2019高中数学第三章3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案 新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案 新人教A 版选修2-21．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．基础梳理1．复数的加法与减法．(1)复数的加、减法法则．(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ．即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．(2)复数加法的运算律．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．2．复数加、减法的几何意义．复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线．(1)复数加法的几何意义：复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．(2)复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是连结向量OZ 1→，OZ 2→的终点，并指向被减向量所对应的复数．想一想：(1)类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？(2)若z 1＝－1＋2i ，z 2＝3－5i ，则z 1＋z 2＝________，z 1－z 2＝________．(1)解析：|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．(2)解析：z 1＋z 2＝(－1＋2i)＋(3－5i)＝2－3i ，z 1－z 2＝(－1＋2i)－(3－5i)＝－4＋7i.答案：2－3i －4＋7i自测自评1．a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为(D )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i2．|(3＋2i)－(4－i)|等于(B ) A.58 B.10 C ．2 D ．－1＋3i解析：|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝（－1）2＋32.故选B.3．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则AOB 一定是(B )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB 为直角三角形．基础巩固1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于(D )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i解析：z ＝3－i －(i －3)＝6－2i.2．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|等于(B )A. 2 B ．2C.10 D ．4解析：∵AB →＝OB →－OA →＝(1＋3i)－(1＋i)＝2i.∴|AB →|＝2.3．(xx·昆明高二检测)实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是(A )A ．1B ．2C ．－2D ．－1解析：z 1－z 2＝x ＋y ＋(x －y )i ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0⇒xy ＝1. 4．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________．解析：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76，b ＝－4，所以z ＝76－4i. 答案：76－4i 能力提升5．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为(D )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：向量AB →对应的复数是2＋i ，则BA →对应的复数为－2－i ，因为CA →＝CB →＋BA →.所以CA→对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.6．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为(D )A ．3－2 2 B.2－1C ．3＋2 2 D.2＋1解析：|z 1－z 2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝（1－sin θ）2＋（1＋cos θ）2＝3－2（sin θ－cos θ）＝3＋22sin （θ－π4）≤3＋22＝2＋1.故选D. 7．已知|z |＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z －2＋4i ＝(x －2)＋(y ＋4)i. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋4≠0，x 2＋y 2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z ＝2±i. 答案：2±i8．如图，平行四边形顶点A ，B ，C 所对应的复数分别为i ，1，4＋2i(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)．(1)向量BA →对应的复数为____________；(2)向量BC →对应的复数为____________；(3)向量BD →对应的复数为____________；(4)点D 坐标是____________．答案：(1)－1＋i (2)3＋2i (3)2＋3i (4)(3，3)9．设m ∈R，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解析：因为z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ， z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m －2＋(m 2－2m －15)i. 因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2，所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2，所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞)．10．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离．解析：向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝（－8）2＋（－2）2＝217.2019-2020年高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案新人教A版选修2-2教学建议1.教材分析本节主要给出了复数加法运算的法则,介绍了复数加法的几何意义,即向量的加法.类比实数的减法是加法的逆运算,给出了复数减法运算的法则.重点:复数的加减法运算.难点:复数加减法运算的几何意义.2.主要问题及教学建议(1)关于复数的加减法法则.可以类比“合并同类项”的方法让学生掌握.(2)关于复数加减法的几何意义.复数和平面向量是一一对应的,从向量的角度理解其加减法应遵循平行四边形法则或三角形法则.备选习题1.已知z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,且z1-z2=i,求cos(α+β)的值.解:因为z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,所以z1-z2=(cos α-cos β)+(sin α+sin β)i=i,所以两式平方相加可得(cos α-cos β)2+(sin α+sin β)2=2-2(cos αcos β-sin αsin β)=2-2cos(α+β)==1,即2-2cos(α+β)=1,所以cos(α+β)=.2.如图,在复平面内,复数z1在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,设复数z2在以原点为圆心,半径为1的圆周上移动,求复数z1+z2在复平面上移动的范围的面积.解:设ω=z1+z2,则z2=ω-z1,|z2|=|ω-z1|.∵|z2|=1,∴|ω-z1|=1.此式说明对于给定的z1,ω在以z1对应的点为圆心,1为半径的圆上运动.又z1在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,∴ω移动范围的面积为S=2×2+π×12=4+π,即复数z1+z2在复平面上移动的范围的面积是4+π.。
高中数学《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》导学案 新人教A版选修
高中数学《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》导学案新人教A版选修3、2、1复数的加法和减法【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
【重点难点】加减法运算法则加减法的几何意义【学习目标】1、知识与技能：掌握复数加法、减法的运算法则，能够熟练地进行加减运算；理解复数（1）通过实例分析，加减法的几何意义，能用平行四边形和三角形法则解决一些简单的问题2、过程与方法：小组合作探究；3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣。
一，自主学习引例：1、复数的加法运算：①、复数的加法法则：则二合作探究，展示，点评例1、计算（1）（2）（3）（4）观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律相反数2、复数的减法运算：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,从相反数角度转化减为加。
③：，显然，两个复数的差仍为复数。
例2、计算（1）（2）（3）从几何意义出发，再看复数的加减运算：1、当复数的对应向量共线时，可直接运算。
2、当复数的对应向量不共线时，加法运算可类比与向量加法的平行四边形法则；减法运算可类比与向量减法的三角形法则。
3、将所得和向量或差向量一直起点坐标原点时，该向量终点坐标就对应复数所求的坐标。
三总结四检测1(2+4i)+(3-4i)2、5-(3+2i)3、(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)4、(2-i)-(2+3i)+4i5、(3+5i)+(3-4i)6、(-3+2i)-(4-5i)7、(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)8、设z1= x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2 =5z21、计算：（1）(－3 －4i)+(2+i)－(1 －5i)=___________ （2） (3 －2i)－(2+i)－(________)=1+6i2、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i 则x=_______ y=_______3、已知复数Z1= －2+i，Z2=4 －2i，试求Z1+Z2对应的点关于虚轴对称点的复数。
最新3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、教学内容分析：本课是高中数学选修1－2第三章《复数》第二节《复数代数形式的加减运算及其几何意义》，主要内容是复数的加减运算及其几何意义，是学生首次接触复数集中的运算。
学生的知识基础是已经学习的复数的概念和坐标表示以及实数与平面向量加减运算，在这节内容中，借助向量的加减法解释和“形化”了复数的加减法，充分体现了复数的“数”和“形”的双重特征，揭示了复数的加减运算与平面向量的加减法具有完全等价的法则。
在教学中，既要求学生掌握复数代数形式的加减运算法则，又要理解和初步应用加减法的几何意义，为进一步运用复数运算几何意义奠定基础。
二、学情分析：高二（7）班属于普通文科班，女生比例较大，学生基础普遍比较薄弱，学习习惯较差。
学生受文科思维的影响，习惯于机械记忆，受文科学习方式的负面影响，文科学生不自觉的加剧了数学学习中的机械记忆，习惯于老师讲，自己记，复习背，对概念、定理、公理的本质属性缺乏正确的认识，不重视思维训练，导致数学学习能力下降，心理压力增大，恶性循环。
因此培养学生良好的学习习惯与严谨的逻辑思维能力相当重要。
三、教学目标：1、知识与技能目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。
2、过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。
3、情感、态度与价值观目标：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。
四、教学重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。
五、教学难点：复数加减法的几何意义及其应用六、教具准备：多媒体、实物投影仪。
七、教学过程：课前准备：学生自主阅读、理解教材，并解决问题（课前1天）阅读教材57-59页，解决下列问题：（一）、温故而知新：1、对于复数(),z a bi a b R =+∈，当且仅当 ，z 是实数，当 ，z 是虚数，当 ，z 为纯虚数，当且仅当 ，z 是实数0。
2019版高中数学 第三章 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案 新人教A版选修2-2
3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．知识点一 复数代数形式的加减法思考 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. 梳理 (1)运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.(2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 知识点二 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 答案 如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答案 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→对应复数z 1－z 2.梳理1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ ) 3．复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( × )类型一 复数的加法、减法运算例1 (1)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，复数z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________. (2)已知复数z 满足|z |i ＋z ＝1＋3i ，则z ＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 (1)－1 (2)1＋43i解析 (1)z 1＋z 2＝(2＋i)＋(3＋a i)＝5＋(a ＋1)i ， 由题意得a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |i ＋z ＝x 2＋y 2i ＋x ＋y i ＝x ＋(x 2＋y 2＋y )i ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧x ＝1，x 2＋y 2＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝43，∴z ＝1＋43i.反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． 跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________. (2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R )． (3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，则z ＝________.考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则答案 (1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)－4＋3i 解析 (1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i. (2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i. (3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |＋z ＝(x 2＋y 2＋x )＋y i ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，∴z ＝－4＋3i.类型二 复数加、减法的几何意义例2 (1)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应的复数为0，3＋2i ，－2＋4i.求：①AO →表示的复数； ②CA →表示的复数； ③OB →表示的复数．考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应解 ∵A ，C 对应的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ，由复数的几何意义，知OA →与OC →表示的复数分别为3＋2i ，－2＋4i. ①因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i. ②因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.(2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|. 考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的模的问题解 根据复数加减法的几何意义，由|z 1|＝|z 2|知，以OA →，OB →为邻边的平行四边形OACB 是菱形． 如图，OA →对应的复数为z 1，OB →对应的复数为z 2，∴|OA →|＝|OB →|，OC →对应的复数为z 1＋z 2，∴|OC →|＝ 3. 在△AOC 中，|OA →|＝|AC →|＝1，|OC →|＝3， ∴∠AOC ＝30°.同理得∠BOC ＝30°，∴△OAB 为等边三角形，则|BA →|＝1，BA →对应的复数为z 1－z 2，∴|z 1－z 2|＝1. 引申探究若将本例(2)中的条件“|z 1＋z 2|＝3”改为“|z 1－z 2|＝1”，求|z 1＋z 2|. 解 如例2(2)图，向量BA →表示的复数为z 1－z 2， ∴|BA →|＝1，则△AOB 为等边三角形，∴∠AOC ＝30°， 则|OD →|＝32，∴|OC →|＝3，OC →表示的复数为z 1＋z 2，∴|z 1＋z 2|＝ 3.反思与感悟 (1)常用技巧①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． (2)常见结论：在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点． ①四边形OACB 为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形； ③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪训练2 (1)已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则|OB →|＝________. (2)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ，复数z 2－z 1所对应的点在第四象限上，则实数a 的取值范围是__________． 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数的加减法与向量的对应 答案 (1)10 (2)(－∞，1) 解析 (1)∵OB →＝OA →＋AB →，∴OB →表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ， ∴|OB →|＝12＋32＝10.(2)z 2－z 1＝1＋(a －1)i ，由题意知a －1<0，即a <1.1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 D解析 ∵z 1－z 2＝5－7i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限．2．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－2或1考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 C解析 由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋(a 2－3a ＋2)i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，得a ＝－2.3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( ) A ．2＋8i B ．4－4i C ．6－6iD ．－4＋2i考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 B解析 BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝4－4i.4．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( ) A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 D解析 因为z 1－z 2＝5＋5i ，5．设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是3＋2i 和2－4i ，则点C 对应的复数是__________．考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的综合应用 答案 5－2i解析 设AC 与BD 的交点为E ，则E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－1，设点C 坐标为(x ，y )，则x ＝5，y ＝－2，故点C 对应的复数为5－2i.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、选择题1．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 B解析 ∵z ＋(3－4i)＝1， ∴z ＝－2＋4i ，故z 的虚部是4.2．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 A解析 z 1－z 2＝(y ＋x )＋(x －y )i ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴x ＝y ＝1，则xy ＝1.3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( ) A ．3B ．2精 品 试 卷C ．1D ．－1考点 复数加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 D解析 z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.4．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD.34＋i 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＋|z |＝(a ＋a 2＋b 2)＋b i ＝2＋i ，则⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，∴z ＝34＋i.5．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 A解析 由图知z ＝－2＋i ，则z ＋1＝－1＋i ，由复数的几何意义可知，A 是正确的．6．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和z 1＋z 2为实数，差z 1－z 2为纯虚数，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用 答案 A解析 因为z 1＋z 2＝(a －3)＋(4＋b )i 为实数， 所以4＋b ＝0，b ＝－4.因为z 1－z 2＝(a ＋4i)－(－3＋b i)＝(a ＋3)＋(4－b )i 为纯虚数， 所以a ＝－3且b ≠4.故a ＝－3，b ＝－4.7．在复平面内点A ，B ，C 所对应的复数分别为1＋3i ，－i ，2＋i ，若AD →＝BC →，则点D 表示的复数是( ) A ．1－3i B ．－3－i C ．3＋5iD ．5＋3i考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的综合应用 答案 C解析 ∵点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ， ∴BC →对应的复数为2＋2i.设D (x ，y )， ∵AD →＝BC →，∴(x －1，y －3)＝(2,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.∴点D 表示的复数为3＋5i. 二、填空题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________.考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 5－9i －8－7i解析 ∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y －4y ＋2x )＋(y －4x ＋5x ＋3y )i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i.9．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限． 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 三解析 因为z ＝3－4i ，所以|z |＝5，所以z －|z |＋(1－i)＝3－4i －5＋(1－i)＝－1－5i.复数z ＝－1－5i 在复平面内的对应点Z (－1，－5)位于第三象限． 10．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 ±23－2i解析 因为z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )， 由|z |＝4得a 2＋4＝16， 所以a 2＝12，所以a ＝±23， 所以z ＝±23－2i.11.如图所示，在复平面内的四个点O ，A ，B ，C 恰好构成平行四边形，其中O 为原点，A ，B ，C 所对应的复数分别是z A ＝4＋a i ，z B ＝6＋8i ，z C ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z A －z C ＝________.考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 2－4i解析 因为OA →＋OC →＝OB →， 所以4＋a i ＋(a ＋b i)＝6＋8i. 因为a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋a ＝6，a ＋b ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.所以z A ＝4＋2i ，z C ＝2＋6i ，所以z A －z C ＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i. 三、解答题12．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则解 因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2，所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)． 13．(1)若f (z )＝z ＋1－i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2＋i ，求f (z 1－z 2)；(2)若z 1＝2cos θ－i ，z 2＝－2＋2isin θ(0≤θ≤2π)，且z 1＋z 2在复平面内对应的点位于第二象限，求θ的取值范围．考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的综合应用 解 (1)z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2＋i)＝5＋3i ，f (z 1－z 2)＝f (5＋3i)＝(5＋3i)＋1－i ＝6＋2i.(2)z 1＋z 2＝(2cos θ－2)＋(2sin θ－1)i ，由题意得⎩⎨⎧2cos θ－2<0，2sin θ－1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<22，sin θ>12.又θ∈[0,2π]，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π6. 四、探究与拓展14．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( ) A ．3－2 2 B.2－1 C ．3＋2 2D.2＋1考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的模的问题 答案 D解析 |z 1－z 2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i| ＝(1－sin θ)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(cos θ－sin θ) ＝3＋22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4max ＝1，∴|z 1－z 2|max ＝3＋22＝2＋1.15．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：精 品 试 卷推荐下载 (1)点C ，D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5.(2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210. 所以sin B ＝7210. 所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7， 所以平行四边形ABCD 的面积为7.。
高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2_2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)
新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则． 难点:复数加法、减法的几何意义.知识点:1.掌握复数代数形式的加、减运算法则;2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力． 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题.考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合.一、 引入新课复习引入1.虚数单位i ：它的平方等于1-,即2i 1=-;2.对于复数()i ,z a b a b =+∈R ：当且仅当0b =时,z 是实数a ; 当0b ≠时,z 为虚数;当0a =且0b ≠时,z 为纯虚数; 当且仅当0a b ==时,z 就是实数0.3.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .4.复数几何意义：我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算.【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.二、探究新知复数()i ,z a b a b =+∈R 复平面内的点(),a b Z 一一对应一一对应复数()i ,z a b a b =+∈R 复平面内的向量()=,OZ a b探究一:复数的加法1.复数的加法法则我们规定,复数的加法法则如下:设1i z a b =+,2i(,,,)z c d a b c d =+∈R 是任意两个复数,那么：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++提出问题：(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? (2)当=0,0b d =时,与实数加法法则一致吗?(3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确:(1)仍然是个复数,且是一个确定的复数; (2)一致;(3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神． 2.复数加法的运算律实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的123,,z z z ∈C ,有1221z z z z +=+（交换律）, 123123()()z z z z z z ++=++（结合律）.【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力． 3.复数加法的几何意义复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设12,OZ OZ 分别与复数i,i a b c d ++对应,则有12(,),(,)OZ a b OZ c d ==,由平面向量的坐标运算有12(,)OZ OZ a c b d +=++.这说明两个向量12OZ OZ 与的和就是与复数()+()i a c b d ++对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：由图可以看出,以1OZ 、OZ 就是复数()+()i a c b d ++对应的向量.【设计意图】通过向量的知识,训练学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想. 探究二:复数的减法类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗? 1.复数的减法法则我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足(i)(i)i c d x y a b +++=+的复数i x y +叫做复数i a b +减去i c d +的差,记作(i)(i)a b c d +-+.根据复数相等的定义,有,c x a d y b +=+=, 因此,x a c y b d =-=-,所以i ()()i x y a c b d +=-+-,即(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-.这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数.【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力． 2.复数减法的几何意义设12,OZ OZ 分别与复数i,i a b c d ++对应,则这两个复数的差12z z —与向量12OZ OZ —（即21Z Z ）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示.【设计意图】两个复数的差12z z —（即12OZ OZ —）与连接两个终点1Z ,2Z ,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数.三、理解新知1.复数的加减法法则:设1i z a b =+,2i(,,,)z c d a b c d =+∈R 是任意两个复数,规定：12()()i z z a c b d +=+++; 12()()i z z a c b d -=-+-.2.复数加、减法的几何意义：(1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则; (2)复数的减法按照向量减法的三角形法则. 3.几点说明:(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(4)复平面内的两点间距离公式:12d z z =—.其中12,z z 是复平面内的两点1Z 和2Z 所对应的复数,d 为点1Z 和点2Z 间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．【设计意图】加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来.四、运用新知例1.计算：(1)(23i)(5i)-++-; (2)(1(1-+-; (3)(23i)(52i)--+; (4)(56i)(2i)(34i)-+---+;解:(1)(23i)(5i)(25)(31)i 32i -++-=-++-=+;(2)(1(1(11)0-++=-++=;(3)(23i)(52i)(25)(32)i 35i --+=-+--=--;(4)(56i)(2i)(34i)(523)(614)i 11i -+---+=--+---=-.【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立. 变式训练:计算(12i)(23i)(34i)(45)i (19992000i)(20002001i)-+-++-+-+++-+-+. 解：（解法一）原式(12345619992000)(2345620002001)i =-+-+-++-+-+-+-+-+10001000i =-+.（解法二）(12i)(23i)1i -+-+=-+; (34i)(45i)1i -+-+=-+; …(19992000i)(20002001i)1i -+-+=-+. 将上列1000个式子累加,得1000(1i)10001000i -+=-+.【设计意图】复数的加减法,相当于多项式加减中的合并同类项的过程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手,抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点,适当地进行组合,从而可简化运算.进一步巩固复数加减运算,并带有一定的规律性.yx x例2.(1)设12,OZ OZ 分别与复数1253i,14i z z =+=+对应,计算12z z -,并在复平面内作出12OZ OZ -, (2)设12,OZ OZ 分别与复数1213i,2i z z =+=+对应,计算12z z +,并在复平面内作出12OZ OZ +. 解：图1 图2(1)12=(5+3i)(14i)(51)(34)i 4i z z --+=-+-=-.（如图1所示）; (2)12(13i)(2i)(12)(31)i 34i z z =+++=+++=++.（如图2所示）.【设计意图】由复数的几何意义知,复数1z ,2z 所对应的的点分别为12,Z Z .12OZ OZ -就是表示向量21Z Z ,而12OZ OZ +可利用平行四边形法则作出.变式训练:已知复数213(5)i z a a =-++,221(21)i()z a a a a =-++-∈R 分别对应向量12,OZ OZ （O 为坐标原点）,若向量12Z Z 对应的复数为纯虚数,求a 的值. 答案：1a =-.例3.已知关于x 的方程：2(6i)9i 0()x x a a -+++=∈R 有实数根b .(1)求实数,a b 的值;(2)若复数z 满足i 20z a b z -+-=,求z 的最小值．解：(1)由题意,得2(6i)9i 0b b a -+++=,即2(69)()i 0b b a b -++-=.由复数相等的定义得2690b b a b ⎧-+=⎨-=⎩, 解得3a b ==.(2)设i(,)z x y x y =+∈R ,由i 20z a b z -+-=,得(3)(3)i 2x y z -++=,即222(3)(3)4()x y x y -++=+,整理得22(1)(1)8x y ++-=,即复数z 在复平面内所对应的点Z(,)x y 的轨迹是以C(1,1)-为圆心,半径长为.又z 的几何意义是Z(,)x y 与原点O(0,0)的距离,如图,由平面几何知识知,min z CA CO =-=-=【设计意图】在问题(1)中由复数相等的概念,列方程组求出两个参数值,把复数问题实数化,既复习了概念,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力; 在问题(2)中由z =把z 转化为复数z 所对应的点与原点的距离,解决此类问题的关键是利用复数的几何意义画出图形,在图形中寻求答案,把数转化成形,利用数形结合思想解决即可． 变式训练:复数z 的模为1,求1i z --的最大值和最小值.答案1-.【设计意图】通过变式训练,便于学生全面的认识利用复数差的模的几何意义解决问题,提高学生理解、运用知识的能力.五、课堂小结(一)知识:1.复数代数形式的加法、减法的运算法则;2.复数加法、减法的几何意义.3.几点说明:(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减． (4)复平面内的两点间距离公式:12d z z =—.其中12,z z 是复平面内的两点1Z 和2Z 所对应的复数,d 为点1Z 和点2Z 间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．(二)思想方法:类比的思想、转化的思想、数形结合的思想．【设计意图】通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.六、布置作业必做题：1.计算：(1)(24i)(34i)++-; (2)(34i)(2i)(15i)--++--.2.复数6+5i 与3+4i -对应的向量分别是OA 与OB ,其中O 是原点,求向量AB ,BA 对应的复数,并指出其对应的复数位于第几象限.3.复平面上三点,,A B C 分别对应复数1,2i,52i +,则由,,A B C 所构成的三角形△ABC 是 三角形.4.求复数2i +,3i -所对应的两点之间的距离．5.已知复数z 满足+28i z z =+,求复数z .6.已知平行四边形OABC 的三个顶点,,O A C 对应的复数分别为0,32i,24i +-+,试求:(1)AO 表示的复数; (2)CA 表示的复数; (3)B 点对应的复数.答案: 1.(1)5; (2)22i -+.2.9i --,位于第三象限; 9i +,位于第一象限.3.直角三角形.4.5.158i z =-+.6.(1)32i --; (2)52i -; (3)16i +选做题：1.在复平面内,求满足方程z+i z i 4+-=的复数z 所对应的点的轨迹．2.复数12z ,z 满足12z z 1==,12z +z =求12z z -.答案：1.提示:方程可以变形为z (i)z i 4--+-=|,表示到两个定点(0,1)-和(0,1)距离之和等于4的点的轨迹,故满足方程的动点轨迹是椭圆．2.提示:法一:数形结合思想,构造边长为1的正方形,,则所求的另一条对.法二:(向量法)设12z ,z 所对应的向量分别是a ,b ,将12z +z =0a b =,则212(z z )2-=,所以12z z -=【设计意图】设计必做题是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯,是让学生会用复数代数形式的加法、减法的运算法则进行计算;设计选做题意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义,增加问题的多样性、趣味性,训练学生思维的发散性、深刻性.让学生理解知识之间的联系,培养学生用整体的观点看问题,起到巩固旧知的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是:（）本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性．在复1数加法的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程理念．(2)对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力．(3)例题和练习的设计遵循由浅入深,循序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次的学生．2.本节课的弱项是:复数的几何意义的例题没能体现学生的动手能力.八、板书设计。
高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选
word复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学建议1.教材分析本节主要给出了复数加法运算的法则,介绍了复数加法的几何意义,即向量的加法.类比实数的减法是加法的逆运算,给出了复数减法运算的法则.重点:复数的加减法运算.难点:复数加减法运算的几何意义.2.主要问题及教学建议(1)关于复数的加减法法则.可以类比“合并同类项”的方法让学生掌握.(2)关于复数加减法的几何意义.复数和平面向量是一一对应的,从向量的角度理解其加减法应遵循平行四边形法则或三角形法则.备选习题1.已知z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,且z1-z2=i,求cos(α+β)的值.解:因为z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,所以z1-z2=(cos α-cos β)+(sin α+sin β)i=i,所以两式平方相加可得(cos α-cos β)2+(sin α+sin β)2=2-2(cos αcos β-sin αsin β)=2-2cos(α+β)==1,即2-2cos(α+β)=1,所以cos(α+β)=.2.如图,在复平面内,复数z1在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,设复数z2在以原点为圆心,半径为1的圆周上移动,求复数z1+z2在复平面上移动的X围的面积.解:设ω=z1+z2,则z2=ω-z1,|z2|=|ω-z1|.∵|z2|=1,∴|ω-z1|=1.此式说明对于给定的z1,ω在以z1对应的点为圆心,1为半径的圆上运动.又z1在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,∴ω移动X围的面积为S=2×2+π×12=4+π,即复数z1+z2在复平面上移动的X围的面积是4+π.1 / 1。
高中数学_复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
复数代数形式的加减运算及其几何意义一教学目标根据新课标对教材的要求和学生的认知特点，从知识与技能、过程和方法、情感态度和价值观3个维度确定以下教学目标：知识与技能：理解复数加减运算法则，以及复数加减法的几何意义能够进行正确的计算。
过程与方法：通过让学生自主学习，合作探究，培养学生解决问题的能力。
情感态度与价值观：培养学生的合作交流意识，提高解决问题的能力，并在教学过程中培养学生的探索精神。
二教学重点和难点重点：正确理解复数的加减运算，复数加减运算的几何意义难点：对比复数加减法与向量加减法的异同，从而理解复数的几何意义三教法与学法分析从学生已有的知识水平和认知规律出发，为了更好的突出教学重点、突破难点，我采用以引导发现法为主，直观演示法、合作探究、讨论法为辅的教法。
学生的学法中主要让学生分组探究、讨论、归纳、总结，通过学生动脑、动口、动手等活动培养学生学习的积极性和主动性。
使学生掌握知识。
四教学过程为了更好的突出新课改以教为主导，学为主体的教学理念，我设计的教学过程由导入新课、讲授新课、巩固练习、归纳总结、布置作业五个环节构成。
（一）导入新课（1）复数的代数形式是什么？在什么条件下，复数z为实数、虚数、纯虚数？（学生回答）（2）复数相等的重要条件？实部与实部相等，虚部与虚部相等。
（3）复数几何意义？1.复数z=a+bi，表示向量：oz2.复数的模等于向量的模。
实数可以进行加减运算，复数是否也可以进行加减运算？（引出本节课）本环节设计的意图是：从学生熟悉的生活情景和已有的知识出发，找准了新知识的起点，激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望。
（二）讲授新课知识点一 复数的加法运算复数的加法法则：设z1=a+bi ，z2=c+di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定。
当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
学案8：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习过程：1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． 学习重难点：1．复数加减运算的几何意义．(重点) 2．本节内容与平面向量的联系．(难点) 学习过程：自学导引1．复数加减法的运算法则及加法运算律 (1)加减法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)加法运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ， ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1.②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．想一想：若复数z 1，z 2满足z 1－z 2>0，能否认为z 1>z 2?2．复数加减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→.想一想：从复数减法的几何意义理解：|z 1－z 2|表示什么？名师点睛1．理解用向量法确定两个复数的和 先画出与这个复数对应的向量OZ 1→，OZ 2→.设OZ 1→及OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，且OZ 1→，OZ 2→不共线(如图)，以OZ 1→及OZ 2→为两条邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，作x 轴的垂线PZ 1，QZ 2及RZ ，并且作Z 1S ⊥RZ .容易证明△ZZ 1S ≌△Z 2OQ ，并且四边形Z 1PRS 是矩形，因此OR ＝OP ＋PR＝OP ＋Z 1S ＝OP ＋OQ ＝a ＋c ， RZ ＝RS ＋SZ ＝PZ 1＋QZ 2＝b ＋d . 于是，点Z 的坐标是(a ＋c ，b ＋d )，这说明OZ →就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量． 2．复数加减法的几何意义复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量OP 1→，OP 2→，那么以OP 1，OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS →就是z 1＋z 2的和所对应的向量．复数减法的几何意义：两个复数的差z 1－z 2与连接这两个向量终点并指向被减向量的向量对应．拓展：由复数加减法的几何意义可得如下结论： ||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|. 例题讲解：题型一 复数的加减运算例1： (1)z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i.求z 1＋z 2，z 1－z 2.(2)计算：⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i . (3)计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－ 2 010i)．规律方法：(1)复数加减运算法则的记忆．方法一：复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． 方法二：把i 看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项． (2)加法法则的合理性：①当b ＝0，d ＝0时，与实数加法法则一致．②加法交换律和结合律在复数集中仍成立． ③符合向量加法的平行四边形法则．(3)复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运算． 变式1：计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)； (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．题型二 复数加减法的几何意义例2：已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．规律方法：(1)根据复数的两种几何意义知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．变式2：(1)设OZ 1→及OZ 2→分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，计算z 1－z 2，并在复平面内作出OZ 1→－OZ 2→.(2)设OZ 1→及OZ 2→分别与复数z 1＝1＋3i 及复数z 2＝2＋i 对应，计算z 1＋z 2，并在复平面内作出OZ 1→＋OZ 2→.题型三 复数加减法几何意义的综合应用例3：已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．题后反思：|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．变式3：已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值与最小值．方法技巧数形结合思想在复数中的应用数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法．本章中有关复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．例4：复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，则|BD→|等于()．A．5 B.13C.15D.17方法点评：解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．课堂小结：通过本节课的学习，你收获了哪些知识？课堂检测：1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝()A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i2．(5－i)－(3－i)－5i等于()A．5i B．2－5iC ．2＋5iD ．23．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0 B ．2i C ．6D ．6－2i4．|(3＋2i)－(4－i)|等于( ) A.58 B.10 C ．2D ．－1＋3i 5．在复平面内A 、B 、C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求向量AB →，AC →，BC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．参考答案自学导引1．提示 不能，如2＋i －i>0，但2＋i 与i 不能比较大小． 2．提示 表示Z 1与Z 2两点间的距离． 例1：解：(1)z 1＋z 2＝2＋3i ＋(－1＋2i)＝1＋5i ，z 1－z 2＝2＋3i －(－1＋2i)＝3＋i.(2)13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (3)法一 (1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－ 2 010i)＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 007－2 008)＋2 009]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 008＋2 009)－2 010]i＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i ＝1 005－1 006i.法二 (1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i ，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i ，…，(2 007－2 008i)＋(－2 008＋2 009i)＝－1＋i.相加(共有1 004个式子)，得 原式＝1 004(－1＋i)＋(2 009－2 010i) ＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i ＝1 005－1 006i.变式1：解：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i ＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i ＝－7＋7i.(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i. 例2：解：(1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)． 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0，∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.∴sin B ＝752＝7210，∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.变式2：解：(1)z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i(如图①)(2)z 1＋z 2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i ＝3＋4i.(如图②) 例3：解：法一 设w ＝z －3＋4i ，∴z ＝w ＋3－4i ， ∴z ＋1－i ＝w ＋4－5i. 又|z ＋1－i|＝1， ∴|w ＋4－5i|＝1.可知w 对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆． 如图(1)所示，∴|w |max ＝41＋1，|w |min ＝41－1.法二 由条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆， 而|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离， 在圆上与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ， 如图(2)所示，所以|z －3＋4i|max ＝41＋1，|z －3＋4i|min ＝41－1. 变式3：解：由复数及其模的几何意义知：满足|z ＋2－2i|＝1，即|z －(－2＋2i)|＝1.复数z 所对应的点是以C (－2,2)为圆心，r ＝1为半径的圆．而|z －3－2i|＝|z －(3＋2i)|的几何意义是：复数z 对应的点与点A (3,2)的距离． 由圆的知识可知|z －3－2i|的最小值为|AC |－r ，最大值为|AC |＋r .∴|z －3－2i|min ＝(3＋2)2＋(2－2)2－1＝4. |z －3－2i|max ＝(3＋2)2＋(2－2)2＋1＝6. 例4：【解析】如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ， 所以BD →＝OD →－OB →＝3＋3i －1＝2＋3i ， 所以BD →＝13. 【答案】B 课堂检测： 1．B 2．B 3．D4．【解析】|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝10. 【答案】B5．解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，∴AB →对应的复数为(2＋i)－1＝1＋i ， 同理BC →对应的复数为 (－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC →对应的复数为(－1＋2i)－1＝－2＋2i. (2)∵|AB →|＝2，|AC →|＝8，|BC →|＝10， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. ∴△ABC 为直角三角形．(3)由(2)知，△ABC 的面积为S △＝12×2×8＝2.。
高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.复数代数形式的加减运算及其几何意义导学案新人教A版选修
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义【学习目标】1.掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【重点难点】重点：复数代数形式的加、减运算法则. 难点：复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P 107-108内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑. 【问题导学】 1. 复数的加法法则（1）设1z a bi =+，2z c di =+是任意两个复数，那么()()a bi c di +++= . （2）复数加法的运算律：对任意123,,z z z C ∈，有12z z += ，()123z z z ++= .（3）复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的 来进行. 2. 复数的减法法则设1z a bi =+，2z c di =+是任意两个复数，则()()a bi c di +-+= .3.类比绝对值0x x -的几何意义，说明()00,z z z z C -∈的几何意义.()00,z z z z C -∈的几何意义:是复平面内点Z 到点0Z 的距离【合作探究】问题1：复数的加、减法运算 1. 计算： （1）()()()123456i i i ++--+=18i -- ；（2）()()53413i i i -+--+=⎡⎤⎣⎦44i -+ ；（3）()()()233,a bi a bi i a b R +---∈= ()43a b i -+- . 2.已知()()134z x y y x i =++-()()24253z y x x y i=--+(),x y R ∈，若12132z z i -=-，求12,.z z解：159z i =-;287z i =--.问题2：复数加减运算的几何意义1.已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为12i +，向量BC 对应的复数为3i -，求点,C D 对应的复数.解：,C D 对应的复数分别为：42,5i -2.在复平面内，,,A B C 分别对应复数11,z i =+25z i =+，333z i =+，以AB ,AC为邻边作一个平行四边形ABDC ，求点D 对应复数4z 及AD 的长. 解：473z i =+210AD =问题3：综合应用1. 已知复数(),z x yi x y R =+∈，且2z -=y x2. 设12,z z C ∈，已知121z z ==，12z z +=，求12z z -.解：12z z -【深化提高】复数z 满足11z i --=，求1zi ++的最小值. 解：min 11z i ++=【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ●当堂检测A 组（你一定行）：1.()()1213i i ++--= （ C ） A ．i B ．2- C ．i - D ．1i -+2.()()2413i i -+---= （ D ） A. 3i -+ B.1i -+ C.37i -+ D.17i -+3.已知复数z 满足33z i i +-=-，则z =( D )A ．0B ．2iC ．6D ．62i -B 组（你坚信你能行）： 4.已知4z =，且2z i+是实数，则复数z = 2i ± .5如果一个复数与它的模的和为53i +，那么这个复数是85+ . C 组（我对你很有吸引力哟）：6.已知z C ∈，且10z z i +--=，求z i +的最小值.解：10z z i +--=表示以()()1,0,0,1-为端点的线段的垂直平分线，而()z i z i +=--表示直线上的点到()0,1-的距离，数形结合知其最小值为.2【小结与反思】。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案 新人
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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3。
2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义一、教学目标：1.知识目标：掌握复数的加减法运算及理解其几何意义，2。
能力目标：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义．3。
情感态度价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想,同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则,知道事物之间是普遍联系的哲学规律．二、重点难点：重点:复数加减法运算及其应用．.难点：复数加减法运算的几何意义．三、学习新知：阅读课本5856P P -页, 找出疑惑之处，并自主探究下列问题：1。
复数加减法运算的法则？2.复数加法满足的运算律?3。
复数加减法运算的几何意义？四、教学过程:【活动一】：探究复数代数形式的加法运算问题1：复数的加法法则是如何规定的？设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么其和为？问题2：两个复数的和仍然是复数吗?问题3：复数的加法满足交换律、结合律吗？对于任意123,,z z z C ∈，有1221z z z z +=+123123()()z z z z z z ++=++吗？你能给出证明吗？例1计算：（5-6i ）+（-2—i ）-（3+4i)（）例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+（3－4i)+（－4+5i)+…+（－2002+2003i ）+（2003－2004i ） 你有几种方法计算该题？【活动二】：探究复数加法的几何意义阅读教材第56—57页的内容，思考以下问题：问题4：复数与复平面内的向量有一一对应的关系,.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？由平面向量的坐标运算，有OZ =12OZ OZ =（ ）问题：5：复数加法的几何意义是什么呢？【活动三】:探究复数的减法问题6：复数是否有减法?如何理解复数的减法？类比实数集中减法的意义,我们怎样规定复数的减法？复数的减法法则是什么？问题7:两个复数的差是一个确定的复数吗？.【活动四】:探究复数减法的几何意义：问题8类比复数加法的几何意义，你能给出复数减法的几何意义吗?例3已知复数z1=2+i ，z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z,z 在平面内所对应的点在第几象限?（C 级)点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。
高中数学第三章复数代数形式的加减运算及其几何意义教案1新人教版
3.2.1复数代数形式的加、减运算及几何意义教材分析三维目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教学建议：复数的加减运算不仅是本节的重点，也是本章知识的重点之一.复数代数形式的加法运算法则是一种规定，它的合理性体现在：将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神.复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材.对于复数加法、减法运算的几何意义，它不仅有一次让我们看到了向量这一工具的功能，也使数和形得到了有机的结合.本节中，由于复数的加法法则是规定的，建议从问题入手，引导学生思考，让学生了解这种规定的合理性.在复数加法的运算规律及几何意义的处理上，都是让学生自主探究，使学生在参与中学会学习，学会合作.对于复数减法的处理，建议采用类比的数学思想方法.对于例题和练习的设置，建议遵循由浅入深、循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，尽可能地照顾到各个层次的学生.新课导入一知识再现： 1.复数、点、向量之间的对应关系：复数z a bi =+ ←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 。
2.实数可以进性加减乘除四则运算，且运算结果仍是一个实数，那么复数呢？3.复数的概念及其几何意义.新课导入二我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案是肯定的，这节课我们就来研究复数的加减运算.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义导学案 新
河北省承德市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义导学案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义导学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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复数代数形式的加减运算及其几何意义６、A例一解析:(1)原式＝（2－错误!)＋(－错误!＋错误!)i＋1＝1－错误!i。
（2）原式＝(－错误!＋错误!）＋(－错误!－错误!＋1)i＝错误!＋错误!i.（3)原式＝（5－2－3)＋[－6＋（－2）－3]i＝－11i。
跟踪训练 1、9－5i。
例二1)3－2i。
（2)5－2i。
(3)B点对应的复数为1＋6i。
跟踪训练2、［解析] z1－z2＝（5＋3i）－(4＋i）＝(5－4)＋（3－1）i＝1＋2i。
如下图所示，即为z1－z2所对应的向量．例三[解析]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1，②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.跟踪训练3:[解析]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．由题意，知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，∴2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2.∴|z1－z2|＝ 2.。
高中数学第三章复数代数形式的加减运算及其几何意义教案3新人教版选修1
3.2.1复数代数形式的加法、减法及其几何意义教学过程一、推进新课：１．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ 为z 1+z 2， ∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1= z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.二、典型例题例1已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z = z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例2 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ; OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i . ∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ， ∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+ (x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用三、课堂练习：1．如果复数bi a +与di c +的和是一个纯虚数，则有 （ ）A 0=+d b 且0≠+c aB 0=+c a 且0≠+d bC 0=+d a 且0≠+c bD 0=+c b 且0≠+d a2．当211<<-m 时，复数()()i i m --+12在复平面内所对应的点位于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3．复平面内三点A 、B 、C ，A 点对应的复数为i +2，向量BA 对应的复数为i 21+，向量BC 对应的复数为i -3，求点C 对应的复数。
2018_2019学年高中数学第三章复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案新人教A版选修2_2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.1.复数加减法的运算法则及加法运算律 （1）加减法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）是任意两个复数，则z 1＋z 2＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ，z 1－z 2＝（a －c ）＋（b －d ）i.（2）加法运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ， ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1.②结合律：（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. 2.复数加减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两个虚数的和或差可能是实数.（ ） （2）若复数z 1，z 2满足z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2.（ ）（3）在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.（ ） （4）复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.（ ）（5）复数的减法不满足结合律，即（z 1－z 2）－z 3＝z 1－（z 2＋z 3）可能不成立.（ ） 答案：（1）√ （2）× （3）√ （4）× （5）×已知复数z 1＝3＋4i ，复数z 2＝3－4i ，那么z 1＋z 2等于（ ） A.8i B.6 C.6＋8i D.6－8i答案：B（5－i ）－（3－i ）－5i 等于（ ） A.5i B.2－5i C.2＋5iD.2 解析：选B.（5－i ）－（3－i ）－5i ＝5－i －3＋i －5i ＝2－5i.若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 Ｗ.解析：因为z ＋i －3＝3－i ， 所以z ＝3－i －i ＋3＝6－2i. 答案：6－2i探究点1 复数的加减法运算（1）计算：（5－6i ）＋（－2－i ）－（3＋4i ）；（2）设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i （x ，y ∈R ），且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2. 【解】 （1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i ＝－11i. （2）因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以（3＋x ）＋（2－y ）i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝（2＋2i ）－（3－8i ）＝（2－3）＋[2－（－8）]i ＝－1＋10i.解决复数加减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）.1.复数（1＋2i ）＋（3－4i ）－（－5－3i ）对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选A.复数（1＋2i ）＋（3－4i ）－（－5－3i ）＝（1＋3＋5）＋（2－4＋3）i ＝9＋i ，其对应的点为（9，1），在第一象限.2.计算：（1－2i ）－（2－3i ）＋（3－4i ）－（4－5i ）＋…＋（2 015－2 016 i ）－（2 016－2 017i ）.解：法一：原式＝（1－2＋3－4＋…＋2 015－2 016）＋（－2＋3－4＋5＋…－2 016＋2 017）i ＝－1 008＋1 008i.法二：（1－2i ）－（2－3i ）＝－1＋i ， （3－4i ）－（4－5i ）＝－1＋i ， …（2 015－2 016i ）－（2 016－2 017i ）＝－1＋i. 将上述1 008个式子左右分别相加，得 原式＝1 008（－1＋i ）＝－1 008＋1 008i. 探究点2 复数加减法的几何意义已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i.（1）求AO →表示的复数； （2）求CA →表示的复数. 【解】 （1）因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－（3＋2i ），即－3－2i. （2）因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为（3＋2i ）－（－2＋4i ）＝5－2i.1.若本例条件不变，试求点B 所对应的复数.解：因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为（3＋2i ）＋（－2＋4i ）＝1＋6i.所以点B 所对应的复数为1＋6i.2.若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数. 解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中点B 坐标为（1，6）得点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M 对应的复数为12＋3i.复数加减法几何意义的应用技巧（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算.（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.1.在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝（ ）A. 2B.2C.10D.4解析：选B.因为AB →＝OB →－OA →，所以AB →对应的复数为（1＋3i ）－（1＋i ）＝2i ，故|AB →|＝2.2.已知复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，如图，它们在复平面上对应的点分别是正方形的三个顶点A ，B ，C ，求这个正方形的第四个顶点D 所对应的复数.解：如题图，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i （x ，y ∈R ），则AD →＝OD →－OA →对应的复数是（x ＋y i ）－（1＋2i ）＝（x －1）＋（y －2）i ，BC →＝OC →－OB →对应的复数是（－1－2i ）－（－2＋i ）＝1－3i.因为AD →＝BC →，即（x －1）＋（y －2）i ＝1－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 对应的复数为2－i.——————————————————————————————————————1.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析：选C.z ＝z 2－z 1＝（1－2i ）－（2＋i ）＝－1－3i.故z 对应的点为（－1，－3），位于第三象限.2.已知复数z 1＝12－32i ，z 2＝cos 60°＋isin 60°，则|z 1＋z 2|＝（ ）A.1B. 3C.12D.32解析：选A.z 2＝cos 60°＋isin 60°＝12＋32i ，所以z 1＋z 2＝12－32i ＋12＋32i ＝1，则|z 1＋z 2|＝1.3.已知复数z 1＝（a 2－2）－3a i ，z 2＝a ＋（a 2＋2）i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为 Ｗ.解析：由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋（a 2－3a ＋2）i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0⇒a ＝－2.答案：－24.已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i. （1）求z 1－z 2；（2）在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量.解：（1）由复数减法的运算法则得z 1－z 2＝（－2＋i ）－（－1＋2i ）＝－1－i. （2）在复平面内作复数z 1－z 2所对应的向量，如图中OZ →.知识结构深化拓展在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则 ①四边形OACB 为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形； ③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形； ④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形；⑤若|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|，则△OAB 是正三角形.[A 基础达标]1.已知复数z 1＝－2－i ，z 2＝i ，i 是虚数单位，则复数z 1－2z 2＝（ ） A.－1＋2i B.1－2i C.1＋2iD.－2－3i解析：选D.因为z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1－2z 2＝－2－i －2i ＝－2－3i. 2.设a ，b ∈R ，z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为（ ） A.1＋i B.2＋i C.3D.－2－i解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝0，b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 所以a ＋b i ＝－2－i.3.在平行四边形ABCD 中，若A ，C 对应的复数分别为－1＋i 和－4－3i ，则该平行四边形的对角线AC 的长度为（ ）A. 5B.5C.2 5D.10解析：选B.依题意，AC →对应的复数为（－4－3i ）－（－1＋i ）＝－3－4i ，因此AC 的长度即为|－3－4i|＝5.4.复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和z 1＋z 2为实数，差z 1－z 2为纯虚数，则a ，b 的值为（ ）A.a ＝－3，b ＝－4B.a ＝－3，b ＝4C.a ＝3，b ＝－4D.a ＝3，b ＝4解析：选A.因为z 1＋z 2＝（a －3）＋（4＋b ）i 为实数， 所以4＋b ＝0，b ＝－4.因为z 1－z 2＝（a ＋4i ）－（－3＋b i ）＝（a ＋3）＋（4－b ）i 为纯虚数，所以a ＝－3且b ≠4.故a ＝－3，b ＝－4.5.设f （z ）＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f （z 1－z 2）＝（ ） A.10 B.5 5 C. 2D.5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ，所以f （z 1－z 2）＝f （5＋5i ）＝|5＋5i|＝5 2.6.已知复数z 满足z ＋（1＋2i ）＝5－i ，则z ＝ Ｗ. 解析：z ＝（5－i ）－（1＋2i ）＝4－3i. 答案：4－3i7.已知复数z 1＝2＋a i ，z 2＝a ＋i （a ∈R ），且复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是 Ｗ.解析：因为复数z 1－z 2＝2＋a i －a －i ＝（2－a ）＋（a －1）i 在复平面内对应的点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＜0，a －1＞0，解得a ＞2.答案：（2，＋∞）8.已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝ Ｗ.解析：因为z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i （a ∈R ），由|z |＝4得a 2＋4＝16， 所以a 2＝12， 所以a ＝±23， 所以z ＝±23－2i.答案：±23－2i9.设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋（m －15）i ，z 2＝－2＋m （m －3）i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围.解：因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋（m －15）i ，z 2＝－2＋m （m －3）i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[（m －15）＋m （m －3）]i＝m 2－m －4m ＋2＋（m 2－2m －15）i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2， 所以m 的取值范围是（－∞，－3）∪（－3，－2）∪（－2，5）∪（5，＋∞）.10.已知z 1＝（3x ＋y ）＋（y －4x ）i ，z 2＝（4y －2x ）－（5x ＋3y ）i （x ，y ∈R ），设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z ＝z 1－z 2＝（3x ＋y ）＋（y －4x ）i －[（4y －2x ）－（5x ＋3y ）i] ＝[（3x ＋y ）－（4y －2x ）]＋[（y －4x ）＋（5x ＋3y ）]i ＝（5x －3y ）＋（x ＋4y ）i. 又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以z 1＝（3×2－1）＋（－1－4×2）i ＝5－9i ，z 2＝4×（－1）－2×2－[5×2＋3×（－1）]i ＝－8－7i.[B 能力提升]11.若复数z 满足条件|z －（2－2i ）|＝1，则复平面内z 对应的点的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线D.抛物线解析：选A.设z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），则|z －（2－2i ）|＝|x ＋y i －2＋2i|＝|（x －2）＋（y ＋2）i|＝1，所以（x －2）2＋（y ＋2）2＝1.所以复平面内z 对应的点的轨迹是圆.12.在复平面内，△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：选A.设复数z 与复平面内的点Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，可知点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义，可知点Z 为△ABC 的外心.故选A.13.已知在复平面内的正方形ABCD 有三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则第四个顶点对应的复数是 .解析：设复平面内正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则OA →＝（1，2），OB →＝（－2，1），OC →＝（－1，－2），设OD →＝（a ，b ）.因为AB →＝OB →－OA →＝（－3，－1），BC →＝OC →－OB →＝（1，－3），且1×（－3）＋（－1）×（－3）＝0，所以AB →⊥BC →，所以AB →＝DC →，即向量AB →与DC →对应的复数相等， 所以－3－i ＝－1－a －（2＋b ）i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝－1，－1－a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.所以OD →＝（2，－1）.故第四个顶点对应的复数是2－i. 答案：2－i14.（选做题）已知z 0＝2＋2i ，|z －z 0|＝ 2. （1）求复数z 在复平面内对应的点的轨迹；（2）求当z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值. 解：（1）设z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），由|z －z0|＝2， 即|x ＋y i －（2＋2i ）|＝|（x －2）＋（y －2）i|＝2， 解得（x －2）2＋（y －2）2＝2，所以复数z 对应的点的轨迹是以Z 0（2，2）为圆心，半径为2的圆. （2）当z 对应的Z 点在OZ 0的连线上时，|z |有最大值或最小值. 因为|OZ 0|＝22，半径r ＝2， 所以当z ＝1＋i 时，|z |min ＝ 2.。
高中数学第三章复数代数形式的加减运算及其几何意义教案新人教版选修
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学过程：一、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +。
向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？二、讲授新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。
④讨论：若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
例3．计算（1）(14)(72)i i +-- （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[练习：已知复数，试画出2Z i +，3Z -，(54)2Z i i ---2．小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。
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3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)[自主预习·探新知]1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. (2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．2．复数加减法的几何意义如图3-2-1，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．图3-2-1思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是什么？[提示]|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．[基础自测]1．思考辨析(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．()(2)复数与复数相加减后结果为复数．()(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．()[答案](1) √(2)√(3) √2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2＝ ()【导学号：31062210】A ．8iB ．6C ．6＋8iD ．6－8iB[z 1＋z 2＝3＋4i ＋3－4i ＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6.]3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－iA[(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A.]4．已知复数z ＋3i －3＝3－3i ，则z ＝( ) A ．0 B ．6i C ．6 D ．6－6iD[∵z ＋3i －3＝3－3i ，∴z ＝(3－3i)－(3i －3)＝6－6i.] 5．已知向量OZ →1对应的复数为2－3i ，向量OZ →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．[解析]Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.[答案]1－i[合作探究·攻重难]复数加减法的运算(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析](1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2.[答案](1)－2－i(2)2[规律方法]复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减[跟踪训练] 1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________.(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________. 【导学号：31062211】[解析](1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i ＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i ＝－7＋7i.(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i ＝－11i. [答案](1)6＋i(2)－7＋7i(3)－11i复数加减运算的几何意义(1)复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2.则|z 1－z 2|＝________.(2)如图3-2-2，平行四边形OABC 的顶点O 、A 、C 对应复数分别为0、3＋2i 、－2＋4i ，试求图3-2-2①AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③对角线OB →所表示的复数及OB →的长度． [解析](1)由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝2.(2)①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.②∵CA →＝OA →－OC →.∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③对角线OB →＝OA →＋OC →，它所对应的复数z ＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，|OB →|＝12＋62＝37.[规律方法]1.用复数加、减运算的几何意义解题的技巧形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2.常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形.[跟踪训练]2．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.【导学号：31062212】[解]设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2)＝(x －1，y －2)．BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵AD →＝BC →，∴x －1＝y －2＝－3，解得x ＝2y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.复数模的最值问题[探究问题]1．满足|z |＝1的所有复数z 对应的点组成什么图形？提示：满足|z |＝1的所有复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．2．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点组成什么图形？提示：∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．3．复数|z 1－z 2|的几何意义是什么？提示：复数|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应两点Z 1与Z 2间的距离．(1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是()A ．1B ．12C ．2D ．5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．(1)A[设复数－i ，i ，－1－i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋i|＋|z－i|＝2, |Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|＝1.所以|z ＋i ＋1|min ＝1.] (2)如图所示， |OM →|＝－32＋－2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.母题探究：1.(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z 满足|z －3－4i|＝1”，求|z |的最大值．[解]因为|z －3－4i|＝1，所以复数z 所对应的点在以C (3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z |的最大值是32＋42＋1＝6.2．(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．[解]因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP |－1＝22－1.[规律方法]|z 1－z 2|表示复平面内z 1，z 2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.[当堂达标·固双基]1. a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为() 【导学号：31062213】A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－iD[∵z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，∴z 1＋z 2＝2＋b i ＋(a ＋i)＝0，所以a ＝－2，b ＝－1，即a ＋b i ＝－2－i]2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B[z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．]3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________. [解析]|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.[答案]54．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.[解析]z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. [答案]－15．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离.【导学号：31062214】[解]向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2. ∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i. ∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝－2＋－2＝217.。