运筹学(7)

个约束方程表示供给约束： 前m个约束方程表示供给约束： 个约束方程表示供给约束 个方程表示第i个产地 个销地的总量等于A 第i个方程表示第 个产地 i发往 个销地的总量等于 i的 个方程表示第 个产地A 发往n个销地的总量等于 生产量（供给量）； 生产量（供给量）； 个约束方程表示需求约束： 后n个约束方程表示需求约束： 个约束方程表示需求约束 个方程表示第j个销地 个产地的总量等于B 第j个方程表示第 个销地 j收到 个产地的总量等于 j的 个方程表示第 个销地B 收到m个产地的总量等于 需求量（销售量）。 需求量（销售量）。
第7章 运输问题 章
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 运输问题的提出及其数学模型 运输问题的求解——表上作业法 运输问题的求解 表上作业法 产销不平衡的运输问题 运输模型的应用 计算机软件求解
7.1 运输问题的提出及其数学模型
运输问题是一类常见而且极其典型的LP问 运输问题是一类常见而且极其典型的 问 题。从理论上讲，运输问题可以用单纯型来求 从理论上讲， 解。但由于运输问题数学模型具有特殊的结构 存在一种比单纯型法更简便的计算方法—— ，存在一种比单纯型法更简便的计算方法 表上作业法。 表上作业法。用表上作业法来求解运输问题比 单纯型可节约计算时间与计算费用， 单纯型可节约计算时间与计算费用，但表上作 业法实质上仍是单纯型法。 业法实质上仍是单纯型法。
【例7-1】某公司从两个产地 1、A2将物品运往三个 】某公司从两个产地A 销地B 各产地的产量、 销地 1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产 地运往各销地每件物品的运费如下表所示， 地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何 调运可使总运输费用最小？ 调运可使总运输费用最小？ 销地 产地 A1 A2 销量 产量/件 产量 件 300 200
产地 A1 A2 A3 销量/件 销量 件
销地
B1
3 1 7 3
B2
11 9 4 6
B3
3 2 10 5
B4
10 8 5 6
产量/件 产量 件
7 4 9
1.求初始的调运方案 初始基可行解 求初始的调运方案(初始基可行解 求初始的调运方案 初始基可行解) 方法一： 思想： 方法一：最小元素法（思想：就近供应） 该方法的基本思想是采用“ 该方法的基本思想是采用“优先安排单位运价 最小的产地与销地之间的运输业务” 最小的产地与销地之间的运输业务”这个规则来确 定初始基可行解。 定初始基可行解。
0
0
运输问题数学模型的特点： 运输问题数学模型的特点：
1.运输问题一定有最优解； 1.运输问题一定有最优解； 运输问题一定有最优解 2.运输问题约束条件的系数矩阵 运输问题约束条件的系数矩阵： 2.运输问题约束条件的系数矩阵： 系数矩阵的特点： 系数矩阵的特点： 共有m+n行，分别表示各产地和销地；m×n （1）共有 行 分别表示各产地和销地； 分别表示各决策变量。 列，分别表示各决策变量。 （2）每列只有两个 1，其余为 0，分别表示只有 ， ， 一个产地和一个销地被使用。 一个产地和一个销地被使用。 3. 运输问题基变量的个数：m+n-1个 运输问题基变量的个数： 个 系数矩阵A的前 行之和恰好等于后n行之和 的前m行之和恰好等于后 行之和， （系数矩阵 的前 行之和恰好等于后 行之和，因此 系数矩阵A的秩 系数矩阵 的秩 r ( A) ≤ m + n − 1 ）
x11 x12 ⋯ x1n x21 x22 ⋯ x2n ⋯ xm1 xm2 ⋯ xmn m
1 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ 1 ⋱ P2 n = 1 1 ⋯ 1 1 1 1 1 1 ⋱ 1 ⋱ ⋱ ⋱ 1 1 1
供 给 约 束 n 需 求 约 束
min Z = ∑∑ cij xij
i =1 j =1
m
n
x11 + x12 + ⋯ + x1n = a1 x21 + x22 + ⋯ + x2 n = a2 m ⋯ xm 1 + xm 2 + ⋯ + xmn = am st. x11 + x21 + ⋯ + xm 1 = b1 x + x +⋯+ x = b 22 m2 2 n 12 ⋯ x1n + x2 n + ⋯ + xmn = bn x ≥ 0 i = 1, 2,⋯ , m; j = 1, 2,⋯ , n ij
产地
销地
单 位 运 价
B1
3 3 3 1 7 6 6
初始基本可行解（ 初始基本可行解（调 产量 运量） 运量） B B B
2 3 4
A1 A2 A3 销量
11 4 9 1 4 5
3 3 2 10 3 6
10 8 5
7 4 9
为了把初始基本可行解与运价区分开， 为了把初始基本可行解与运价区分开，我们把 运价放在每一栏的右上角， 运价放在每一栏的右上角，每一栏的中间写上初始 基本可行解（调运量）。 基本可行解（调运量）。 直接在运输表中的格子里填数表示基变量。该 直接在运输表中的格子里填数表示基变量。 例中基变量个数为m+n m+n3+46,所以表中的填 例中基变量个数为m+n-1＝3+4-1＝6,所以表中的填 数字格应为6 数字格应为6个。
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3 5 5 200
A1、A2两个产地的总产量为500件；B1、B2、B3， 两个产地的总产量为 件 三个销地的总销量为500件， 件 三个销地的总销量为 产销平衡问题： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 为从产地A 运往销地B 的运输量， 设xij为从产地 i运往销地 j的运输量，得到下列运输 量表： 量表： 销地 产地 A1 A2 销量 B1 x11 x21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量/件 产量 件 300 200
x12 x13 x21 x22 x23 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
2个 3个
一般运输模型： 一般运输模型：产销平衡 A1、 A2、…、 Am 表示某物资的 个产地； 表示某物资的m个产地 个产地； 、 B1、B2、…、Bn 表示某物质的 个销地；ai 表示 个销地； 、 表示某物质的n个销地 产地A 的产量； 表示销地B 的销量； 产地 i的产量； bj 表示销地 j 的销量； cij 表示把 物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。 物资从产地A 运往销地B 的单位运价。 为从产地A 运往销地B 的运输量， 设 xij 为从产地 i运往销地 j的运输量，得到 下列一般运输量问题的模型： 下列一般运输量问题的模型：
方法二：差额法 伏格尔 伏格尔) 方法二：差额法(伏格尔 最小元素法缺点：为节省一处的运费， 最小元素法缺点：为节省一处的运费，有时造成 它处要多花几倍的运费。 它处要多花几倍的运费。 一个产地的产品，若不能按最小运费就近供应， 一个产地的产品，若不能按最小运费就近供应， 就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大， 就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大，不 能按最小运费调运时，运费增加越多。 能按最小运费调运时，运费增加越多。因而应对差 额最大处，优先采用最小运费调运。 额最大处，优先采用最小运费调运。 步骤： 步骤： （1）计算各行和各列的最小运费和次小运费的差额， ）计算各行和各列的最小运费和次小运费的差额， 填入最右列和最下行。 填入最右列和最下行。
m×n个变量，m+n个约束，独立的约束方程m+n-1个， 个变量，m+n个约束，独立的约束方程m+n个约束 m+n 每个变量的系数是有2 其它元素均为0的向量。 每个变量的系数是有2个1、其它元素均为0的向量。
⋮0 1 0 xi 的列向量 Pi j = ⋮ = j 0 1 0 ⋮ 0
运输问题的求解— 7.2 运输问题的求解—表上作业法
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法， 表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其 实质是单纯形法，其计算过程(假设产销平衡)如下： 实质是单纯形法，其计算过程(假设产销平衡)如下： 1.求初始的调运方案(初始基可行解) 1.求初始的调运方案(初始基可行解)。 求初始的调运方案 的产销平衡表上给出m+n 个数字格， m+n在m×n的产销平衡表上给出m+n-1个数字格，其 相对应的调运量的值即为基变量的值 基变量的值。 相对应的调运量的值即为基变量的值。没有给出数 字的格子对应的变量就是非基变量。 字的格子对应的变量就是非基变量。 非基变量 2.最优解的判定(求各非基变量的检验数）。 2.最优解的判定(求各非基变量的检验数）。 最优解的判定 检验除了上述m+n m+n检验除了上述m+n-1个基变量以外的空格的检验 数判别是否达到最优解，如果已是最优，停止计算， 数判别是否达到最优解，如果已是最优，停止计算， 否则转到下一步。 否则转到下一步。
得到运输问题的模型： 得到运输问题的模型：
min z = ∑ ∑ cij xij
i =1 j =1 m n
n x =a m个 个 ∑ ij i ( i = 1,⋯ , m ) j =1 m n个 个 ∑ xij = b j ( j = 1,⋯ , n ) i =1 xij ≥ 0 ( i = 1,⋯ , m ; j = 1,⋯ , n )
在产销平衡的条件下， 在产销平衡的条件下，要求得总运费最小的调运 方案，其数学模型如下 方案，其数学模型如下:
min Z = 6 x11 + 4 x12 + 6 x13 + 6 x21 + 5 x22 + 5 x23 x11 + x12 + x13 = 200 x11 x21 + x22 + x23 = 300 1 x11 + x21 = 150 0 st. x12 + x22 = 150 A = 1 x13 + x23 = 200 0 xij ≥ 0, i = 1, 2; j = 1, 2, 3 0
3.进行方案调整( 3.进行方案调整(即从一个基可行解转换成另一个 进行方案调整 更好”的基可行解) “更好”的基可行解)。 确定入基变量和出基变量， 确定入基变量和出基变量，找出新的基本可 行解。 行解。 4.重复2、3直到得到最优解。 4.重复2 直到得到最优解。 重复
某食品公司有三个生产面包的分厂A 【例7-2 】某食品公司有三个生产面包的分厂 1、A2、 A3，有四个销售公司B1，B2，B3，B4，其各分厂每日的 有四个销售公司 产量、 产量、各分销售公司每日的销量及各分厂到各分销售公 司的单位运价如表所示。 司的单位运价如表所示。问该公司应如何调运产品在满 足各销售公司的需求量的前提下总运费最少？ 足各销售公司的需求量的前提下总运费最少？
产地
销地 B1
3 3 3 1 7 6 6
B2
11 4 9 1 4
B3
3 3 2 10 3 5
B4
10 8 5 6
产量
7 4 9
Fra Baidu bibliotek
A1 A2 A3 销量
保证填有 该方案总运费： 该方案总运费： 运量的格 Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86 子为 × × × × × × 子为m+n-1 注意：不能同时划去行和列， 注意：不能同时划去行和列，否则基变量的个数就 不够m+n-1个。 不够 个
产地
销地 B1
3 3 3 1 7 6
B2
11 9 4 5
B3
3 2 10 6
B4
10 8 5
产量
7 4 9
A1 A2 A3 销量
在表上找到单位运价最小的c 并使x 在表上找到单位运价最小的c21，并使x21取尽可能 大的值， =min(4,3)=3,把 的产量改为4 3=1， 大的值，即x21=min(4,3)=3,把A1的产量改为4-3=1， 列划去。 由于销地B1的需求已全部满足，把B1列划去。在剩下 由于销地 的需求已全部满足， 矩阵中再找最小运价， 的3×3矩阵中再找最小运价，同理可得其他的基本可 行解。 行解。
0
⋮0 ⋮0 1 0 i 0 0 ei + em+ j = ⋮ + ⋮ 0 0 0 1 m+j 0 0 ⋮ ⋮ 0 0