10.4 静电场的环路定理 电势能
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静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
静电场的环路定理静电场力的功电势能
静电场力的功
02
电场力的定义
电场力是电荷在电场中受到的 力，其大小和方向由电场强度
和电荷的乘积决定。
电场力的大小为 F=qE，其 中 F 是电场力，q 是电荷量，
E 是电场强度。
电场力的方向与电场强度的方 向相同，即由正电荷指向负电
荷。
电场力做功的计算
电场力做功可以通过积分计算，即 W=∫F·dr，其中 W 是电场力做的功， F 是电场力，dr 是位移矢量。
在匀强电场中，电场力做功可以通过 W=qEd计算，其中 W 是电场力做 的功，q 是电荷量，E 是电场强度，d 是位移。
在非匀强电场中，需要计算电场力在路径上的积分来计算电场力做的功。
电场力做功的特点
01
电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
02
电场力做功是标量，没有方向。
03
电场力做功的过程是能量转化的过程，可以转化为其他形式 的能量。
电势能
03
电势能的定义
电势能是指电荷在电场中由于位置差 异而具有的能量。
电势能是电荷与电场共同具有的能量， 其大小由电场强度和电荷量共同决定。
电势能是相对的，与零电势点的选择 有关。
电势能的变化规律
1
电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。
2
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电 势能增加。
3
静电力做功与电荷的运动路径无关，只与初末位 置有关。
电势能与电场力的关系
01
电场力做功等于电势能的减少量。
02
电势能的变化量等于电场力做的功。
03 电势能与电场力做功的关系是能量守恒定律在静 电场中的具体表现。
THANKS.
静电场的环路定理、静 电场力的功、电势能
10.4静电场环路定理
V V V ( i j k) x y z
V Ez z
E
10-4 静电场的环路定理 V V V E ( i j k) x y z V的梯度: gradV 或
E gradV V
E 的方向与V的梯度反向.
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl qLeabharlann E cos dll l
E
环量的意义：将单位正电荷沿闭合路径 移动一周电场力做的功。
10-4 静电场的环路定理
RB
q A qB qA 1 1 ( ) 4 0 R B 40 r RB
qA qB 40 r 40 RB
（3）r RA
U
RA r
10-4 静电场的环路定理
RB E dr E dr E dr RA RB 0
V
另一方面，由于场强沿法线方向 dV dV E V n E En n n dn dn 电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线 方向的变化率（该方向电势的变化率最大），它的方 向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
10-4 静电场的环路定理
静电场力的功 b Aab q E dl qUab q(U a U b )
a
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1 eV 1.6021019 J
10-4 静电场的环路定理
点电荷电场的电势
E q e 2 r 4 πε0 r
V Ez z
E
10-4 静电场的环路定理 V V V E ( i j k) x y z V的梯度: gradV 或
E gradV V
E 的方向与V的梯度反向.
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl qLeabharlann E cos dll l
E
环量的意义：将单位正电荷沿闭合路径 移动一周电场力做的功。
10-4 静电场的环路定理
RB
q A qB qA 1 1 ( ) 4 0 R B 40 r RB
qA qB 40 r 40 RB
（3）r RA
U
RA r
10-4 静电场的环路定理
RB E dr E dr E dr RA RB 0
V
另一方面，由于场强沿法线方向 dV dV E V n E En n n dn dn 电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线 方向的变化率（该方向电势的变化率最大），它的方 向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
10-4 静电场的环路定理
静电场力的功 b Aab q E dl qUab q(U a U b )
a
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1 eV 1.6021019 J
10-4 静电场的环路定理
点电荷电场的电势
E q e 2 r 4 πε0 r
04静电场的环路定理 电势
R
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
第九讲 静电场的环路定理 电势能 电势
第三周学习内容第九讲静电场的环路定理电势能电势第十讲场强积分法求电势电势差第11讲电势叠加原理及电势的计算第12讲等势面电势梯度静电场中的电偶极子静电场的环路定理第九讲 静电场的环路定理 电势能 电势 0d =⎰⋅)(任意L l E0in t d ε∑⎰=⋅q S E S 静电场的高斯定理的数学表示式是 _____________________; 表明静电场是 ________。
静电场的环路定理的数学表示式为 _____________； 表明静电场是 ________。
有源场 保守场 0d =⎰⋅L l E静电场强沿一闭合回路的积分 ，表明了电场线的什么性质？[Q3.9.1]答：表明：静电场的电场线不闭合。
0d =⎰⋅)(任意L l E如图所示，在场强为 的均匀电场中，A 、B 两点间距离为 d ，AB 连线方向与 方向一致。
从 A 点经任意路径到B 点的场强线积分 = 。
⎰⋅AB l E d A B d EEd E E [Q3.9.2]l E q W a a ⎰⋅==电势零点d 0ϕ0q F E =描述静电场性质的两个基本物理量是 ；它们的定义式是 ； 和。
电场强度和电势[Q3.9.3]电场中电势的高低是否与试验电荷的正负有关？电势能的高低呢？答：电势的高低与试验电荷的正负无关；电势能的高低与电荷的正负有关。
沿着电场线移动负试验电[Q3.9.4]荷时，电势是升高还是降低？它的电势能是增加还是减少？答：电势降低；电势能增加。
可否规定地球的电势为[Q3.9.5]+100 V，而不规定它为零？这样规定后，对测量电势、电势差的数值有什么影响？答：可以规定地球的电势为+100 V；电势差不受影响。
静电场与万有引力场一[Q3.9.6]样都是保守场。
你能像得出静电场的高斯定理那样，也能得到万有引力场的高斯定理吗？答：能够得到。
[Q3.9.7]你能对描述静电场和万有引力场的物理量及研究方法作一比较，从而认识它们之间的异同吗？答：万有引力场和静电场的相同之处在于：(1) 二者均为保守场，故针对保守场量的研究方法对二者均适用；(2) 均能对处于场中的物体(带电体)施以力的作用；(3) 均能对场中移动的物体(带电体)做功；(4) 均可由场的强度来描述场的力的性质；(5) 均可由势来描述场的能的性质；静电力 电场强度 电势 电势能万有引力 引力强度 引力势 引力势能 (加速度) r e r Qq F ˆπ420ε= r e rQ q F E ˆπ420ε== r Q 0e π4εϕ=r Qq W 0e π4ε=r e r Mm G F ˆ2-= r e r M G m F a ˆ2-== r M G -=g ϕrMm G W -=g 比 较答：静电场和万有引力场的相同之处在于： (6) 均有场强与势的梯度在量值上相等、方向相反的特征；(7) 两种场均满足叠加原理和环路定理。
第10章静电学-3-静电场环路定理
+q
11
(2)电荷分布如图所示, 将点电荷qo从a 经半圆b移到c的 过程中, 电场力对qo的功？
解 Aac qo (Ua Uc )
b
Ua
q
4o R
q
4o R
0
-q
a
+q R
o
c
Uc
q
4 o (3 R)
q
4o R
R
R
q
6o R
Aac
qqo
6o R
12
例10-14 一均匀带电直线段，长为L，电量为q ;取无穷远为电 势零点，求直线延长线上离一端距离为d 的P点的电势。
9
③对于电荷连续分布的带电体，可将其分割为无数多电荷元
dq，每个电荷元dq当作点电荷，其电势为
dU dq 4πε0r
根据电势叠加原理
U
V
dq
4 0r
dl dq dS
dV
积分遍及整个带电体，V是带电体的体积。
电势叠加原理也可以计算多个带电体所产生电场的总电 势，总电势应等于各带电体所产生电场的电势的代数和。
(3)电势差：
b
Uab Ua Ub E dl
a
静电场中a、b两点的电势差等于将单位正电荷由a沿任意路 径移至b过程中电场力做的功。
电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。
6
由Wa
q
零势点 E
a
dl ,
得 Wa qUa
由Aab
q
b
E dl
a
Wa Wb ,
得 Aab q(Ua Ub )
(3)等于场强从该点沿任意路径到零势点的线积分。
说明：
(1)电势是相对量，要确定场中各点的电势必须选定电势零点。
大学物理10.4静电场的环路定理电势能.ppt
q1
q2
qi qn
带电体对q0 做功与路径无关 结论 静电场力做功只与始末位置有关，与路径无关，所以静 电力是保守力，静电场是保守力场。
二、静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力做功
b
Aab q0E dl
L1
q0 由 a 点经 L1 到 达 b 点所做的功
b
a
a(L1) q0E dl b(L2 ) q0E dl
验一个电场不是静电场。 b c d a
E dl a E dl b E dl c E dl d E dl
b
d
a E1dl c E2dl
E1ab E2 cd 0 不是静电场
a
b
E
d
c
(2) 环路定理表明静电场电力线不能闭合（无旋场）。 (3) 静电场是无旋场，可引进电势能。
单个点电荷产生的电场rrqq4barrd1200???0al?dbabaqel????11400barrqq???lr?d?rqqbarr?4300???balbrardl?rd?qe??q0点电荷对q0做功与路径无关dr?l??drr?cosd?rl?r?r?d?r?dr?rr????0al?balqe?bqe?dbabaqel????012d?neel??????????01020alal?al?dddbbnlqelqel????????????????结论静电场力做功只与始末位置有关与路径无关所以静电力是保守力静电场是保守力场
例 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，
有一带电量为 q 的点电荷
求 q 在 a 点和 b 点的电势能
解 • 选无穷远为电势能零点
Q
qQ 1
高二物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势
dr
b
rb
dl
dr
E
r
q ra a q0
Aab
dA
rb ra
q0
E
dl
q0q
4 π0
rb dr r ra 2
q0q ( 1 1 )
4 π 0 ra rb
b
rb
dl
dr
E
结论: 当检验电荷 q0 在电场中从 a 移到 b 点时, 电场力做的功 A 只与
r
q0 的始末位置有关, 与路径无关.
原子物理中能量单位 1eV 1.602 1019 J
2、点电荷系的电势
E Ei
i
VP E dl Ei dl
P
iP
q1 q2
r1 r2
q3
r3
E3
E2
P
E1
VP
VPi
i
i
qi （代数和）
4 π 0ri
点电荷系电场中某点的电势，等于各个点电荷单独存 在时在该点电势的代数和，此即电势叠加原理。
电势定义：
Va
Wa q0
零点 E dl
a
③电势是相对于电势零点而言的，电势零点选择方法：
有限大小带电体通常以无穷远处为电势零点，实际问 题中也常选取大地、电器外壳或某公共点为电势零点.
地球是一个带负电的大导体, 取地球为电势零点与取无穷远处
为电势零点是一致的.
④电势高低的判断:沿着电场线方向,电势降低 (dV E d l )
L
q0
E
dl
0
q0 0,
E dl 0
L
静电场的环路定理：静电场的电场强度沿任意闭合回路
的积分(称为静电场的环流)等于零。
静电场的环路定理、电势
R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）
静电场的环路定理和电势综述
dl
P
Edr
P
E0
(r R)
V (r)
r
Q
4π 0
r
2
dr
Q 4πε0r
(r R)
R
Q
V (r) 0 dr
dr
Q
r
R 4π 0r 4π 0 R
(r R)
在球面处场强不连续，但电势却是连续的。
9.4 静电场的环路定理和电势
试验电荷在电场中某点的电势能We ，在数值上等于把 它从该点移到零电势能处(参考点)电场力所做的功。
9.4 静电场的环路定理和电势
电势能属于静电场和试验点电荷
电势能的大小是相对的
电势能是状态（位置）的单值函数
2、电势与电势差
电势
VP
WeP q0
VQ
WeQ q0
参考点
E dl
P 参考点
静电力是保守力， 静电场是无旋场
环流
电势能
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.2 电势能和电势
一、电势能、电势、电势差
WeQQ
1、电势能We
Q
WeP WeQ q0 P E dl
若设零电势能 WeQ 0
q
rQ
rP
WeP
P
q0
参考点 静电力做正功时，电势能减少
WeP q0 P E dl 电场力做负功时，电势能增加
W qU
1.601019C1V 1.601019 J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V (P)
静电场环路定理电势能和电势.pptx
V
dV
1dq
Q440r0
r
Q
dq
Q
4 0 R2 x 2
(解毕 )
第23页/共43页
x a
x V (x) dr R o Qr
4 0R
o
x
课堂练习 求均匀带电园盘( R, σ )轴线上电势分布。
提示： 建立坐标系，取元，如图所示。
选∞处为电势零点，则：
dV 2dqrdr 4 0 r 2 x 2
q
r
r
r
4
q
0 r 2
dr
aq r
r 10V
E
8V 6V
V (r )
q
4 0r
( 球对称分布 )
等势面分布
第14页/共43页
课堂练习 求半径为R均匀带电 Q 的球面电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r) r E dr
0
E(r) Q
4 0r 2
(r R) (r R)
r
4
即：电势 V 的叠加为标量叠加，而 叠加，后者运算较繁。
的叠加却为矢量
E
第13页/共43页
E
☻由于静电场的保守特性，
b
V与a积分路a 径E无 dr
关，可选取一合理的路径进行积分。
例 求点电荷 q 的电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r)
E dr
E dr cos 0
(r (r)
R)
E
dr
R
E
dr
E dr
r
r
R
V (r) 0
Q
R 4 0r2
dr
cos
0
Q
静电场的环路定理 电势
E2
B
AAB q0
A i 1
n n qq 1 B 1 Ei dl qo Ei dl 0 i ( ) A rAi rBi i 1 4πε0 i 1
试探电荷在任何静电场中移动时, 电场力所做的功只与试探 3 电荷的电量及路径的起点和终点的位置有关, 而与路径无关 .
0
13
[ 例1] 均匀带电球面场中电势分布（
q ， R）
q
由高斯定理
o R
E
P r
E
E
0 qr 3 4 0 r
(r R) (r R)
r
o
R
令 V 0 沿径向积分 1 面外 2
r
qr dr V外 E 外 dr 3 4 0 r P r 1 4 0 r r q
AAB W (WB WA ) WA WB
若取 B点 : WB 0
AAB
B
A
B F dl q0 E dl
A
A WA
"0"
q0 在 A 点处的电势能：W A
AA"0" q0
A
E dl
1）电势能零点的选取是任意的, 一般视问题方便而定, 通常参 考点不同 ,电势能不同。对于有限带电体，一般选无限远为势 能零点 , 实际应用中或研究电路问题时常取大地、仪器外壳等 为势能零点；对于无限大带电体，常取有限远为势能零点； 2）电势能是属于系统的 (电场 + 试验电荷) 5
21
a
E dr
6
2、电势
WA q0
WA A q0
" 0"
§10-4 静电场的环路定理 §10-5 电势
（若已知电量 q，细杆长L）
ln
ab b
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题6: P25例10.5.1
求均匀带电球面的电势分布，已知R，Q。 解：由高斯定理求出场强分布
0 E Q 4 r 2 0 rR rR
R
Q
O
r
取积分路径沿电场线方向（或沿径向） 由定义⑴ ：r R
21
《大学物理》校级精品课程教学团队
分别用四个点电荷放置在正方形的端点上， 组成不同的图形，点电荷的电量值均相等， 符号如图所示，假定无穷远处的电势为零， 试问上述图形中哪一种正方形中心处的电场 强度和电势都为零。
答: （ D ）
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课 堂 练 习 5
电场强度 的分布如图所示，将一负电荷 q 从a点移动到b点时，电场力做的功为Aab，a 点和b点的电势分别为Ua和Ub，则应有 (A) Aab>0 Ua > Ub (B) Aab>0 Ua < Ub (C) Aab<0 Ua < Ub (D) Aab<0 Ua > Ub
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课堂例题7
求等量异号的同心均匀带电球面的电势差。 已知：+Q，-Q，R1，R2 求：UAB 解法1：定义法： 由高斯定理得
0 Q E 2 4 r 0 0 r R1 R1 r R2 r R2
Q
Q
R1 R2 O
A
B
r
答: （ D ）
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课堂例题1：与P26例10.5.2类似
求电偶极子电场中任一点P(x，y)的电势。已知 q，l，x，y。 解：由电势叠加原理 q q qr2 r1
ln
ab b
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课堂例题6: P25例10.5.1
求均匀带电球面的电势分布，已知R，Q。 解：由高斯定理求出场强分布
0 E Q 4 r 2 0 rR rR
R
Q
O
r
取积分路径沿电场线方向（或沿径向） 由定义⑴ ：r R
21
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分别用四个点电荷放置在正方形的端点上， 组成不同的图形，点电荷的电量值均相等， 符号如图所示，假定无穷远处的电势为零， 试问上述图形中哪一种正方形中心处的电场 强度和电势都为零。
答: （ D ）
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课 堂 练 习 5
电场强度 的分布如图所示，将一负电荷 q 从a点移动到b点时，电场力做的功为Aab，a 点和b点的电势分别为Ua和Ub，则应有 (A) Aab>0 Ua > Ub (B) Aab>0 Ua < Ub (C) Aab<0 Ua < Ub (D) Aab<0 Ua > Ub
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课堂例题7
求等量异号的同心均匀带电球面的电势差。 已知：+Q，-Q，R1，R2 求：UAB 解法1：定义法： 由高斯定理得
0 Q E 2 4 r 0 0 r R1 R1 r R2 r R2
Q
Q
R1 R2 O
A
B
r
答: （ D ）
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课堂例题1：与P26例10.5.2类似
求电偶极子电场中任一点P(x，y)的电势。已知 q，l，x，y。 解：由电势叠加原理 q q qr2 r1
静电场的环路定理和电势
若令 E p(b) 0
(0)
(0)
Ep(a)
(a)
F dl
q0
E dl
(a)
3 电势
定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2 点，电场力作的功等于 P1点到P2点电势的减量。
P1
P2
两点之间的电势差， 并不仅由这两点处的电场决定， 它取决于电场的分布。
设 P2为电势为零的参考点，2 =0
对无限大电荷分布， 选有限远 的适当点为电势零点。
实际上：常选大地或机壳的公共线 为电势零点。
例1：求点电荷 q 的电势分布。
【解】 利用电势定义（积分法）
取无限远为电势零点,
()
E dl ( p)
r
q
4 π 0r 2
dr
q
4 π0r
0
q
r
P
∞
r dl
q> 0 r
q< 0
--------点电荷的电势公式
取某一距离直线为 r0 的 P0点的电势为零。
任一点 P 的电势
P0
rP
Edl P
P P0
P’
P0
Edl Edl
P
P
r0
r0
0
dr
r 2 π0r
rP
P’
r0
> 0
0 r0
r0
dr
r 2 π0r
P0
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
由场强叠加原理
可以证明：
任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。
常用下式表示静电场 的保守性：
……称为静电场的环路定理
10静电场2(环路定理、电势)
2
P 1
3.关系：E q V P 0
W EP1 EP2 q0U12
二、点电荷电场的电势 在点电荷的电场中任取一点P，由电势的定义来 计算P的电势：
V
P
E dr E dr
P
q
P
q 40 r
2
P
dr
q 40 r
r
E dr
积分路径选为沿径向的直线 在正点电荷的电场中，电势为正，随r的增大电 势逐渐减小；在负点电荷的电场中，电势为负，随 r的增大电势逐渐增大。并且，在点电荷的电场中， 电势也呈球对称分布。
2．在电场中任一点，电势沿不同方向的空间 变化率不相等。 当 0 时，l 沿着 E 的方向，变化率有最 大值： dV E max dl
即沿某一方向的电势的空间变化率最大， 此最大值称为该点的电势梯度，其方向是 该点附近电势升高最快的方向。
E
三、电势能 静电场力是保守力，可引入电势能的概念。 静电场力做功等于电势能的减少。 在静电场中，试验电荷由点 P 运动到点 P2， 1 则电场力做功为： P W q0 E dr EP EP
2
P 1
1
2
P E P1 、 P2 即分别为 q0 在 P 、 2 点的电势能。 E 1
则有： 1 V2 V
P2
P 1
E dr
1.单位：V， V 1J / C 1 2.通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有： EP V E dr P q0
即P点的电势等于场强沿任意路径从P点到 无穷远处的线积分。
电势的值随电势零点选取的不同而不同， 是相对的；而两点的电势差是绝对的，与 电势零点无关。 P U12 V1 V2 E dr
P 1
3.关系：E q V P 0
W EP1 EP2 q0U12
二、点电荷电场的电势 在点电荷的电场中任取一点P，由电势的定义来 计算P的电势：
V
P
E dr E dr
P
q
P
q 40 r
2
P
dr
q 40 r
r
E dr
积分路径选为沿径向的直线 在正点电荷的电场中，电势为正，随r的增大电 势逐渐减小；在负点电荷的电场中，电势为负，随 r的增大电势逐渐增大。并且，在点电荷的电场中， 电势也呈球对称分布。
2．在电场中任一点，电势沿不同方向的空间 变化率不相等。 当 0 时，l 沿着 E 的方向，变化率有最 大值： dV E max dl
即沿某一方向的电势的空间变化率最大， 此最大值称为该点的电势梯度，其方向是 该点附近电势升高最快的方向。
E
三、电势能 静电场力是保守力，可引入电势能的概念。 静电场力做功等于电势能的减少。 在静电场中，试验电荷由点 P 运动到点 P2， 1 则电场力做功为： P W q0 E dr EP EP
2
P 1
1
2
P E P1 、 P2 即分别为 q0 在 P 、 2 点的电势能。 E 1
则有： 1 V2 V
P2
P 1
E dr
1.单位：V， V 1J / C 1 2.通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有： EP V E dr P q0
即P点的电势等于场强沿任意路径从P点到 无穷远处的线积分。
电势的值随电势零点选取的不同而不同， 是相对的；而两点的电势差是绝对的，与 电势零点无关。 P U12 V1 V2 E dr
2022-2023学年高二物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势能
静电场的环路定理和电势 能
静电场的环路定理和电势能
一.电场力所作的功
试探电荷 q0在点电荷q 的电场中从点a移到点
b的过程中，静电场力所作的功为:
dA F dl qoE dl
a q0 F
b b
ra r
dl
Aab a qoE dl a qoE dlcos q
dl cos dr
解：由于是球对称场，在球
r
体内部和外部各作一半径为r
同心高斯球面,根据高斯定理
E dS E dS 4 r 2E
RQ
S
S
当场点在球体外时 当场点在球体内时
qi Q i
E1＝
4
Q
0r
2
rR
qi
i
Q
4 R3
4 r 3
3
Qr 3 R3
Байду номын сангаас
3
E2＝
4
Qr
0 R
3
rR
例 线电荷密度为λ,无限长均匀带电直线的电场强度.
称为电势差，也叫电压.
令 ub 0
ua E dl ab
3.说明:
◆电势是标量,有正负无方向,电势的叠加即求代数和;
◆ 电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零
点，实际问题中常选择地球电势为零.
ua E dl a
与电势零点选取有关
◆电势的物理意义： 把单位正试验电荷从点a移到无 穷远时，静电场力所作的功.
3）电势能属于系统(电荷与电场). 和人们从力的观点引入了E，用以描述电场
性质类似，人们希望从功、能的观点引入另外一 个描述电场性质的物理量。
因为电势能和电荷 q本0 身有关，所以不适合。
静电场的环路定理和电势能
一.电场力所作的功
试探电荷 q0在点电荷q 的电场中从点a移到点
b的过程中，静电场力所作的功为:
dA F dl qoE dl
a q0 F
b b
ra r
dl
Aab a qoE dl a qoE dlcos q
dl cos dr
解：由于是球对称场，在球
r
体内部和外部各作一半径为r
同心高斯球面,根据高斯定理
E dS E dS 4 r 2E
RQ
S
S
当场点在球体外时 当场点在球体内时
qi Q i
E1＝
4
Q
0r
2
rR
qi
i
Q
4 R3
4 r 3
3
Qr 3 R3
Байду номын сангаас
3
E2＝
4
Qr
0 R
3
rR
例 线电荷密度为λ,无限长均匀带电直线的电场强度.
称为电势差，也叫电压.
令 ub 0
ua E dl ab
3.说明:
◆电势是标量,有正负无方向,电势的叠加即求代数和;
◆ 电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零
点，实际问题中常选择地球电势为零.
ua E dl a
与电势零点选取有关
◆电势的物理意义： 把单位正试验电荷从点a移到无 穷远时，静电场力所作的功.
3）电势能属于系统(电荷与电场). 和人们从力的观点引入了E，用以描述电场
性质类似，人们希望从功、能的观点引入另外一 个描述电场性质的物理量。
因为电势能和电荷 q本0 身有关，所以不适合。
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例 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中， 有一带电量为 q 的点电荷 a 求 q 在 a 点和 b 点的电势能 Q c 解 • 选无穷远为电势能零点 q qQ 1 qQ Wa qE dl ra r 2 dr 4π 0 ra b a 4π 0 qQ Wb qE dl b 4π 0 rb
c
• 选 c 点为电势能零点
qQ 1 1 qQ 1 1 Wa qE dl ( ) Wb ( ) a 4π 0 ra rc 4π 0 rb rc qQ 1 1 b 两点间势能差 Wa Wb qE dl ( ) a 4π 0 ra rb
三、电势能
1. 电势能的差
静电力 保守力 引入静电势能
b
q0
E
定义：q0 在a、b 两点电势能之差等于把 q0
自 a 点移至 b 点电场力所做的功
a
Aab q0 E dl Wa Wb
a
b
Wa Wb ?
2. 电势能
取b点为势能零点
Wb = W“0” = 0
qq0 4π 0
rb
ra
1 dr 2 r
a
L
r dl r cos dl r dr
qq0 1 1 ( ) 4π 0 ra rb
点电荷对q0 做功与路径无关
2. 任意带电体系产生的电场 在电荷系q1、q2、…产生的电场中，移动 q0
q0
L
b
Aab
b
a( L)
q0 E dl
b
a( L)
q0 (E1 E2 En ) dl
a( L) a( L)
a
q1 qi
q2 qn
b
a( L)
b b q0 E1 dl q0 E2 dl q0 En dl
带电体对q0 做功与路径无关
6.4 静电场的环路定理 电势能
一、静电力做功的特点
1. 单个点电荷产生的电场
b
rb
Aab
b
a( L)
q0 E dl
q
ra
r dr
rb
ra
qq0 r dl 3 4π 0 r
r
dl
E q0 dr | r dr | | r |
b c d a E dl E dl E dl E dl E dl
a b c d
E1dl E2dl
a c
b
d
a
E1 ab E2 cd
b
0
不是静电场
d
c
E
(2) 环路定理表明静电场电力线不能闭合（无旋场）。 (3) 静电场是无旋场，可引进电势能。
b ( L2 )
q0 E dl
q0 E dl
a
a ( L1 )源自 b q0 E dl
L2
a ( L2 )
因此
0 E dl 0
L
q0 由 a 点经 L2 到 达 b 点所做的功
静电场的环路定理
静电场是无旋场
讨论
(1) 环路定理是静电场的一个重要定理，可用环路定理检 验一个电场不是静电场。
结论 静电场力做功只与始末位置有关，与路径无关，所以静
电力是保守力，静电场是保守力场。
二、静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力做功
Aab q0 E dl
q0 由 a 点经 L1 到 达 b 点所做的功
b
L1
b
a ( L1 )
b
a q0 E dl
"0" a
q0 在电场中某点 a 的电势能： Wa Aa"0"
q0 E dl
说明
(1) 选势能零点习惯和原则：
• 当(源)电荷分布在有限范围内时，一般选在无穷远处。
• 无限长带电直线，无限带电大板，选有限远处为势能 零点。
(2) 电荷在某点的电势能与零点有关，而两点的差值与零 点无关。 (3) 电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。