤+--=⎣⎦有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．()2,1-B ．[]2,4C ．()2,1--D ．(],4-∞二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．用数学归纳法证明422123(1)2n n n n +++++=>L ，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是_____项．14．命题000:,tan p x R x x ∃∈>的否定是__________． 15．不等式215x +≤的解集是_______. 16．定义在上的偶函数满足，当时，，则函数在上的零点个数为__个．（其中为自然对数的底数，…）三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设()ln af x x x x=+，()323g x x x =--． （Ⅰ）如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g(x 1)－g(x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；（Ⅱ）如果对于任意的1s,t ,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有f(s)≥g(t)成立，求实数a 的取值范围．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n a ≥，且()241n n S a =+，n N +∈.（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法予以证明.19．（6分）己知抛物线C ：22(0)y px p =>过点(1,M -（1）求抛物线C 的方程：（2）设F 为抛物线C 的焦点，直线l ：28y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点，求FAB V 的面积. 20．（6分）山西省2021年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分。
2020年云南省名校数学高二下期末综合测试试题含解析
2020年云南省名校数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2cos x x f x e e x -=++，其中e 为自然对数的底数，则对任意a R ∈，下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()212f a f a +≥B ．()()212f a f a +≤ C ．()()211f a f a +≥+ D ．()()21f a f a +≤ 【答案】A【解析】【分析】()()f x f x -=，可得()f x 在R 上是偶函数.函数()2cos x x f x e e x -=++，利用导数研究函数的单调性即可得出结果.【详解】 解：()()f x f x -=，∴()f x 在R 上是偶函数.函数()2cos x x f x e e x -=++，()2sin x x f x e e x -'=--，令()2sin x x g x e e x -=--，则()2cos 0x x g x e e x -'=+-≥，∴函数()g x 在R 上单调递增，()00f '=，∴函数()f x 在[)0,+∞上单调递增.2120a a +≥≥，∴()()()2122f a f a f a +≥=，∴()()212f a f a +≥.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.2．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为A ．882100.80.2C ⨯⨯B ．820.80.2⨯C ．282100.20.8C ⨯⨯D ．820.20.8⨯【答案】A【解析】【分析】由题意可知，选手射击属于独立重复事件，属于二项分布，按照二项分布求概率即可得到答案.【详解】设X 为击中目标的次数，则()~10,0.8X B ，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为()108888821010C 0.810.8C 0.80.2-⨯⨯-=⨯⨯．选A.【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率，考查二项分布公式的运用，属于基础题.3．使得()3n x n N x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】 二项式展开式的通项公式为r -n 3x ()n r r C x x （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B 【考点定位】本题考查二项式定理的应用．4．若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A ．7?k =B ．6?k ≤C ．6?k <D ．6?k >【答案】D【解析】 分析：根据赋值框中对累加变量和循环变量的赋值，先判断后执行，假设满足条件，依次执行循环，到累加变量S 的值为35时，再执行一次k=k+1，此时判断框中的条件不满足，由此可以得到判断框中的条件． 详解：框图首先给累加变量S 赋值1，给循环变量k 赋值1．判断1＞6，执行S=1+1=11，k=1﹣1=9；判断9＞6，执行S=11+9=20，k=9﹣1=8；判断8＞6，执行S=20+8=28，k=8﹣1=7；判断7＞6，执行S=28+7=35，k=6；判断6≤6，输出S 的值为35，算法结束．所以判断框中的条件是k ＞6？．故答案为:D.点睛：本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时，算法结束，此题是基础题．5．在ABC ∆中，222a b c =+，则A ∠=（ ）A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】【分析】 利用余弦定理计算出222cos 2b c a A bc+-∠=的值，于此可得出A ∠的值． 【详解】222a b c =+，222b c a ∴+-=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-∠===， 0180A <∠<，因此，150A ∠=，故选D ．【点睛】本题考查利用余弦定理求角，解题时应该根据式子的结构确定对象角，考查计算能力，属于基础题． 6．若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是（ ）A ．sinα+cosα＞1B ．sinα+cosα=1C ．sinα+cosα＜1D ．不能确定【答案】A【解析】试题分析：设角α的终边为OP ，P 是角α的终边与单位圆的交点，PM 垂直于x 轴，M 为垂足，则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，再由三角形任意两边之和大于第三边，得出结论．解：如图所示：设角α的终边为OP ，P 是角α的终边与单位圆的交点，PM 垂直于x 轴，M 为垂足，则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，故选A．考点：三角函数线．7．曲线4yx=与直线5y x=-围成的平面图形的面积为（）A．152B．154C．154ln24-D．158ln22-【答案】D【解析】【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【详解】作出曲线4yx=与直线5y x=-围成的平面图形如下：由45yxy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得：1x=或4x=，所以曲线4yx=与直线5y x=-围成的平面图形的面积为()421441115S5542084458ln21222x dx x x lnx lnx⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=----=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰.故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型. 8．4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D【解析】【分析】由题意得到二项展开式的通项，进而可得出结果.【详解】因为4(2)x +的展开式的第1r +项为4142-+=r r r r T C x ，令3x =，则3334428==T C x x ，所以3x 的系数为8.故选D【点睛】本题主要考查求指定项的系数问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.9．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于A 、B 两点，且1F AB ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A1BC1 D【答案】A【解析】分析：利用双曲线的对称性以及圆的对称性，求出A 的坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可. 详解：1F 、2F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于A 、B 两点，且1F AB ∆为等边三角形，则1,22A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程可得：22223144c c a b -=， 即：222234c e c a -=-，可得223411e e-=-， 即42840e e -+=，可得24e =+1e ∴=.故选：A.点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.10．已知函数1()ln x f x x ax -=+，若函数()f x 在[1∞,+）上为增函数，则正实数a 的取值范围为（） A ．()1,+∞B ．[1,)+∞C ．()0,1D ．(01]，【答案】B【解析】【分析】求f （x ）的导数f ′（x ），利用f ′（x ）判定f （x ）的单调性，求出f （x ）的单调增区间，即得正实数a 的取值范围．【详解】 ∵f （x ）1x ax-=+lnx （a ＞0）， ∴f ′（x ）21ax ax-=（x ＞0）， 令f ′（x ）＝0，得x 1a=， ∴函数f （x ）在（0，1a ]上f ′（x ）≤0，在[1a，+∞）上f ′（x ）≥0， ∴f （x ）在（0，1a ]上是减函数，在[1a ，+∞）上是增函数； ∵函数f （x ）在区间[1，+∞）内是增函数， ∴1a≤1，又a ＞0，∴a ≥1， ∴实数a 的取值范围是[1，+∞）；故选：B ．【点睛】本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性，利用函数的单调区间来解答问题，是中档题．11．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．10102021【答案】C【解析】【分析】 首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果.【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯， 11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭， 111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯ 11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1110091220192019⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB 与平面1ACD 所成角的正弦值为（ ）A 3B 3C ．35D ．25【解析】【分析】证明1BB 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠，再利用边的关系得到正弦值.【详解】如图所示：连接BD 与AC 交于点O ，连接1D O ，过点D 作1DE D O ⊥1BB 与平面1ACD 所成角等于1DD 与平面1ACD 所成角正方体11111,ABCD A B C D AC DB AC DD AC -⇒⊥⊥⇒⊥平面1DD O AC DE ⇒⊥1DE D O DE ⊥⇒⊥平面1ACD1DD 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠设正方体边长为1在1Rt DD O ∆中11232sin 362DO DD O D O ∠=== 故答案选B【点睛】本题考查了线面夹角，判断1BB 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、填空题：本题共4小题13．在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有________种（填写数值）.【答案】80【解析】先由题意，分别确定从5名男生和4名女生中选出3人，和选出的3人全部都是女生对应的选法种数，进而可求出结果.【详解】从5名男生和4名女生中选出3人，共有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯种选法； 选出的3人全部都是女生，共有344C =种选法；因此，至少有一名男生的选法有84480-=种.故答案为：80【点睛】本题主要考查组合问题，熟记组合的概念，以及组合数的计算公式即可，属于常考题型.14．数列{a n }满足212n n n a a a +=-，若{a n }单调递增，则首项a 1的范围是_____．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解析】【分析】先表示出1n n a a +-，结合{a n }单调递增可求首项a 1的范围.【详解】因为212n n n a a a +=-，所以2130n n n n a a a a +-=->，解得3n a >或0n a <，则有13a >或10a <由于22112a a a =-，所以21123a a ->或21120a a -<解得13a >或11a <-，故答案为：()(),13,-∞-+∞.【点睛】本题主要考查数列的单调性，数列的单调性一般通过相邻两项差的符号来确定，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养. 15)m R =∈其中，则实数m =_______.【答案】2或2-【解析】【分析】=. 【详解】2==2592m m+=∴=±故答案为2或 2.-【点睛】本题考查了复数的模的计算，属于基础题.16．已知复数z满足||||2z i z a++-=，若z在复平面上对应点的轨迹是椭圆，则实数a的取值范围是______；【答案】(【解析】【分析】由复数模的几何意义及椭圆的定义列出不等式求解。
云南省名校2020年高二下数学期末学业质量监测试题含解析
云南省名校2020年高二下数学期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()622x x +-的展开式中2x 的系数是（ ） A ．-1152 B ．48C ．1200D ．2352【答案】B 【解析】 【分析】先把多项式化简，再用二项式定理展开式中的通项求出特定项的系数，求出对应2x 项的系数即可. 【详解】 解：()()()6662212x x x x +-=-+，()61x -的二项式定理展开式的通项公式为()6161rr rr T C x -+=-， ()62x +的二项式定理展开式的通项公式为6162r r rr T C x -+=，所以()622x x +-的展开式中2x 的系数为64455546666666622248C C C C C C ⨯-⨯+⨯=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用以及利用二项式展开式的通项公式求展开式中某项的系数问题，是基础题目.2．已知12P(B|A)=,P(A)=35,则()P AB 等于( ) A ．56B ．910C ．215D ．115【答案】C 【解析】分析：根据条件概率的计算公式，即可求解答案. 详解：由题意，根据条件概率的计算公式()()|()P AB P B A P A =， 则()()()122|3515P AB P B A P A =⋅=⨯=，故选C. 点睛：本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ） A ．16种B ．18种C ．37种D ．48种【解析】 【分析】根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案． 【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案； 则符合条件的有种，故选：C ． 【点睛】本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意．4．已知平面向量a ，b 的夹角为23π，(0,1)a =-，2=b ，则2a b +=（ ） A ．4 B ．2C ．22D ．3【答案】B 【解析】 【分析】将2a b +两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果. 【详解】 依题意()2222244a b a b a a b b +=+=+⋅+2144122422⎛⎫=+⨯⨯⨯-+== ⎪⎝⎭.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.5．在同一平面直角坐标系中，曲线2yx 按213x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩变换后的曲线的焦点坐标为（ ）A ．()6,0B ．()0,6C ．3,0D ．()0,3【答案】D 【解析】把伸缩变换的式子变为用','x y 表示,x y ，再代入原方程即可求出结果. 【详解】由213x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩可得23x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩，将其代入2yx可得：232xy，即212xy故其焦点为：()0,3. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关伸缩变换后曲线方程的求解问题，涉及到的知识点有伸缩变换规律对应点的坐标之间的关系，属于基础题 6．如果f(n)1111(n n 1n 2n 32n=+++⋯++++∈N +),那么f(n+1)-f(n)等于( ) A ．12n 1+ B ．1 2n 2+ C ．11 2n 12n 2+++ D ．112n 12n 2-++【答案】D 【解析】分析：直接计算 f(n+1)-f(n). 详解：f(n+1)-f(n)()11111(1)1(1)22212(1)f n n n n n n =++⋯+++-++++++11111111……2322122122n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++++-+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭11111.212212122n n n n n =+-=-+++++ 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）不能等于112122n n +++，因为前面还有项11n +没有减掉. 7．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.33330202525K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论是爱好 不爱好 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 302050附表：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】对照表格，看2K 在0k 中哪两个数之间，用较小的那个数据说明结论． 【详解】由2K ≈8.333＞7.879，参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：A ． 【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题．8．已知函数()()22sin ,,123f x x x ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则()12f x x +的值为 （ ）A BC ．1D ．0【答案】C 【解析】由题意得，3224312πππω⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭，则2ω=，又012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2sin 2012πϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()2f x =，即2sin 226x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，262x ππ+=，解得该函数的对称轴为6x π=，则1226x x π+=，即123x x π+=，所以()122sin 21336f x x f πππ⎛⎫⎛⎫+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.9．已知1yx i i=+-，其中x 、y 是实数，i 是虚数单位，则复数x yi +的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 由1yx i i=+-得()11y x x i =++-，根据复数相等求出x y ，的值，从而可得复数x yi +的共轭复数，得到答案. 【详解】 由1yx i i=+-有()()()111y i x i x x i =-+=++-，其中x 、y 是实数. 所以110x y x +=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以1+2x yi i +=则复数x yi +的共轭复数为12i -，则12i -在复平面内对应的点为()12-，. 所以复数x yi +的共轭复数对应的点位于第四象限. 故选：D 【点睛】本题考查复数的运算和根据复数相等求参数，考查复数的概念，属于基础题.10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )A ．1603B ．160C ．2563D ．64【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11．将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向左平移6π个单位，所得图象其中一条对称轴方程为（ ） A ．0x = B ．6x π=C ．4x π=D ．2x π=【答案】B【解析】试题分析：()12cos 22sin 2cos 22sin 226f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 向左平移6π个单位后所得函数解析式为()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()g x 对称轴方程为()262x k k Z πππ+=+∈，所以()62k x k Z ππ=+∈，当0k =时，6x π=． 考点：三角函数图象及性质．12．某样本平均数为a ，总体平均数为m ，那么（ ） A ．a m = B ．a m > C ．a m < D ．a 是m 的估计值【答案】D 【解析】 【分析】统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值. 【详解】解：样本平均数为a ，总体平均数为m ， 统计学中，利用样本数据估计总体数据， ∴样本平均数a 是总体平均数m 的估计值. 故选：D . 【点睛】本题考查了利用样本数据估计总体数据的应用问题，是基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．lg5+1g20+e 0的值为_____ 【答案】3 【解析】 【分析】利用对数与指数的运算性质，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得0lg 5lg 20lg1001213e ++=+=+=， 故答案为3. 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及指数的运算性质的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 14．在正四面体P-ABC ，已知M 为AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为____.【答案】6【解析】分析：取AC 的中点N ，连接,MN PN ，由三角形中位线定理可得PMN ∠即为PM 与BC 所成的角或其补角，利用余弦定理可得结果.详解：取PB 的中点N ，连接,,MN CN CM ， 由三角形中位线定理可得，//MN PA ， 故CMN ∠即为CM 与PA 所成的角或其补角， 因为P ABC -是正四面体，不妨设令其棱长为2，则由正四面体的性质可求得1,MN CM CN ===故cos CMN ∠==，故答案为6.点睛：本题主要考查余弦定理的应用以及异面直线所成角的求法，求异面直线所成的角的做题步骤分为三步，分别为：作角、证角、求角，尤其是第二步证明过程不可少，是本题易失点分，切记. 15．已知“x m ≥”是“124x>”的充分不必要条件，且m ∈Z ，则m 的最小值是_____． 【答案】1- 【解析】 【分析】先求解指数不等式，再运用充分不必要条件求解范围. 【详解】1224x x >⇒>-，则由题意得2m >-，所以m 能取的最小整数是1-． 【点睛】本题考查指数不等式和充分不必要条件，属于基础题.16．设函数()22,242x x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则1()(10)f f =_________; 【答案】1- 【解析】 【分析】先结合分段函数的解析式计算()10f ，代入可求出()110f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值． 【详解】由题意可知，()1041011f =--=，因此，()()211121110f f f ⎛⎫==-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭， 故答案为1-． 【点睛】本题考查分段函数求值，在计算多层函数值时，遵循由内到外逐层计算，同时要注意自变量的取值，选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年云南省名校数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
2019-2020学年云南省名校数学高二第二学期期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的图象的大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值排除得到答案. 【详解】，排除ACD故答案选B 【点睛】本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算.2．函数32()3f x x x m =-+在区间[]1,1-上的最大值是2，则常数m =（ ） A ．-2 B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是0f m =（），则m 值可求． 详解：32f x x x '=-（）（），令0f x '（）＞，解得：2x ＞或0x ＜， 令0f x '（）＜，解得：02x ＜＜， ∴()f x 在[10-，）递增，在[]01，递减，02max f x f m ∴===（）（） ， 故答案为：2点睛：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数的综合应用，属于基础题．3．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x=的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得1m =，进而得()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用图像变换求解即可【详解】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭322m +=1m =，所以()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题 4．在曲线2y x 的图象上取一点()1,1及附近一点()1,1x y +∆+∆，则yx∆∆为（ ） A ．12x x∆++∆ B ．12x x∆--∆ C ．2x ∆+ D ．12x x+∆-∆【答案】C 【解析】 【分析】求得y ∆的值，再除以x ∆，由此求得表达式的值. 【详解】 因为2yx ，所以()2112x y x x x+∆-∆==∆+∆∆．故选C.【点睛】本小题主要考查导数的定义，考查平均变化率的计算，属于基础题.5．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等”是“直线l 与平面α平行”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】分析：利用直线与平面平行的定义判断即可.详解：直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，如果两点在平面α同侧，则l α ；如果两点在平面α异侧，则l 与α相交：反之，直线l 与平面α平行，则直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等.故条件“直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等”是“直线l 与平面α平行”的必要非充分条件. 故选B.点睛：明确：A B ⇒则A 是B 的充分条件，B A ⇒，则A 是B 的必要条件．准确理解线面平行的定义和判定定理的含义，才能准确答题． 6．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A ．15 B ．16C ．82D ．52【答案】A 【解析】 【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1,1-，“3和13”，“2和12”等四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求. 【详解】根据伙伴关系集合的概念可知：－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.故选A. 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属于基础题. 7．将函数()sin 2y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移6π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为 A ．3π B ．6π C ．0 D ．4π 【答案】B 【解析】将函数2y sin x ϕ=+（）的图象沿x 轴向右平移6π个单位后， 得到函数的图象对应的函数解析式为[2]263y sin x sin x ππϕϕ=++=++（）（），再根据所得函数为偶函数，可得32k k Z ππϕπ+=+∈，．故ϕ的一个可能取值为： 6π，故选B ．8．262()x x-的展开式中常数项为( ) A ．-240 B ．-160 C ．240 D ．160【答案】C 【解析】 【分析】求得二项式的通项12316(2)r r rr T C x -+=-，令4r =，代入即可求解展开式的常数项，即可求解.【详解】由题意，二项式262()x x-展开式的通项为261231662()()(2)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-， 当4r =时，4456(2)240T C =-=，即展开式的常数项为240，故选C.【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9．5(12)x +的展开式中2x 的系数为（ ） A ．100 B ．80C ．60D ．40【答案】D 【解析】 【分析】由二项式项的公式，直接得出x 2的系数等于多少的表达式，由组合数公式计算出结果选出正确选项．因为5(12)x +的展开式中含2x 的项为2225C (2)40x x =,故2x 的系数为40.故选：D 【点睛】本题考查二项式系数的性质，根据项的公式正确写出x 2的系数是解题的关键，对于基本公式一定要记忆熟练．10．已知a ，b 是两个向量，则“0a b ⋅=”是“0a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断.详解：由题得0a b ⋅=，所以cos ,0a b a b =，所以||0a =或||0b =或a b ⊥，所以0a =或0b =或a b ⊥.因为0a =或0b =或a b ⊥是0a =的必要非充分条件, 所以“0a b ⋅=”是“0a =”的必要非充分条件. 故答案是：B.点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法，本题利用的是集合法.11． “1m ”是“方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解得方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线的m 的范围即可解答.【详解】22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线⇔1050m m ->⎧⎨-<⎩,解得1<m<5,【点睛】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意2.5x m -前是加号12．一个几何体的三视图如图所示，若主视图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，左视图是底边为2的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．113C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，利用所给数据，求出三棱柱与三棱锥的体积，从而可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥， 画出几何体的直观图，如图，把几何体补形为一个直三棱柱ABG DCH -， 由三视图的性质可知三棱柱的底面面积12112ABG S ∆=⨯⨯=，高4BC =， 所以4ABG DCH ABG V S BC -∆=⋅=，13E DCH F ABG ABG V V S --∆==13FG ⋅=,所以，几何体的体积为11104333--=.故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.二、填空题：本题共4小题13．若()80a x a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为5670，则展开式中各项系数的和为____． 【答案】256 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得a ，再用赋值法求出各项系数的和. 【详解】由二项式的展开式的通项公式得882188rr r r r r r a T C x C a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，则820,4r r -== 所以4485670,C a =所以481,0, 3.a a a =<∴=-所以883,a x x x x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再令1,x = 得展开式中各项系数的和()88312256.1⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故答案为256. 【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项和各项系数和，属于中档题.14．已知函数2aln(2)()2x x f x +-=在[1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,2]-∞- 【解析】 【分析】2ln(2)()2+-=x x f x a 在[1,)-+∞上是减函数的等价条件是1()022'=-≤+a f x x x 在[1,)-+∞恒成立，然后分离参数求最值即可. 【详解】2ln(2)()2+-=x x a x f 在[1,)-+∞上是减函数， 1()022∴'=-≤+a f x x x 在[1,)-+∞恒成立，即2(2)≤+a x x ，()2(2)=+g x x x 在[1,)-+∞的最小值为(1)2-=-g ， 2∴≤-a【点睛】本题主要考查利用导函数研究含参函数的单调性问题，把()f x 在[1,)-+∞上是减函数转化为()0f x '≤在[1,)-+∞恒成立是解决本题的关键.15．若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性检验，得到这3组数据的线性相关系数依次为0.83,0.72，-0.90，则线性相关程度最强的一组是_______.（填甲、乙、丙中的一个） 【答案】丙 【解析】 【分析】根据两个变量y 与x 的回归模型中，相关系数|r|的绝对值越接近于1，其相关程度越强即可求解． 【详解】两个变量y 与x 的回归模型中，它们的相关系数|r|越接近于1， 这个模型的两个变量线性相关程度就越强，在甲、乙、丙中，所给的数值中﹣0.90的绝对值最接近1， 所以丙的线性相关程度最强． 故答案为丙． 【点睛】本题考查了利用相关系数判断两个变量相关性强弱的应用问题，是基础题．16．正弦曲线sin y x =上一点P ，正弦曲线以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是______. 【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】 【分析】由sin y x =可得()sin cos x x '=，直线l 的斜率为[]cos 1,1k x =∈-，即[]tan 1,1k α=∈-可求出答案. 【详解】由sin y x =可得()sin cos x x '=， 切线为直线l 的斜率为：[]cos 1,1k x =∈-设直线l 的倾斜角α，则[]tan 1,1k α=∈-且0απ≤<.所以α30,,44πππ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【点睛】本题考查求曲线上的切线的倾斜角的范围，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年云南省昆明市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2020年云南省昆明市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题中真命题的个数是（ ）①若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为16，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为64； ②“平面向量a ，b 夹角为锐角，则0a b ⋅>”的逆命题为真命题；③命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“0x R ∃∈，320010x x -+>”；④若p ：1x ≤，q ：11x<，则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】分析：对四个命题逐一分析即可.详解：对于①，由方差的性质得：则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为2221664s =⨯=，故正确；对于②，逆命题为平面向量a ，b 满足0a b ⋅>，则向量a ，b 夹角为锐角，是假命题，故错误；对于③，命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“0x R ∃∈，320010x x -+>”，正确；对于④，:1p x ⌝>，:10q x x ><或，∴p ⌝是q 的充分不必要条件，故正确. 故选C.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大. 2．已知函数()e 2xf x x a =--在[]1,1-恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]22ln 2,e 2--B ．(]22ln 2,e 2--C ．122ln 2,2e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．122ln 2,2e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题可转化为函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，然后对e 2xy x =-求导并判断单调性，可确定e 2xy x =-的图象特征，即可求出实数a 的取值范围.【详解】由题意，可知e 20x x a --=在[]1,1-恰有两个解，即函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，令()e 2xg x x =-，则()e 2xg x '=-，当()0g x '=可得ln 2x =，故1ln 2x -<<时，()0g x '<；ln 21x <<时，()0g x '>. 即()e 2xg x x =-在[]1,ln 2-上单调递减，在(]ln 2,1上单调递增，()112eg -=+，()1e 2g =-，()ln 222ln 2g =-，因为()()11g g ->，所以当22ln 2e 2a -<≤-时，函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，即22ln 2e 2a -<≤-时，函数()e 2xf x x a =--在[]1,1-恰有两个零点.故选B. 【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法：（1）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解. 3．已知()()31303f x x xf '=+，则()1f '的值为（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数求得()0f '，从而得到()2f x x '=，代入1x =得到结果.【详解】由题意：()()230f x x f ''=+，则()()0030f f ''=+解得：()00f '= ()2f x x '∴=()11f '∴=本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解问题，关键是能够通过导函数求得()0f '，从而确定导函数的解析式.4．已知A ＝B ＝｛1，2，3，4，5｝，从集合A 到B 的映射f 满足：①(1)(2)(3)f f f ≤≤ (4)(5)f f ≤≤；②f 的象有且只有2个，求适合条件的映射f 的个数为 ( ) A ．10B ．20C ．30D ．40【解析】分析：将元素1,2,3,4,5按从小到大的顺序排列，然后按照A 元素在B 中的象有且只有两个进行讨论. 详解：将元素1,2,3,4,5按从小到大的顺序排列， 因恰有两个象，将A 元素分成两组，从小到大排列， 有()(1),2,3,4,5一组；()(1,2),3,4,5一组； ()(1,2,3),4,5一组； ()(1,2,3,4),5一组，B 中选两个元素作象，共有25C 种选法，A 中每组第一个对应集合B 中的较小者，适合条件的映射共有25440C ⨯=个，故选D.点睛：本题考查映射问题并不常见，解决此类问题要注意：（1）分清象与原象的概念；（2）明确对应关系.5．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为的高三男生体重为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由上表知，，所以，当时，，所以男生体重约为，故选B ．考点：线性回归方程．6．随机变量a 服从正态分布()21,N σ，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1xy a a=+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750 B ．0.3000C ．0.2500D ．0.2000【答案】C1x y a a =+-图象不经过第二象限，11,2a a ∴-≤-∴≥，随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且()()()()1010.3000,120.3000,210.60000.20002P a P a P a <<=∴<<=∴>=-=，∴函数1x y a a =+-图象不经过第二象限的概率为0.20.250010.2=-，故选C.7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足0AF BF ⋅=，且6ABF π∠=，则双曲线的离心率e 的值是( )A ．13+ B ．13+C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设'F 是双曲线的左焦点，由题可得'AF F ∆是一个直角三角形，由'6ABF AF F π∠==∠，可用c 表示出'3AF c =，AF c =，利用双曲线定义列方程即可求解． 【详解】依据题意作图，如下：其中'F 是双曲线的左焦点，因为0AF BF ⋅=，所以AF BF ⊥，由双曲线的对称性可得：四边形'AFBF 是一个矩形，且'6ABF AF F π∠==∠，在'Rt AF F ∆中，'2F F c =，AF c =,'3AF c =,由双曲线定义得：'2AF AF a -=32c c a -=，整理得：3131c e a ===-， 故选B 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质及双曲线定义，考查计算能力，属于基础题．8．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，再根据概率公式求解可得. 详解：由图共有4种等可能结果，其中将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，则所组成的图形能围成正方体的概率是.故选：C.点睛：本题考查了概率公式和展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形，注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.9．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误．．的一个是（）A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24C．甲罚球命中率比乙高D．乙的众数是21【答案】B【解析】【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．【详解】由茎叶图知甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为2224232+=故B不对甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C 对 乙的数据中出现次数最多的是21，所以D 对 故选B ． 【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况． 10．设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.11．一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米A ．243π-B ．36363π-C ．36243π-D ．48363π-【答案】D 【解析】分析：由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底，以9为高的柱体，求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．详解：由已知中罐子半径是4米，水深2米， 故截面中阴影部分的面积S=13161416=4 3.343ππ⨯⨯-⨯-平方米， 又由圆柱形的罐子的高h=9米， 故水的体积V=Sh=48 3π- 故选D ．点睛：本题考查的知识点是柱体的体积公式，扇形面积公式，弓形面积公式，难度中档． 12．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（ ） A ．１ B 2C ．２D ．22【答案】B 【解析】1'21y x x=-=，则1x =，即()1,1P ， 所以22d ==B ． 二、填空题：本题共4小题13．已知定义域为R 的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，满足2()()4,(1)1f x xf x f >'+=,则21()2f x x >-的解集为_________． 【答案】()()1,,1+∞-∞-【解析】【分析】令()22()2g x x f x x =-，对函数求导，根据条件可得()g x 单调递增，且()22()2g x x f x x =-单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解． 【详解】21()2f x x>-的解集为22()21x f x x -->的解集，令()22()2g x x f x x =-， 则()22()()4g x xf x x f x x ''=+-，因为2()()4f x xf x '+>，所以当0x >时有22()()40xf x x f x x '+->，所以()22()()40g x xf x x f x x ''=+->，即当0x >时，()22()2g x x f x x =-单调递增，又因为(1)1f =，所以()1(1)21g f =-=-，所以22()21x f x x -->的解集为()()1g x g >的解集，由单调性可知，1x >又因为()f x 为偶函数，所以解集为()()1,,1+∞-∞-【点睛】本题解题的关键是构造新函数()22()2g x x f x x =-，求导进而得出函数的单调性，然后利用奇偶性和单调性求解．14．()53x x +的展开式中含3x 项的系数为_________． 【答案】270. 【解析】 【分析】计算出二项展开式通项，令x 的指数为3，求出参数的值，再将参数的值代入二项展开式通项可得出3x 项的系数. 【详解】()53x x +的展开式通项为565533k k k k k kxC x C x --⋅⋅=⋅⋅，令63k -=，得3k =，因此，()53x x +的展开式中含3x 项的系数为3353270C ⋅=，故答案为：270.【点睛】本题考查二项式指定项的系数的计算，解题的关键就是利用二项展开式通项进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15．曲线323y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为 ．【答案】013=--y x 【解析】试题分析：因为323y x x =-+，所以x x y 632'+-=，则在)2,1(点处的切线斜率为3=k ，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即013=--y x ；故填013=--y x ． 考点：导数的几何意义．16．对于自然数方幂和()12k kk k S n n =+++（n *∈N ，k *∈N ），1(1)()2n n S n +=，2222()12S n n =+++，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1， 33﹣23＝3×22＋3×2＋1， ……(n ＋1)3﹣n 3＝3n 2＋3n ＋1，将上面各式左右两边分别，就会有(n ＋1)3﹣13＝23()S n ＋13()S n ＋n ，解得2()S n ＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，类比以上过程可以求得54324()A B C D E F S n n n n n n =+++++，A ，B ，C ，D ，E ，F ∈R 且与n 无关，则A＋F 的值为_______． 【答案】15. 【解析】分析：先根据推导过程确定A,F 取法，即得A ＋F 的值. 详解：因为4432(1)4641n n n n n +-=+++,55432(1)5101051n n n n n n +-=++++，所以4321(1)14()6()4()n S n S n S n n +-=+++,54321(1)15()10()10()5()n S n S n S n S n n +-=++++所以43231231()4S n n a n a n a n =+++, 543241()5S n n Bn Cn Dn En =++++,所以11,055A F A F ==+=，.点睛：本题考查运用类比方法求解问题，考查归纳观察能力. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年昆明市名校数学高二下期末考试试题含解析
2020年昆明市名校数学高二下期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有种不同的涂色方案．A．420B．180C．64D．25【答案】B【解析】分析：由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法，根据乘法原理可得结论．详解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案．故答案为：B.点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．2．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．73B．8π3-C．83D．7π3-【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.3．已知函数()2cos 2f x x x =-的图象向左平移3π个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数()g x 的图象，则()g x 在下列区间上为单调递减的区间是（）A ．,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,26ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数化为sin()y A x ωϕ=+ 的形式，再写出变换后的函数()g x ,最后写出其单调递减区间即可． 【详解】()2cos 2f x x x =-的图象向左平移3π个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍变换后()=2cos g x x -，()g x 在区间[2,2],k k k Z πππ-+∈ 上单调递减故选A 【点睛】本题考查三角函数变换，及其单调区间．属于中档题．4．函数()f x 的定义域是R ，()12019f -=，对任意的x ∈R ，都有()23x f x '>成立，则不等式()32020f x x <+的解集为( )A ．(),1-∞-B ．()1,1-C ．()1,-+∞D ．(),1-∞【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件分析,需要构造函数3()()2020h x f x x =--,通过条件可得到2()()30h x f x x ''=->,()h x 在R 上为增函数,利用单调性比较,即可得出答案．【详解】∵任意的x ∈R ,都有()23x f x '>,即2()30f x x '->,又要解3()2020,(1)2019f x x f <+-=,∴设3()()2020h x f x x =--则2()()30h x f x x ''=-> ∴()h x 在R 上为增函数3(1)(1)(1)20200h f -=----=,而()33()2020()20200=1f x x f x x h <+⇔--<-,即()()1h x h <-,1x ∴<-.故选：A. 【点睛】本题考查函数单调性的应用,构造函数是解决本题的关键,难度一般.5．为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派3人到开张镇石桥村包扶5户贫困户，要求每户都有且只有1人包扶，每人至少包扶1户，则不同的包扶方案种数为（ ） A ．30 B ．90 C ．150 D ．210【答案】C 【解析】 【分析】先分组再排序，可得知这3人所包扶的户数分别为1、1、3或1、2、2，然后利用分步计数原理可得出所求方案的数目. 【详解】由题意可知，这3人所包扶的户数分别为1、1、3或1、2、2，利用分步计数原理知，不同的包扶方案种数为1233545322561061502C C C A A ⎛⎫⨯⎛⎫+=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选C. 【点睛】本题考查排列组合的综合问题，考查分配问题，求解这类问题遵循先分组再排序的原则，再分组时，要注意平均分组的问题，同时注意分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．16162+B．32162+C．48 D．64 3【答案】B【解析】【分析】由三视图可得几何体是如图所示四棱锥P ABCD-，根据三视图数据计算表面积即可.【详解】由三视图可得几何体是如图所示四棱锥P ABCD-，则该几何体的表面积为：112442442443216222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+故选：B【点睛】本题主要考查了三视图，空间几何体的表面积计算，考查了学生的直观想象能力.7．独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0. 1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是（）A．在100个男性中约有90人喜爱喝酒B．若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10%C．认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10%D．认为性別与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90%【答案】D【解析】【分析】根据独立性检验的含义只能得到出错的可能率或正确的可靠率【详解】独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故A ，B 错误.由已知得，认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错概率的可能性至多为10%，故C 错误，D 正确.选D. 【点睛】本题考查独立性检验的含义，考查基本分析判断能力，属基础题. 8．已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(.1)-∞- B ．(3,)-+∞ C ．(13)-， D ．()3.1-【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<. 【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C. 【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式. 9．已知曲线()ln a f x x x=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求出()1f '，由()31tan 14f π'==可求出a 的值． 【详解】()ln a f x x x =+，()21a f x x x'∴=-， 由题意可得()311tan 14f a π'=-==-，因此，2a =，故选D ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题． 10．给出下列三个命题： ①“若，则1x ≠”为假命题；②若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；③命题:,20x p x R ∀∈>，则00:,20xp x R ⌝∃∈≤，其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 试题分析：“若，则1x ≠”的逆否命题为“若1x =，则”，为真命题；若p q∧为假命题，则,p q 至少有一为假命题；命题:,20xp x R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈≤，所以正确的个数是1，选B. 考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q”“p ∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可.11．已知椭圆方程为，将此椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为，满足的平面区城绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则 A ．B ．C ．D ．，无明确大小关系【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，分别求出椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为与满足的平面区城绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则答案可求． 【详解】在同一平面直角坐标系中画出椭圆与旋转体如图，椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体为椭球，其体积为；满足的平面区城阴影部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体是圆柱挖去一个圆锥，其体积．．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了旋转体的体积及学生的计算能力，属于中档题． 12．由曲线2y x =，2y x 所围成图形的面积是（ ）A ．13 B ．16C ．12D ．403【答案】A 【解析】 【分析】先计算交点，再根据定积分计算面积. 【详解】 曲线2y x =，2yx ，交点为：(0,0),(1,1)围成图形的面积：3023211211()()0333x x dx x x ⎰=-= 故答案选A 【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题13．在棱长为2的正方体1111—ABCD A B C D 中，E 是棱BC 的中点，则1C 到平面11B D E 的距离等于_____.【答案】43【解析】 【分析】由题意画出正方体1111—ABCD A B C D ，求出11B D E 的面积，利用等体积法求解1C 到平面11B D E 的距离. 【详解】由题意，画出正方体1111—ABCD A B C D 如图所示，2AB =，点E 是BC 中点，所以1BE =，在11B D E 中，15B E =1122B D =()221253D E =+=，所以115cos 5235B ED ∠==⨯⨯， 221111525sin 1cos 15B ED B ED ⎛⎫∠=-∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1111111125sin 533225B D ESB E D E B ED =⋅∠=⨯=， 设1C 到平面11B D E 的距离为h ， 由111111E B D C C B ED V V --=，得1112223323h ⨯⨯⨯⨯=⨯， 解得，43h =. 故答案为：43【点睛】本题主要考查求点到平面距离的方法、棱锥体积公式、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查等体积法的应用和学生的转化和计算能力，属于中档题. 14．若正实数{}n a 满足21a b +=，则12a b+的最小值为______ ． 【答案】9 【解析】【分析】 根据()12122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 等号成立的条件是22b aa b=，即22a b =， 22210,0a b a b a b ⎧=⎪+=⎨⎪>>⎩，解得：11,33a b ==12a b∴+的最小值是9. 【点睛】本题考查了基本不等式求最值的问题，属于简单题型.基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，这三个要素缺一不可.15．在6x ⎛+ ⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为：366622666rr rr r r r r C x C x x C x----⋅⋅=⋅⋅=⋅ 当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.16．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．【答案】22221x y a b-=【解析】 【分析】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两等式平方得2222222211241124x t a t y t bt ⎧⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，上述两个等式相减得22221x y a b -=，因此，所求普通方程为22221x y a b -=，故答案为：22221x y a b-=.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
昆明市名校2020年高二第二学期数学期末经典试题含解析
昆明市名校2020年高二第二学期数学期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知η的分布列为：设32ξη=-则E ξ的值为（ ） A ．3- B ．43C ．23-D ．5【答案】A 【解析】 【分析】求出η的期望，然后利用32ξη=-，求解E ξ即可． 【详解】由题意可知E （η）＝﹣112⨯+013⨯+11163⨯=-．∵32ξη=-，所以E ξ＝E （1η﹣2）＝1E （η）﹣2=-1． 故选A ． 【点睛】本题考查数学期望的运算性质，也可根据两个变量之间的关系写出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望． 2．随机变量ξ服从二项分布(),B n p ξ~，且300,200E D ξξ==，则p 等于（ ） A ．23B ．13C ．1D ．0【答案】B 【解析】因为(),B n p ξ~,所以()()()3001200E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩,解得90013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.即p 等于13.故选B.3．设i 是虚数单位，则复数22i i-的虚部是（ ） A ．2i B ．2C ．2i -D ．2-【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部. 【详解】2222112ii i i i-=--=-+Q ，因此，该复数的虚部为2，故选B. 【点睛】本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题. 4．计算：22(22)-+=⎰x dx （ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣8D ．8【答案】D 【解析】 【分析】根据微积分基本定理，可直接求出结果. 【详解】()()()2222222(22)224248x dx x x --+=+=+--=⎰.故选D 【点睛】本题主要考查定积分，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型.5．已知a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<c<a【答案】D 【解析】 【分析】分别考查指数函数2()5xy =在R 上单调性和幂函数25y x =在（0，+∞）上单调性即可得出．【详解】∵y ＝2()5x在R 上为减函数，35 >25，∴b<c. 又∵y ＝25x 在(0，＋∞)上为增函数，35 >25，∴a>c ，∴b<c<a. 故选：D 【点睛】熟练掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键． 6．函数121x y x -=+在()1,0处的切线与直线l :y ax =垂直，则a =（） A ．-3 B ．3 C ．13D ．13-【答案】A 【解析】 【分析】先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得a 的值。
2020年昆明市名校数学高二下期末考试试题含解析
2020年昆明市名校数学高二(下)期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，二面角S BC A --的大小为60o ，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．143πB ．163πC ．409πD ．529π2．在复平面内，复数211(1)i --的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC V，则该正方体外接球的表面积为( ) A ．2πB ．8πC ．12πD ．16π4．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1B ．2CD．5．4(2)3x x-的展开式中各项系数之和为（ ） A ．216-B ．16C ．1D ．06．若角α是第四象限角，满足1sin cos 5αα+=-，则sin 2α=（ ） A ．2425B ．2425-C ．1225D ．1225-7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()()20222x x x x f x x x e⎧-≤<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有 6个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．311,4e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．311,00,4e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．31,0e ⎛⎤-⎥⎝⎦D ．31,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭8．黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工。
就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出1/4圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了。
著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为n c ，每扇形{}n c 的半径设为{},n n a a 满足()*12121,1,,,3n n n a a a a a n N n --===+∈≥，若将{}n c 的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的对应正方形格子的面积之和为n S ，则下列结论错误的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．1221n n a a a a +++⋯+=- C ．()2134n n n n a c c a π+++-=⋅D ．1352121n n a a a a a -+++⋯+=-9．已知空间向量(3,a =r 1，0)，(),3,1b x =-r ，且a b ⊥r r ，则(x = )A ．3-B ．1-C ．1D ．210．某批零件的尺寸X 服从正态分布()210,N σ，且满足()198P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．411．设集合{}2S x x =-,2{|340}T x x x =+-≤，则()R C S T ⋃= （ ）A ．[－4，－2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．(－2，1]12．已知集合A ＝{x|y 26x x -++x∈Z}，B ＝{y|y 5＋φ)}，则A∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知33210n n A A =，则345612n n n n C C C C +++++=____________．14．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ．15．21(21)x dx +=⎰_______.16．若实数x ，y 满足条件10262x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（本小题满分12分）已知0a ≥，函数()()22xf x x ax e =-+．（I ）当x 为何值时， ()f x 取得最大值？证明你的结论； （II ） 设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围；（III ）设()()21xg x x e =-，当1x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围．18．已知数列{}n a 满足11()3n n a a n N *+=∈,且31a = （1）求1a 及n a ；(2)设3log n an b =求数列{}n b 的前n 项和n S19．（6分）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，0//,,60,244AD BC AB CD ABC BC AF AD DE =∠=====．（1）请在图中作出平面α，使得DE α⊂，且//BF α，并说明理由； （2）求直线EF 和平面BCE 所成角的正弦值．20．（6分）已知()2012(2)1(1)(1)nnn x a a x a x a x +=+++++⋯++，*n N ∈．()1当6n =时，求123456a a a a a a +++++的值；()2当3n ≥时，是否存在正整数n ，r ，使得r a 、1r a +、2r a +，3r a +依次构成等差数列？并说明理由；()3当()*2n m m N =∈时，求2111(1)mi i ia +=-∑的值(用m 表示)． 21．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(3,0)P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴，与坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=.(1)若直线l 与曲线C 有公共点，求倾斜角α的取值范围； (2)设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围. 22．（8分）已知函数()3f x x x a =+--. （1）当2a =时，求不等式()21f x x >-的解集；（2）若不等式()4f x <对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】取BC 的中点为D ，由二面角平面角的定义可知60SDA ∠=o ；根据球的性质可知若ABC ∆和SBC ∆中心分别为,E F ，则OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SBC ，根据已知的长度关系可求得,OD BD ，在直角三角形OBD 中利用勾股定理可求得球的半径，代入球的表面积公式可得结果. 【详解】取BC 的中点为D由SBC ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD BC ⊥，AD BC ⊥ 则SDA ∠是二面角S BC A --的平面角，即60SDA ∠=o 设球心为O ，ABC ∆和SBC ∆中心分别为,E F 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SBC 又33DE =，tan tan 30OE ODE DE ∠==o 13OE ∴=，2223OD OE DE =+=∴外接球半径：R ===∴外接球的表面积为：22524439S R πππ⎛===⎝⎭本题正确选项：D 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，关键是能够利用球的性质确定球心的大致位置，从而可利用勾股定理求解出球的半径. 2．A 【解析】 【分析】 先化简复数21111(1)2i i -=--，然后求其共轭复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为复数21111(1)2i i -=--，其共轭复数为112i +，对应的点是11,2⎛⎫⎪⎝⎭， 所以位于第一象限. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的概念及其几何意义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则1D AC ∆的正三角形，求得其外接圆的半径，求得a 的值，进而求得球的半径，即可求解球的表面积，得到答案． 【详解】如图所示，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则1D AC ∆的正三角形，设其外接圆的半径为r ，则02sin 60r =，即r =，=2a =，所以正方体的外接球的半径为222122232R =++=， 所以正方体的外接球的表面积为24(3)12ππ⨯=，故选C ．【点睛】本题主要考查了求得表面积与体积的计算问题，同时考查了组合体及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，利用球的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题． 4．C 【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1 2.z i =+= 考点：复数的模 5．C 【解析】 【分析】令1x =，由此求得二项式4(2)3x x-的展开式中各项系数之和. 【详解】令1x =，得各项系数之和为4423(1)11⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭． 故选：C 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和的求法，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】由题意利用任意角同角三角函数的基本关系，求得sin2α的值． 【详解】解：∴角α满足1sin cos 5αα+=-，平方可得 1+sin2125α=，∴sin22425α=-， 故选B ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题． 7．D 【解析】 【分析】函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点等价于当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 即可即m=f （x ）有3个不同的解，求出在每一段上的f （x ）的值域，即可求出m 的范围． 【详解】函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点， 则当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 令F （x ）=f （x ）﹣m=0， 即m=f （x ），①当0<x ＜2时，f （x ）=x ﹣x 2=﹣（x ﹣12）2+14， 当x=12时有最大值，即为f （12）=14， 且f （x ）＞f （2）=2﹣4=﹣2， 故f （x ）在[0，2）上的值域为（﹣2，14]， ②当x ≥2时，f （x ）=2xxe -＜0，且当x→+∞，f （x ）→0， ∵f′（x ）=3x x e -， 令f′（x ）=3x x e-=0，解得x=3，当2≤x ＜3时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ≥3时，f′（x ）≥0，f （x ）单调递增， ∴f （x ）min =f （3）=﹣31e ， 故f （x ）在[2，+∞）上的值域为[﹣31e，0）， ∵﹣31e ＞﹣2， ∴当﹣31e ＜m ＜0时，当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，故当﹣31e＜m ＜0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点，当x=0时,函数有5个零点．故选D.【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函数的零点问题常用的有方程法、图像法和方程+图像法.本题利用的就是方程+图像法. 8．D 【解析】 【分析】根据定义求数列和，利用12n n n a a a --=+化简求解，利用特殊值否定结论. 【详解】由题意得1n S +为以1+2n n a a +，为长和宽矩形的面积，即21111112=(+)n n n n n n n n n S a a a a a a a a +++++++==+⋅；()2221212121344((44))n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a ππππ+++++++++⎛⎫-=-=+⋅-=⋅ ⎪⎝⎭； 又32435412121))(((())()n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++---⋯+=++++⋯+--+2221n n a a a ++=-=-，故,,A B C 正确；因为121a a ≠-，所以D 错误,选D. 【点睛】本题考查数列求和以及利用递推关系化简，考查综合分析求解能力，属较难题. 9．C 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x 的方程，即可求解x 的值． 【详解】由题意知，空间向量a (3,r =1，0)，()b x,3,1=-r ，且a b ⊥r r ， 所以a b 0⋅=rr ，所以31(3)010x +⨯-+⨯=，即3x 30-=，解得x 1=.故选C ． 【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 10．D 【解析】【分析】计算()39114P X <<=，根据题意得到101131C C 0.1444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()()1314nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断数列单调递减，又()40.1f <，()30.1f >，得到答案. 【详解】 因为()210,X N σ:，且()198P X <=，所以()39114P X <<=， 即每个零件合格的概率为34. 合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个.合格零件个数为零个或一个的概率为101131C C 444n n nn -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由101131C C 0.1444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得()1310.14nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭①，令()()()1314nf n n n *⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N .因为()()1341124f n n f n n ++=<+， 所以()f n 单调递减，又因为()40.1f <，()30.1f >， 所以不等式①的解集为4n ≥. 【点睛】本题考查了正态分布，概率的计算，数列的单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 11．B 【解析】分析：先解不等式得出集合B ，再由集合的运算法则计算．详解：由题意{|41}T x x =-≤≤，{|2}R C S x x =≤-，∴(){|1}R C S T x x ⋃=≤． 故选B ．点睛：本题考查集合的运算，解题关键是确定集合的元素，要注意集合的代表元是什么，由代表元确定如何求集合中的元素． 12．C 【解析】 【分析】利用定义域的的要求可以求出A 集合，利用三角函数的性质求出B 集合，再计算A 与B 的交集的元素个数即可. 【详解】集合A 满足－2x ＋x ＋6≥0，(x －3)(x ＋2)≤0，－2≤x≤3，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3}，B ＝[，，所以A∩B＝{－2，－1，0，1，2}，可知A∩B 中元素个数为5.【点睛】本题考查集合间的交集关系的求解，本题难点在于无理数与有理数的比大小，属于简单题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．462 【解析】 【分析】根据排列数计算公式可求得n ，结合组合数的性质即可化简求值. 【详解】根据排列数计算公式可得()()3222122n A n n n =--，()()312n A n n n =--，所以()()()()221221012n n n n n n --=--， 化简可解得8n =，则由组合数性质可得345688910C C C C +++4569910C C C =++ 561010C C =+()61111!4626!116!C ===-，故答案为：462. 【点睛】本题考查了排列数公式的简单应用，组合数性质的综合应用，属于基础题. 14．20 【解析】试题分析：由分层抽样的方法知样本中松树苗的棵数应为150的4003000，所以样本中松树苗的棵数应为400150203000⨯=. 考点：分层抽样. 15．4 【解析】分析：利用微积分基本定理直接求解即可. 详解：()()()()122222212211 4.1x dx x x⎰+=+=+-+=即答案为4.点睛：本题考查微积分基本定理的应用，属基础题.16．6【解析】分析：现根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，求出最优解，然后求解z 的最大值即可.详解：现根据实数,x y 满足条件10262x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≥⎩，画出可行域， 如图所示，由目标函数2z x y =-，则2y x z =-，结合图象可知，当直线2y x z =-过点(3,0)A 时，目标函数取得最大值，此时最大值为2306z =⨯-=.点睛：本题主要考查了简单的线性规划求最大值，其中画出约束条件所表示的平面区域，根据直线的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17． (Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) 34a ≥；(Ⅲ)102a ≤≤. 【解析】试题分析：（I ）求得f’(x)=[-x 2+2(a-1）x+2a]e x ，取得-x 2+2(a-1)x+2a=0的根，即可得到数列的单调性，进而求解函数的最大值.（II ）由（I ）知，要使得在[-1,1]上单调函数，则：22111{111a a a a -+≤--+≥，即可求解a 的取值范围；（III)由()()f x g x ≤，分类参数得()212x x e x a x -+≤，构造新函数()()21x x e x h x x-+=（x≥1)，利用导数求得函数h(x)的单调性和最值，即得到a 的取值范围.试题解析：（I ）∵0a ≥， ()()22x f x x ax e =-+，∴()()()22222212x x f x x ax x a e x a x a e ⎡⎤=-+-+=-+-+⎣⎦， 由()22120x a x a -+-+=得1x a =- 则120x x <<，∴()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上单调递减，在[]12,x x 上单调递增，又0x <时()0f x <，且()f x 在(]20,x 上单调递增，∴()20f x >，∴()f x有最大值，当1x a =-（II ）由（I ）知：11{112a a a a-≤-≤⇒-≥≥- ， 2a ⇒≥或2202{133a a a a ≤<+≥-+，2a ⇒≥或023{344a a a ≤<⇒≥≥； （III ）当x≥1时f(x)≤g(x)，即（-x 2+2ax)e x ()21xx e ≤-， ()221xx ax x e ⇔-+≤-()212x x e x a x-+⇔≤， 令()()()211x x e x h x x x -+=≥，则()()2221'0x x x e x h x x -++=>，∴h(x)在[)1,+∞上单调递增，∴x≥1时h(x)≥h(1)=1， 21a ∴≤，又a≥0所以a 的取值范围是102a ≤≤.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用． 18．（1）19a =，31()3n n a -=；（2）252n n n S -+=【解析】【分析】（1）由113n n a a +=，得到数列{n a }是公比为13的等比数列，进而可求得1a 和n a ； （2）由（1）知3n b n =-，根据等差数列的定义，得到数列{}n b 是首项为2，公差为1-的等差数列，再利用等差数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可知113n n a a +=，且31a =，则数列{n a }是公比为13的等比数列， 又由2311()13a a =⋅=，解得19a =，13119()()33n n n a --=⨯=. （2）由（1）知31()333log log 3n n n b a n -===-，又由11n n b b +-=-，且12b =，所以数列{}n b 是首项为2，公差为-1的等差数列， 所以2(23)522n n n n n S +--+==. 【点睛】本题主要考查了等差、等比数的定义，以及等比数列的通项公式和等差数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.19．（1）见解析；（2）26. 【解析】试题分析：（1）取BC 的中点P ，连接E P ，D P ，证明平面ABF ∥平面ED P ，可得结论；（2）建立如图所示的坐标系，求出平面BCE 的法向量，利用向量方法求直线EF 与平面BCE 所成角的正弦值． 试题解析：（1）如图，取BC 中点P ，连接,PD PE ，则平面PDE 即为所求的平面α.显然，以下只需证明//BF 平面α；∵2,//BC AD AD BC =，∴//AD BP 且AD BP =，∴四边形ABPD 为平行四边形，∴//AB DP .又AB ⊄平面PDE ，PD ⊂平面PDE ，∴//AB 平面PDE .∵AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，∴//AF DE .又AF ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AF 平面PDE ，又AF ⊂平面,ABF AB ⊂平面,ABF AB AF A ⋂=，∴平面//ABF 平面PDE .又BF ⊂平面ABF ，∴//BF 平面PDE ，即//BF 平面α.（2）过点A 作AG AD ⊥并交BC 于G ，∵AF ⊥平面ABCD ，∴,AF AG AF AD ⊥⊥，即,,AG AD AF 两两垂直，以A 为原点，以,,AG AD AF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.在等腰梯形ABCD 中，∵060,24ABG BC AD ∠===， ∴1,3BG AG ==则))3,1,0,3,3,0B C -.∵44AF DE ==，∴()()0,2,1,0,0,4E F ，∴()()0,4,0,BC BE ==u u u r u u u r . 设平面BCE 的法向量(),,n x y z =r， 由·0{·0n BC n BE ==u u u r r u u u r r，得40{30y y z =++=，取x =BCE的一个法向量)n =r . 设直线EF 和平面BCE 所成角为θ，又∵()0,2,3EF =-u u u r ， ∴sin cos ,26n EF θ=〈〉==u uu r ，故直线EF 和平面BCE . 20．（1）63；（2）不存在；（3）1m m -+. 【解析】【分析】 ()1在6n =的二项式定理中，先令0x =得所有项系数和，再令1x =-得常数项，然后相减即得． ()2将(2)n x +变成(11)n x ++后，利用二项展开式的通项公式可得r r n a C =，再假设存在正整数n ，r 满足题意，利用等差数列的性质得312r r r r n n n n C C C C ++++=+，化简整理，解方程即可判断存在性；()3求得1m =，2，3的代数式的值，即可得到所求结论．【详解】解：()2012(2)1(1)(1)n nn x a a x a x a x +=+++++⋯++Q ， ()()2012[11]1(1)(1)n n n x a a x a x a x ∴++=+++++⋯++，()1当6n =时，令0x =和1x =-，可得：60123456264a a a a a a a ++++++==，01a =，故12345663a a a a a a +++++=；()2当3n ≥时，假设存在正整数n ，r ，使得r a 、1r a +、2r a +，3r a +依次构成等差数列，由二项式定理可知，r r n a C =，若r a 、1r a +、2r a +成等差数列，则122r r r a a a ++=+，即122r r r n n n C C C ++=+，即()()()()()2!!!1!1!!!2!2!n n n r n r r n r r n r =++---+--， 化简得1122r n r n r r +--+=-+， 即为11421n r r n +=-++， 若1r a +、2r a +、3r a +成等差数列，同理可得22213r n r n r r +--+=--+， 即有114131n r r n +=--++， 即为1111213n r r n r r +=+-+--+， 化为32n r =+， 可得112322r r r +=+++，方程无解， 则不存在正整数n ，r ，使得r a 、1r a +、2r a +，3r a +依次构成等差数列；()211221212222111113(1)m i m m i i m m m ma C C C C +-=-=-+⋯+-∑， 当1m =时，12221112C C -=-； 当2m =时，123444441111111214643C C C C -+-=-+-=-； 当3m =时，1234566666661111111111131615201564C C C C C C -+-+-=-+-+-=-； 可得2n m =时，2111(1)1m i i i m a m +=-=-+∑． 【点睛】本题考查二项式定理及等差数列的性质，组合数公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于综合题． 21． (1) 5[0,][,)66πππU . (2)[1-+.【解析】分析：（1）利用互化公式即可把曲线C 的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化为直角坐标方程．直线l 的参数方程为3x tcos y tsin αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程可得t 2﹣8tcosα+12=0，根据直线l 与曲线C 有公共点，可得△≥0，利用三角函数的单调性即可得出．（2）曲线C 的方程x 2+y 2﹣2x ﹣3=0可化为（x ﹣1）2+y 2=4，参数方程为122x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数），设M （x ，y ）为曲线上任意一点，可得x +y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化简即可得出取值范围． 详解：（1）将曲线C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=化为直角坐标方程为22230x y x +--=， 直线l 的参数方程为3x tcos y tsin αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 将参数方程代入22230x y x +--=，整理28cos 120t t α-+=，∵直线l 与曲线C 有公共点，∴264cos 480α∆=-≥，∴cos 2α≥，或cos 2α≤-，∵[)0απ∈，， ∴α的取值范围是][5066πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，， （2）曲线C 的方程22230x y x +--=可化为()2214x y -+=， 其参数方程为122x cos y sin θα=+⎧⎨=⎩（θ为参数）， ∵()M x y ，为曲线上任意一点，∴12cos 2x y sin θθ+=++ 14πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴x y +的取值范围是11⎡-+⎣点睛：解答解析几何中的最值问题时，对于一些特殊的问题，可根据几何法求解，以增加形象性、减少运算量．22．（1）(),3-∞；（2）71a -<<.【解析】【分析】(1)当2a =时，讨论x 取值范围去绝对值符号，计算不等式.(2)利用绝对值不等式求函数最大值为3a + ，计算34a +<得到答案.【详解】解：（1）当2a =时不等式即为3221x x x +-->-①当3x <-时不等式可化为521x ->-得2x <-故3x <-②当32x -≤<时不等式可化为2121x x +>-恒成立故32x -≤<③当2x ≥时不等式可化为2-60x <得3x <故23x ≤< 综合得，不等式的解集为-3∞（，）（2）()()333x x a x x a a +--≤+--=+所以()34f x a =+<最大值得71a -<<为所求【点睛】本题考查了绝对值不等式，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.。
2020年云南省丽江市数学高二第二学期期末达标检测试题含解析
2020年云南省丽江市数学高二第二学期期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->，若函数()f x 在区间3(,)2ππ上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（ ） A ．211[,]39B ．511[,]69C ．23[,]34D ．25[,]362．已知7tan(3x π-=）,则cos2x = ( ) A ．14-B ．14C ．18-D ．183．已知函数1(),()2ln 2f x kx g x x e x e ⎛⎫==+≥⎪⎝⎭，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M 、N ，使得M 、N 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．224,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．24,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．若焦点在y 轴上的双曲线22113y x m m -=--的焦距为4，则m 等于（ ）A ．0B ．4C ．10D ．6-5．在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为(2)n π-”时，第一步验证的n 等于（ ） A ．1B ．3C ．5D ．76．假设如图所示的三角形数表的第n 行的第二个数为()*2,n a n n N≥∈，则70a=（ ）A ．2046B ．2416C ．2347D ．24867．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C -- B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -8．已知函数，则A ．的最小正周期为，最大值为B ．的最小正周期为，最大值为C ．的最小正周期为，最大值为D ．的最小正周期为，最大值为9．设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则（ ） A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c10．将曲线sin 2y x ＝按照'2'3x xy y =⎧⎨=⎩伸缩变换后得到的曲线方程为( )A ．3sin y x ''＝B ．3sin 2y x ''＝C ．3sin y x ''＝D ．sin 2y x ''＝11．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )A ．-10B ．6C ．14D ．1812．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（ ） A ．16B ．15C ．23D ．13二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知则______．14．课本中，在形如()011nn n n n a b C a C a b -+=++…rn rr n C ab -+…n nn C b 的展开式中，我们把()0,1,2,rn C r n =…,）叫做二项式系数，类似地在()201221nn n n x x D D x D x ++=+++…212122n n n n n n D x D x --+的展开式中，我们把()0,1,2,rn D r n =…,2叫做三项式系数，则001122201520152015201520152015D C D C D C ⋅-⋅+⋅-…()201520151kk kD C +-+ (201520152015)2015D C -⋅的值为______.15．甲、乙设备生产某产品共500件，采用分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本进行检测.若样本中有12件产品由甲设备生产，则由乙设备生产的产品总数为_______件.16．数列{a n }满足212n n n a a a +=-，若{a n }单调递增，则首项a 1的范围是_____．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，O 为AB 中点，平面POC ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，2PA PB BC AB ====，3AD =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ； （2）求二面角O PD C --的余弦值．18．已知二项式()*332nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭. （1）当5n =时，求二项展开式中各项系数和；（2）若二项展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，且存在常数项， ①求n 的值；②记二项展开式中第1r +项的系数为r a ，求nrr ra=∑.19．（6分）如图，在四棱锥E ABCD -中，EAD V 是以AD 为斜边的直角三角形，2AE =，60DAE ∠=︒，BC AD ∥，12AB BC CD AD ===．（1）若线段AD 上有一个点P ，使得CD ∥平面PBE ，请确定点P 的位置，并说明理由； （2）若平面ABCD ⊥平面ADE ，求直线CD 与平面ABE 所成角的正弦值． 20．（6分）己知0a >，函数()f x x a =-. （1）若2a =，解不等式()()35f x f x ++≤；（2）若函数()()()2g x f x f x a =-+，且存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，求实数a 的取值范围. 21．（6分）数列{}n a 满足2()n n S n a n =-∈*N .（Ⅰ）计算1a ，2a ，3a ，并由此猜想通项公式n a ； （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想. 22．（8分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1238650a a a +=>， 66332S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =-， n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】因为32x ππ<<，所以33323x ππωππωπω-<-<-，由正弦函数的单调性可得32{33232ππωπωπππ-≥-≤，即1132{313232ωω-≥-≤，也即56{31126ωω≥≤，所以51169ω≤≤，应选答案B 。
云南省丽江市2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题含解析
云南省丽江市2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．观察下列各式：，，，，……据此规律.所得的结果都是的倍数.由此推测可得（）A．其中包含等式：B．其中包含等式：C．其中包含等式：D．其中包含等式：【答案】A【解析】【分析】先求出数列3,7,11,15，……的通项，再判断得解.【详解】数列3,7,11,15，……的通项为，当n=26时，，但是85,53,33都不是数列中的项，故选：A【点睛】本题主要考查归纳推理，考查等差数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（）A．②①③B．②③①C．①②③D．③①②【答案】D【解析】【分析】根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解.【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是： 大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女； 小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生； 结论：②安梦怡是独生子女，故选D. 【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3．已知复数(1)(2)z m m i =+--在复平面内对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．(1)-∞-，C ．(2,1)-D ．(2,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】由实部虚部均大于0联立不等式组求解． 【详解】 解：复数(1)(2)z m m i =+--在复平面内对应的点在第一象限，∴()1020m m +>⎧⎨-->⎩，解得12m -<<．∴实数m 的取值范围是(1,2)-．故选：A ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．4．设函数()2sin x f x e a x =-，()0,x π∈有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）A4πB 4e πC 2πD 2e π【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到方程2sin =x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根；令()sin =x e g x x ，得到函数()sin =xe g x x与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点；用导数的方法判断()sin =xeg x x单调性，求出最值，结合图像，即可得出结果. 【详解】因为函数()2sin xf x e a x =-，()0,x π∈有且仅有一个零点；所以方程2sin 0-=x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根；即方程2sin =x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根；令()sin =xe g x x ， 则函数()sin =xe g x x 与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点；因为()22sin cos ()sin cos sin sin -'==-x x xe e x e g x x x x， 由()0g x '>得sin cos 0->x ，因为()0,x π∈，所以4ππ<<x ；由()0g x '<得sin cos 0-<x ，因为()0,x π∈，所以04x π<<；所以，函数()sin =xe g x x 在04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；因此44min()24sin 4ππππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭e g x g e作出函数()sin =xe g x x的大致图像如下：因为函数()sin =xe g x x与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点，所以4min 2()2π==a g x e ，记得422π=a . 故选B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，通常将函数零点问题，转化为两函数图像交点的问题，结合图像求解即可，属于常考题型. 5．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则12233201920192019201920192019...C x C x C x C x++++=（ ） A ．i B ．i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D 【解析】 【分析】先化简x ，结合二项式定理化简可求. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i x i i i i +===-+--+，122332019201901223320192019201920192019201920192019201920192019 (1)C x C x C x C x C C x C x C x C x ++++=+++++-201920193(1)1i 1i 1i 1x =+-=-=-=--，故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算和二项式定理的应用，逆用二项式定理要注意配凑出定理的结构形式. 6．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了全市高三期末联考，已知数学考试成绩()2100,X N σ~（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 A ．120 B ．160C ．200D ．240【答案】C 【解析】结合正态分布图象的性质可得：此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为31416002002-⨯= .选C.7．已知,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()tan 2απ+等于（ ） AB．CD ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭和角的范围可求出cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=再根据两角和与差的正弦求出sin α的值，进而求出23πα=，代入()tan 2απ+求出结果即可. 【详解】因为1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 6πα⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭=所以sin sin 66ππαα⎛⎫=+-⎪⎝⎭=sin()coscos sin 666πππαα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭6π所以23πα=，所以()tan 2απ+=4tantan 33ππ==故选A.【点睛】本题考查三角函数给值求角，两角和与差的正弦，诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题. 8．7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A ．42 B ．35 C ．28 D ．21【答案】D 【解析】试题分析：2x 的系数为2721C =．故选D ．考点：二项式定理的应用．9．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ） ①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确. 故选：D ．10．已知随机变量~,B n p （）ξ,且12, 2.4E D ξξ==,则n 与p 的值分别为A ．16与0.8B ．20与0.4C ．12与0.6D ．15与0.8【答案】D 【解析】 因为随机变量(),B n p ξ，且12, 2.4,12E D np ξξ==∴=，且()1 2.4np p -=，解得15,0.8n p ==，故选D.11．在某次试验中，实数,x y 的取值如下表：若y 与x 之间具有较好的线性相关关系，且求得线性回归方程为1y x ∧=+，则实数m 的值为（ ） A ．1.5 B ．1.6C ．1.7D ．1.9【答案】D 【解析】 【分析】根据表中数据求得,x y ，代入回归直线方程即可求得结果. 【详解】由表中数据可知：0135635x ++++==，314.35m y +=又ˆ1yx =+ 314.3315m +∴=+，解得： 1.9m = 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用回归直线求解数据的问题，关键是明确回归直线恒过点(),x y ，属于基础题. 12．若复数z 满足()12z i i =+，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．2C ．iD ．2i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，可得出复数z 的虚部. 【详解】()21222z i i i i i =+=+=-+，因此，复数z 的虚部为1，故选A.【点睛】本题考查复数的概念与复数的乘法运算，对于复数问题，一般是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，进而求解，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题13．已知m ＞0, 函数2,()()24,()x x m f x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩.若存在实数n ，使得关于x 的方程f 2(x)-(2n+1)f(x)+n 2+n=0有6个不同的根，则m 的取值范围是________．【答案】313(,)2++∞. 【解析】分析：作出()f x 的图象，依题意可得4m －m 2+1＜m ，解之即可. 详解：作出f(x)的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m)2＋4m －m 2， f 2(x)-(2n+1)f(x)+n 2+n=0， [f(x)-n] [f(x)-(n+1)]=0。
云南省昆明市2020_2021学年高二数学下学期期末考试质量检测试题文含解析
某某省某某市2020-2021学年高二数学下学期期末考试质量检测试题文（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1，2，4}D．{1，4}2．设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z在复平面内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．已知数列{a n}为等比数列，a2＝3，a5＝，则a1＝（）A．2B．C．D．4．设一组样本数据x1，x2，⋯，x n的方差为1，则数据x1+6，x2+6，⋯，x n+6的方差为（）A．36B．7C．6D．15．已知α是第二象限的角，，则sin2α＝（）A．B．C．D．6．函数的图象大致为（）A．B．C．D．7．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．2B．C．D．8．某班的迎新联欢会上有一个抽奖环节，在一个不透明的纸箱中放入大小质地完全相同的3个红球和2个白球．规定：随机地一次从纸箱中摸出2个小球，恰好摸到2个红球即为获奖，则获奖的概率为（）A．B．C．D．9．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的顶点、焦点到C的一条渐近线的距离分别为和2，则C的方程为（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝110．蹴鞠是古人用脚、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球运动，2006年5月20日经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，蹴鞠所用之鞠（球）一般比现代足球直径略小，已知一足球直径为22cm，其球心到截面圆O1的距离为9cm，若某跋鞠（球）的最大截面圆的面积恰好等于圆O1的面积，则该蹴鞠（球）的直径所在的区间是（单位：cm）（）A．[10，11）B．[11，12）C．[12，13）D．[13，14]11．函数f（x）＝2x3﹣ax2+2在[0，2]上的最大值为2，则a的取值X围为（）A．[4，6）B．[6，+∞）C．（0，4）D．[4，+∞）12．在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，若CD＝3，则△ABC面积的最大值为（）A．6B．3C．4D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知非零向量，＝（1，1），若⊥，则向量的坐标可以是．14．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为．15．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，位于第一象限的两点A，B均在E上，若|FA|＝3，|FB|＝5，|AB|＝2，则直线AB的倾斜角为．16．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）的图象如图所示，若f（x）在[﹣a，a]上有4个零点，则a的取值X围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某公司员工年收入的频率分布直方图如图：（1）估计该公司员工年收入的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）假设你到人才市场找工作，该公司招聘人员告诉你，“我们公司员工的年平均收入超过13万元”，你认为招聘人员对该公司员工年收入的描述是否能客观反映该公司员工的年收入实际情况？请根据（1）中的计算结果说明．18．在①＝n；②a n+1﹣a n＝2，S3＝9；③a n＝（a2﹣1）n﹣1三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足_______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．19．△ABC是边长为8的等边三角形，D是线段BC上一点（异于B，C），且BD＞CD，若AD 的长为整数．（1）求sin∠ADB；（2）求△ACD的面积．20．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D，E，F，D1分别为棱AB，AA1，BB1，A1B1的中点，点M在CD上．（1）若AA1＝AB，证明：BA1⊥平面EC1D1；（2）证明：MF∥平面EC1D1．21．已知函数f（x）＝x+lnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）证明：e x+x≥f（ex）．22．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞1）的离心率为，依次连结E的四个顶点所构成的四边形面积为2，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设F为E的右焦点，A是E上位于第一象限的点，且AF⊥x轴，直线l平行于OA 且与E交于B，C两点，设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2＝0．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1，2，4}D．{1，4}【分析】根据集合A求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}＝{1，2，4}，∴A∩B＝{0，1，2}∩{1，2，4}＝{1，2}．故选：B．2．设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z在复平面内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解：∵（1﹣i）z＝2i，∴（1+i）（1﹣i）z＝2i（1+i），化为z＝i﹣1则z在复平面内对应的点（﹣1，1）在第二象限．故选：C．3．已知数列{a n}为等比数列，a2＝3，a5＝，则a1＝（）A．2B．C．D．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a5＝a2q3解出q值后再利用a2＝a1q进行求解即可．解：设等比数列{a n}的公比为q，由a2＝3，a5＝，得q3＝＝×＝，解得q ＝，所以a1＝＝3×＝2．故选：A．4．设一组样本数据x1，x2，⋯，x n的方差为1，则数据x1+6，x2+6，⋯，x n+6的方差为（）A．36B．7C．6D．1【分析】利用方差的性质直接求解．解：一组样本数据x1，x2，⋯，x n的方差为1，∴数据x1+6，x2+6，⋯，x n+6的方差为1．故选：D．5．已知α是第二象限的角，，则sin2α＝（）A．B．C．D．【分析】由已知结合诱导公式可求tanα，然后结合则sin2α＝2sinαcosα＝＝，代入可求．解：因为α是第二象限的角，，所以tan，则sin2α＝2sinαcosα＝＝＝﹣．故选：D．6．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（1）、f（﹣1）的值，分析选项可得答案．解：根据题意，f（x）＝cos x，x∈[﹣，]，则f（1）＝cos1＞0，f（﹣1）＝cos1＞0，排除ACD，故选：B．7．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．2B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥体；如图所示：由于△ABE为等边三角形，所以AF＝，则．故选：C．8．某班的迎新联欢会上有一个抽奖环节，在一个不透明的纸箱中放入大小质地完全相同的3个红球和2个白球．规定：随机地一次从纸箱中摸出2个小球，恰好摸到2个红球即为获奖，则获奖的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用古典概型及其概率计算公式、排列组合的相关知识直接求解即可．解：由条件，可知获奖的概率P＝＝．故选：B．9．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的顶点、焦点到C的一条渐近线的距离分别为和2，则C的方程为（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【分析】设一个顶点为A（a，0），一个焦点为（c，0）以及双曲线的一条渐近线bx﹣ay＝0，根据点到直线的距离公式，建立方程关系，进行求解即可．解：设双曲线的一个顶点为A（a，0），一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为bx﹣ay＝0，则，，整理可得，b＝2，∵a2+b2＝c2，∴a＝2．则双曲线C的方程为：．故选：A．10．蹴鞠是古人用脚、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球运动，2006年5月20日经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，蹴鞠所用之鞠（球）一般比现代足球直径略小，已知一足球直径为22cm，其球心到截面圆O1的距离为9cm，若某跋鞠（球）的最大截面圆的面积恰好等于圆O1的面积，则该蹴鞠（球）的直径所在的区间是（单位：cm）（）A．[10，11）B．[11，12）C．[12，13）D．[13，14]【分析】由已知利用勾股定理求出截面圆O1的半径，得到蹴鞠的直径，进一步分析得答案．解：由题意可知，足球的半径R＝11，球心到截面圆O1的距离为9，则截面圆O1的半径为r＝，∴蹴鞠的直径为2r＝，∵122＝144＜＜132＝169，∴该蹴鞠的直径所在的区间是[12，13）．故选：C．11．函数f（x）＝2x3﹣ax2+2在[0，2]上的最大值为2，则a的取值X围为（）A．[4，6）B．[6，+∞）C．（0，4）D．[4，+∞）【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导函数研究原函数的性质，分类讨论确定实数a的取值X围即可．解：由函数的解析式可得：f'（x）＝6x2−2ax＝x（6x−2a），当时，导函数在区间[0，2]上单调递增，而f（0）＝2，不合题意；当时，导函数在区间[0，2]上单调递减，而f（0）＝2，满足题意；当时，导函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，满足题意时有f（2）≤f（0），即：16−4a+2≤2，∴a≥4，此时4≤a＜6，综上可得，实数a的取值X围是[4，+∞）．故选：D．12．在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，若CD＝3，则△ABC面积的最大值为（）A．6B．3C．4D．3【分析】设AB＝AC＝2x，则AD＝x，在△ACD中，由余弦定理表示出cos A，再结合sin A ＝和S＝AB•AC•sin A，将S表示成关于x的函数，即可得解．解：设AB＝AC＝2x，则AD＝x，在△ACD中，由余弦定理知，cos A＝＝＝，∴sin A＝＝＝，∴△ABC面积S＝AB•AC•sin A＝•2x•2x•＝•＝•≤6，当x2＝5时，△ABC面积取得最大值，为6．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知非零向量，＝（1，1），若⊥，则向量的坐标可以是（1，﹣1）（答案不唯一）．【分析】根据题意，设＝（x，y），由数量积的坐标计算公式可得•＝x+y＝0，变形可得x、y的关系，令x＝1可得答案．解：根据题意，设＝（x，y），若⊥，则•＝x+y＝0，则有x＝﹣y，令x＝1可得：＝（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1），（答案不唯一）14．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，），由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．15．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，位于第一象限的两点A，B均在E上，若|FA|＝3，|FB|＝5，|AB|＝2，则直线AB的倾斜角为．【分析】设A，B在准线上的射影分别为M，N，过A作AH⊥BN于H，求得tan∠ABH，即可求得直线AB的倾斜角．解：如图，设A，B在准线上的射影分别为M，N，根据抛物线定义可得AM＝3．BN＝5，过A作AH⊥BN于H，在Rt△ABH中，AB＝2，BH＝2，∴tan∠ABH＝＝1，则直线AB的倾斜角为．故答案为：．16．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）的图象如图所示，若f（x）在[﹣a，a]上有4个零点，则a的取值X围为[，）．【分析】由图象可求得最小正周期T，从而可求得ω，由五点作图法可求得φ，从而可得f（x）的解析式，结合图象可求得a的取值X围．解：由图知T＝2（﹣）＝π，∴ω＝＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ），由五点作图法可得2×+φ＝，∴φ＝，∴函数f（x）的解析式为：f（x）＝sin（2x+）．令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，所以函数的零点为…，﹣，﹣，﹣，，，，…，若f（x）在[﹣a，a]上有4个零点，∴≤a＜，即a的取值X围为[，）．故答案为：[，）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某公司员工年收入的频率分布直方图如图：（1）估计该公司员工年收入的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）假设你到人才市场找工作，该公司招聘人员告诉你，“我们公司员工的年平均收入超过13万元”，你认为招聘人员对该公司员工年收入的描述是否能客观反映该公司员工的年收入实际情况？请根据（1）中的计算结果说明．【分析】（1）由频率分布直方图即可计算众数、中位数和平均数．（2）比较平均数与中位数、众数的大小，利用比较相近的数据更能客观反映该公司员工年收入的实际情况．解：（1）由频率分布直方图可知该公司员工年收入的众数为×（7.5+12.5）＝10（万元）；由于（0.04+0.1）×5＝0.7＞0.5，所以员工年收入的中位数在[7.5，12.5）内，设中位数为a××（a﹣7.5）＝0.5，解得a＝10.5，所以估计该公司员工年收入的中位数约为10.5万元；由题意知，员工年收入的平均数为：××××××××40）×5＝13.15，所以估计该公司员工年收入的平均数约为13.15万元．（2）招聘人员的描述不能客观反映该公司员工年收入的实际情况，由（1）知，有一半员工年收入不超过10.5万元，多数员工年收入是10万元，少数员工年收入很高，在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大的多，所以用中位数或众数更能客观反映该公司员工年收入的实际情况．18．在①＝n；②a n+1﹣a n＝2，S3＝9；③a n＝（a2﹣1）n﹣1三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足_______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）选①时，利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；选②时，利用等差数列的定义求出数列的通项公式；选③时，利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】解（1）选①，由得，则所以．因为a1＝1＝2×1﹣1，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1．选②由a n+1﹣a n＝2知数列{a n}是公差d＝2的等差数列，则，得a1＝1．所以数列{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1．选③a n＝（a2﹣1）n﹣1：由a n＝（a2﹣1）n﹣1，知a2＝2（a2﹣1）﹣1＝2a2﹣3，得a2＝3，所以数列{a n}的通项公式为a n＝（a2﹣1）n﹣1＝2n﹣1，（2）因为a n＝2n﹣1，所以，则数列{b n}的前n项和．19．△ABC是边长为8的等边三角形，D是线段BC上一点（异于B，C），且BD＞CD，若AD 的长为整数．（1）求sin∠ADB；（2）求△ACD的面积．【分析】（1）先得BC边上的高，从而推出，进而知AD的长，再在△ABD中，由正弦定理，得解；（2）在△ABD中，由余弦定理可得BD＝5，再由S＝CD•AC•sin C，即可得解．解：（1）因为△ABC的边长为8的等边三角形，所以BC边上的高，所以，又线段AD的长度为整数，所以AD＝7，在△ABD中，由正弦定理得，所以，解得．（2）由（1）知，AD＝7，在△ABD中，由余弦定理有，AD2＝AB2+BD2﹣2AB×BD×cos B，所以49＝64+BD2﹣8BD，解得BD＝5或3，因为BD＞CD，所以BD＝5，CD＝3，所以S＝CD•AC•sin C＝S＝×3×8×sin60°＝6．20．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D，E，F，D1分别为棱AB，AA1，BB1，A1B1的中点，点M在CD上．（1）若AA1＝AB，证明：BA1⊥平面EC1D1；（2）证明：MF∥平面EC1D1．【分析】（1）结合正三棱柱的特征，得AA1⊥平面A1B1C1，由线面垂直的性质定理可得AA1⊥C1D1，再由面面垂直的判定定理可得C1D1⊥平面ABB1A1，进而得到C1D1⊥BA1，连结AB1，由于四边形ABB1A1为正方形，得到AB1⊥BA1，由面面垂直的判定定理可得BA1⊥平面EC1D1，（2）连结CF，DF，DD1，由E，F，D，D1分别为棱AA1，BB1，AB，A1B1的中点，推出四边形CDD1C1为平行四边形，得到CD//D1C1，进而得到CDF∥平面EC1D1，由面面平行的性质定理可得MF∥平面EC1D1．解：（1）证明：在正三棱柱中，AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D1，又D1为A1B1的中点，A1C1＝B1C1，所以C1D1⊥A1B1，而AA1∩A1B1＝A1，所以C1D1⊥平面ABB1A1，故C1D1⊥BA1，连结AB1，因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为正方形，所以AB1⊥BA1，又ED1//AB1，所以BA1⊥ED1，又ED1∩C1D1＝D1，所以BA1⊥平面EC1D1，（2）证明：连结CF，DF，DD1，因为E，F，D，D1分别为棱AA1，BB1，AB，A1B1的中点，所以DF∥ED1，DD1∥AA1，CC1∥AA1，又DD1＝AA1，CC1＝AA1，所以四边形CDD1C1为平行四边形，所以CD//D1C1，又CD∩DF＝D，C1D1∩D1E＝D1，所以平面CDF∥平面EC1D1，又MF⊂平面CDF，所以MF//平面EC1D1．21．已知函数f（x）＝x+lnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）证明：e x+x≥f（ex）．【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后确定切线的斜率和切点坐标即可求得切线方程；（2）首先将不等式进行恒等变形，然后构造新函数，利用导数研究新构造函数的最小值即可证得题中的结论．【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为，所以f'（1）＝2，则切线斜率为2，又因为f（1）＝1，所以切点坐标为（1，1），则切线方程为：y﹣1＝2（x﹣1），化简得y＝2x﹣1．（2）证明：要证e x+x≥f（ex），即证e x+x﹣ex﹣ln（ex）≥0设g（x）＝e x+x﹣ex﹣ln（ex），则，所以g（x）在（0，+∞）内单调递增，又因为g（1）＝e+1﹣e﹣1＝0，所以当x∈（0，1）时，单调递减；当x∈（1，+∞）时，单调递增．所以g（x）≥g（1）＝e+1﹣e﹣1＝0所以e x+x≥f（ex）．22．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞1）的离心率为，依次连结E的四个顶点所构成的四边形面积为2，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设F为E的右焦点，A是E上位于第一象限的点，且AF⊥x轴，直线l平行于OA 且与E交于B，C两点，设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2＝0．【分析】（1）依题意可得：，解得a，b即可求得椭圆E的方程．（2）设直线l的方程为，联立，消去y利用韦达定理即可证明k1+k2＝+＝+++＝0．解：（1）依题意可得：，解得：，所以椭圆E的方程为．（2）证明：由（1）的椭圆方程可求得A的坐标为，所以OA的斜率为，故设直线l的方程为，联立，消去y得：，由题意知Δ＝4﹣2m2＞0，则，且m≠0设点B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2＝﹣m，x1x2＝m2﹣1，所以k1+k2＝+＝+++＝+＝．。
2020年云南省昆明市数学高二(下)期末学业水平测试试题含解析
2020年云南省昆明市数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25【答案】A 【解析】 【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.2．定义运算*a b ，*{a a b b =()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2xy =的值域为（ ）A ．()0,1 B ．(),1-∞ C ．[)1,+∞D ．(]0,1【答案】D 【解析】分析：欲求函数y=1*2x 的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x 时，即x ≥0时，函数y=1*2x =1 当1＞2x 时，即x ＜0时，函数y=1*2x =2x∴f （x ）=1020x x x ≥⎧⎨⎩，，＜由图知，函数y=1*2x 的值域为：（0，1]． 故选D ．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质． 3．已知x 与y 之间的一组数据： 0 1 2 31357则y 与x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+必过 A ．()2,2 B ．()1.5,4C ．()1,2D ．()1.5,0【答案】B 【解析】 【分析】先求出x 的平均值 x ，y 的平均值 y ，回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ），代入可得答案． 【详解】解：回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ），01231.54x +++==135744y +++== ，∴样本中心点是（1.5，4），则y 与x 的线性回归方程y ＝bx+a 必过点（1.5，4），故选B ． 【点睛】本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ）． 4．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】A 【解析】 【分析】记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，计算出事件AB 的概率和事件A 的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为()()()P AB P B A P A =.【详解】记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，事件:AB 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局， 由独立事件的概率乘法公式得()12313944432P AB C =⋅⋅⋅=， 对于事件A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件AB ，()2392743232P A ⎛⎫∴=+=⎪⎝⎭，()()()932132273P AB P B A P A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.5．已知α，β是相异两个平面，m ，n 是相异两直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若α∩β=m ，n ∥m ，则n ∥β【答案】B 【解析】 【分析】在A 中，根据线面平行的判定判断正误； 在B 中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β； 在C 中，举反例即可判断判断；在D 中，据线面平行的判定判断正误； 【详解】对于A ，若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α或n ⊂α，故A 错；对于B ，若m ⊥α，m ⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故B 正确；对于C ，不妨令α∥β，m 在β内的射影为m′，则当m′⊥n 时，有m ⊥n ，但α，β不垂直，故C 错误； 对于D ，若α∩β=m ，n ∥m ，则n ∥β或n ⊂β，故D 错． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．已知曲线31y x x =-+在点P 处的切线平行于直线2y x =，那么点P 的坐标为（ ） A ．(1,0)或(1,1)- B ．(1,1)或(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)【答案】B 【解析】分析：设P 的坐标为(),m n ，则31n m m =-+，求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得m 的方程，求得m 的值从而可得结果. 详解：设P 的坐标为(),m n ，则31n m m =-+，()21f x x x =-+的导数为()2'31f x x =-，在点P 处的切线斜率为231m -， 由切线平行于直线2y x =， 可得2312m -=，解得1m =±， 即有()1,1P 或()1,1-，故选B.点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题.7．若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．13a ≤≤ B ．13a ≤≤－ C ．33a ≤≤－ D ．11a ≤≤－【答案】B 【解析】【分析】若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求a 的范围． 【详解】由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使21()10x a x ≥＋－＋”， 即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B. 【点睛】本题考查原命题和否命题的真假关系，属于基础题． 8．直线340x y ++=的斜率为（ ） A ．13- B ．13C ．3-D ．3【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率． 【详解】将直线方程化为斜截式可得1433y x =--，因此，该直线的斜率为13-，故选A ． 【点睛】本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法：（1）若直线的倾斜角为α且α不是直角，则直线的斜率tan k α=； （2）已知直线上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，则该直线的斜率为1212y y k x x -=-；（3）直线y kx b =+的斜率为k ；（4）直线()00Ax By C B ++=≠的斜率为A k B=-. 9．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：则有（ ）的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响．参考公式:()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++A ．97.5%B ．99%C ．99.5%D ．99.9%【答案】C 【解析】 【分析】根据2×2列联表，求出k 的观测值2K ，结合题中表格数据即可得出结论. 【详解】 由题意，可得：222()50(2015105)258.3337.879()()()()302025253n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响. 故选C. 【点睛】本题考查了独立性检验的应用，考查了计算能力，属于基础题.10，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．D ．6π【答案】A 【解析】试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长22443R πππ=⨯=，故选A.考点：球内接多面体11．由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ） A ．②①③ B ．②③①C ．①②③D ．③①②【答案】D【解析】 【分析】根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解. 【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是： 大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女； 小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生； 结论：②安梦怡是独生子女，故选D. 【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 12．函数12sin()24y x π=+的周期，振幅，初相分别是（ ）A ．,2,44ππB ．4,2,4ππ--C ．4,2,4ππD ．2,2,4ππ【答案】C 【解析】 【分析】 利用2πT ω=求得周期，直接得出振幅为2，在1π24x +中令0x =求得初相. 【详解】 依题意，2π4π12T ==，函数的振幅为2，在1π24x +中令0x =求得初相为π4.故选C.【点睛】本小题主要考查()sin A x ωϕ+中,,A ωϕ所表示的含义，考查三角函数周期的计算.属于基础题.其中A 表示的是振幅，ω是用来求周期的，即2πT ω=，要注意分母是含有绝对值的.x ωϕ+称为相位，其中ϕ称为初相.还需要知道的量是频率1f T=，也即是频率是周期的倒数. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数()()211f x f x x '=++，则()1f x dx =⎰_____【答案】76【解析】分析：求出f′（1）=﹣1，再根据定积分法则计算即可． 详解：∵f （x ）=f'（1）x 2+x+1，∴f′（x ）=2f'（1）x+1， ∴f′（1）=2f'（1）+1， ∴f′（1）=﹣1， ∴f （x ）=﹣x 2+x+1， ∴()1f x dx ⎰=（﹣13x 3+12x 2+x ）10|=76. 故答案为76. 点睛：这个题目考查了积分的应用，注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果.14．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为1m （，），则实数m =____________. 【答案】12【解析】 【分析】由不等式2x 2﹣3x+a ＜0的解集为（ m ，1）可知：x ＝m ，x ＝1是方程2x 2﹣3x+a ＝0的两根．根据韦达定理便可分别求出m 和a 的值． 【详解】由题意得：1为2230x x a -+=的根，所以1a =， 从而2112310122x x x m -+<⇒<<⇒= 故答案为12【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．15．某保险公司新开设了一项保险业务.规定该份保单任一年内如果事件E 发生，则该公司要赔偿a 元，假若在一年内E 发生的概率为p ，为保证公司收益不低于a 的110，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为____________元. 【答案】1()10p a + 【解析】 【分析】用X 表示收益额，设顾客缴纳保险费为x 元，则X 的取值为x 和x a -，由题意可计算出X 的期望． 【详解】设顾客缴纳的保险金为x 元，用X 表示收益额，设顾客缴纳保险费为x 元，则X 的取值为x 和x a -，()()(1)E X p x a p x x pa=-+-=-，则110 x pa a -≥，1()10x p a≥+，x的最小值为1()10p a+．故答案为：1()10p a+．【点睛】本题考查利用离散型随机变量的期望解决实际问题，解题关键是正确理解题意与期望的意义．属于基础题．16．设函数()213,022,0xxf xx x⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，若()()2f m f>-，则实数m的取值范围是______.【答案】()(),23,-∞-⋃+∞【解析】【分析】由题意画出图形，结合()()231f f-==可得满足()()2f m f>-的实数m的取值范围．【详解】作出函数()f x21()3,022,0x xx x⎧-≤⎪=⎨⎪->⎩的图象如图，由图可知，满足()()2f m f>-的实数m的取值范围是()),23,-∞-⋃+∞．故答案为：()),23,-∞-⋃+∞．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设函数()()22lnf x a x x ax a R=-+∈.（1）求()f x的单调区间；（2）求使()21e f x e-≤≤对[]1,x e∈恒成立的a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）{}e 【解析】 【分析】(1)求导后得()f x '()()2x a x a x-+=-,再对a 分三种情况讨论可得;(2)先由(1)11f a e =-≥-,解得a e ≥,从而由(1)可得()f x 在[1,]e 上为增函数,再将恒成立转化为2(1)1,()f e f e e ≥-≤可解得.【详解】（1）因为()22ln f x a x x ax =-+，其中0x >，所以()()()222x a x a a f x x a x x-+'=-+=-. 所以，0a >时，所以()f x 的单调递增区间为()0,a ，单调递减区间为(),a +∞；0a =时，所以()f x 的单调递减区间为()0,∞+；0a <时，所以()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； （2）由题意得()111f a e =-≥-，即a e ≥.由（1）知()f x 在[]1,e 内单调递增，要使()21e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒成立.只要()()222111,,f a e f e a e ae e ⎧=-≥-⎪⎨=-+≤⎪⎩解得a e =.故a 的取值范围是{}e . 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间,用导数研究不等式恒成立问题,属中档题. 18．在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 【答案】 (1)35(2）310(3）12【解析】本题考查了有条件的概率的求法，做题时要认真分析，找到正确方法．（1）因为有5件是次品，第一次抽到理科试题，有3中可能，试题共有5件，（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到理科题有5种可能，第二次抽到理科题有4种可能，第一次和第二次都抽到理科题有6种可能，总情况是先从5件中任抽一件，再从剩下的4件中任抽一件，所以有20种可能，再令两者相除即可．（3）因为在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到文科题的概率为（1）；……….5分（2）；………5分 （3）．……….5分19．小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示，但因不小心将部分数据损毁，只是记得女生选择几何题的频率是25.几何题 代数题 合计 男同学22 8 30 女同学合计（1）根据题目信息补全上表；（2）能否根据这个调查数据判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？参考数据和公式：20()P k k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050k 2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 【答案】（1）见解析；（2） 有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关【解析】【分析】（1）女生中选几何题的有22085⨯=人，由此补全列联表即可（2）计算2k 的值，对照临界值表下结论即可【详解】（1）由已知女生共20人，所以女生中选几何题的有22085⨯=（人）， 故表格补全如下：（2）由列联表知2250(221288)50 5.556 5.024*********k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 故有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关【点睛】本题考查独立性检验，考查能力，是基础题20．选修4—5：不等式选讲设函数()1,f x x a x a R =++-∈. （1）若1a =，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】 (1)33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ；(2)(][),31,-∞-+∞U . 【解析】分析：(1) 对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式()3f x ≥的解集；（2）因为11x x a a -++≥+，所以()min 1f x a =+，可得12a -≥，从而可得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =-++.由()3f x ≥，得113x x -++≥.①当1x ≤-时，不等式化为113x x ---≥，即32x ≤-.所以，原不等式的解为32x ≤-. ②当11x -<<时，不等式化为113x x -++≥，即23≥.所以，原不等式无解.③当1x ≥时，不等式化为113x x -+++≥，即32x ≥.所以，原不等式的解为32x ≥. 综上，原不等式的解为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）因为11x x a a -++≥+，所以()min 1f x a =+，所以12a -≥，解得1a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围为(][),31,-∞-⋃+∞. 点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．21．已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为.的参数方程为（为参数）. （1）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程； （2）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围.【答案】（Ⅰ）的直角坐标方程：，的普通方程：；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（1）掌握常见的参数方程与普通方程相互转化的方法；（2）根据圆的性质得到点到曲线的最大值和最小值即可得到点到曲线距离的取值范围． 试题解析：（I ）的直角坐标方程：， 的普通方程：． 5分 （II ）由（I ）知，为以为圆心，为半径的圆， 的圆心到的距离为，则与相交， 到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为．考点：（1）参数方程的应用；（2）两点间的距离公式．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，==2PA AB ， E 是AB 的中点，G 是PD 的中点.(1)求此四棱锥的体积；(2)求证：//AG 平面PEC ；(3)求证：平面PCD ⊥平面PEC ．【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】【分析】(1) 由题意，根据棱锥的体积，即求解该四棱锥的体积；(2)在PC 上取中点为F ，连接EF 和FG ，证得//EF AG ，利用线面平行的判定定理，即可求解.(3)∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，得到CD ⊥平面PAD ，进而得CD AG ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得EF ⊥平面PCD ，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PEC ⊥平面PCD ．【详解】(1) 四棱锥的体积118222333P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯⨯=. (2)证明：在PC 上取中点为F ，连接EF 和FG ，则易得//AE FG ，且12AE CD FG ==， 且故四边形AEFG 为平行四边形，故//EF AG ，又EF ⊂面PEC ，AG ⊄面PEC故//AG 面PEC .(3) 证明：∵CD AD ⊥，CD PA ⊥ ，又PA AD A ⋂=，∴CD ⊥平面PAD ，又AG ⊂平面PAD ，∴CD AG ⊥，又PD AG ⊥，PD CD D ⋂=∴AG ⊥平面PCD ．∴EF ⊥平面PCD ．又EF ⊂面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．。
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2020年云南省名校数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()2,1a =-，()1,0b =，则向量a 在向量b 上的投影是（ ） A ．2 B ．1C ．−1D ．−2【答案】D 【解析】 【分析】本题考察的是对投影的理解，一个向量在另一个向量上的投影即一个投影在另一个投影方向上的长度． 【详解】a 在b 上的投影方向相反，长度为2，所以答案是2-.【点睛】本题可以通过作图来得出答案．2．二项式12展开式中，3x 的系数是（ ）A ．495-B ．220-C ． 495D ．220【答案】B 【解析】通项公式：()126112121rrr r r rr T CC x --+⎛==- ⎝，令6r 3-=，解得3r =，3x ∴的系数为312220C -=-，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.3．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A ．2829B ．2729C ．1114D ．1314【答案】D 【解析】 【分析】由题可知为古典概型，总的可能结果有48C 种，满足条件的方案有三类：一是一男三女，一是两男两女，另一类是三男一女；每类中都用分步计数原理计算，再将三类组数相加，即可求得满足条件的结果，代入古典概型概率计算公式即可得到概率. 【详解】根据题意，选4名同学总的可能结果有488765704321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种.选到的4名同学中既有男同学又有女同学方案有三类： （1）一男三女，有1353=51=5C C ⨯种，（2）两男两女，有22535432==3022C C ⨯⨯⨯种. （3）三男一女，有3153543=3=3032C C ⨯⨯⨯⨯种. 共5+30+30=65种结果. 由古典概型概率计算公式，65137014P ==. 故选D. 【点睛】本题考查古典概型与排列组合的综合问题，利用排列组合的公式计算满足条件的种类是解决本题的关键. 4．设,m n R ∈，若直线2mx ny +=与圆221x y +=相切，则m n +的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．(,2][2,)-∞-+∞ C．[- D．(,)-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】分析：由直线2mx ny +=与圆221x y +=相切，得224m n +=，从而2222m n mn +≤=，进而()22224228m n m n mn +=++≤+⨯=，由此能求出m n +的取值范围. 详解：,m n R ∈，直线2mx ny +=与圆221x y +=相切，∴圆心()0,0到直线的距离1d ==，解得224m n +=，∴2222m n mn +≤=，∴()22224228m n m n mn +=++≤+⨯=，m n ∴-≤+≤，∴m n +的取值范围是22,22-⎡⎤⎣⎦.故选C.点睛：本题考查代数和取值范围的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题. 5．数列中，则，则A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 分别计算、、归纳出的表达式，然后令可得出的值。
【详解】，，，，猜想，对任意的，，因此，，故选：C 。
【点睛】本题考查归纳推理，解归纳推理的问题的思路就由特殊到一般，寻找出规律，根据规律进行归纳，考查逻辑推理能力，属于中等题。
6．世界杯组委会预测2018俄罗斯世界杯中,巴西队获得名次可用随机变量X 表示，X 的概率分布规律为()()(),1,2,3,41aP X n n n n ===+，其中a 为常数，则a 的值为 （ ）A ．23 B ．45C ．54D ．56【答案】C 【解析】 【分析】先计算出(1),(2),(3),(4),P X P X P X P X ====再利用概率和为1求a 的值. 【详解】由题得(1),(2),122236a a a a P X P X ======⨯⨯ (3),(4),34124520a a a aP X P X ======⨯⨯所以51,2612204a a a a a +++=∴=. 故答案为：C. 【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是读懂()()(),1,2,3,41aP X n n n n ===+的含义，对于这些比较复杂的式子，可以举例帮助自己读懂.7．执行如图所示的程序框图，则输出的A =（ ）A ．116B ．132C ．164D ．1128【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化即可得到答案. 【详解】由题意，输入值1A =，1n =， 第一次执行，112n =+=，12A =，5n >不成立； 第二次执行，213n =+=，111224A =⨯=，5n >不成立； 第三次执行，314n =+=，111428A =⨯=，5n >不成立；第四次执行，415n =+=，1118216A =⨯=，5n >不成立； 第五次执行，516n =+=，11116232A =⨯=，5n >成立， 输出132A =. 故选：B 【点睛】本题主要考查循环框图的应用，按照框图的程序运行即可得出正确答案，属于基础题.8．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，……，1()'()n n f x f x +=，x ∈N ，则2019()f x =（ ） A ．cos x B ．cos x -C ．sin xD ．sin x -【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，依次求出f 1（x ）、f 2（x ）、f 3（x ）、f 4（x ）的值，分析可得f n+4（x ）＝f n （x ），据此可得f 2019（x ）＝f 3（x ），即可得答案． 【详解】根据题意，()0f x ＝sinx ，f 1（x ）＝()0'f x ＝cosx ， f 2（x ）＝()1'f x ＝﹣sinx ， f 3（x ）＝()2'f x ＝﹣cosx ， f 4（x ）＝()3'f x ＝sinx ，则有f 1（x ）＝f 4（x ），f 2（x ）＝f 5（x ），…… 则有f n+4（x ）＝f n （x ）， 则f 2019（x ）＝f 3（x ）＝﹣cosx ； 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的计算，涉及归纳推理的应用，关键是掌握导数的计算公式． 9．已知具有线性相关关系的两个变量x ，y 的一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为10.5ˆyx a =+，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】B【解析】 【分析】回归直线经过样本中心点(),x y . 【详解】样本中心点为()5,54 ，因为回归直线经过样本中心点，所以5410.55a =⨯+， 1.5a = . 故选B. 【点睛】本题考查回归直线的性质.10．已知函数f （x ）对任意的实数x 均有f （x+2）+f （x ）＝0，f （0）＝3，则f （2022）等于（ ） A ．﹣6 B ．﹣3C ．0D ．3【答案】B 【解析】 【分析】分析可得()4(2)()f x f x f x +=-+=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得(2022)(24505)(2)(0)f f f f =+⨯==-，即可求解，得到答案．【详解】根据题意，函数()f x 对任意的实数x 均有(2)()0f x f x ++=，即(2)()f x f x +=-， 则有()4(2)()f x f x f x +=-+=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数， 则(2022)(24505)(2)(0)3f f f f =+⨯==-=-，故选B ． 【点睛】本题主要考查了函数的周期的判定及其应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11．利用数学归纳法证明不等式*n 1111...(n)(n 2,)2321f n N ++++<≥∈-的过程，由n k =到+1n k =时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项【答案】D 【解析】 【分析】分别计算n k =和+1n k =时不等式左边的项数，相减得到答案. 【详解】n k =时，不等式左边：1111 (2)321k++++-共有21k - +1n k =时，：1111111 (2321221)k k k ++++++++--共有121k +- 增加了1(21)(21)2k k k +---=故答案选D 【点睛】本题考查了数学归纳法的项数问题，属于基础题型. 12．已知()21cos 2f x x x =-,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】先求得函数()f x 的导函数()'f x ，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 依题意()'sin fx x x =+，令()sin h x x x =+，则()'1cos h x x =+.由于()'00f =，故排除C 选项.由于()'01120h =+=>，故()'f x 在0x =处导数大于零，故排除B,D 选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题13．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数.若存在实数t ，对任意的[]1,x m ∈，都有()()1ln f x t f x +≤+，则正整数m 的最大值为__________． 【答案】4 【解析】分析：先根据单调性得1ln 1ln x x t x --≤+≤+对任意的[]1,x m ∈都成立，再根据实数t 存在性得max min (1ln )(1ln )x x x x ---≤+-，即得1ln111ln m m ---≤+-，解得正整数m 的最大值.详解：因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数，对任意的[]1,x m ∈，都有()()1ln f x t f x +≤+，所以1ln 1ln x x t x --≤+≤+对任意的[]1,x m ∈都成立， 因为存在实数t ，所以max min (1ln )(1ln )x x x x ---≤+- 即得1ln111ln 3ln ,m m m m ---≤+--≤，，因为1,2,3,4m m >=成立，55-3ln5m =>，，所以正整数m 的最大值为4.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.14．设随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且(14)0.8P ξ-<<=，则(05)P ξ<<=__________．【答案】0.8 【解析】分析：根据随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴2x =，根据正态曲线的特点，得到()()1045P P ξξ-<<=<<，从而可得结果. 详解：随机变量X 服从正态分布()22,N σ，2μ∴=，得对称轴是2x =，所以()()1045P P ξξ-<<=<<，可得(05)P ξ<<= ()04(45)P ξξ<<+<<= ()04(10)(14)0.8P P ξξξ<<+-<<=-<<=，故答案为0.8.点睛：本题考查正态曲线的性质，从形态上看，正态分布是一条单峰，对称呈种形的曲线，其对称轴x μ=，并在x μ=时取最大值，从x μ=点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说明曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的.15．双曲线221916x y -=上一点P 到点()15,0F -的距离为9，则点P 到点()25,0F 的距离______.【答案】3或15 【解析】 【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再结合双曲线的定义可得到122PF PF a -=，进而可求出2PF 的值，得到答案. 【详解】双曲线221916x y -=，∴3a =，4b =，5c =，()15,0F -和()25,0F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线221916x y -=上，∴12296PF PF PF -=-=，解23PF =或15，22PF c a ≥-=，∴23PF =或15， 故答案为：3或15. 【点睛】本题主要考查的是双曲线的定义，属于基础题.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据122PF PF a -=求解，注意对所求结果进行必要的验证，负数应该舍去，且所求距离应该不小于c a -. 16．观察下列等式：请你归纳出一般性结论______.【答案】222222(7)(74)(75)(71)(72)(76)k k k k k k ++++=+++++k z ∈ 【解析】分析：根据题意，观察各式可得其规律，用k 将规律表示出来即可．（2k ≥，且k 为正整数） 详解：根据题意，观察各式可得： 第①式中，1k =-； ②式中，0k = 第③式中，1k =；…规律可表示为：()()()()()()22222277475717276k k k k k k ++++=+++++ k z ∈即答案为()()()()()()22222277475717276k k k k k k ++++=+++++ k z ∈.点睛：本题要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。