函数的概念和图象(学生版)

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函数的概念及图像

函数的概念及图象一、知识要点概述(一)函数有关概念1、常量：在某一变化过程中保持不变的量．2、变量：在某一变化过程中可取不同数值的量．3、函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．4、函数的表示方法5、画函数图象的步骤：①列表；②描点；③连线，通常称为描点法．6、函数自变量的取值范围(二)平面直角坐标中点的坐标特征3、平行于坐标轴的直线上的点(1)平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；(2)平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同．4、对称点的坐标：(1)点P(a，b)关于x轴的对称点坐标是P(a，－b)即横坐标相同，纵坐标互为相反1数．(－a，b)即横坐标互为相反数，纵坐标相(2)点P(a，b)关于y轴的对称点坐标是P2同．(－a，－b)即横、纵坐标都互为相反数．(3)点P(a，b)关于原点的对称点坐标是P35、各象限角平分线上的点(1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等．(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．6、点与原点、坐标轴的距离(1)点P(a，b)与原点的距离是．(2)点P(a，b)与x轴的距离是|b|(即其纵坐标的绝对值)．(3)点P(a，b)与y轴的距离是|a|(即其横坐标的绝对值)二、典型例题剖析例1、现有点M(1＋a，2b－1)在第二象限，则点N(a－1，1－2b)在第________象限．分析：本题主要考查各象限内点的坐标符号特征．由于点M在第二象限，，所以N点在第三象限．解：三例2、若m为整数，点P(3m－9，3－3m)是第三象限的点，则P点的坐标是（）A．(－3，－3)B．(－3，－2)C．(－2，－2)D．(－2，－3)分析：根据第三象限点的符号特征，建立不等式组求出字母m的取值范围，再确定m的值，从而可得P点坐标．解：选A．例3、点A(1，m)在函数y=2x图象上，则点A关于y轴的对称点的坐标是(________，________)分析：把A(1，m)代入函数式y=2x中，求m=2，则A(1，2)，再根据对称点的符号规律求A点的对称点坐标．解：(－1，2)例4、已知P点关于x轴的对称点P1的坐标是(2，3)，那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（）A．(－3，－2)B．(2，－3)C．(－2，－3)D．(－2，3)分析：(2，3）关于x轴对称，故求P(2，－3)，∴点P(2，－3)关于原点对称由点P与P1的点坐标易求．解：选D．例5、已知两圆的圆心都在x轴上，A、B为两圆的交点，若点A的坐标为(1，－1)，则点B的坐标为（）A．(1，1)B．(－1，－1)C．(－1，1)D．无法求出分析：由于圆是轴对称图形，故两圆的两个交点A，B关于x轴对称．解：选A．例6、下列各组的两个函数是同一函数吗？为什么？(1)y=x和(2)y=πx2和S=πr2(其中x≥0，r≥0)(3)y=x＋2和分析：判断两个函数是否为同一函数：①要判断两个函数的自变量取值范围是否相同；②要判断自变量与函数的对应规律是否完全相同．解：(1)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x≠0的实数；(2)是同一函数，因为它们的自变量的取值范围相同，而且自变量与函数的对应规律完全相同；(3)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x≥－2．例7、在函数中自变量x的取值范围是________．分析：求函数式中自变量的取值范围的一般思路是：①函数解析式中的分母不能为0；②偶次根式的被开方数应为非负数；③零指幂和负整指数幂的底数不能为0．此题中，自变量x应满足解：x≥－1且x≠2．例8、等腰△ABC周长为10cm，底边BC长为y cm，腰长AB为x cm．(1)求出y与x的函数关系式；(2)求x的取值范围；(3)求y的取值范围；(4)画出此函数的图象．分析：要求y与x的函数关系，关键是找出y与x之间的等量关系，确定x的取值范围应从边长为正数和三角形三边关系方面入手．画函数的图象应按列表、描点、连线的步骤进行，同时应注意自变量的取值范围对图象的影响．解：(1)∵△ABC的周长为10，∴2x＋y=10，∴y=10－2x．．(3)由解之得0＜y＜5．(4)函数的图象如图所示．点评：求实际问题中的函数关系式应标明自变量的取值范围，画有自变量取值范围的函数图象时应注意端点处是实心点还是空心圆圈．。

5.1函数的概念和图象(第1课时函数的概念)课件高一上学期数学(1)

苏教版数学必修第一册
【课标要求】1.会用集合语言和对应关系刻画函数.2.理解函数的概念，了解构成函数的要素.3.会求简单函数的定义域与值域.
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 函数的概念
概念
给定两个非空实数集合和，如果按照某种对应关系，对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一的实数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数
跟踪训练1（1）下列图形中不是函数图象的是( )
A
A. B. C. D.
（2）下列各组函数表示同一个函数的是( )
BCD
D
C
4
5
6
7
7
6
4
5
3
4
5
6
4
6
5
4
C
A.3 B.4 C.5 D.7
BCD
1
2
3
4
5
2
3
4
2
3
BCD
A.2 B.3 C.4 D.5
（1）函数的表示：与用哪个字母表示无关；
（2）解析式的化简：在化简解析式时，必须是等价变形.
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数的概念
例1（1）下列各组函数是同一个函数的是( )
C
规律方法 1.判断一个对应关系是否为函数的方法
2.判断两个函数是否为同一个函数的注意点（1）先求定义域，定义域不同则不是同一个函数; （2）若定义域相同，再看对应关系是否相同.
0
2
B
4.（多选题）下列四个对应关系，构成函数的是( )
AD
A. B. C. D.
4
（1）求函数的定义域；
B层能力提升练

八年级第十七章《函数及其图象》知识点

.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。

2022新高考数学高频考点题型归纳11函数图像(学生版)

专题11函数图像一、关键能力1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题. 二、教学建议1．学生应掌握图象的平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；2．函数图象的应用很广泛，研究函数的性质、解决方程解的个数、不等式的解等都离不开函数的图象，对图象的控制能力往往决定着对函数的学习效果．3．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．三、自主梳理 1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―——————―→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――——————―→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――——————→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――——————―→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )―――——————→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ⑥y ＝f (x )――——————―→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)翻折变换（☆☆☆）①y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)；②y ＝f (x )――――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|．(4)伸缩变换①y ＝f (x ) 至 y ＝f (ax )．②y ＝f (x ) 至 y ＝af (x )．――——————―——————―→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变四、高频考点+重点题型考点一、作图例1-1（対称、翻折、分段作图）画下列函数图像 (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝x 2－2|x |－1;例1-2.（平移作图）(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝x ＋2x －1．例1-3（周期、类周期函数作图）定义函数f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--2,)2(2121|,23|84x x f x x 则函数g (x )＝xf (x )－6在区间[1，2n ](n ∈N *)内所有零点的和为( )A ．nB ．2n C.34(2n －1) D.32(2n －1)对点训练1．已知函数()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤，则下列图象错误的是（）A ．()y f x =的图象：B ．()1y f x =-的图象：C ．()y fx =的图象：D ．()y f x =-的图象：对点训练2.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数的定义域为R ，满足，且当时，．若对任意，都有，则m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．考点二、识图例1-1.（由解析式选图像）【2020·天津卷】函数241xy x =+的图象大致为（）()f x (1) 2 ()f x f x +=(0,1]x ∈()(1)f x x x =-(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦A BC D例2-2．（由图像选解析式）（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =-- C ．()()y f x g x = D ．()()g x y f x =例2-3.（实际应用识图像）在2 h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是( )例2-4（两个函数图像对比）在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是()对点训练1.函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()对点训练2．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A．y＝||2xexB．y＝2(1)||xx exC ．y ＝|2|xe xD ．y ＝22xe x对点训练3.（2020·江西临川一中模拟）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O ，O 1，O 2，若一动点P 从点A 出发，按路线A →O →B →C →A →D →B 运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，设P 的运动路程为x ，y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象为( )对点训练4.（2021·四川高三三模（理））函数()()log a f x x b =--及()g x bx a =+，则()y f x =及y g x 的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．考点三、利用图像解不等式例3-1（转化为两个图像的上下方）【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞例3-2（图像在x 轴的上下方）函数f (x )是定义域为(－∞，0)∈(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，若x ·[f (x )－f (－x )]<0，则x 的取值范围为________．对点训练1.（2021·浙江高三专题练习）若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦对点训练2.函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为________．考点四、利用图像求解方程问题例4-1.（方程根的个数）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.例4-2．已知12,x x 是方程x2210,log 10x x x +=+=的两个根，则12x x +=对点训练1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f （x －1），x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)对点训练2.若满足225xx +=, 满足()222log 15x x +-=, 则+＝考点五、利用图像研究函数性质例5-1.（利用图像研究单调性）1x 2x 1x 2x已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)例5-2（利用图像研究函数最值或值域）对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值 _．对点训练1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是_____．对点训练2.（2020·全国高三其他（文））已知函数在区间的值域为，则（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8()()()22241x x f x x x ee x --=--++[]1,5-[],m M m M +=巩固训练一、单项选择题1．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为________． A. 4 B. 3 C. 2 D. 62.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A.{x |－1＜x ≤0} B.{x |－1≤x ≤1} C.{x |－1＜x ≤1} D.{x |－1＜x ≤2}3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．4.（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数()f x 与()g x 的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）A ．(())y f g x =B ．()()y f x g x =C ．(())y g f x =D ．()()f x yg x =5.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题7．设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（）A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．8．观察相关的函数图象，对下列命题的真假情况进行判断，其中真命题为（）A ．10x ＝x 有实数解B ．10x ＝x 2有实数解C ．10x >x 2在x ∈(0，＋∞)上恒成立D ．10x ＝－x 有两个相异实数解．三、填空题9．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．10．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x （x >0），－－x （x ≤0）与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是________．四、解答题11．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0．(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．12．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．。

(数学说课稿)函数的概念和图象说课稿

函数的概念和图象说课稿一．本课贯彻的教学理念老师作为课堂的支架，让同学学习函数的过程成为在老师指导下让同学在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新制造函数概念的过程。

本堂课的教学过程是呈现同学学习行为的过程，是让同学的思维得到呈现的过程。

二．说教材1．教材分析函数一章在高中数学中，起着承上启下的作用，函数的思想贯穿高中数学的始终，学好这章不仅在学问方面，更重要的是在函数的思想、方法方面，将会让同学在今后的学习、工作和生活中受益无穷。

本小节介绍了函数概念和图象，我将本小节分为两课时，第一课时完成函数概念的教学，其次课时完成函数图象的教学。

这里我仅谈函数概念的教学。

函数的概念局部用三个实际例子设计数学情境，让同学探寻变量和变量的对应关系，结合学校学习的函数理论，在集合论的根底上，促使同学建构出函数的概念，体验结合旧学问，探究新学问，争辩新问题的欢快。

2．教学目标〔1〕学问目标1理解函数的概念，同学理解把怎样的对应关系才能称为函数；2理解函数定义域和值域的概念，并会求一些简洁函数的定义域。

〔2〕力量目标由实际问题动身，培育同学探究学问和抽象概括学问等方面的力量。

〔3〕情感目标通过对函数概念形成的探究过程培育同学发觉问题，探究问题，不断超越的创新品质3．教学重点和难点教学重点：对函数的概念的理解是重点。

本课通过同学对函数概念的建构过程和生疏稳固过程突出本课重点。

教学难点：从主观学问抽象成为客观概念是本课的难点。

本课通过老师创设多个教学情境，组织开展同学活动，老师作为同学活动的支架，解决本课的教学难点。

三．说教法曹一鸣博士认为：“突破教学模式，实现无模式教学，才是数学开展所追求的崇高境界。

〞在本课中，老师在教学过程中接受设问、引导、启发、发觉的方法，并机敏应用多媒体手段，以同学为主体，创设和谐、愉悦互动的环境，组织同学自主、合作的探究活动，引导同学探究新学问。

四．说学法首先，同学通过争辩老师在课堂上供应的实例和提出的问题，开放分析和争辩，发表个人的见解，接下来接受同学评价同学的方法提炼问题的中心思想。

2.1.1 函数的概念和图象(一)

2.1.1 函数的概念和图象（一）一、教学目标1．知识与技能（1）能利用集合与对应关系的语言来刻画函数（2）了解函数的定义域及对应法则的含义2．过程与方法经历函数概念的发生过程，并归纳函数的概念，提高学生解决问题的能力和语言表达能力．3．情感、态度与价值观在探索函数本质的过程中,体会函数是刻画现实世界中的一类运动变化规律的模型,使学生养成运用无限运动、发展、变化的观点认识客观世界的思维习惯．二、重点难点教学重点：利用集合与对应关系的语言来刻画函数教学难点：对应法则f的理解三、教学过程（一）创设情境我们生活在这个世界上，每时每刻都在感受其变化．请大家看下面的实例：（1）一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，炮弹距地面高度h（米）随时间t（秒）的变化而变化，其规律是2=-．1305h t t（2）近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积随时间变化而变化情况．（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低．从下表中的数据，可以看出“八五”计划以来我们城镇居民的生活质量发生了显著的变化．（二）讲解新课问题1：在上面的每一个变化过程中，存在哪些变化的量？这些变化过程有什么共同的特点？问题2：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？每一个问题均涉及两个非空数集A、B的关系．存在某种对应法则f，对于A 中的某个元素x，B中总有一个元素y与之对应．问题4：如何理解对应法则f ？问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？给出函数的定义．指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素．一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合A 中的每一个元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y和它对应，这样的对应叫做从A到 B的一个函数，通常记为y＝f (x)，x ∈A．其中，所有的输入值 x组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域．函数的近代定义：集合语言、对应的观点．在掌握函数时，必须把握以下几点：（1）函数是一种特殊的对应f：BA→，集合A，B是非空的数的集合．（2）对应法则的方向是从A到B．（3）特别注意“非空”、“数集”、“每一个”、“惟一”这几个关键词．例1 判断下列对应是否为集合A到 B的函数：（1）A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛0，2，4，6，8｝， x ∈A，f：x→2x；（2）A＝R，B＝R，x ∈A，f：x → y ，y＝x；（3）A＝[0，＋∞)，B＝R，x ∈A，f：x → y ，y2＝x．解（1）对于集合A中的元素5，在集合B找不到中所对应的元素10，故这个对应不是从集合A到 B的函数；（2）对于任意一个实数x，x被x惟一确定，所以这个对应是从集合A到 B 的函数，这个函数也可以表示为 f (x)＝x；（3）考虑输入值为4，即当x＝4 时输出值y，由y2＝4给出，得y＝2和 y ＝－2．这里一个输入值与两个输入值对应（不是单值对应），所以，x → y（y2＝x）不是函数．研究函数时，除了符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号表示．例2 已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)．分析求x分别等于3、-2、a、a+1时函数f(x)的值．解 f(3)=3×32-5×3+2=14，f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52，f(a)=3a2-5a+2，f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a．说明：区别符号f(x)和f(a)，f(a)表示x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是一个函数．（三）课堂小结1．函数的集合观点的概念及其与初中的定义的区别.2．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的抽象的数学表示，f是对应法则，它可以是解析式，也可以是图象、表格．（四）课后作业P24练习Ex 5，6；P28习题 1，2，5．。

3.1 函数的概念及其表示(学生版)

第三章《函数概念与性质》3.1函数的概念及其表示【知识梳理】知识点一函数的有关概念函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A定义域x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间概念(a ，b 为实数，且aa }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )知识点四函数的表示方法知识点五分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【基础自测】1．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()A．1B．0C．－1D．22．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x＋2B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x－1D．f(x)＝3x＋43．函数y＝x1＋x的大致图象是()4．函数y＝6－x|x|－4的定义域用区间表示为________．5．已知f (n )－3，n ≥10，n ＋5)，n <10，则f (8)＝________.【例题详解】一、函数关系的判断例1(1)下列各式中，表示y 是x 的函数的有（）①()3y x x =--；②y =；③1,01,0x x y x x -≤⎧=⎨+≥⎩；④1,0,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(2)设{|04}M x x =≤≤，{|40}N y y =-≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则()f x 的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．跟踪训练1下列对应中：（1）x y →，其中{}21,1,2,3,4y x x =+∈，{}10,y x x x N ∈<∈；（2）x y →，其中2y x =，[)0,x ∈+∞，R y ∈；（3）x y →，其中y 为不大于x 的最大整数，x R ∈，y Z ∈；（4）x y →，其中1y x =-，*x ∈N ，*y N ∈.其中，是函数的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（3）（4）二、求函数的定义域、函数值命题角度1求函数的定义域例2(1)函数y =）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．][(),31,-∞-⋃+∞D ．][(),13,∞∞--⋃+(2)已知函数()1f x +的定义域为[1,7]，则函数()(2)h x f x =）A ．[4,16]B ．(,1][3,)-∞⋃+∞C ．[1,3]D ．[3,4]跟踪训练2(1)函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞B ．(,3)(3,3)-∞--C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞(2)已知函数()f x ，则函数()()13y f x f x =--的定义域为（）A ．()2,11B ．()2,13C ．()2,15D ．()4,11命题角度2求函数值例3(1)已知函数()1f x x x=+，则()()1010f f -+的值是（）．A ．20-B ．0C ．1D ．20(2)已知2211x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则(3)f =_________．跟踪训练3(1)已知定义域为R 的函数()23f x x =-，()3g x x =，则()()1f g -=________.(2)已知函数3()3=+++cf x ax bx x，若()4f t =，则()f t -=（）A ．4-B ．2-C ．2D ．0三、同一个函数的判定例4(1)下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩B ．()f x =()g x x=C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()f x =，()g x 跟踪训练4和函数2()f x x =是同一函数的是（）A ．2()(1)f x x =+B ．()f x x =C ．3()x f x x=D ．(){,0,(0)()x x x x x x f x -≤>=四、求函数解析式命题角度1换元法例5(1)已知1111f x x⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()f x =________________．(2)若函数11x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x =____________．跟踪训练5(1)已知21,1x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭求()f x =____________．(2)已知()21232f x x x +=++，求()f x 的解析式．命题角度2配凑法例6(1)若1)f x +=+，则()f x 的解析式为（）A ．2()f x x x =-B ．2()1(0)f x x x =-≥C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()f x x x=+(2)已知3311()f x x x x+=+，则()f x =_____.(3)已知f (x －1x )＝x 2＋21x ，则f （x +1x）＝________.跟踪训练6(1)已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x .(2)已知22111(x x f x x x++=+，求()f x 的解析式.命题角度3待定系数法例7(1)已知f （x ）是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+，求f （x ）.(2)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 解析式.跟踪训练7(1)已知()f x 是一次函数，且()332f x x -=-，求()f x ．(2)已知一次函数()f x 满足()()312237f x f x x =+--+，求函数()f x 的解析式．(3)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+=+，求函数()f x 的解析式．命题角度4构造方程组法例8(1)若函数()f x 满足()1221f x f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()2f =（）A ．13-B ．23C ．83D ．12(2)已知()f x 满足()()23f x f x x +-=，求()f x 的解析式.跟踪训练8(1)已知()1221f x f x x ⎛⎫⎪⎝=⎭+-+，求函数()f x 的解析式．(2)已知2()2()f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式.五、函数的图象例9作出下列函数的图象.(1)1({21012})y x x =-∈--,,,,；(2)211x y x +=-；(3)2|2|1y x x =-+．(4)已知函数()22,23,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩.(i)在所给坐标系中作出()y f x =的简图；(ii)解不等式()12f x <.跟踪训练9作出函数()|2||5|f x x x =+--的图像．六、分段函数求值例10(1)已知函数()21,0x x f x x ⎧-≤⎪=>，若()3f a =，则a 的值为（）AB ．2C ．9D ．-2或9(2)已知函数()f x 的解析式22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，(i)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(ii)若()2f a =，求a 的值；跟踪训练10(1)已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （）A ．12-B ．0C ．1D ．2(2)已知函数()223,11,1111,1x x f x x x x x⎧⎪+<-⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩.(i)求((2))f f -的值；(ii)若()032f x =，求0x 的值.七、解分段函数不等式例11(1)已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()()2,00,2-⋃D ．()()2,02,-+∞ (2)设函数()22,,,.x x a f x x x a ⎧<=⎨≥⎩若()11>f ，则a 的取值范围为______．跟踪训练11(1)已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩,则使得()1f x ≥的x 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞(2)已知函数242,1()23,1x x x f x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则满足不等式()()21f a f a <+的a 的取值范围是___________.八、分段函数的实际应用例12某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产()*Nx x ∈百台，需另投入生产成本()R x 万元．当年产量不足46百台时，()23260R x x x =+；当年产量不小于46百台时，()4900501483020R x x x =+-+．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．跟踪训练12电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产x 万件该电子元件，需另投入成本()f x 万元，且2132,04,4()64938,420.x x x f x x x x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完．(1)求该电子厂这种电子元件的利润y （万元）与生产量x （万件）的函数关系式；(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值．【课堂巩固】1．（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是（）A ．B ．C ．D ．2．（多选）下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（）A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数3．若函数()f x =()21f x -的定义域为（）A ．()0,2B ．[)(]2,00,2-U C ．[]22-,D ．[]0,24．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．()f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与()211x g x x -=-C ．()xfx x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()1f t t =-与()1g x x =-5．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞ D ．()(),31,3-∞- 6．（多选）下列选项中正确的有（）A ．2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数B ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-≤⎩表示同一函数C ．函数()y f x =的图象与直线2x =的交点最多有1个D ．若()|||1|f x x x =--，则102f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7．（多选）已知函数25,1(),12x x f x x x +<-⎧=⎨-<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．()11f -=D ．若()3f x =，则x8．（多选）已知函数()35,0,1,0,x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若()()2f f a =，则实数a 的值为（）A ．2-B ．43-C ．-1D ．19．求函数()f x +=______________________10．已知函数()f x 是一次函数且(())2()2f f x f x x +=--，则函数()f x 的解析式为_________．11．若()211f x x -=+，则()0f =____________，()f x =_____________.12．已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.13．设函数21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩，则(3)f -=________.14．已知函数()(4),f x x x x R =-∈.（1）把函数()f x 写成分段函数的形式；（2）在给定的坐标系内作函数()f x 的图象.15．已知函数()2,0,2,0,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩解不等式2()f x x ≤16．已知函数f (x )＝222x x x +⎧⎪⎨⎪⎩(1)(12)(2)x x x ≤--<<≥(1)求{}f f f ⎡⎤⎣⎦的值；(2)求()3f a =，求a 的值；(3)画出函数的图像．【课时作业】1．下列函数中，相同的一组是（）A．y =2y =B．y =，y =C ．21y x =+，4211x y x -=-D ．21y x =-，4211x y x -=+2．已知函数)22f x +=+，则()f x 的最小值是（）A ．1-B ．2C ．1D ．03．设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（）A ．()111x xx +-≠B ．()111x xx +-≠C ．()111xxx +≠--D ．()211xx x ≠-+4．已知一次函数()f x 满足(2)2(21)94f x f x x +-+=--，则()f x 解折式为（）A ．()24f x x =--B ．()23f x x =-+C ．()34=+f x x D ．()32f x x =-+5．一次函数()f x 满足：()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=，则()1f =()A ．1B ．2C ．3D ．56．设22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.若()3f x =，则x 的值为（）.A ．1BC．D ．327．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为（）A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝213x －4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋38．已知函数2,(){2,0x x f x x x +≤=-+>，则不等式2()f x x ≥的解集是（）A ．[1,1]-B ．[2,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]-9．（多选）若函数()()221120x f x x x--=≠，则下列结论正确的是（）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()()()2411f x x x =≠-D ．()221411x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-（0x ≠且1x ≠）10．（多选）已知函数2+2,<1()=+3,1x x f x x x -≥⎧⎨⎩，则（）A ．3f f ⎡⎤=⎣⎦B ．若()1f x =-，则=2x 或3x =-C ．()2f x <的解集为()(),01,-∞⋃+∞D ．x ∀∈R ，()a f x >，则3a ≥11．若函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则函数()()g x f x =______．12．已知集合0|A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，2|0,1x B x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，则A B = ________.13．已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________14．若一次函数()f x 满足：对任意x 都有()()221221xf x f x x x ++=++，则()f x 的解析式为______________．15．已知函数24,0(),0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，若()4f m =，则m =___________．16．设1,()2(1),1,x f x x x <<=-≥⎪⎩若()(1)f a f a =+，则()f a =________．17．设定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()g x =___________.18．已知()1,11x x f xx +≤⎧⎪=>，若()()1f x f x >+，则x 的取值范围是___________.19．求下列函数的定义域(1)y ；(2)y =(3)y x x=-（0a >）.20．根据下列条件，求()f x 的解析式.(1)已知)225fx =+(2)已知()()2232f x f x x x+-=-(3)已知()f x 是二次函数，且满足()()()01,12f f x f x x=+-=21．已知函数()()211x x f x x -=-；(1)作出该函数的图象；(2)写出该函数的值域．22．已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩(1)求()()1f f 的值；(2)若()2f a =，求a 的值；(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数()f x 的定义域和值域．。

八年级数学寒假班讲义二1讲：一次函数概念及其图像学生版

，n= 时为正比例函数；
当m
，n=
时为一次函数．
12．直线 y=2x-1 与 x 轴的交点坐标是____________;与 y 轴的交点坐标是_____________.
13．已知点 A 坐标为(-1,-2),B 点坐标为(1,-1),C 点坐标为(5,1),其中在直线 y=-x+6 上的点有____________.在直线
A.y1 >y2
B.y1 =y2
C.y1 <y2
D.不能比较
【练习】 1．如果直线 y=kx+b 经过一、二、四象限，
那么有（
）
A．k＞0，b＞0； B．k＞0，b＜0；
C．k < 0，b＜0； D．k ＜0，b＞0
2．已知一次函数 y 2 k x 3 的图像经过第一、二、四象限，则实数 k 的取值范围是
.
11.已知函数 y = (m－3)x－2. (1) 当 m___________时,y 随 x 的增大而增大. (2) 当 m___________时,y 随 x 的增大而减小.
12．如果一次函数 y (2 3k)x (k 1) 的函数值 y 随 x 的值的增大而减小，且这个函数的图像不经过第二象限，
那么 k 的取值范围是
13．直线 y 3 1 x 与 x 轴的交点坐标为 ________，与 y 轴的交点为 ______ 2
14．对于一次函数 y=2x+1,y 随着 x 的增大而
.
15．如果直线 y＝2x＋m 不经过第二象限，那么实数 m 的取值范围是
____
16．若一次函数 y (2 m)x m 的图象经过第一、二、四象限，则 m 的取值范围是________________

第六章函数的概念和图象

第六章函数的概念和图象一、内容综述：1．函数的有关概念：一般地，设在某变化过程中有两个变量x，y。

如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量,y叫因变量。

对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：（1）我们是在某一变化过程中研究两个变量的函数关系，在不同研究过程中，变量与常量是可以相互转换的，即常量和变量是对某一过程来说的，是相对的。

（2）对于变量x允许取的每一个值，合在一起组成了x的取值范围。

（3）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。

2.函数值与函数值有关的问题可以转化为求代数式的值。

二、例题分析：例1．判断y=x与y=是否是同一函数。

解：∵ y==|x|当x≥0时，y=x,当x<0时, y=-x.∴ y=x与y=不是同一函数。

说明：虽然这两个函数的自变量取值范围都是全体实数，但当x<0时，两个函数的对应关系不同（如当x=-2时，y=x=-2, 而y==2）, 所以它们不是同一个函数。

例2．不画图象，求函数y=-x+的图象上一点P，使点P到x轴，y轴的距离相等。

解：当点P在第一，三象限内，依题意，设P(a,a)∴ a=-a+解得：a=1.当点P在第二，四象限内，设P（b,-b）∴ -b=-b+解得：b=-3,∴点P坐标为（1，1）或（-3，3）。

说明：由点P到x轴、y轴的距离相等知点P在各象限角平分线上，由于第一，三象限角平分线上的点M（x,y）满足x=y的关系，而第二，四象限角平分线上的点N（x,y）满足x=-y的关系，所以可根据点P的位置特点来设点P的坐标，通过此例训练分类讨论思想。

例3.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每辆一次0.3元. 若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；分析：由一般车辆停放次数x表示变速停放的辆次数，由保管费列出函数关系再化简，但要在函数式后注明自变量x的取值范围。

函数的概念和图象

口琴和弹吉它，那把重音口琴，给我的朋友固定在一个金属架子上，这架子可以套在头上，这架子一旦套在头上，正好能让嘴够着，这样一来两只手就给腾了出来。他就这样一边吹口琴一边弹吉它，是什么曲子，记不清了，是一首一首连着吹下去，是时下的，摇滚的，热烈的，有那么点热烈
的不着边际，是没有内容的热烈，这可能就是中国九十年代摇滚的特征。吉它的声音混着口琴的声音让我再也捕捉不到以往那种感觉。忽然，我的朋友换了花样，节奏一下子大变，是：“鸣哇哇——鸣哇哇——鸣哇哇——”我忽然忍不住乐了，那个渐渐远去的时代，忽然一晃，就像门口那个
一种乐器，但它可以算是喜剧性的。但它又根本无法和锣鼓相比，锣鼓算乐器吗?当然算，锣鼓其实也是一种难以确定性格的乐器，但它出现在喜庆的场面太多了，所以，锣鼓一响起来，人们就兴奋了，这是历史的潜移默化。在中国，死人而敲锣打鼓是没有的事，喜庆的日子又离不开它，它
? 中国的乐器里，最不可思议的是埙，它在你耳边吹响，你却会觉得很远，它在很远的地方吹动，你又会觉得它很近。这是一种以韵取胜的乐器。是一种事不关己高高挂起超然独行的性格，世上的事都和它好像没有一点点关系，它是在梦境里的音韵，眼
到一个抽象的角落里让你去做具象的想象。琵琶也是这样。《十面埋伏》这支曲子里就有马在不停地奔跑，雨也在曲子里下着，云在曲子里黑着，有火在曲子里惨淡地红着。琵琶、古筝都是这样的大角色演员。而古琴和箫却是极孤独而不合群的避世者，别的乐器是声，而箫和古琴却是韵，需
要更大的耐性去领略，需要想象的合作，不是铺排得很满，而是残缺的，像马远的山水，再好，只是那么一个角落，树也是一棵两棵地吝啬在那里半死不活，需要读它的人用想象和它进行一种合作。听箫曲和古琴曲要闭上眼睛，要让自己暂时离开柴米油盐的现实，饿着肚子和有着强烈的肉欲
(5)

2.1 函数及其表示(新授学生版)

1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．2．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(k∈Z)；(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋π2(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)映射是特殊的函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()1．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为()A ．[32，＋∞)B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．[32，3)∪(3，＋∞)D ．(3，＋∞)2．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是()A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x3＋1C ．y ＝x2x＋1D ．y ＝x2＋14．已知f (1x)＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________．题型一函数的概念例1有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝1(x ≥0)－1(x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则0))21((=f f 其中正确判断的序号是________．(1)下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例2(1)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是________引申探究本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域为________________．命题点2已知函数的定义域求参数范围例3(1)若函数f (x )＝2221x ax a +--的定义域为R ，则a 的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．(1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1,1)B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)(2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)题型三求函数解析式例4(1)已知函数f (x －1)＝11x ，则函数f (x )的解析式为.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )；(3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )．2．分类讨论思想在函数中的应用典例(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________．(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.1．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝2x－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z2．(2015·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为() A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x4．(2015·陕西)设f (x )＝1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于()A ．－1 B.14C.12D.325．(2016·安徽六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为()A ．－2B ．2C ．－2或2D.2*6.(2016·唐山期末)已知f (x )＝(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)7．(2016·济南模拟)已知函数f(1－x1＋x)＝x，则f(2)＝________.8．设函数f(x)＝113e,1,,1,x xx x-⎧<⎪⎨⎪⎩≥则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________________．9．(2015·浙江)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg(x2＋1)，x＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．*10.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________．①[－x ]＝－[x ]；②x －1<[x ]≤x ；③∀x ，y ∈R ，[x ]＋[y ]≤[x ＋y ]；④∀x ≥0，y ≥0，[xy ]≤[x ][y ]；⑤离实数x 最近的整数是－[－x ＋12]．11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．12．已知f(x)＝f(x＋1)，－2<x<0，2x＋1，0≤x＜2，x2－1，x≥2.(1)求f(－32)的值；(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．。

函数的概念与图象(第一课时)高一数学同步精品课件(苏教版2019必修第一册)

C.x|12≤x<1或x>1 D.x|－1≤x≤12或x>1 (2)已知函数 f(x＋2)的定义域为(－2，0)，则函数 f(2x－2)的定义域为( )
A.(0，2)
B.－12，12
C.(1，2)
D.－12，0
解析 (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足2x2x－－11≠≥00，，解得xx≥ ≠12±，1，即 x≥12且 x≠1，故选 C. (2)由题意知－2<x<0，∴0<x＋2<2，即f(x)的定义域为(0，2)，∴0<2x－2<2，解得1<x<2.故f(2x－2)的定义域是(1，2). 答案 (1)C (2)C
【训练3】求下列函数的值域： (1)f(x)＝x2＋2x＋3，x∈{－1，0，1，2}； (2)f(x)＝x2＋2x＋3. 解 (1)∵函数定义域为{－1，0，1，2}， f(x)＝(x＋1)2＋2. ∴f(－1)＝2，f(0)＝3，f(1)＝6，f(2)＝11， ∴函数f(x)的值域为{2，3，6，11}. (2)f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， ∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋2≥2，∴f(x)的值域为[2，＋∞).
题型一函数关系的判断角度1 由定义判断是否为函数【例1－1】判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数.
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
二、课堂检测 1.下表表示函数y＝f(x)的x与y的所有对应值，则此函数的定义域为( )
X
－1
0

专题二次函数的概念、图像与基本性质(学生版)

1专题23二次函数的概念、图像与基本性质题型一二次函数的定义1．如果函数22(2)27my m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是()A ．2m =±B ．2m =C ．2m =-D ．m 为全体实数2．下列函数中是二次函数的是()A ．222(1)2y x x =--B ．235s t t =--+C ．2y ax bx c=++D ．22y x x -=-3．函数||1(1)55m y m x x +=++-是二次函数，则m =．4．已知函数22()(1)22y m m x m x m =-+-+-．（1）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围．（2）若这个函数是一次函数，求m 的值．（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？5．在函数①2y ax bx c =++，②22(1)y x x =--，③2255y x x=-，④22y x =-+中，y 关于x 的二次函数是．（填写序号）2题型二二次函数的图像与性质6．二次函数241y x x =++的图象的对称轴是()A ．2x =B ．4x =C ．2x =-D ．4x =-7．抛物线22(1)6y x =-+的顶点坐标是()A ．(2,6)B ．(1,6)C ．(2,1)D ．(1,6)-8．如果0a <，0b >，0c >，那么二次函数2y ax bx c =++的图象大致是()A ．B ．C ．D ．9．对于二次函数22(3)y x =-+的图象，下列说法正确的是()A ．开口向上B ．对称轴是直线3x =-C ．当4x >-时，y 随x 的增大而减小D ．顶点坐标为(2,3)--10．已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是22(0)y ax x c a =-+≠上的两点，则下列命题正确的是()A ．若120x x >>时，12y y c >>，则开口一定向下B ．若120x x <<时，12y y c >>，则开口一定向上C ．若120x x >>时，12y c y >>，则开口一定向上D ．若120x x <<时，12y y c >>，则开口一定向下11．在平面直角坐标系中，抛物线22221y x mx m m =-+++的顶点一定不在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是()A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c -+<D ．240b ac -<313．已知函数2|3|y x =-的大致图像如图所示，如果方程2|3|(x m m -=为实数）有4个不相等的实数根，则m 的取值范围是．14．若直线(y b b =为实数）与函数2|43|y x x =-+的图象至少有三个公共点，则实数b 的取值范围是()A ．01b 的图象过1(3,)A y -，2(1,)B y -，3(2,)C y ，4(4,)D y 四个点，下列说法一定正确的是()A ．若120y y >，则340y y >B ．若140y y >，则230y y >C ．若240y y <，则130y y <D ．若340y y <，则120y y <17．若点1(1,)A y -，2(2,)B y ，3(3,)C y 在抛物线228y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是()A ．321y y y <的图象经过点(1,)A p -，(3,)B q ，且p q <，则m 的取值范围是()A ．1m - B ．1m <C ．11m -< D ．1m >19．若二次函数2||y a x bx c =++的图象过不同的五点(,)A m n ，(3,)B m n -，1(0,)C y，D 2)y ，3(2,)E y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是()A ．123y y y <，则12y y >B ．若122x x +<，则12y y >C ．若122x x +>-，则12y y >D ．若122x x +<-，则12y y <421．在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的图象如图所示．已知A 点坐标为(1,1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ⋯，依次进行下去，则点99A的坐标为．题型三函数图像的平移、对称22．将抛物线22(1)3y x =--向右移动2个单位，再向下移动3个单位，得到的抛物线的解析式为()A ．22(1)y x =+B ．22(1)6y x =+-C ．22(3)y x =-D ．22(3)6y x =--23．把二次函数23y x =的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的图象的解析式为()A ．23(3)5y x =-+B ．23(3)5y x =++C ．23(3)5y x =--D ．23(3)5y x =+-24．在平面直角坐标系中，抛物线(2)(4)y x x =+-经变换后得到抛物线(2)(4)y x x =-+，则下列变换正确的是()A ．向左平移6个单位B ．向右平移6个单位C ．向左平移2个单位D ．向右平移2个单位25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线213y x =经过平移得到抛物线2y ax bx =+，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为23，则a 、b 的值分别为()A ．13，43B ．13，23-C ．13，43-D ．13-，43526．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为28y x x m =++，则m 的值为()A ．13-或19-B ．13-或19C ．13或19D ．13或19-27．在同一平面直角坐标系中，若抛物线2(22)69y x m n x n =--+-+与22(5)y x m n x m =+-+关于x 轴对称，则22m n +的值为()A ．13B ．18C ．24D ．3628．已知一个二次函数的图象经过点(2,2)，顶点为(1,1)--，将该函数图象向右平移，当他再次经过点(2,2)时，所得抛物线表达式为()A ．21(5)13y x =--+B ．21(5)13y x =--C ．21(4)103y x =+-D ．23(7)1y x =--29．关于抛物线21(1)y x =+与22(1)y x =-，下列说法不正确的是()A ．图象1y 与2y 的开口方向相同B ．1y 与2y 的图象关于y 轴对称C ．图象2y 向左平移2个单位可得到1y 的图象D ．图象1y 绕原点旋转180︒可得到2y 的图象30．如图，已知点(3,0)A ，(1,0)B ，两点(3,9)C -，(2,4)D 在抛物线2y x =上，向左或向右平移抛物线后，C ，D 的对应点分别为C '，D '．当四边形ABC D ''的周长最小时，抛物线的解析式为．。

苏教版高中数学必修第一册函数的概念和图象(第1课时) 课件1

()
A.[－1，9]
B.[－3，7]
C.[－2，1]
D.－2，12
解析 ∵函数y＝f(x－1)的定义域为[－2，3]，
∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为[－3，2].
∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤12. 即函数 f(2x＋1)的定义域为－2，12. 答案 D
5.1 函数的概念和图象（第 1课时）
1．函数的概念
一般地，给定两个非空实数集合
A和
函数的定义
B，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中唯一
的
每一个实数x
，在集合 B 中都有
的实数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A
到集合 B 的一个函数
函数的记法
从集合 A 到集合 B 的一个函数通常记为 ___y_＝__f_(x_)_，__x_∈__A____
(4)f(x)＝
xx2和g(x)＝
x x2.
[解析] (1)因为yБайду номын сангаасx－1定义域为R，
函数y＝xx2＋－11定义域为{x|x≠－1，x∈R}，
定义域不相同，故不是同一函数．
(2)y＝x0定义域为{x|x≠0，x∈R}，
函数y＝1定义域为R，
定义域不相同，故不是同一函数．
(3)函数f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2对应法则不一致，故不是
函数的定义域函数的值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的x (输入值)组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的_每__一__个_ x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，则将 _所___有__输__出__值__y_组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域

函数的概念和图象(2)_韦余玲

2.1.1函数的概念和图象（2）教学背景：1．面向学生：高中2．学科：数学教材分析:函数一章在高中数学中，起着承上启下的作用，函数的思想贯穿高中数学的始终，学好这章不仅在知识方面，更重要的是在函数的思想、方法方面，将会让学生在今后的学习、工作和生活中受益无穷。

本小节介绍了函数概念和图象，我将本小节分为两课时，第一课时完成函数概念的教学，第二课时完成函数图象的教学。

这里我仅谈函数概念的教学。

函数的概念部分用三个实际例子设计数学情境，让学生探寻变量和变量的对应关系，结合初中学习的函数理论，在集合论的基础上，促使学生建构出函数的概念，体验结合旧知识，探索新知识，研究新问题的快乐。

教学目标：1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重、难点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学方法：采用设问、引导、启发、发现的方法，并灵活应用多媒体手段，以学生为主体，创设和谐、愉悦互动的环境，组织学生自主、合作的探究活动，引导学生探索新知识。

教学过程：一、问题情境1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？二、学生活动1．理解函数的值域的概念；2．能利用观察法求简单函数的值域；3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．三、数学建构1．函数的值域：（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集．2．x→ g(x)⇒ f(x) → f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；四、数学运用（一）例题．例1已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．例2根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．（1）x∈{－1，0，1，2，3}；（2）x∈R；（3）x∈[－1，3]；（4）x∈(－1，2]；（5）x∈(－1，1)．例3求下列函数的值域：①y＝；②y．例4已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．（二）练习．（1）求下列函数的值域：①y＝2－x2；②y＝3－|x|．（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．（4）已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．五、回顾小结函数的对应本质，函数的定义域与值域；利用分解的思想研究复合函数．六、作业课本P31-5，8，9．教学反思：在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，还可以让学生先复习初中学习过的函数概念，并用课件进行模拟实验，画出某一具体函数的图像，在函数的图像上任取一点P，测出点P的坐标，观察点P 的坐标横坐标与纵坐标的变化规律。

函数的性质(学生版)

函数的性质（一）函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么①f(x1)－f(x2)x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；f(x1)－f(x2)x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．两条结论知能梳理(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．（二）函数的奇偶性（1）奇、偶函数的概念如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．（2）奇、偶函数的性质奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．（三）函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x ＝a对称．若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b －a)为周期的周期函数．(2)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f(x)或f(x＋a)＝－1f(x)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.考向一函数的单调性的判断【例1】►试讨论函数f(x)＝xx2＋1的单调性．[审题视点] 可采用定义法或导数法判断．判断(或证明)函数单调性的主要方法有：(1)函数单调性的定义；(2)观察函数的图象；(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则；(4)利用函数的导数等．精讲精练【训练1】讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．考向二利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)【例2】►已知函数f(x)＝x2＋ax(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围．已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．【训练2】函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )．A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3考向三利用函数的单调性求最值【例3】►已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2 3 .(1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[审题视点] 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形．对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等．【训练3】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性； (3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．【如何解不等式恒成立问题】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．考向四判断函数的奇偶性【例1】►下列函数：①f (x )＝ 1－x 2＋ x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)； ④f (x )＝3x －3－x 2；⑤f (x )＝lg 1－x1＋x .其中奇函数的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数的定义域；(2)证明f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立；或者通过举反例证明以上两式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断．【训练1】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (2)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.考向五函数奇偶性的应用【例2】►已知f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)证明：f (x )＞0.根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．【训练2】已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围．考向六函数的奇偶性与周期性【例3】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．【训练3】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为( )．A．－1 B．1 C．0 D．无法计算【如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题】设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．【试一试】已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )． A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)双基自测1．设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )＜0的解集为( )． A ．(－2,0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)2．(2011·湖南)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)3．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______． 5．若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．6．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )．A.－12B.－14C.14D.127．(2012·福州一中月考)f (x )＝1x －x 的图象关于( )． A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称8．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数9．(2011·福建)对于函数f(x)＝a sin x＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )．A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和210．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.。

高中数学_函数的概念(学生版)

函数的概念知识图谱函数的概念与表示知识精讲一.函数的定义1.传统定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.2.现代定义：设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任何一个数x ，按照某个确定的法则f ，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作()y f x =，x A ∈.其中x 叫做自变量，x 的取值集合A 叫做这个函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){,}y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．二.区间的概念及表示设 , a b ∈R ，且a b <.则 , a b 可以作为端点表示一个区间，区间的长度为b a -.如图所示，其中符号+∞读作“正无穷大”，符号-∞读作“负无穷大”,用,+∞-∞作为区间的一端或两端的区间成为无穷区间.含义名称符号图形表示{|}x a x b≤≤闭区间[,]a b{|}x a x b<<开区间(,)a b{|}x a x b≤<左闭右开区间[,)a b{|}x a x b<≤左开右闭区间(,]a b{|}x x a≥左闭右开区间[,)a+∞{|}x x a>开区间(,)a+∞{|}x x a≤左开右闭区间(,]a-∞{|}x x a<开区间(,)a-∞R开区间(,)-∞+∞数轴上所有点三.映射与函数1.映射的定义设,A B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x.于是()y f x=，x称作y的原象.映射f也可记为：: A Bf→，()x f x→.其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象()f x构成的集合叫做映射f的值域，通常记作()f A.2.一一映射如果映射f是从集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.3.函数与映射的关系（1）映射中的集合可以是数集，也可以是点集或其他集合.例如映射可以是人到物品或者人到成绩的对应关系，函数只能是数字之间的对应关系.映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，是建立在两个非空数集上的映射.（2）在映射:f A B→中：①集合A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的；②不要求集合B中的每一个元素都有原象，即B中可能有些元素不是集合A中的象，且集合B中的象在A中对应的原象不唯一.若映射是一个函数，则要求集合B中的每一个元素都有原象；（3）映射中的“对应”包括“一对一”和“多对一”，但不包括“一对多”和“多对多”.四.函数的表示方法1.列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．2.图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(,())x f x 作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{(,)|(),}F P x y y f x x A ==∈．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．3.解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．五.复合函数1.定义如果y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即(),()y f u u g x ==，那么y 关于x 的函数[()]y f g x =叫做复合函数，u 叫做中间变量．如函数21(0,1)x y a a a +=>≠且可以看成是由指数函数(0,1)u y a a a =>≠且和二次函数21u x =+复合而成的．三点剖析一.注意事项1.函数()y f x =，f 代表此函数的对应法则，也可用其他字母表示，如“()y g x =”.2.符号∞不是一个数，而是一个变化趋势.二.方法点拨1.相同函数的判定函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域()f A 和对应法则f .当函数的定义域A 及对应法则f 确定之后，函数的值域()f A 也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域A 和对应法则f 都分别相同时，这两个函数才是同一个函数；定义域不同而解析式相同的函数要看做是不同的函数.另外，要理解(),()y f x x A =∈的意义，对应法则与我们选择表示自变量的字母没有关系，例如2()f x x =与2()f t t =等都表示同一函数.函数及区间的概念例题1、下列四种说法中，不正确的是（）A.函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D.若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素例题2、用区间表示下列集合：1{|}x x >-=__________．{5|2}x x <≤=__________．3{|}x x ≤-=__________．4{|2}x x ≤≤=__________．3{|0x x -≤<,或24}x ≤<__________．例题3、如图，可表示函数y ＝f （x ）的图象的可能是（）A. B. C. D.随练1、下列四个图象中，不是函数图象的是（）A.B.C.D.判断同一函数例题1、下列函数中哪个与函数y x =相等（）A.2(y x = B.33y x= C.2y x= D.2x y x=例题2、下列各组函数表示同一函数的是（）A.293x y x -=-与y =x +3B.21y x =-与y =x -1C.y =x 0（x ≠0）与y =1（x ≠0）D.y =2x +1，x ∈Z 与y =2x -1，x ∈Z例题3、下列各组函数中，表示同一组函数的是（）A.f （x ）＝x －2，21()31x g x x -=-- B.f （x ）＝x ，2()(g x x =C.2()f x x =g （x ）＝x D.f （t ）＝|t －1|，1,1()1,1x x g x x x -≥⎧=⎨-+<⎩随练1、下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）A.()-1f x x =与()221x x x g -+= B.()f x x =与()2g x x x=C.()f x x =与()33g x x =D.()242x x x f --=与()2g x x =+随练2、下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.f （x ）=2x ，g （x ）=x ）2B.f （x ）=（x -1）0，g （x ）=1C.f （x ）=211x x --，g （x ）=x +1D.f （x ）2x ，g （t ）=|t |映射与函数例题1、设A 到B 的函数2:(1)f x y x →=-，若集合{0,1,2}A =，则集合B 不可能是（）A.{0,1}B.[0,1,2]C.{0,1,2}-D.{0,1,1}-例题2、给出下列四个对应：如图，其构成映射的是（）A.只有①②B.只有①④C.只有①③④D.只有③④例题3、下列从集合A 到集合B 的对应中，是映射的是（）A.A ＝{0，3}，B ＝{0，1}；f ：x→y ＝2xB.A ＝{－2，0，2}，B ＝{4}；f ：x→y ＝|x|＋1C.A ＝R ，B ＝{y|y ＞0}；f ：14x y x →=D.A ＝R ，B ＝R ；f ：x→y ＝－x ＋1随练1、已知集合A 到B 的映射31f x y x →=+：，若B 中的一个元素为7，则对应的A 中原像为（）A.22B.17C.7D.2函数的表示方法例题1、如果函数f x g x （），（）分别由下表给出x 123f （x ）132x 123g （x ）321则1g （）的值为，[]1f g （）的值为．例题2、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）A.y=[10x ]B.y=[310x +]C.y=[410x +]D.y=[510x +]例题3、如图，在△AOB 中，点A （2，1），B （3，0），点E 在射线OB 上自O 开始移动，设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积S ，则函数S ＝f （x ）的图象是（）A.B.C.D.随练1、如图，等腰梯形的下底边AB =2，上底边CD =1，两腰AD =BC =1，动点P 从点B 开始沿着边BC ，CD 与DA 运动，记动点P 的轨迹长度为x ，将点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为（）A. B. C. D.随练2、某工厂8年来某产品产量y 与时间t 年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是．函数的定义域知识精讲一．函数定义域的三种类型解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含以下几种类型：1．自然型：指使函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围.2．限制型：指命题的条件或人为对自变量x 的限制，这是函数学习中重点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；3．实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义．二．具体函数的定义域1．如果()f x 是整式，则()f x 的定义域就是实数集R ；2．如果()f x 是分式，则要求分母不为0；3．如果是()f x 的偶次根式，即形如())*2n f x n N ∈时，则要求()0f x ≥；4.0y x =的定义域是{}0x x ≠；5．如果()f x 是由多项构成的，那么函数的定义域是每项都有意义的x 的集合．三．抽象函数的定义域抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数．求抽象函数的定义域有以下四种基本题型：1．已知()f x 的定义域为A ，求[()]f g x 的定义域.由()g x A ∈解出x 的范围，即为[()]f g x 的定义域.2．已知[()]f g x 的定义域为A ，求()f x 的定义域.()f x 的定义域就是()g x 的值域，其中x A ∈.3．已知[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由[()]f g x 定义域求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域求得[()]f h x 的定义域．4．已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．三点剖析一．注意事项1.当函数()y f x =用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合.2.当函数()y f x =用图象给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合.3．定义域不同，而对应法则相同的函数，是两个不同的函数．4．若未加以特别说明，函数的定义域是指使这个式子有意义的所有x 的集合，在实际问题中，还必须考虑x 所代表的具体量的取值范围．具体函数的定义域例题1、已知函数229xy x -=-，其定义域为（）A.(-),2∞ B.(-],2∞C.()-(,3]--3,2∞⋃ D.[)(2,33),⋃+∞例题2、函数23x x x f =-（）的定义域为（）A.[0,3]2 B.[0]3， C.[30]-， D.03（，）例题3、函数1y x x =-+）A.{}1|x x ≤B.{}0|x x ≥C.{1|x x ≥或0}x ≤D.{}1|0x x ≤≤随练1、（2014四川雅安重点中学高一上期末模拟）函数f （x ）=1x ++12x-的定义域为____。

函数的基本性质 (学生版)

函数的基本性质一.考点，难点，热点；1．函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}． 5．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 6．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .(3)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .结论M 为最大值M 为最小值7．函数的奇偶性奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数,关于y 轴对称奇函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数,关于原点对称 8.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、典型例题考点一：函数的定义域、解析式及图像1、函数21x f (x )e -=的部分图象大致是2、函数()2lg 212x y x x=++-的定义域是（）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭3、已知函数2()4f x x =-,()y g x =是定义在R 上的奇函数,当0x >时,2()log g x x =,则函数()()f x g x ⋅的大致图象为4、函数y =lg1|1|x +|的大致图象为考点二：函数的奇偶性与周期性、对称性1、已知函数()f x 是R 上的奇函数,若对于0x ≥,都有()2()f x f x +=,[)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时,()()20132012f f -+的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．22、已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3),(1)f x f x f y f x ++==-的图象关于点(1,0)对称,则(2013)f =（）A ．10B ．5-C ．5D ．03、已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+,且(1)f x +为偶函数,则实数a 的值可以是（）A ．23B ．2C ．4D ．64、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当x >0时,()12x f x -=-,则不等式()f x <12-的解集是（）A ．(),1-∞-B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞5、已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,2()21,(log 12)x f x f =-则=A.13B ．43C ．2D ．11三、课堂实战1、函数2ln ||x y x x=+的图象大致为2、已知函数1()()2x xf x e e -=-, 则()f x 的图象（）A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．关于直线y x =对称3、函数y =2x-2x 的图像大致是4、已知函数()2x f x e =-,2()45g x x x =-+-.若有()()f b g a =,则a 的取值范围为（） A ．(1,3)B ．(22,22)-+C ．[22,22]-+D ．[2,3] 5、已知函数()f x 的定义域为[3,6],则函数12(2)log (2)f x y x =-的定义域为（）A ．3[,)2+∞ B ．3[,2)2C ．3(,)2+∞D ．1[,2)26、已知奇函数3(0),()()(0),x a x f x g x x ⎧+=⎨⎩≥＜则(2)g -的值为__________.7、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x,则2(1log 5)f +的值为___________;8、奇函数)(x f y =满足1)3(=f ,且)3()()4(f x f x f -=-,则)2(f 等于（）A ．0B ．1C ．21－D ．21 9、对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、已知定义在R 上的函数()f x ,对任意x R ∈,都有()()()63f x f x f +=+成立,若函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称,则()2013f = （）A ．0B ．2013C ．3D ．2013-11、已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．912、下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是（）A ．3x y =B ．1||+=x yC ．12+-=x y D ．||2x y -=13、下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是（）A ．xx f 1)(=B ．x x f -=)( C ．x x x f 22)(-=-D ．x x f tan )(-=14、定义在R 上的偶函数()f x 满足:对任意1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠都有2121()()0f x f x x x -<-,则有（）A ．(3)(2)(1)f f f <-时()f x 是单调函数,则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为( ) （）A ．3-B ．3C ．8-D ．817、已知函数()f x 是R 上的偶函数,若对于0≥x ,都有)()2(x f x f =+,且当)2,0[∈x 时,)1(log )(2+=x x f ,则)2012()2011(f f +-的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．218、设奇函数错误！未找到引用源。

12函数的概念和图象

DC§1．2函数的概念和图象【复习要点】1．了解函数的概念、构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域和解析式 2．掌握函数的表示方法图像法、列表法、解析法表示函数． 3．掌握函数的图象特征及其变换方法．【知识整理】1．函数的概念： 2．函数的表示方法：①列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法②图像法：如果图形F 是函数y ＝f (x )的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.③如果在函数y ＝f (x )(x ∈A )中，y ＝f (x )是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法 3．函数的图象特征及其变换方法：①与x 轴垂直的直线至多与函数的曲线有一个交点②讨论分别用x －a ,y －b ，分别替换函数y ＝f (x )中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？ ③讨论分别用x -，y -分别替换函数y ＝f (x )中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？ ④讨论分别用|x |，|f (x )|分别替换函数y ＝f (x )中的x ,f (x )以后函数的图像会发生哪些变化？【基础训练】1．设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，给出的下列四个图形中，能表示定义域为M ，值域为N 的函数关系的是（）2．若f (x )的定义域为[0，1]，则f (x ＋2)的定义域为（）A/[0，1]B ．[2，3]C ．[－2，－1]D ．无法确定3．如下图可作为函数)(x f =的图像的是( )D4．直角梯形OABC中AB∥OC、AB=1、OC=BC=2直线txl=:截该梯形所得位于l则函数S= f(t)的图像大致为（）（A）（B）（C）（D）5．1)(2++=xxxf，则)2(f= _________；=)1(af________=))2((ff_________. 6．xxxf2)12(2-=+，则)2(f= _________.7．函数y=x－1,x∈Z,且x∈［－1,4］，则此函数的值域为__________.8．求函数的解析式①若f(2x－1)＝x2，求f(x)②若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)③若一次函数f(x)满足f(f(x))＝1＋2x，求f(x)【例题选讲】1．下列各组的两个函数中：（1）3)5)(3(1+-+=xxxy与52-=xy；（2）111-+=xxy与)1)(1(2-+=xxy；（3）xxf=)(与2)(xxg=；（4）xxf=)(与33)(xxg=；（5）21)52()(-=xxf与52)(2-=xxf．其中是同一函数的是_____________．2．若等式f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)对一切实数都成立且f (0)＝1，则f (x )＝_________。

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第一课时函数的概念和图象（1）
1．函数的定义：设,A B 是两个数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的元素x ，在集合B 中都有的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为．其中输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，所有输出值y 的取值集合叫做函数()y f x =的值域。

【精典范例】
例1：判断下列对应是否为函数：
（1）;,,Z y R x x y y x ∈∈→的最大整数，
为不大于其中
（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈；
（3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，
{|03}y y y ∈≤≤；
（4）1
6x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，
{|03}y y y ∈≤≤．
点评:判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：“非空”、“每一个”、“惟一”。

例2：求下列函数的定义域：
（1）；24
)(++=x x x f
（2）131-+--x x ；
（3
）1
()2f x x =-．
点评: 求函数()y f x =的定义域时通常有以
下几种情况： ①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ； ②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； ③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。

例3：比较下列两个函数的定义域与值域：（1）f(x)=(x+2)2+1，x ∈{－1,0,1,2,3}；（2）2()(1)1f x x =-+．点评:对应法则相同的函数，不一定是相同的函数。

追踪训练一 1. 对于集合{|06}A x x =≤≤，{|03}B y y =≤≤，有下列从A 到B 的三个对应：①12x y x →= ；②13x y x →=；③x y x →=；其中是从A 到B 的函数的对应的序号为； 2. 函数3()|1|2f x x =+-的定义域为 _______________________ 3. 函数f(x)=x －1（x z ∈且[1,4]x ∈-）的值域为．一、求函数值例4: 已知函数()|1|1f x x =--的定义域为 {2,1,0,1,2,3,4}--，求(1),((1))f f f --的值．分析：求((1))f f -的值，即当(1)x f =-时，求()f x 的值。

二．求函数的定义域例5．求函数1()11f x x =+的定义域。

追踪训练二
1．若2()(1)1,{1,0,1,2,3}f x x x =-+∈-，则
((0))f f = ；
2
．函数()f x = ；
3．已知函数()y f x =的定义域为[－2，3]，则函数(1)f x +的定义域为．
1．函数的图象：将函数()f x 自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x ，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．
2．函数()y f x =的图象与其定义域、值域的对应关系：函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合对应着函数的定义域，在y 轴上的射影构成的集合对应着函数的值域．
【精典范例】
例1：画出下列函数的图象：
（1）()1f x x =+；
（2）2()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈；
（3）5y x =，{1,2,3,4}x ∈；
（4
）()f x =
例2：画出函数2()1f x x =+的图象，并根据
图象回答下列问题：
（1）比较(2),(1),(3)f f f -的大小；
（2）若120x x <<（或120x x <<，或
12||||x x <）比较1()f x 与2()f x 的大小；
（3）分别写出函数2()1f x x =+（(1,2]x ∈-）， 2()1f x x =+（(1,2]x ∈）的值域．点评: 函数的图象能形象地反映函数的性质（定义域、值域、函数值的变化趋势等）．追踪训练一 1．根据例1（2）中的图象可知，函数 2()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈的值域为； 2. 直线1x =与抛物线21y x =+的交点有个；直线()x a a R =∈与抛物线21y x =+的交点可能有个； 3. 函数()f x x =与2()x g x x =的图象相同吗？答：．【选修延伸】一、函数值域例4: 已知函数2361y x x =-+，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域：（1）[1,2]x ∈-；（2）[4,0]x ∈-；（3）[2,5]x ∈．例5．集合{(,)|()P x y y f x x R ==∈与集合{|(),Q y y f x x R ==∈相同吗？请说明理由． 1．已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<+)1(,)1(-1,)1(322x x x x x ，x (1)画出函数图象； (2)求f{f[f(－2)]} (3)求当f(x)= －7时，x 的值；。