解直角三角形培优试题

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八年级下册第一章《直角三角形》培优习题

八年级下册第一章《直角三角形》培优习题一、知识要点填空：1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角_________（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________;（3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°.2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角______的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。

等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。

二、练习题1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则则∠1+∠2等于__________.2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A. B.C. D.3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能的是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．75、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．16、已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为___________________.7、四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE=__________．8、已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF.9、在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E ．求证：CE ＝21BD10、一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB 的面积最大为______________.11、如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE 分别是斜边AB 边上的高与中线，CF 是∠ACB 的平分线，则∠1与∠2的大小关系是（）A ．∠1>∠2 B. ∠1=∠2 C. ∠1<∠2 D.不能确定12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个13、如图，在直角三角形ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，MN ⊥AB ，∠ACB 的平分线CN 交MN 于N ，求证：CM=MN ．14、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1D 1C 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中作内接正方形A 2B 2D 2C 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A nB n D nC n的边长是_______________.15、下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个．16、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作CF∥AB,连接AF于BC相交于G，若GF=2AC，则∠BAG=17、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③ C．①③④D．②③④18、如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：（1）当OP=_________时，△AOP为等边三角形；（2）当OP=__________时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足___________时，△AOP为钝角三角形．GF CB A。

初三数学---解直角三角形---培优班

ABE F QP 初三数学解三角形1.（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为米.2．如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ．（1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到）．（参考数据：3≈，sin74°≈，cos74°≈，tan74°≈，sin76°≈，cos76°≈）3. (2010年兰州市)如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到米，参考数据：2≈，3≈，5≈，6≈4.（2007台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°（量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F 处（点B F D ，，在同一直线上），这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为米. （注：数据3 1.732≈，2 1.414≈供计算时选用）5. （2010楚雄）如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD ＝50米，某人在河岸MN 的A 处测的∠DAN ＝35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测的∠CBN ＝70°，求河流的宽度CE （结果保留两个有效数字）．（参考数据：si n 35°≈，co s35°≈，t an 35°≈Si n 70°≈，co s70°≈，t an 70°≈）6. （2010扬州）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度i ＝1:3，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：2≈，3≈）7. (2010年绍兴市)如图,小敏、小亮从A ,B 两地观测空中C 处一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A ,B 两地相距100 m.当气球沿与BA 平行地飘移10秒后到达C ′处时,在A 处测得气球的仰角为45°.（1）求气球的高度（结果精确到ｍ）；（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）. 8．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在DCN︒35︒70A B CDE 45°60°同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ．（1）求ADB ∠的度数；（2）求索道AB 的长．（结果保留根号）9.（苏州）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC(杆子的底端分别为D ，C)，且∠DAB=66. 5°． (1)求点D 与点C 的高度差DH ；(2)求所用不锈钢材料的总长度l (即AD+AB+BC ，结果精确到米)．(参考数据：°≈，°≈，°≈10.（2007山东威海）如图，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里（结果精确到1海里）友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈，cos 400.7660≈，tan 400.8391≈，3 1.732≈．11.（2009年江苏省）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）CQ BA P北 40 30 AC DE FB 北东C DBE60°76°O12.（2010株洲市）如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin 5B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ．（1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．13.（2009年泸州）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时(即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：7.13≈)(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少14.(2009年黄冈市)如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M ）位于海滨城市（记作点A ）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B ）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市．临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？DCBA15．（2010义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ °，猜想∠QFC ＝ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．图2ABEQPFC图1ACBEQF。

初中数学解直角三角形单元培优练习测试题试卷及答案10页

解直角三角形单元培优练习测试题试卷一.选择题1.计算6tan 45°－2cos 60°的结果是（） A ．B ．4C ．D ．52.如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则tanα等于（） A ．513B ．1213C ．512D ．1253.如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（） A ．23B ．32CD 4.如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是3:1（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），坝高BC =3m ，则坡面AB 的长度是（） A ．9mB ．6mC ．mD ．m5.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为（）A.240海里B.340海里C ．80海里D ．640海里6.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A =75°，∠C =45°，那么sin ∠AEB 的值为（） A.12B. 3C. 2D. 27.如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB 、CD 分别表示水库上下底面的水平线，第2题第3题第4题第5题∠ABC =120°，BC 的长是50m ，则水库大坝的高度h 是（） A ．mB ．25mC ．D．3m 8.一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A ．/小时B ．30海里/小时C ．/小时D ．/小时9.如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道（B 、C在同一水平面上）．为了测量B 、C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B 、C 两地之间的距离为（）A ．mB ．mC ．D ．3m 10.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，E 为AB 上一点且AE ：EB =4：1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于（） A ．B ．C ．D ．第23题第7题第8题第9题第10题二．填空题：12.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，则AB的长为14.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于___________海里．三．解答题17（本题6分）（10212cos30()12--+--第16题（2）计算：（）﹣2+（π﹣2014）0+sin60°+|﹣2|．18.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）19（本题8分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．20（本题10分）如图，我市有一山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠P AB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）21.已知不等臂跷跷板AB长4m．如图①，当AB的一端A碰到地面上时，AB与地面的夹角为α；如图②，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β．求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH．（用含α，β的式子表示）。

解直角三角形培优专练

解直角三角形培优专练一．选择题（共 5 小题）1．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树 A 、B 的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB 的方向走到E，再从 E 沿着垂直于AE 的方向走到F，C 为 AE 上一点，其中 3 位同学分别测得三组数据：① AC，∠ ACB；② EF、DE、AD；③ CD，∠ ACB ，∠ ADB ．其中能根据所测数据求得 A 、 B 两树距离的有（）A ． 0 组 B．一组 C ．二组 D ．三组2．如图，△ ABC 中，∠ A=30 °，，AC=，则AB的长为（）A ．B ．C． 5D．3．一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中 a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A ．B ．C． D ．4．如图，在矩形ABCD 中， DE⊥ AC 于 E，∠ AOB ：∠ AOD=1 ： 2，且 BD=12 ，则 DE 的长度是（）A ． 3B． 6C． 6D． 35．如图，已知灯塔M 方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在 A 处测得灯塔M 在北偏东30°方向，行驶 1 小时后到达 B 处，此时刚好进入灯塔M 的镭射信号区，测得灯塔M 在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M 的镭射信号区的时间为（）A ．（﹣1）小时B ．（+1）小时C ． 2 小时D．小时二．填空题（共 5 小题）6．如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端 D 处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°（ A 、 B、 C 在同一条直线上），则河的宽度AB 约为m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）7．如图，某海监船向正西方向航行，在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南偏西45°方向，海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东45°方向，又航行了半小时到达 C 处，望见渔船 D 在南偏东60°方向，若海监船的速度为50 海里 /小时，则 A ，B 之间的距离为海里（取，结果精确到0.1 海里）．8．在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°，BD 是△ABC 的角平分线，将△ BCD 沿着直线 BD 折叠，点C 落在点 C1处，如果 AB=5 ， AC=4 ，那么 sin∠ ADC 1的值是．9．如图△ABC 中，∠ C=90°，AC=8cm ， AB 的垂直平分线MN 交 AC 于 D，连接 BD ，若cos∠BDC=，则BC的长为．10．在 Rt△ABC 中，∠ C=90 度．若 sinA=，则sinB=．三．解答题（共 5 小题）11．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、 B， B 船在 A 船的正东方向，且两船保持20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在 A 的东北方向， B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C 与船 B 的距离是多少．（结果保留根号）12．如图，将含 30°角的直角三角板 ABC （∠ A=30 °）绕其直角顶点 C 顺时针旋转α角（ 0°＜α＜90°），得到 Rt△ A ′B′C， A ′C 与 AB 交于点 D，过点 D 作 DE∥A ′B′交 CB′于点 E，连接BE．易知，在旋转过程中，△ BDE 为直角三角形．设 BC=1 ，AD=x ，△ BDE 的面积为S．（1）当α=30°时，求 x 的值．（2）求 S 与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）以点 E 为圆心， BE 为半径作⊙ E，当 S=时，判断⊙ E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．13．如图是成都市某街道的一座人行天桥的示意图，天桥的高是 10 米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：，若新坡角下需留 3 米的人行道，问离原坡面点 A 处 10 米的建筑物 EF 是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732 ）14．已知：如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ ABC=45 °， D 是 BC 上的点， BD=10 ．∠ ADC=60 °．求 AC （ ≈1.73，结果保留整数）．15．在 △ ABC 中，∠ B 是锐角， AD 是 BC 上的高， E 为边 AC 的中点， BC=14 ， AD=12 ，sinB 是方程 10x 2﹣ 3x ﹣ 4=0 的一个根．（ 1）求线段 CD 的长；（ 2）求 tan ∠ EDC 的值．参考答案与试题解析一．选择题（共 5 小题）1．（ 2015?江西校级模拟）数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树 A 、 B 的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树 A 沿着垂直于 AB 的方向走到 E，再从 E 沿着垂直于 AE 的方向走到 F， C 为 AE 上一点，其中 3 位同学分别测得三组数据：① AC ，∠ACB ；② EF 、 DE 、AD ；③ CD ，∠ ACB ，∠ ADB ．其中能根据所测数据求得 A 、B 两树距离的有（）A ． 0 组 B．一组 C ．二组 D ．三组【考点】解直角三角形的应用；相似三角形的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据三角形相似可知，要求出AB ，只需求出 EF 即可．所以借助于（ 1）（ 3），根据 AB=即可解答．【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，第① 组中，因为知道∠ ACB 和 AC 的长，所以可利用∠ACB 的正切来求 AB 的长；第② 组中可利用∠ ACB 和∠ ADB 的正切求出 AB ；第③ 组中设 AC=x ，AD=CD+x ，AB=，AB=；因为已知 CD，∠ ACB ，∠ADB ，可求出 x，然后得出 AB ．故选 D ．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．2．（ 2013?攀枝花模拟）如图，△ ABC中，∠ A=30°，，AC=，则AB的长为（）A ．B ．C． 5D．【考点】解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】作 CD ⊥ AB 于 D ，构造两个直角三角形．根据锐角三角函数求得CD 、 AD 的长，再根据锐角三角函数求得BD 的长，从而求得AB 的长．【解答】解：作 CD⊥AB 于 D．在直角三角形ACD 中，∠ A=30 °， AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD 中，，∴BD==2 ．∴A B=AD+BD=5 ．故选 C．【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．3．（ 2012?余姚市校级自主招生）一个三角形的边长分别为a， a， b，另一个三角形的边长分别为 b，b， a，其中 a＞ b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A ．B ．C． D ．【考点】解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】根据余弦定理，求出最小角的余弦值，建立相等关系，解方程即可．【解答】解：余弦定理：a， a，b 中最小内角为边 b 所对， cosx=b， b， a 中最小内角为边 b 所对， cosy=∵x=y ，∴=解方程得：=．故选 B ．【点评】本题的关键是根据余弦定理，利用两三角形中有一个等角，建立等式，解方程求值．4．（ 2012?深圳校级模拟）如图，在矩形ABCD 中， DE ⊥AC 于 E，∠ AOB ：∠ AOD=1 ： 2，且 BD=12 ，则 DE 的长度是（）A ． 3B． 6C． 6D． 3【考点】解直角三角形；矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】由已知条件可分析得出∠COD=60 °，OD=6 ．解直角三角形 ODE 即可得出DE 的长度．【解答】解：在矩形ABCD 中∵∠ AOB ：∠ AOD=1 ： 2，且 BD=12∴∠ COD=60 °， OD=6∵DE ⊥ AC∴DE=OD ?sin60°=3．故选 D ．【点评】考查了矩形的性质以及解直角三角形的简单应用．5．（ 2013?武汉模拟）如图，已知灯塔M 方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在 A 处测得灯塔M 在北偏东30°方向，行驶1小时后到达 B 处，此时刚好进入灯塔M 的镭射信号区，测得灯塔M 在北偏东 45°方向，则轮船通过灯塔M 的镭射信号区的时间为（）A ．（﹣1）小时B ．（+1）小时C ． 2 小时D．小时【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】压轴题．【分析】连接 MC ，过 M 点作 MD ⊥ AC 于 D ．根据三角函数的定义，在Rt△ ADM 中可得AD=MD ，在 Rt△ BDM 中可得 BD=MD ，根据垂径定理可得BC=2MD ，依此求出BC：AB 的值即可求解．【解答】解：连接MC ，过 M 点作 MD ⊥ AC 于 D．在Rt△ ADM 中，∵∠ MAD=30 °，∴AD=MD ，在Rt△ BDM 中，∵∠ MBD=45 °，∴BD=MD ，∴BC=2MD ，∴BC ： AB=2MD ：（﹣1）MD=2：+1．故轮船通过灯塔M 的镭射信号区的时间为（+1）小时．故选 B ．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题关键是得到AD=MD ，BC=2MD ．二．填空题（共 5 小题）6．（ 2013?大连）如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端 D 处测得河岸 B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°（A 、B、C 在同一条直线上），则河的宽度AB 约为15.3 m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】在 Rt△ ACD 中求出 AC ，在 Rt△BCD 中求出 BC，继而可得出AB ．【解答】解：在 Rt△ACD 中， CD=21m ，∠ DAC=30 °，则 AC=CD≈36.3m；在 Rt△ BCD 中，∠ DBC=45 °，则 BC=CD=21m ，故 AB=AC ﹣ BC=15.3m ．故答案为： 15.3．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，理解俯角的定义，能利用三角函数表示线段的长度．7．（ 2013?泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南偏西 45°方向，海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东45°方向，又航行了半小时到达 C 处，望见渔船 D 在南偏东60°方向，若海监船的速度为50 海里 /小时，则 A ，B 之间的距离为67.5海里（取，结果精确到0.1 海里）．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E，设 DE=x ，在 Rt△ CDE 中表示出 CE，在 Rt △ BDE 中表示出 BE，再由 CB=25 海里，可得出关于 x 的方程，解出后即可计算 AB 的长度．【解答】解：∵∠ DBA= ∠ DAB=45 °，∴△ DAB 是等腰直角三角形，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E，则 DE=AB ，设DE=x ，则 AB=2x ，在Rt△ CDE 中，∠ DCE=30 °，则 CE=DE=x，在Rt△BDE 中，∠DAE=45 °，则 DE=BE=x ，由题意得， CB=CE ﹣ BE=x﹣x=25 ，解得： x=，故AB=25 （ +1） =67.5（海里）．故答案为： 67.5．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．8．（ 2013?崇明县一模）在Rt△ ABC 中，∠ C=90 °，BD 是△ ABC 的角平分线，将△ BCD沿着直线 BD 折叠，点 C 落在点 C1处，如果 AB=5 ， AC=4 ，那么 sin∠ ADC 1的值是．【考点】锐角三角函数的定义；翻折变换（折叠问题）．【专题】常规题型；压轴题．【分析】根据题意知：将△ BCD 沿着直线 BD 折叠，点 C 落在点 C1处， C1点恰好在斜边 AB 上，根据角之间的关系可知∠ ADC 1=∠ ABC ，根据锐角三角函数的定义即可解答．【解答】解：∵∠ C=90°， BD 是△ ABC 的角平分线，∵将△ BCD 沿着直线BD 折叠，∴C1点恰好在斜边AB 上，∴∠ DC1A=90 °，∴∠ ADC 1=∠ ABC ，∵A B=5 ， AC=4 ，∴sin ∠ADC 1= ．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及翻折变换（折叠问题）．解题时利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9．（ 2013?大连模拟）如图△ ABC中，∠ C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN 交 AC 于D，连接 BD ，若 cos∠ BDC=，则BC的长为4．【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由于 cos∠ BDC=，可设DC=3x，BD=5x，由于MN是线段AB的垂直平分线，故AD=DB ，AD=5x ，又知 AC=8cm ，即可据此列方程解答．【解答】解：∵ cos∠ BDC= ，可∴设 DC=3x ，BD=5x ，又∵ MN 是线段 AB 的垂直平分线，∴A D=DB=5x ，又∵ AC=8cm ，∴3x+5x=8 ，解得， x=1 ，在 Rt△ BDC 中， CD=3cm ，DB=5cm ，BC==4．故答案为4．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、解直角三角形的相关知识，综合性较强，计算要仔细．10．（ 2012?宜宾县校级模拟）在Rt△ ABC 中，∠ C=90 度．若 sinA=，则sinB=．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】压轴题．【分析】先根据特殊角的三角函数值与直角三角形的性质求出∠ A ，∠ B 的度数，再求解即可．【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，∵sinA=，∴∠ A=45 °=∠ B ．∴sinB=．【点评】解答此题的关键是数记特殊角的三角函数值及直角三角形的性质．三．解答题（共 5 小题）11．（ 2013?遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船 A 、B ，B 船在 A 船的正东方向，且两船保持20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在 A 的东北方向， B 的北偏东 15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船 C 与船 B 的距离是多少．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】压轴题．【分析】首先过点 B 作 BD ⊥AC 于 D，由题意可知，∠ BAC=45 °，∠ ABC=90 °+15°=105°，则可求得∠ ACB 的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．【解答】解：过点 B 作 BD ⊥AC 于 D．由题意可知，∠BAC=45 °，∠ ABC=90 °+15 °=105°，∴∠ ACB=180 °﹣∠ BAC ﹣∠ ABC=30 °，在 Rt△ ABD 中， BD=AB ?sin∠ BAD=20 ×=10（海里），在 Rt△ BCD 中， BC===20（海里）．答：此时船 C 与船 B 的距离是20海里．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．12．（ 2013?和平区二模）如图，将含 30°角的直角三角板顺时针旋转α角（ 0°＜α＜ 90°），得到 Rt△ A ′B′C，A ′C 与交 CB′于点 E，连接 BE．易知，在旋转过程中，△ BDE△BDE 的面积为S．（1）当α=30°时，求 x 的值．（2）求 S 与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；ABC （∠ A=30 °）绕其直角顶点 C AB 交于点 D，过点 D 作 DE∥ A′B′为直角三角形．设 BC=1 ， AD=x ，（3）以点 E 为圆心， BE 为半径作⊙ E，当 S=时，判断⊙ E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．【考点】锐角三角函数的定义；根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；直线与圆的位置关系；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】（ 1）根据等腰三角形的判定，∠A= ∠ α=30 °，得出 x=1 ；（2）由直角三角形的性质，AB=2 ， AC=，由旋转性质求得△ ADC∽△ BCE，根据比例关系式，求出S 与 x 的函数关系式；（3）当 S= 时，求得 x 的值，判断⊙ E 和 DE 的长度大小，确定⊙ E 与 A ′C 的位置关系，再求tanα值．【解答】解：（ 1）∵∠ A=a=30 °，又∵∠ ACB=90 °，∴∠ ABC= ∠ BCD=60 °．∴A D=BD=BC=1 ．∴x=1 ；（2）∵∠ DBE=90 °，∠ABC=60 °，∴∠A= ∠CBE=30 °．∴AC=BC=，AB=2BC=2．由旋转性质可知：AC=A ′C， BC=B ′C，∠ACD= ∠ BCE ，∴△ ADC ∽△ BEC ，∴ =，∴BE=x．∵BD=2 ﹣ x，∴s= ×x（ 2﹣x） =﹣2x + x．（ 0＜ x＜ 2）（3）∵ s= s△ABC∴﹣+=，∴4x 2﹣ 8x+3=0 ，∴，．①当 x=时，BD=2﹣=，BE=× =．∴DE==．∵DE ∥ A ′B′，∴∠ EDC= ∠A ′=∠ A=30 °．∴EC= DE=＞BE，∴此时⊙ E 与 A ′C 相离．过 D 作 DF ⊥ AC 于 F，则，．∴．∴．（12分）② 当时，，．∴，∴，∴此时⊙ E 与 A'C 相交．同理可求出．【点评】本题考查的知识点：等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定，是一道综合性较强的题目，难度大．13．（ 2013?成都模拟）如图是成都市某街道的一座人行天桥的示意图，天桥的高是10 米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1：，若新坡角下需留 3 米的人行道，问离原坡面点 A 处 10 米的建筑物EF 是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】由已知天桥的高是10 米，坡面的倾斜角为45°，易求得 AB 的长；又由新坡面的坡度为 1：，根据坡度的定义，可求得BD 的长，从而求得AD 的长，然后将AD+3 与 10进行比较，若大于则需拆除，反之不用拆除．【解答】解：根据题意得：∠CAB=45 °， BC=10 米．∴A B=BC=10米．∵i=1 ：，即：=，∴BD=10 米，∴AD=10﹣ 10≈7.32（米），∵7.32+3 ＞10．答：离原坡角 10 米的建筑物需要拆除．【点评】此题主要考查学生坡度坡角问题．此题难度适中，解此题的关键是掌握坡度与坡角的定义，注意解直角三角形的应用．14．（ 2012?泉州校级自主招生）已知：如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ ABC=45 °，D 是BC 上的点， BD=10 ．∠ ADC=60 °．求 AC （≈1.73 ，结果保留整数）．【考点】解直角三角形；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先在直角三角形 ACD 中，利用 30°直角三角形的性质求得 CD 的长，再进一步根据勾股定理求得 AC 的长．【解答】解：在 Rt △ACD 中，∠ C=90 °，∠ ADC=60 °， tan60°= = ，设 CD=x ， ∴ A C=x ，在 Rt △ ACB 中，∠ C=90 °，∠ ABC=45 °， ∴AC=BC ， BD=10 ，∴ x=x+10 ，解得： x==5（+1） =5 +5，∴AC=x=15+5≈24．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，属于基础题．15．（ 2012?成都模拟）在 △ ABC 中，∠ B 是锐角， AD 是 BC 上的高， E 为边 AC 的中点，BC=14 ， AD=12 ， sinB 是方程 10x 2﹣ 3x ﹣ 4=0 的一个根．（ 1）求线段 CD 的长；（ 2）求 tan ∠ EDC 的值．【考点】解直角三角形；解一元二次方程-因式分解法；直角三角形斜边上的中线．【专题】压轴题．【分析】（1）首先解方程 10x 2﹣ 3x ﹣4=0 ，可得 sinB= ，根据∠ B 的正弦值，即可求出AB的长，然后求得 BD ，从而得出线段 DC 的长；（2）首先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可判定∠ EDC= ∠ ECD ，在 Rt △ACD中，再求 tan ∠ ECD 的值，即 tan ∠ EDC 的值．【解答】解：∵ 10x 2﹣3x ﹣ 4=0， ∴（ 2x+1 ）（5x ﹣ 4）=0，解得： x 1=﹣ （舍去）， x 2 = ，∴sinB= ，∵AD 是 BC 上的高，∴，∵ A D=12 ， ∴AB=15 ，由勾股定理得， BD== =9，∵ B C=14 ，∴CD=BC ﹣ BD=14 ﹣ 9=5 ；（ 2）∵ E 为边 AC 的中点， AD 是边 BC 上的高，∴AE=EC=DE ， ∴DE=EC ，∴∠ EDC= ∠ECD ，∴tan ∠EDC=tan ∠ ECD==．【点评】此题考查了解直角三角形的知识以及一元二次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程，掌握数形结合思想与转化思想的应用．。

专题03 7.5解直角三角形培优训练(解析版)九下数学专题培优训练

专题03 7.5解直角三角形培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是()A. 2√5B. 4√5C. 5√3D. 10【答案】B【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.由tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=√55BD，推出CD+√55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE=90°，∵tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2√5或−2√5(舍弃)，∴BE=2a=4√5，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM=BE=4√5(等腰三角形两腰上的高相等))∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55，∴DH=√55BD，∴CD+√55BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+√55BD≥4√5，∴CD+√55BD的最小值为4√5．故选：B．2.将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则tan∠ACD的值为()A. √3B. √3+1C. √3−1D. 2√3【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数，解直角三角形，解此题的关键是能构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定难度．作AH⊥CB交CB的延长线于H，利用含45°的等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，解直角三角形，求出各边长，并证明AH//DC，推出∠ACD=∠CAH，由锐角三角函数定义即可解决问题．【解答】解：如图，△BCD是含45°的等腰直角三角形，△ABD是含30°角的直角三角形，∠ADB= 30°，作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABD=90°，∠DBC=45°，∴∠ABH=45°，∵∠AHB=90°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AH=BH，设AH=BH=a，则AB=√2a，BD=√6a，BC=CD=√3a，CH=a+√3a，∵∠AHB=∠DCB=90°，∴AH//DC，∴∠ACD=∠CAH，∴tan∠ACD=tan∠CAH=CHAH=√3+1，故选B．3.如图，在正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE连接AE，DE，连接BD交CE于点F，有下列结论：①∠AED=150∘；②△DEF∽△BAE；③DFFB =√33；④S△BEC:S△BFC=(√3+2):3.其中正确结论的个数为()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性质．①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可②由①可得到∠ADE的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF=∠ABE，即可判定③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出DFBF，再与tan∠ECD=tan30°作比较即可④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可【解答】解：∵△BEC为等边三角形∴∠EBC=∠BEC=∠ECB=60°，AB=EB=EC=BC=DC ∵四边形ABCD为正方形∴∠ABE=∠ECD=90°−60°=30°∴在△ABE和△DCE中，AB=DC∠ABE=∠ECDBE=EC∴△ABE≌△DCE(SAS)∴∠AEB=∠DEC=180°−30°2=75°∴∠AED=360°−60°−75°×2=150°故①正确由①知AE=ED∴∠EAD=∠EDA=15°∴∠EDF=45°−15°=30°∴∠EDF=∠ABE由①知∠AEB=∠DEC，∴△DEF～△BAE故②正确过点F作FM⊥DC交于M，如图设DM=x，则FM=x，DF=√2x∵∠FCD=30°∴MC=√3x则在Rt△DBC中，BD=√2⋅(√3+1)x∴BF=BD−DF=√2⋅(√3+1)x−√2x则DFBF =√2x√2(√3+1−1)x=√33故③正确如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得由③知MC=√3x，MC=FG∴FG=√3x∵BC=DC=(√3+1)x∴BH=√3+12x∵∠EBC=60°∴EH=√3⋅√3+12x，∴S△BECS△BFC =12⋅EH⋅BC12⋅FG⋅BC=EHFG=√3⋅√3+12x√3x=√3+12故④错误，所以正确的有3个．故选：B．4.在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是()A. 2B. 12C. 23D. √55【答案】B【解析】如图，取格点K，连接AK，BK.观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，推出∠AED=∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，∴∠AED=∠ABK，∴tan∠AED=tan∠ABK=AKBK =12，故选：B．5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=13，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为()A. 4√2B. 4C. 7D. 3√2【答案】C【解析】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接AE，根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出CD，根据面积公式出去AE，根据翻转变换的性质求出AF，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可．【解答】解：连接AE交CD于点F，∵AC=3，cos∠CAB=13，∴AB=3AC=9，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=6√2，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=12AB=92，S△ABC=12×3×6√2=9√2，∵点D为AB的中点，∴S△ACD=12S△ABC=9√22，由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=9√2，AE⊥CD，×CD×AE=9√2，则12解得，AE=4√2，∴AF=2√2，，由勾股定理得，DF=√AD2−AF2=72∵AF=FE，AD=DB，∴BE=2DF=7，故选C．6.在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是()A. √29B. 5.5C. √181D. 3√52【答案】A【解析】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、解直角三角形以及同角三角函数的关系．设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ 边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步利用同角三角函数的关系，求得结论即可．【解答】解：如图，作EF平行于长方形的长，GH平行于长方形的宽，交于O，设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ边成的角为θ，在Rt△AOH、Rt△COG中，GH=OG+OH=xcosθ+2xcosθ=3xcosθ=15，同理得出EF=EO+HA+AJ=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=3xcosθ+2xsinθ=19②解①得xcosθ=5将xcosθ=5代入②解②得xsinθ=2，两边平方相加得x2=29，所以正方形的边长x=√29．故选A．二、填空题7.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，则tan∠CAD的值______．【答案】15【解析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由tanB =53，即AD AB =53，设AD =5x ，则AB =3x ，然后可证明△CDE∽△BDA ，然后相似三角形的对应边成比例可得：CE AB =DE AD =CD BD =12，进而可得CE =32x ，DE =52x ，从而可求tan∠CAD =EC AE =15．本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．【解答】解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵tanB =53，即AD AB =53， ∴设AD =5x ，则AB =3x ，∵∠CDE =∠BDA ，∠CED =∠BAD ，∴△CDE∽△BDA ，∴CE AB =DE AD =CD BD =12，∴CE =32x ，DE =52x ， ∴AE =152x ，∴tan∠CAD =EC AE =15，故答案为15．8. 已知在菱形ABCD 中，∠A =60°，DE//BF ，sinE =45，DE =6，EF =BF =5，则菱形ABCD 的边长=______．【答案】4√5【解析】连接BD ，过B 作BG//EF 交DE 的延长线于G ，根据菱形的判定和性质以及解直角三角形求得BD ，判断△ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出菱形ABCD 的长．本题考查了菱形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．【解答】解：连接BD ，过B 作BG//EF 交DE 的延长线于G ，∵∠DEF =∠F ，∴EG//BF ，∴四边形BFEG 是平行四边形，∵EF =BF ，∴四边形BFEG 是菱形，∴EG =BG =EF =BF =5，∴DG =6+5=11，∵EF//BG ，∴∠G =∠DEF ，过D 作DH ⊥GB 交GB 的延长线于H ，∴∠DHG =90°，∵sin∠DEF =sinG =DH DG =45， ∴DH =445， ∴GH =335，∴BH =GH −BG =85，∴BD =√BH 2+DH 2=√(85)2+(445)2=4√5，∵在菱形ABCD 中，∠A =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB =BD =4√5，故答案为：4√5．9. 如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为(2,√5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得到△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为________【答案】(203,4√5 3)【解析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A(2,√5)，∴OC=2，AC=√5，由勾股定理得，OA=√OC2+AC2=√22+(√5)2=3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×√53=4√53，BD=4×23=83，∴OD=OB+BD=4+83=203，∴点O′的坐标为(203,4√53)，故答案为(203,4√5 3).10.三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是______．【答案】15−5√3【解析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10√3，∵AB//CF，=5√3，∴BM=BC×sin30°=10√3×12CM=BC×cos30°=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5√3，∴CD=CM−MD=15−5√3．故答案是：15−5√3．11.如下图，正方形ABCD中，AB=3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正CD连接GH，则GH的最小值为________．方形DEFG，点H是CD上一点，且DH=23【答案】√22【解析】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答.连接CG.证明△ADE≌△CDG(SAS)，推出∠DCG=∠DAE=45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．【解答】解：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA=DC=AB=3，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90∘，∠DAC=45∘，∴∠ADE=∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAE=45∘，∴点G的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH=23CD=2，∴CH=CD−DH=3−2=1，∴最小值=CH⋅sin45∘=1×√22=√22．故答案为：√2．212.如图，∠EFG=90°，EF=10，OG=17，，则点F的坐标是_________．【答案】(8,12)【解析】本题考查坐标与图形性质，解直角三角形，勾股定理的运用，过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，易得∠AEF=∠HFG=∠FGO，然后利用勾股定理和解直角三角形分别求出AF和HG的长即可．【解答】解：过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，∴∠FGO=∠HFG，∠EAF=90°，∠AOG=90°=∠AHG，∴四边形AOGH为矩形，∴OG=AH=17，∵∠EFG=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°，∠HFG+∠AFE=90°，∴∠AEF=∠HFG=∠FGO，=6，在Rt△AEF中，EF=10，则AE=10·cos∠FEA=10×35∴AF=√EF2−AE2=8，FH=AH−AF=17−8=9，在Rt△FGH中，FG=FHcos∠HFG=935=15，∴HG=√FG2−FH2=12，∴点F的坐标为(8,12)．故答案为(8,12)．三、解答题13.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE=√34，5BF−5AD=4．(I)求AE的长；(2)求cos∠CAG的值及CG的长．【解析】(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H.首先证明四边形AEHO是矩形，利用勾股定理求出CH，OH即可．(2)利用勾股定理求出CF，利用相似三角形的性质求出FG，证明∠CAG=∠CTG，求出cos∠CTG即可解决问题．本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．【答案】解：(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H．∵直线l是⊙O的切线，∴AE⊥OD，∵OC⊥AB，∴∠EAO=∠AOH=∠EHO=90°，∴四边形AEHO是矩形，∴EH=OA=3，AE=OH，∵CH=√EC2−EH2=√(√34)2−32=5，∴AE=OH=CH−CO=5−3=2．(2)∵AE//OC，∴AE OC =AD DO =23，∴AD =25OA =65， ∵5BF −5AD =4，∴BF =2，∴OF =OB −BF =1，AF =AO +OF =4，CF =√OC 2+OF 2=√32+12=√10， ∵∠FAC =∠FGB ，∠AFC =∠GFB ，∴△AFC∽△GFB ，∴AF FG =CF BF ，∴4FG =√102， ∴FG =4√105， ∴CG =FG +CF =9√105，∵CT 是直径，∴∠CGT =90°， ∴GT =√TC 2−CG 2=(9√105)=3√105， ∴cos∠CTG =TG TC =3√1056=√1010， ∵∠CAG =∠CTG ，∴cos∠CAG =√1010．14. 在矩形ABCD 中，AB =8，点H 是直线AB 边上的一个点，连接DH 交直线CB 的干点E ，交直线AC 于点F ，连接BF ．(1)如图①，点H 在AB 边上，若四边形ABCD 是正方形，求证：△ADF≌△ABF ；(2)在(1)的条件下，若△BHF 为等腰三角形，求HF 的长；(3)如图②，若tan∠ADH =43，是否存在点H ，使得△BHF 为等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可．(2)想办法证明∠ADH=30°，求出AH即可解决问题．(3)如图②中，可以假设AH=4k，AD=3k，DH=5k，因为△BHF是等腰三角形，∠BHF 是钝角，推出HF=BH，设BH=HF=x，构建方程组解决问题即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．【答案】(1)证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠FAB=∠FAD=45°，∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF(SAS)．(2)解：如图①中，∵∠BHF>∠HAD，∴∠BHF是钝角，∵△BHF是等腰三角形，∴BH=FH，∴∠HBF=∠BFH，∵△ADF≌△ABF，∴∠ADF=∠ABF，∵∠AHD =∠HBF +∠BFH ，∴∠AHD =2∠ADH ，∵∠AHD +∠ADH =90°，∴∠ADH =30°，∴AH =AD ⋅tan30°=8√33， ∴BH =HF =8−8√33．(3)解：如图②中，存在．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =8，AB//CD ，∠DAH =90°，∵tan∠ADH =AHAD =43， ∴可以假设AH =4k ，AD =3k ，则DH =5k ，∵△BHF 是等腰三角形，∠BHF 是钝角，∴HF =BH ，设BH =HF =x ，∵AH//CD ，∴AH CD =HF DF ， ∴4k8=x 5k−x①， ∵AH +BH =8，∴4k +x =8 ②，由①②可得，x =83或403(舍弃)，∴存在，该三角形的腰长为83．15. 如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．(1)小明所求作的直线DE是线段AB的______；(2)联结AD，AD=7，sin∠DAC=17，BC=9，求AC的长．【答案】(1)线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD=7∴CD=BC−BD=2，在Rt△ADF中，∵sin∠DAC=DFAD =17，∴DF=1，在Rt△ADF中，AF=√72−12=4√3，在Rt△CDF中，CF=√22−12=√3，∴AC=AF+CF=4√3+√3=5√3．【解析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了解直角三角形．【解答】】(1)利用基本作法进行判断；(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD=7，则CD=2，在Rt△ADF中先利用正弦的定义可计算出DF，再利用勾股定理可计算出AF，接着在Rt△CDF中利用勾股定理可计算出CF，然后计算AF+CF．解：(1)小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线(或中垂线)；故答案为线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)见答案．16.如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=16，点E在AB边上，与点A、B不重合，过点D作DE的垂线与BC的延长线相交于点F，连结EF，交CD于点G．(Ⅰ)当G为EF的中点时，求AE的长；(Ⅱ)当△DEG是以DE为腰的等腰三角形时，求tan∠ADE．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．(Ⅰ)根据∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCF=90°证明△DAE∽△DCF，对应边成比例，再根据三角形中位线定理即可求解；(Ⅱ)①当DE=DG时，先证明△EDF≌△EBF得DE=BE，再根据勾股定理求得AE的长，即可求得结果；②当ED=EG时，证明△DAE∽△FBE得DAFB =AEBE，求得AE的长，即可求得结果．【答案】解：(Ⅰ)∵DF⊥DE ∴∠EDG+∠CDF=90°又∵∠EDG+∠ADE=90°∴∠ADE=∠CDF又∵∠A=∠DCF=90°∴△DAE∽△DCF∴ADCD =AECF∴CF=16×AE8=2AE又∵CD//AB，点G为EF的中点∴点C为BF的中点∴CF=BC=8∴2AE=8∴AE=4(Ⅱ)①当DE=DG时，则∠DEG=∠DGE 又∵CD//AB，∴∠DGE=∠BEG∴∠DEG=∠BEG又∵∠EDF=∠EBF=90°EF=EF∴△EDF≌△EBF(AAS)∴DE=BE设AE=x，则BE=16−x，在Rt△DAE中，AD2+AE2=DE2∴82+x2=(16−x)2解得x=6，即AE=6∴tan∠ADE=AEAD =68=34②当ED=EG时，则∠EDG=∠EGD 又∵CD//AB∴∠EGD=∠BEG，∠EDG=∠AED ∴∠AED=∠BEG又∠A=∠B=90°∴△DAE∽△FBE∴DAFB =AEBE由(I)得：CF=2AE设AE=x，则CF=2x，BE=16−x，BF=8+2x，∴88+2x =x16−x解得：x1=4√5−4，x2=−4√5−4(舍去)∴AE=4√5−4∴tan∠ADE=AEAD =4√5−48=√5−12综上所述：tan∠ADE=34或tan∠ADE=√5−12．17.在△ABC中，∠ACB=90°．(1)如图①，若点E在AC的延长线上，ED⊥AB，垂足为D，MN//AB分别交AE、BE于点M、N.且BC=MN，cos∠ABC=35，AD=8，求AM的长；(2)如图②，若将△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角得到△AEF，连接FC并延长交BE于点M，若CFBM =43，求tan∠ABC．【解析】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．(1)设BC=3x，AB=5x，根据勾股定理可求AC=4x，根据锐角三角函数可求AE=10，由题意可证△EMN∽△EAB，可得EMEA =MNAB，可求EM=6，即可求AM的长；(2)根据旋转的性质可得AF=AC，EF=BC，AE=AB，∠FAE=∠CAB，∠ACB=∠AFE=90°，即可得∠FAC=∠EAB，∠EFM=∠G=∠BCG，可得BC=BG=EF，根据“AAS”可证△EFM≌△BGM，可得BM=EM，通过证明△FAC∽△EAB，可得ACAB=CF BE =4a6a=23，设AC=2b，AB=3b，根据勾股定理求出AC，即可求tan∠ABC的值．【答案】解：(1)∵cos∠ABC=35=BCAB，∴设BC=3x，AB=5x.在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=4x．∵tan∠CAB=BCAC =DEAD=3x4x=34，∴DE=34AD，且AD=8，∴DE=6.在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=10．∵MN=BC，∴MN=3x．∵MN//AB，∴△EMN∽△EAB，∴EMEA =MNAB，∴EM10=3x5x，∴EM=6，∴AM=AE−ME=4．(2)过点B作BG//EF，交FM延长线于点G．∵CFBM =43，∴设CF=4a，BM=3a．∵将△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角，得到△AEF，∴AF=AC，EF=BC，AE=AB，∠FAE=∠CAB．∵AF=AC，∴∠AFC=∠ACF.∵∠ACB=∠AFE=90°，∴∠AFC+∠EFM=90°，∠ACF+∠BCG=90°，∴∠BCG=∠EFM．∵EF//BG，∴∠EFM=∠G，∴∠BCG=∠G，∴BC=BG，∴BG=EF，且∠EFM=∠G，∠FME=∠BMG，∴△EFM≌△BGM，∴EM=BM=3a，∴BE=6a．∵∠FAE=∠CAB，∴∠FAC=∠EAB，且AFAE =ACAB，∴△FAC∽△EAB，∴ACAB =CFBE=4a6a=23，∴设AC=2b，AB=3b.在Rt△ACB中，BC=√AB2−BC2=√5b，∴tan∠ABC=ACBC =2√55．。

浙教版2022-2023学年九下数学第1章解直角三角形培优测试卷(解析版)

浙教版2022-2023学年九下数学第1章解直角三角形培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，各边都扩大5倍，则tanA 的值（） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定【答案】A【解析】∵三角函数值与对应边的比值有关， ∴各边都扩大5倍后，tanA 的值不变. 故答案为：A.2．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos20° B ．100cos20° C ．100sin20° D ．100sin20° 【答案】B【解析】∵△B=90°，△C=20°，∴cos∠C =BCAC，∴BC=AC·cos∠C =100cos20°. 故答案为：B. 3．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为（）米A ．4√3B ．6√5C ．12√5D ．24【答案】B【解析】如图,过B 作BE△AD 于点E ，∵斜面坡度为1：2，AE=12， ∴BE=6，在Rt△ABC 中， AB =√AE 2+BE 2=√122+62=6√5 ．故答案为：B ．4．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（）A ．12B ．√22C ．√32D ．1【答案】B【解析】如图，设AB 与CD 交于点E ，过点C 作CF△AB ，连接DF ，∵CF△AB ，∴∠C =∠AEC =α ，设小正方形的边长为1，根据勾股定理得： CD 2=12+32=10 ， DF 2=12+22=5 ， CF 2=12+22=5 ，∴CF 2+DF 2=CD 2 ，DF=CF ， ∴△CDF 为等腰直角三角形， ∴△C=45°，∴sinC =√22，∴夹角α的正弦值为 √22.故答案为：B.5．鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA 旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色.周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A 观察到瞰胜楼楼底点C 的仰角为12°，楼顶点D 的仰角为13°，测得斜坡BC 的坡面距离BC = 510米，斜坡BC 的坡度 i =8：15 .则瞰胜楼的高度CD 是（）米.（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）A ．30B ．32C ．34D ．36 【答案】D【解析】由斜坡BC 的坡度i =8：15 ，设 CE =8x 、 BE =15x ，在 Rt △BCE 中，BC =√BE 2+CE 2=√(8x)2+(15x)2=17x ，由 BC =17x =510 求得 x =30 ， ∴CE =240 米、 BE =450 米，在 Rt △ACE 中，AE =CE tan∠CAE =240tan12°=1200 （米），在 Rt △ADE 中，DE =AEtan∠DAE =1200×tan13°=276 （米），则 DC =DE −CE =276−240=36 （米）. 故答案为：D.6．若规定 sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ ，则sin15°=（） A ．√2−12 B ．√2−√64 C ．√3−12 D ．√6−√24【答案】D【解析】由题意得，sin15°=sin （45°-30°） =sin45°cos30°-cos45°sin30°=√22×√32−√22×12=√6−√24故答案为：D7．如图，在菱形ABCD 中，DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，则tan△DBE 的值是（）A ．12B ．2C ．√52D ．√55【答案】B【解析】∵DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，∴AE AD =3AD =35，解得：AD ＝5. ∴DE ＝ √AD 2−AE 2=√52−32＝4， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=5， ∴BE ＝5﹣3＝2，∴tan△DBE ＝ DE BE =42＝2.故答案为：B.8．如图，在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3，DE△AC 于点E ，连接BE ，则tan△CBE 的值等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设AB=4a ，∵在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3， ∴BC=2a ，AC=2 √3 a ，AD ：AB=1：4， ∵△C=90°，DE△AC ， ∴△AED=90°， ∴△AED=△C ， ∴DE△BC ，∴△AED△△ACB ，∴AE AC =AD AB ，∴AE AC =14 ，∴AE= 14×2√3a =√32a ，∴EC=AC ﹣AE= 2√3a −√32a =3√32a ，∴tan△CBE= CE CB =3√32a 2a =3√34，故答案为：C ．9．如图，已知扇形OAB 的半径为r ，C 是弧AB 上的任一点（不与A ，B 重合），CM△OA ，垂足为M ，CN△OB ，垂足为N ，连接MN ，若△AOB ＝ α ，则MN 可用 α 表示为（）A ．rsinαB ．2rsin α2 C ．rcosα D ．2rcos α2【答案】A【解析】如图，连接OC 交MN ，延长OM 、ON 交于一点D ，∵∵△CMD=△DNO=90°， ∴△D=△D ，∴△CMD△△OND ，∴DM DN =DC DO ，即DM DC =DN DO , ∵△D=△D ，∴△DMN△△DCO ， ∴MN CO =DN OD， ∵sin△AON=DN OD ,∴sin△AON=MN CO, 即sin α=MN r,∴MN= rsinα ，故答案为：A.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan△ACB ＝y ，则x 与y 满足关系式（）A ．x ﹣y 2＝3B ．2x ﹣y 2＝6C ．3x ﹣y 2＝9D ．4x ﹣y 2＝12【答案】C【解析】过A 作AQ△BC 于Q ，过E 作EM△BC 于M ，连接DE ，∵BE 的垂直平分线交BC 于D ，BD=x ， ∴BD=DE=x ，∵AB=AC ，BC=8，tan△ACB=y ， ∴EM MC =AQCQ =y ，BQ=CQ=4， ∴AQ=4y ，∵AQ△BC ，EM△BC ， ∴AQ ∥EM ，∵E 为AC 中点，∴CM=QM=12CQ=2，∴EM=2y ，∴DM=8-2-x=6-x ，在Rt△EDM 中，由勾股定理得：x 2=（2y ）2+（6-x ）2，即3x -y 2=9. 故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，正方形网格中，点A ，O ，B ，E 均在格点上．△O 过点A ，E 且与AB 交于点C ，点D 是△O 上一点，则tan∠CDE = ．【答案】12【解析】由题意可得：△CDE ＝△EAC ，则tan△CDE ＝tan△EAC ＝BE AE =24=12．故答案为：12．12．如图，已知BD 是△ABC 的外接圆直径，且BD =13，tanA =512，则BC = ．【答案】5【解析】如图所示，连接C ，D ，由图可知 ∠A =∠D （同弧所对的圆周角相等），且 ∠BCD =90°（直径所对的圆周角等于90°），∵tanA =512，∴sinA =513，∴sinA =sinD =513，∴BC =BD ⋅sinD =13×513=5，故答案为：5．13．如图所示，在四边形 ABCD 中， ∠B =90° ， AB =2 ， CD =8 ， AC ⊥CD ，若 sin∠ACB =13，则 cos∠ADC = ．【答案】45【解析】∵∠B =90° ， sin∠ACB =13，∴AB AC =13 ，∵AB =2 ，∴AC =6 ，∵AC ⊥CD ，∴∠ACD =90° ，∴AD =√AC 2+CD 2=√62+82=10 ，∴cos∠ADC =DC AD =810=45． 14．如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin△CAM ＝ 35，则tan△B ＝．【答案】23【解析】Rt△AMC 中，sin△CAM=MC AM =35，设MC=3x ，AM=5x ，则AC= √AM 2−MC 2 =4x ． ∵M 是BC 的中点，∴BC=2MC=6x ．在Rt△ABC 中，tan△B= AC BC =4x 6x =23．故答案为 23.15．如图，在5×5的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点O ，则tan△AOC ＝ .【答案】12【解析】如图：将线段AB 向右平移至FD 处，使得点B 与点D 重合，连接CF ，∴△AOC ＝△FDC ，设正方形网格的边长为单位1，根据勾股定理可得：CF =√22+12=√5，CD =√42+22=2√5， DF =√32+42=5，∵(√5)2+(2√5)2=52， ∴CF 2+CD 2＝DF 2， ∴△FCD ＝90°，∴tan∠AOC =tan∠FDC =CF CD =√52√5=12.故答案为：12.16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选.如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图.经测量，车轮的直径为 66cm ，中轴轴心 C 到地面的距离 CF 为 33cm ，后轮中心 A 与中轴轴心 C 连线与车架中立管 BC 所成夹角 ∠ACB =72° ，后轮切地面 l 于点 D .为了使得车座 B 到地面的距离 BE 为 90cm ，应当将车架中立管 BC 的长设置为 cm .（参考数据: sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.1)【答案】60【解析】∵车轮的直径为 66cm ∴AD=33cm ∵CF=33cm ∴AC△DF∴EH=AD=33cm ∵BE△ED ∴BE△AC∵BH=BE -EH=90-33=57cm∴△sinACB=sin72°= BH BC =57BC=0.95∴BC=57÷0.95=60cm 故答案为60.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．求下列各式的值（1）sin45°cos45°+4tan30°sin60° ；（2）cos60°−2sin 245°+23tan60°−sin30° .【答案】（1）解： sin45°cos45°+4tan30°sin60°=√22×√22+4×√33×√32=12+2 =52. （2）解：cos60°−2sin 245°+23tan 260°−sin30° .=12 -2×(√22)2+23×(√3)2-12 =12-1+2-12 =1. 18．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度.如图所示，测得斜坡BE 的坡度i ＝1：4（即AB ：AE ＝1：4），坡底AE 的长为8米，在B 处测得树CD 顶部D 的仰角为30°，在E 处测得树CD 顶部D 的仰角为60°.（1）求AB的高；（2）求树高CD.（结果保留根号）【答案】（1）解：作BF△CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，∴CF=AB，∵斜坡BE的坡度i=1：4，坡底AE的长为8米，∴AB=2（米），（2）解：∵AB=2，∴CF=2，设DF=x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF=DF BF，则BF=DFtan30∘=√3x（米），在直角△DCE中，DC=x+CF=（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC=DC EC∴EC=√33(x+2)米.∵BF-CE=AE，即√3x−√33(x+2)=8.解得：x=4√3+1，则CD=4√3+1+2=(4√3+3)米.答：CD的高度是（(4√3+3)）米.19．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的斜角为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3厘米.（1）求BH的长；（2）木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1厘米）【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=10°，tan∠ABC=AC BC，则BC=ACtan∠ABC≈1.80.18=10(cm)，∴BH=BC−HC=7(cm)，（2）解：在 Rt △BPH 中， ∠ABC =10° ， tan∠ABC =PHBH，则 PH =BH ⋅tan∠ABC ≈7×0.18≈1.3(cm) ，答：木桩上升了大约 1.3 厘米.20．图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到与地面垂直的OM 位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（1）求AB 的长（精确到0.01米）；（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N 点运动到M 点的路径MN ⌢的长度．（结果保留π）【答案】（1）解：过B 作BE△AC 于E ，则AE=AC ﹣BD=0.66米﹣0.26米=0.4米，△AEB=90°，∴AB =AE sin∠ABE =0.4sin20°≈1.17（米）.（2）解：△MON=90°+20°=110°，∴弧MN 的长度是110π×0.8180=2245π米. 21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 DE 、箱长 BC 、拉杆 AB 的长度都相等，即 DE =BC =AB ，点 B ， F 在线段 AC 上，点 C 在 DE 上，支撑点 F 到箱底 C 的距离 FC =32cm ，CE ： CD =1 ： 5 ， DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，请根据以上信息，解决下列问题：（1）求水平滑杆 DE 的长度；（2）求拉杆端点 A 到水平滑杆 DE 的距离 ℎ 的值 ( 结果保留到 1cm).( 参考数据：sin50°≈0.77 ， cos50°≈0.64 ， tan50°≈1.19) . 【答案】（1）解： ∵DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，在 Rt △CDF 中， cos50°=CFCD，∴CD =CF cos50∘=320.64≈50(cm) ，∵CE ： CD =1 ： 5 ， ∴DE =60cm ；（2）解：如图，过A 作 AG ⊥ED ，交 ED 的延长线于G ，∵DE =BC =AB ， DE =60cm ， ∴AC =120cm ，在 Rt △ACG 中， sin∠DCF =AGAC，∴ℎ=AG =AC ⋅sin50°=120×0.77=92.4≈92(cm) .22．如图，在等腰三角形ABC 中，△ABC ＝90°，点D 为AC 边上的中点，过点D 作DE△DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F.（1）求证：DE ＝DF（2）若AE ＝4，FC ＝3，求cos△BEF 的值. 【答案】（1）证明：连接BD ，∵ △ABC=90°，D 为AC 边上的中点，∴AD=BD=CD ，△C=△A=△EBD=△FBD=45°，BD△AC ，∵DE△DF ，∴△EDF=△BDC=90°，∴△EDB=△CDF=90°-△BDF ， ∴△EDB△△FDC （ASA ）， ∴ DE=DF（2）解：∵ △EDB△△FDC ，CF =3， ∴ CF=BE=3，同理AE=BF=4，在Rt△EBF 中，由勾股定理得：EF=√32+42=5，∴ cos△BEF ＝BF EF =35.23．如图，AB 是△O 的直径，弦CD△AB 于点E ，点P 在△O 上，△1=△BCD ．（1）求证：CB△PD ；（2）若BC=3，sin△BPD= 35，求△O 的直径．【答案】（1）证明：∵△D=△1，△1=△BCD，∴△D=△BCD，∴CB△PD；（2）解：连接AC，∵AB是△O的直径，∴△ACB=90°，∵CD△AB，∴BD⌢= BC⌢，∴△BPD=△CAB，∴sin△CAB=sin△BPD= 3 5，即BCAB=35，∵BC=3，∴AB=5，即△O的直径是5．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC△AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作△Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF.（1）求线段AE的长；（2）若△ABE＝△FDE，求EF的值.（3）若AB﹣BO＝4，求tan△AFC的值.【答案】（1）解：∵点A（0，8），∴AO=8，∵点D是点C关于点A的对称点，∴AC=AD，∵AC△AB，∴BC=BD，∴∠C=∠ADB，∵以AD为直径作△Q交BD于点E，∴∠AED=90°，∴在△CAO和△DAE中，{∠COA=∠AED=90°∠C=∠ADBAC=AD∴△CAO≌△DAE(AAS)，∴AE=AO=8；（2）解：∵△ABE＝△FDE，∴AB ∥DF ，∴∠CAB =∠CDF ，又∵∠C =∠C ，∴△CAB ∽△CDF ，∴AB DF =AC CD =12， ∵△ABE ＝△FDE ，∠AEB =∠FED ， ∴△ABE ∽△FDE ，∴AE FE =AB DF =12，即8FE =12，解得△FE =16；（3）解：∵AB ﹣BO ＝4，即AB =BO +4， ∵∠AOB =90°，∴在RtΔABO 中，AO 2+OB 2=AB 2，即82+OB 2=(OB +4)2，解得△OB =6，AB =10，∵∠BEF =90°，∴BE =√AB 2−AE 2=√102−82=6， ∵∠AOB =∠BEF =90°，∠AFO =∠BFE ， ∴△AFO ∽△BFE ，∴AO BE =FO EF =86=43， ∴设EF =3x ，OF =4x ，∴BF =4x −6，∴在RtΔBEF 中，BE 2+EF 2=BF 2，即62+(3x)2=(4x −6)2，解得△x =487， ∴EF =3x =1447， ∴tan∠AFC =tan∠EFB =BE EF =61447=724.。

第一章：解直角三角形培优训练试题

第一章：解直角三角形培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC ＝5m ，坡面AB 的坡度为1：3，则AB 的长度为（） A ．10mB ．103mC ．5mD ．53m2.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为045，在点B 处测得树顶C 的仰角为060，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若m AB 16=，则这棵树CD 的高度是（） A ．()m 338-B ．()m 338+C ．()m 336-D ．()m 336+3．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（）A ．13132 B ．13133 C ．32 D ．35 4.如图，已知△ABC 内接于半径为1的⊙O ，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC 的面积的最大值为( ) A ．cos θ(1+cos θ) B ．cos θ(1+sin θ) C ．sin θ(1+sin θ) D ．sin θ(1+cos θ)5.在中，、均为锐角，且，则是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（）（精确到1m ．参考数据：，，，）A ．28mB ．34mC ．37mD ．46m7．如图，AB 是半圆的直径，ABC ∠的平分线分别交弦AC 和半圆于E 和D ，若2BE DE =，4AB =，则AE 长为（） A ．2B ．21+C ．6D ．4338．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（）米A ．5250600-B ．2503600-C ．3350350+D ．35009.如图，等腰△ABC 的面积为2，AB=AC ，BC=2.作AE ∥BC 且AE=BC.点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点.那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（） A ．3B ．3C ．32D ．410．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．有下列结论：①∠BAE ＝∠EAF ；②射线FE 是∠AFC 的角平分线；③CF ＝14CD ；④AF ＝AB +CF ．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图，在矩形ABCD 中，22==BC AB ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转，使得点B 落在边CD 上的点B '处，线段AB 扫过的面积为12．某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m ，当无人机飞行至A 处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m 到达B 处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m ．（参考数据：732.13≈，结果按四舍五八保留一位小数）13.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行m 30到达斜坡的底部点C 处，然后沿斜坡前行m 20到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为030，已知斜坡的斜面坡度3:1=i ，且点A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是．14．如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，点D 、E 分别在AC 、BC 上，点F 在△ABC 内．若四边形CDFE 是边长为2的正方形，则cos ∠ABF ＝15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA=16.如图．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，2BE=3CE ，过点D 作AE 的垂线交AB 于F ，点G 为垂足，若FG=3，则EG 的长为三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17．（本题6分）计算下列各式：（1）000030cos 45cos 60tan 30cos ⋅- （2）0002030sin 30tan 2345sin 260cos -+-18．（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连结EF ．（1）求证：∠1=∠F ．（2）若55sin =B ，52=EF ，求CD 的长．19（本题8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D 在边AC 上，且AD=2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，联结CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）求ECB ∠tan20.（本题10分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小明与同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i ＝1：3，AB ＝10米，AE ＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin53°≈54，cos53°≈53，tan53°≈34）（1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．（结果精确到0.1米）21．（本题10分）如图，“中国海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B 、C 两地相距120海里．（1）求出此时点A 到岛礁C 的距离；（2）若“中海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A ′时，测得点B 在A ′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）22．（本题12分）如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且OC EF //，连接OE ，CF 得四边形OCFE ．（1）求B 点坐标；（2）当tan ∠EOC=34时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F 的坐标；（3）当0＜tan ∠EOC ＜3时，对于每一个确定的tan ∠EOC 值，满足条件的四边形OCFE 有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan ∠EOC ．23（本题12分）．在△ABC 中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：△ABM ∽△BCN ；（2）如图2，P 是边BC 上一点，∠BAP=∠C ，tan ∠PAC =552 ，求C tan 的值；（3）如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE=AB ，∠DEB=90°，sin ∠BAC =53，52AC AD ，直接写出tan ∠CEB 的值．。

解直角三角形培优训练

1.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB ＝32，AC ＝23，则AB 的长是( ) A ．3＋ 3 B ．2＋23 C ．5 D.922.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD的长为( )A ．3 B.163 C.203 D.1653．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（） A ．247 B ．73C ．724D ．134.小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）A ．9米B ．28米C ．()37+米 D.()3214+米第1题第2题第3题5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC =53，则BC 的长是（） A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm6.如图，在△ABC 中，∠A ＝300，E 为AC 上一点，且AE ∶EC ＝3∶1，EF ⊥AB 于F ，连结FC ，则cot ∠CFB ＝（）A 、361 B 、321 C 、334 D 、341 BNACDM第5题第6题第7题 7.如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于A.43B.34C.53D.548.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．9.如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点ABCDαA （第8题）1l3l 2l 4lDCBA第4题CEAB D A BCD · ·MNα9题与B 点的距离为.第9题第10题第11题第12题 10.如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD=8，sin ∠CBD=3/4 ，AE 的长为 . 11.如图所示：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形。

第24章《解直角三角形》培优专题3：解直角三角形

同步练习1BAO同步练习2BAC同步练习3BAC同步练习4BAC同步练习5B AC第24章《解直角三角形》培优习题3：解直角三角形考点1：解直角三角形（纯数学问题）题型1：网格图中求锐角三角函数例1、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形上，AB 与CD相交于点O ，则AOD ∠tan 等于（）A 、21 B 、2 C 、1 D 、2【同步练习】1、在正方形网格中，AOB ∆如图放置，则=∠AOB tan （） A 、23 B 、32 C 、1333 D 、131322、如图，A 、B 、C 分别是小正方形的三个顶点，且每个小正方形的边长均为1，则BAC ∠sin 的值为（）A 、21B 、22C 、1D 、33、如图，在正方形网格中，已知ABC ∆的三个顶点均在格点上，则ACB ∠的正弦值为（） A 、2 B 、552 C 、55 D 、214、在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，ABC ∆的顶点都是格点，则BAC ∠sin 的值为（）A 、1053 B 、552 C 、2 D 、555、如图，ABC ∆的顶点是正方形网格的格点，则=A cos （） A 、21 B 、22 C 、23 D 、55 DBC AO例题2图E BD同步练习1ACBNCD 同步练习3MA 题型2：锐角三角形跨章节综合应用例2、如图，已知ABC Rt ∆的直角顶点A 落在x 轴上，点B 、C 在第一象限，点B 的坐标为（534，4），点D 、E 分别为边BC 、AB 的中点，且21tan =B ，反比例函数xky =的图象恰好经过D 、E ，则k 的值为（）A 、18B 、8C 、12D 、16【同步练习】1、如图，在四边形ABCD 中，︒=∠90DAB ，BC AD //，AD BC 21=，AC 与BD 交于点E ，BD AC ⊥，则BAC ∠tan 的值是（）A 、41 B 、42 C 、22 D 、312、已知ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，CD 是AB 边上的高，且5=AB ，54cos =A ，则CD 的长为（） A 、53 B 、54 C 、512 D 、516 3、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90A ，6=AB ，8=AC ，点D 为边BC 的中点，点M 为边AB 上的一动点，点N 为边AC 上的一动点，且︒=∠90MDN ，则DMN ∠sin 为（）A 、53 B 、54C 、55D 、510例3、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，点D 在BC 边上，︒=∠45ADC ，2=BD ，43tan =B .（1）求AC 和AB 的长；（2）求BAD ∠sin 的值。

解直角三角形培优

三角函数中考数学汇编（培优）1.（2014•孝感，第8题3分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交成的锐角为α，若AC =a ，BD =b ，则▱ABCD 的面积是（） =60°，点M 、N 分别在AB 、AD 边上，若AM ：MB =AN ：ND =1：2，则tan ∠MCN =（）3．（2014•浙江宁波，第17题4分）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出个这样的停车位．（≈1.4）4.（2014•泰州，第16题，3分）如图，正方向ABCD 的边长为3cm ，E 为CD边上一点，∠DAE =30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ．若PQ =AE ，则AP 等于cm． 5.（2014•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB =60°，点P 在边OA 上，OP =12，点M ，N 在边OB 上，PM =PN ，若MN =2，则OM =（）6．（2013湖北省鄂州市，7，3分）如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD=3：2，则tanB= 。

7.（2012福州,15，4分，）已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是，cosA 的值是 .（结果保留根号）8. （2012连云港，3，3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是。

9.（2012江苏泰州市，18,3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是．10. （2012浙江丽水4分，16题）如图，在直角梯形ABCD 中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF=120°.（1）当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________；（2）若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________.． absinα ． abcosα． B ． ﹣211.（2014•安徽省,第18题8分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．12. （2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．（第2题图）13.（2014•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．。

解直角三角形培优练习题(含答案)

l1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，那么AB的长为（）A．3sinαB．3cosαC．D．2．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=α，那么AD等于（）A．asin2αB．acos2αC．asinαcosαD．asinαtanα3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC边上一点，若tan∠DBA=，则tan∠CBD的值为（）A．B．C．1 D．（第3题）（第4题）（第8题）4．△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，∠C=90°，点C的坐标为（，﹣），则点B 的坐标是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0）5．等腰三角形的底角为30°，底边长为2，则腰长为（）A．4 B．2C．2 D．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=c，那么BC等于（）A．c•sinαB．c•cosαC．c•tanαD．c•cotα7．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b8．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为（）A．90m B．60m C．45m D．30m9．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，若AC=6米，则树高BC为（）A．6sinα米B．6tanα米C．米D．米10．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B．C．D．（第9题）（第10题）（第11题）11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD：AD的值为（）A．B．C．D．12．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD 的余弦值是（）A．B．C．D．（第12题）（第13题）（第14题）13．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上，若sin∠DFE=，则tan∠EBF的值为（）A．B．C．D．14．如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径是OA，点P是优弧上的一点，则tan∠APB的值是（）A．1 B．C．D．15．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为m（结果保留根号）．（第15题）（第17题）（第19题）16．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，如果BC=3，CD=2，那么cos∠DCB=．17．如图，将一副三角板按图中方式叠放，BC=4，那么BD=．18．△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，若a：c=，c=，则b=．19．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为．20．在Rt△ABC中，∠C=90°，在下列叙述中：①sinA+sinB＞1；②sin=；③=tanA，其中正确的结论是．（填序号）．21．在Rt△ABC中，∠c=90°．（1）已知∠a=60°，b=，求a、c；（2）已知c=，b=3，求a、A．22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°，求AB的长．（结果保留根号）24．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．25．如图，在△ABC中，sinB=，cosC=，AB=5，求△ABC的面积．26．阅读下列材料：题目：如图，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C=90°，AB=1，请用sinA、cosA表示sin2A．27．如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．28．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD 的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）29．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF=，求BE的长．30．如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．31．已知钝角三角形ABC，点D在BC的延长线上，连接AD，若∠DAB=90°，∠ACB=2∠D，AD=2，AC=，根据题意画出示意图，并求tanD的值．32．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD=5，sin∠ADC=．（1）求cos∠ABC的值；（2）如果边AB的中点为M，联结CM，交AD于点E，求线段AE的长．参考答案一．选择题（共11小题）1．D；2．C；3．B；4．D；5．C；6．A；7．A；8．B；9．B；10．D；11．C；二．填空题（共3小题）12．；13．2；14．6；。

解直角三角形(培优)

解直角三角形1．(2015·湖南省衡阳市,第1２题3分）如图,为了测得电视塔的高度AB，在Ｄ处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔ﻩﻩ顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进1０0米到达Ｆ处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位:米）为( ）.ﻩﻩﻩA． B.51 C.D．１012．（2０15•浙江滨州，第12题3分）如图,在x轴的上方,直角∠ＢOA绕原点Ｏ按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于Ｂ、A两点,则∠OＡB大小的变化趋势为( ）ﻩﻩA.逐渐变小ﻩB.逐渐变大C.时大时小ﻩD.保持不变3．如图，要在宽为2２米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角,路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DＯ与灯臂CＤ垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BＣ高度应该设计为( ）ﻩﻩ(3题) (4题)A．（11﹣2)米Ｂ.(11﹣2）米 C.(1１﹣２)米ﻩD．（1１﹣4)米4．（2０1５•山东日照 ,第１0题4分)如图,在直角ﻩＢAD 中,延长斜边BD 到点Ｃ，使ＤC ＝ＢD ，连接A Ｃ,若tanB =，则t ａｎﻩCA Ｄ的值（）ﻩﻩﻩA.ﻩ Ｂ.ﻩ C ．ﻩﻩD ．5.湖南路大桥于今年５月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度,在距桥塔ＡB 底部50米的Ｃ处,测得桥塔顶部Ａ的仰角为41．5°(如图).已知测量仪器CD 的高度为1米,则桥塔AB 的高度约为（）ﻩﻩ(6题)Ａ.３4米ﻩB.ﻩ38米ﻩC ． 45米ﻩD ．ﻩ5０米6.如图，斜面ＡＣ的坡度（ＣD 与ＡD 的比)为１：２，A Ｃ＝米,坡顶有一旗杆BC ,旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连,若AB ＝10米，则旗杆ＢC 的高度为( )ﻩﻩ A ．５米Ｂ.６米 C . ８米 D .米ﻩ二.填空题ﻩ 1. 如图，菱形ABCD 的边长为15，si ｎﻩBAC =,则对角线AC 的长为 . ﻩ(１题） (2题) (3题）（5题)2.如图,在等边ﻩＡBＣ内有一点D,AＤ=5，BＤ＝6，CD=4，将ﻩＡBＤ绕A点逆时针旋转,使AB与ＡC重合，点D旋转至点E,则ﻩＣDE的正切值为．ﻩﻩ3.（2015•广东广州,第15题３分)如图，ﻩABC中,ＤＥ是BC的垂直平分线,DE交AC于点E，连接BE.若BE＝9，ＢC=12，则ｃosC= .ﻩ4．在ﻩABC中，ﻩB＝30°,AB=１2,ＡC=6,则BC=.5．(2015•山东东营，第1４题３分)4月26日,2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道Ａ处的俯角为，B处的俯角为.如果此时直升机镜头C处的高度ＣD为２00米，点Ａ、D、Ｂ在同一直线上,则AB两点的距离是米．ﻩ6.（20１5湖北荆州第15题3分)15．如图，小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A 的仰角为3０°,然后向山脚直行１00米到达C处，再测得山顶A的仰角为4５°,那么山高A Ｄ为米(结果保留整数，测角仪忽略不计，≈１．414,,1.73２)ﻩ(6题)（7题）7．(201５•浙江宁波，第１6题4分)如图,在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的Ｃ处测得旗杆底端B的俯角为4５°,测得旗杆顶端A的仰角为3０°,若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆ＡB的高度是m（结果保留根号）三解答题1．如图,热气球的探测器显示,从热气球Ａ处看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底部C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离ＡD为1２0m.求这栋高楼的高度.（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆ＡB的高度,如图,老师测得升旗台前斜坡FＣ的坡比为ｉFC＝１：10（即EF:CＥ=1:10)，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即ＣE＝３5m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知taｎα=,升旗台高AF ＝１ｍ,小明身高CD=1.6m,请帮小明计算出旗杆AB的高度．ﻩﻩﻩ3．(2015·河南,第20题9分)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BＣ的高度，他们在斜坡上Ｄ出测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角ﻩFAE＝30°,求大树的高度. (结果保留整数,参考数据:siｎ4８°≈０.７4，coｓ48°≈0.67，tan48°≈１.11，3≈１.73)ﻩ4. 如图，海中一小岛上有一个观测点A,某天上午９:0０观测到某渔船在观测点A的西南方向上的Ｂ处跟踪鱼群由南向北匀速航行。

培优解直角三角形

1如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里／时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行．上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C处在D处的北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里／时，参考数据2≈1.41，3≈1.73）【答案】过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点F，过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点E．（如图）在Rt△CDF中，∠CDF＝30°∴CF＝1CD＝50海里2DF＝CD·cos∠CDF＝503海里∵CF⊥AF，EA⊥AF，BE⊥AE∴∠CEA＝∠EAF＝∠AFC＝90°∴四边形AECF是矩形∴AE＝CF＝50海里在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠EAB＝990°－45°＝45°∴BE＝AE＝50海里在矩形AECF中，CE＝AF，即CB＋BE＝AD＋DF∴CB＝AD＋DF－BE＝15×2＋503－50＝（50203-）海里（50203-）÷2＝253－10≈25×1.73－10≈33.3（海里／时）2 2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，测得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°，AD=4米.23题图23°60°38°AG FEDC B（1）求∠DAC 的度数；（2）求这棵大树折断前高是多少米？（注：结果精确到个位）（参考数据：2.4≈≈≈）【答案】解：（1）∠DAC=180°- ∠BAC - ∠GAE=180°-38°-（90°-23°）=75°；（2）过点A 作CD 的垂线，设垂足为H ，则Rt △ADH 中，DH=2，AH=Rt △ACH 中，∠C=45°，故CH=AH=AC=.故树高米.3 如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB 的坡比i （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，求高压电线杆CD 的高度（结1.732）.C第21题图【答案】如图：延长MA交CB于点 E. CD=DN+CN=DN+ME.在ABERt∆中，背水坡AB的坡比i=可知tan tan303ABE∠==，得030ABE∠=。

解直角三角形培优练习

解直角三角形例1.如图，在△ABC 中，∠B=45°，AD=5，AC=7，DC=3，求∠ADC 及AB 的长练一练：1．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ， cos ∠DCA=54，BC ＝10，则AB 的值是（） (A)3 (B)6 (C)8 (D)92．如图，在Rt △ABC 中，∠A = 900，A C = 6cm ，AB= 8cm ，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin ∠DBE 的值为( D ) (A)13 (B)3103.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB 上一点，且AE ：EB=4：1，EF ⊥AC ，F 为垂足，连结FB ，则tan ∠CFB 的值等于( ) （桂林市2008年中考题）4.如图，将较短边长AD=6cm 的矩形纸片折叠，使顶点C 恰好落在长边AB 上，则折痕L 的长度为（）5.如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DE ⊥AB ，DC=2，AC= ，∠DAE=60°，则DE=6.矩形ABCD 位于平面直角坐标系中，点A 与坐标系原点重合，边AB 与x 轴夹角为30°，AB=4，BC=3，则点B 坐标为，点C 坐标为BDCAA EB CD 19 ABDED C B()()()()3533533233D C B A A FE CB ()()()()ααααααα2sin cos 6tan 6cos sin 3sin cos 62∙∙∙DC B A A C例2.如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB ，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角 ∠ADC=60°，AD=4m （1）求∠CAE 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？例3.已知：如图，在山脚的A 处测得山顶D 的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到B 处（即∠BAC=30°，AB=400米），测得D 的仰角为60°，求山的高度CD ．练一练:1．如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AQ 延长线上B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上. （1）已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；（2）此时，在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 的长度。

专题24.5解直角三角形-2021-2022学年九年级数学上册尖子生培优题典(原卷版)

20212022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题24.5解直角三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•凉山州模拟）在△ABC 中，AC ≠BC ，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 垂足为D ，则下列比值中不等于sin A 的是（）A ．CD ACB ．BD CBC ．CBABD ．CD CB2．（2020•开平市二模）如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝1.5，BC ＝2，则cos B 的值是（）A ．23B ．32C ．34D ．433．（2021•衡水模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点（2，1），则cos α的值是（）A ．√55B ．12C ．2√55D ．24．（2020秋•兰陵县期末）如图，在给出网格中，小正方形的边长为1，点A ，B ，O 都在格点上，则cos ∠OAB ＝（）A ．√55B ．√510C ．2√55D ．125．（2021•雁塔区校级二模）如图，在△ABC 中，AB ＝10，cos ∠ABC =35，D 为BC 边上一点，且AD ＝AC ，若DC ＝4，则BD 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2017春•思明区校级月考）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，若∠BPC =12∠BAC ，则cos ∠BPC ＝（）A ．34B ．45C ．35D ．437．（2021•宜宾）如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD 、BE 的交点，若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是（）A ．12B ．2C ．√63D ．√648．（2020•安徽）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，∠DBC ＝∠A ．若AC ＝4，cos A =45，则BD 的长度为（）A ．94B ．125C ．154D ．49．（2021•黑龙江）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 的延长线上，连接CD ，若AB ＝2BD ，tan ∠BCD =23，则AC BC的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．3210．（2021•郫都区校级模拟）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，tan A =43，则CD 的值为（）A ．43B ．25C ．65D ．2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•崇明区期末）已知锐角△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，sin B =45，那么∠C ＝度．12．（2020秋•金山区期末）在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：√5，那么tan B＝．13．（2019•丹棱县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D，使AD＝AB，则tan75°的值是．14．（2021•滨湖区模拟）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是．15．（2020秋•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD=45，则边AB＝cm．16．（2020秋•南岗区校级月考）如图，AD为△ABC的角平分线，若∠C＝45°，tan∠B=17，△ABC的面积为4，则AD的长为．17．（2020•高密市二模）如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO=35，则点F的坐标是．18．（2020秋•闵行区期中）我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形，例如：在四边形PQMN 中，如果∠P＝∠Q＝100°，∠M＝60°，那么四边形PQMN是三等角四边形．请阅读以上定义，完成下列探究：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，cos B=13，如果点D在边AB上，AD＝6，点E在边AC上，四边形DBCE是三等角四边形，那么线段CE的长是．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2018秋•雨花区期末）根据下列条件，解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°．20．（2021•奉贤区二模）如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．（1）求sin∠ABE的值；（2）求点E到直线BC的距离．21．（2019秋•解放区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cos A=35，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．求：（1）线段CD的长；（2）cos∠ABE的值．22．（2020•静安区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B=23，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．23．（2021•上海模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cot B=32，BC＝10．（1）求AB的长；（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．24．（2021•青浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD的长；（2）求∠EBC的正切值．。

解直角三角形培优题.doc

- 1 -解直角三角形培优题1．（2010年长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．2．（2010年株洲）如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin 5B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ．（1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．3．（2010年湘潭）如图，我护航军舰在某海域航行到B 处时，灯塔A 在我军舰的北偏东60o的方向；我军舰从B 处向正东方向行驶1800米到达C 处，此时灯塔A 在我军舰的正北方向．求C 处与灯塔A 的距离（结果保留四个有效数字）．HEDCBA26 题图4.（2007年重庆）已知，如图：△ABC 是等腰直角三角形， ∠ABC ＝900，AB ＝10，D 为△ABC 外一点，边结AD 、BD ，过D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，交AC 于E 。

（1）若△ABD 是等边三角形，求DE 的长；（2）若BD ＝AB ，且43tan =∠HDB ，求DE 的长。

PDCBA东北60oACB- 2 -5．(兰州市2007年)兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD ＝14米，该河岸的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，岸高CF 为2米，在坡顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)6．（2007年鄂尔多斯市）如图，A B ，两镇相距60km ，小山C 在A 镇的北偏东60o方向，在B 镇的北偏西30o方向．经探测，发现小山C 周围20km 的圆形区域内储有大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房修路．现计划修筑连接A B ，两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？7.（2007年湖州）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。

第一章解直角三角形培优训练试题（含解析）

第一章：解直角三角形培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则B sin ==ABAC（） A ．53 B ．54 C ．73 D ．432.如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A 、B 在同一水平面上）．为了测量A 、B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地出发，垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A 、B 两地之间的距离为（）A ．800sin α米B ．800tan α米C ．αsin 80米 D ．αtan 800米 3.如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为（） A ．21B ．1C ．33D ．3 4.如图⊙A 过点()0,0O ，()0,3C， ()1,0D ，点是轴下方⊙A 上的一点，连接 BO ， BD ，则OBD ∠的度数是（）A. 015 B. 030 C.045 D. 0605.如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（） A ．βαtan tan B ．αβsin sin C ．βαsin sin D ．βαcos cos 6.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E 点处测得旗杆顶端的仰角058=∠AED ，升旗台底部到教学楼底部的距离7=DE 米，升旗台坡面CD 的坡度75.0:1=i ，坡长2=CD 米，若旗杆底部到坡面CD 的水平距离 1=BC 米，则旗杆AB 的高度约为（）（参考数据：85.058sin 0≈ ， 53.058cos 0≈，6.158tan 0≈） A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米7.如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数2214x x y -=刻画，斜坡可以用一次函数x y 21=刻画，下列结论错误的是（） A ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m B ．斜坡的坡度为1：2 C ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势 D ．小球落地点距O 点水平距离为7米 8.如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（） A ．21.7米 B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米9.如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋楼顶部B 的仰角为30°，看这栋楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC 为（） A ．160米B ．（60+1603）米C ．1603米D ．360米10.一艘在南北航线上的测量船，于A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C 点时，测得海岛B 在C 点的北偏东15°方向，那么海岛B 离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）A ．4.64海里B ．5.49海里C ．6.12海里D ．6.21海里二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图。

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一、选择题
1. 若∠α的余角是30°，则cos α的值是（） A 、
21 B 、23 C 、2
2 D 、 3
3 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin ∠ACD 的值为（）
A 、
35
B 、
5
5
2 C 、
2
5 D 、
3
2 3．如图所示，在数轴上点A 所表示的数x 的范围是（）
A 、
︒<<︒60sin 30sin 23
x B 、︒<<︒45cos 2
3
30cos x C 、︒<<︒45tan 30tan 2
3
x
D 、
︒<<︒60tan 45tan 2
3
x 4. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB=4，BC=5，则tan ∠AFE 的值为（）
A ．
43 B ． 35 C ． 34 D ．45
5. Rt △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于（）
A.cos sin a A b B +
B.sin sin a A b B +
C.sin sin a b A B +
D.cos sin a b A B
+
6. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（）
A.
43 B.34 C.53 D. 54
7. 如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=
4
3
，则△ABC 的面积为（） A
．
B ．15
C
．
D
．8. 如图，△ABC 中，cosB ＝
2
2
，sinC ＝53，则△ABC 的面积是（）
B
第2题
第4题
第6题 B
A
C D E 第7题
C 1(第13题)
B
A M
O
A ．
2
21
B ．12
C ．14
D ．21
9. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A =a
b ．则下列关系式中不成立．．．
的是（）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1
10. 在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则B sin 的值是（） A ．
1475 B ．53 C ．721 D ．14
21
二、填空题
11. 如图，为了测量河宽AB (假设河的两岸平行)，测得∠ACB ＝30°，∠ADB ＝60°，CD ＝60m ，则河宽AB 为 m (结果保留根号)． 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°后得到△AB 1C 1，B
1C 1交AC 于点D ，如果AD=则△ABC 的周长等于 .
13. 如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO
长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于_________． 14. △ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A ＝_ _________
15. 已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为 _______ 16. 如图，△ABC 的内心在y 轴上，点B 的坐标为（2,0），点C 的坐标为（0,2），直线AB
的解析式为1
12
y x =-，则tanA 的值是 .
第8题
第9题
第11题
第12题
第14题
A
(第17题)
17. 如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 .
三、解答题
18. 如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，⊿BCE 沿BE 折叠为
⊿BFE,点F 落在AD 上.(1)求证：⊿ABF ∽⊿DFE;(2)若sin ∠DFE=3
1
,
求tan ∠EBC 的值
19. 如图，直角梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠C =30°．折叠纸片使BC
经过点D ．点C 落在点E 处，BF 是折痕，且BF = CF =8．（l ）求∠BDF 的度数；（2）求AB 的长．
20. 今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A 点出发沿斜坡AB 到达B 点．再从B 点沿斜坡BC 到达山顶C 点，路线如图所示．斜坡AB 的长为1040米，斜坡BC 的长为400米，在C 点测得B 点的俯角为30°．已知A 点海拔121米．C 点海拔721米．
（1）求B 点的海拔；（2）求斜坡AB 的坡度．
21. 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°, ∠E =45°,∠A =60°,A C=10,试求CD 的长．
22. 某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A 到斜坡底C 的水平距离为8. 8m ．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m ，树影落在斜坡上的部分CD = 3.2m ．已知斜坡CD 的坡比i =1
AB 。

（结果保留整数，
1.7）
23. 已知R t △ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C(1,3)在反比例函数y=x
k
的图象上，且sin ∠BAC=
5
3。

（1）求k 的值和边AC 的长；（2）求点B 的坐标。

_A
25题。