高考数学冲刺复习 精练39
高三数学最后阶段冲刺测试题.pdf
福建石狮石光华侨联合中学2011届高考最后阶段冲刺模拟卷数学文科卷 第Ⅰ卷 （选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若 ，则 （ ） A． B． C．-2D． 2．复数 （ ） A． B． C． D． 3．在?ABC中，sin A＝sin B是△ABC为等腰三角形的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 设双曲线 的虚轴长为2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 5．已知等差数列 等于( ) A． B． C．1D．—1 6．平面向量=（ ） A．4B．3 C．2 D． 7．已知函数 的最小正周期为 ，其图象向左平移 个单位后，得到的函数为奇函数，则 的图象（ ） Ａ．关于 对称 Ｂ．关于 对称 Ｃ．关于点 对称 Ｄ．关于直线 对称 8．m、n表示直线， 表示平面，给出下列四个命题： （1） （2） （3） （4） 其中真命题为 （ ） A．（1）、（2）B．（2）、（3） C．（3）、（4）D．（2）、（4） 9．右第9题程序中，若输入的数字是“5”,输出的结果是( ) A．6 B．24 C．120 D．720 10．已知定义在R上的奇函数 上单调递增，若 的内角满足 ，则角A的取值范围是（ ） A． B． C． ∪ D． 11．已知函数 的图像如右图 所示，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 12．椭圆 (a＞b＞0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率等于（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知 满足约束条件 则 的最小值为 ． 14．已知圆C的圆心与圆O： 的圆心关于直线l： 对称，且圆C与直线l相切，则圆C的方程为． 15．已知一个空间几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的表面积等于 ． （第16题） 16． 个正数排成n行n列（如 上表），其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列，且所有公比都相同，已知=. 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．注意把解答填入到答题卷上． 17．（本小题满分12分） 在锐角 中， ，边 是方程 的两个实根．求：⑴求角 的值；⑵三角形面积 及边 的长． 18．（本小题满分12分） 如图组合体中，三棱柱 的侧面 是圆柱的轴截面(过圆柱的轴截圆柱所得到的截面）, 是圆柱底面圆周上不与 、重合的一个点. (1)求证：无论点 如何运动，平面 平面 ； (2)当点 是弧 的中点时，求四棱锥 与圆柱的体积比． 19．（本小题满分12分） 一汽车厂生产A、B、C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆): 轿车A轿车B轿车C 舒适型160240z 标准型480720960 按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取80辆,其中有A类轿车16辆. (Ⅰ)求z的值； (Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率； (Ⅲ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的概率. 20．（本小题满分12分） 已知数列 满足： （1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式； （2）已知数列 满足： ，若 对任意的n 恒成立，求 的取值范围． 21．（本小题满分12分） 椭圆 的中心为坐标原点,上焦点（0，c）到直线 的距离为 ,离心率也为 ，直线 与 轴交于点 ,与椭圆 交于相异两点 . （I）求椭圆 的方程; （Ⅱ）若 ，求 的取值范围. 22．（本小题满分14分） 已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值． (I)求实数a的值； (Ⅱ)若关于x的方程，f(x)=在区间[O，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围； (Ⅲ)证明：对任意的正整数n，不等式ln 都成立． （参考公式： ） 参 考 答 案 1-5 DCACD 6-10 CDCCC 11-12 AC 13． 14. 15. 16. 17．解：（1）由已知 . ∴ ……3分 又 ， ∴ .在锐角 中， ……7分 （2）由韦达定理， ， ∴ ……10分 由余弦定理： ∴ ……12分 18．解：(1)因为侧面 是圆柱的的轴截面，故AB是底面圆的直径，又 是圆柱底面圆周上不与 、 重合一个点，所以 ……2分 又圆柱母线 ?平面 ， ?平面 ， 所以 ? ，又 ，所以 ?平面 ， 因为 ?平面 ，所以平面 平面 ； ……4分 (2)法1：设圆柱的底面半径为 ，母线长度为 ， 故四棱锥 与圆柱的体积比为 .……12分 (2)法2：设圆柱的底面半径为 ，母线长度为 ， 当点 是弧AB的中点时，三角形 的面积为 ， 三棱柱 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ， 四棱锥 的体积为 ，……8分 圆柱的体积为 ， ……10分 四棱锥 与圆柱的体积比为 . ……12分 19．解: (Ⅰ)设该厂本月生产轿车为n辆, 由题意得, ,所以n=3200，z=3200-160-480-2400-720-960=640. … 3分 (Ⅱ)设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以 ,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1),(S1, B2) ,(S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2),(S2 ,B3),(S1, S2),(B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3)，(S2 ,B1),(S2 ,B2),(S2 ,B3),(S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为 .……8分 (Ⅲ)样本的平均数为 , 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的数为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的概率为 .……12分 20．解：（1）由已知得： 即 勤 ……2分 是等差数列，首项为 ，公差为 ， ……4分 当 时， 也适合上式 ……6分 （2）由（1）得， ……7分 ， ……8分 ∴当 时， 当 时， ，当 时， 第二、三项取最大值为 ， ……10分 ∵ 对任意的n 恒成立，∴ 的最大值小于 ，∴ . 所以， 的取值范围 . ……12分 21．解：（I）设椭圆 设 由条件知 故椭圆 的方程为： ……4分 （Ⅱ）设 ： ，联立 ， 消去y 并化简得： , ……5分 ……6分 设 ，则 , ……7分 因 即 消 得=0 整理得 ……9分 当 时，上式不成立； ∴ .此时 因 ，即 或 ∴所求 的取值范围为 ……12分 22．解：(Ⅰ)= ……2分 ∵x=0时，f(x)取得极值，∴=0， ……3分 故=0，解得a=1.经检验a=1符合题意. ……4分 (Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2 - x，由f(x)=+b, 得ln(x+1)-x2+ x-b=0，令φ(x)=ln(x+1)-x2+ x-b， 则f(x)=+b在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0，2] 恰有两个不同实数根． ……5分 ， ……8分 当x∈(O，1)时， >O，于是φ(x)在(O，1)上单调递增； 当x∈(1，2)时， <0，于是φ(x)在(1，2)上单调递减． ……8分 依题意有 ∴ln3 -1≤b -1}， ……10分 由(Ⅰ)知 ， ……11分 令=0得，x=0或x=- (舍去)，∴当-1<x0，f(x)单调递增； 当x>0时， 0得，ln( +1)< + ，故ln( )< . ……14分 。
【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时练39《空间点直线平面间的位置关系》附答案解析
【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时精练39.空间点、直线、平面间的位置关系[A级基础题——基稳才能楼高]1．下列命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1B．2C．3D．42．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行3．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(2019·银川一中模拟)已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°[B级保分题——准做快做达标]1．下列说法错误的是()A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行2．(2019·长春质检)平面α，β的公共点多于两个，则①α，β平行；②α，β至少有三个公共点；③α，β至少有一条公共直线；④α，β至多有一条公共直线．以上四个判断中不成立的个数为()A．0B．1C．2D．33．(2019·云南大理模拟)给出下列命题，其中正确的两个命题是()①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．A．①与②B．②与③C．③与④D．②与④4．(2019·成都模拟)在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有()A．①②B．②③C．①③D．①②③5.(2019·广州模拟)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．46．(2019·常德期末)一个正方体的展开图如图所示，A ，B ，C ，D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB ∥CD B．AB 与CD 相交C．AB ⊥CDD．AB 与CD 所成的角为60°7．(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为()A.12B．－12C.32D．－328．(2019·福州质检)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与直线A 1B 1，EF ，BC 都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条9.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CFCB ＝CG CD ＝23，则下列说法中正确的是________(填序号)．①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上；④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．10．(2019·南京模拟)已知α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β；②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β；④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β.11．(2019·广东百校联盟联考)如图，E 是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点，且BD 1∥平面B 1CE ，则异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为________．12．(2019·广西南宁二中、柳州高中联考)如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，M ，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号)．①不论D折至何位置(不在平面内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.13.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.(1)求a的值；(2)求三棱锥B1A1BC的体积．解析39.空间点、直线、平面间的位置关系[A 级基础题——基稳才能楼高]1．下列命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l .A．1B．2C．3D．4解析：选B 根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.2．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定()A．与a ，b 都相交B．只能与a ，b 中的一条相交C．至少与a ，b 中的一条相交D．与a ，b 都平行解析：选C 如果c 与a ，b 都平行，那么由平行线的传递性知a ，b 平行，与异面矛盾．故选C.3．已知A ，B ，C ，D 是空间四点，命题甲：A ，B ，C ，D 四点不共面，命题乙：直线AC 和BD 不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 若A ，B ，C ，D 四点不共面，则直线AC 和BD 不共面，所以AC 和BD 不相交；若直线AC 和BD 不相交，若直线AC 和BD 平行时，A ，B ，C ，D 四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．4．(2019·银川一中模拟)已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选A 如图，取AC 的中点D ，连接DN ，DM ，由已知条件可得DN ＝23，DM ＝2.在△MND 中，∠DNM 为异面直线PA 与MN 所成的角，则cos∠DNM ＝16＋12－42×4×23＝32，∴∠DNM ＝30°.[B级保分题——准做快做达标]1．下列说法错误的是()A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行解析：选D两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，A正确，排除A；过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直，B正确，排除B；如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，C正确，排除C；如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行，D错误，选D.2．(2019·长春质检)平面α，β的公共点多于两个，则①α，β平行；②α，β至少有三个公共点；③α，β至少有一条公共直线；④α，β至多有一条公共直线．以上四个判断中不成立的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选C由条件知，当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．3．(2019·云南大理模拟)给出下列命题，其中正确的两个命题是()①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．A．①与②B．②与③C．③与④D．②与④解析：选D直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此①③为假命题．4．(2019·成都模拟)在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中正确的命题有()A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：选C 由题意画出草图如图所示，因为AA 1∥平面α，平面α∩平面AA 1B 1B ＝EH ，所以AA 1∥EH .同理AA 1∥GF ，所以EH ∥GF .又ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，易知EH ＝GF ＝AA 1，所以四边形EFGH 是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BCC 1B 1，由平面α∩平面A 1B 1C 1＝GH ，平面BCC 1B 1∩平面A 1B 1C 1＝B 1C 1，知GH ∥B 1C 1，而GH ∥B 1C 1不一定成立，故②错误；由AA 1⊥平面BCFE ，结合AA 1∥EH 知EH ⊥平面BCFE ，又EH ⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE ，故③正确．综上可知，故选C.5.(2019·广州模拟)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD .其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B 画出该几何体，如图所示，①因为E ，F 分别是PA ，PD 的中点，所以EF ∥AD ，所以EF ∥BC ，直线BE 与直线CF 是共面直线，故①不正确；②直线BE 与直线AF 满足异面直线的定义，故②正确；③由E ，F 分别是PA ，PD 的中点，可知EF ∥AD ，所以EF ∥BC ，因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以直线EF ∥平面PBC ，故③正确；④因为BE 与PA 的关系不能确定，所以不能判定平面BCE ⊥平面PAD ，故④不正确．所以正确结论的个数是2.6．(2019·常德期末)一个正方体的展开图如图所示，A ，B ，C ，D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB ∥CD B．AB 与CD 相交C．AB ⊥CDD．AB 与CD 所成的角为60°解析：选D 如图，把展开图中的各正方形按图①所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图②所示的直观图，可得选项A、B、C 不正确．图②中，DE ∥AB ，∠CDE 为AB与CD 所成的角，△CDE 为等边三角形，∴∠CDE ＝60°.∴正确选项为D.7．(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为()A.12B．－12C.32D．－32解析：选A 如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD 所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.8．(2019·福州质检)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与直线A 1B 1，EF ，BC 都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条解析：选D 在EF 上任意取一点M ，直线A 1B 1与M 确定一个平面，这个平面与BC 有且仅有1个交点N ，当M 的位置不同时确定不同的平面，从而与BC 有不同的交点N ，而直线MN 与A 1B 1，EF ，BC 分别有交点P ，M ，N ，如图，故有无数条直线与直线A 1B 1，EF ，BC 都相交．9.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法中正确的是________(填序号)．①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上；④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．解析：连接EH ，FG (图略)，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：④10．(2019·南京模拟)已知α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β；②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β；④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β.解析：由α∥β，m ⊂α，可得m ∥β，所以①正确；由m ∥α，n ⊂α，可得m ，n 平行或异面，所以②不正确；由α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，可得m 与β相交或m ⊂β，所以③不正确；由n ⊥α，n ⊥β，可得α∥β，又m ⊥α，所以m ⊥β，所以④正确．综上，正确命题的序号是①④.答案：①④11．(2019·广东百校联盟联考)如图，E 是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点，且BD 1∥平面B 1CE ，则异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为________．解析：不妨设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，连接BC 1，设B 1C ∩BC 1＝O ，连接EO ，如图所示，在△BC 1D 1中，当点E 为C 1D 1的中点时，BD 1∥OE ，则BD 1∥平面B 1CE ，据此可得∠OEC 为直线BD 1与CE 所成的角．在△OEC中，边长EC ＝5，OC ＝2，OE ＝3，由余弦定理可得cos∠OEC ＝3＋5－223×5＝155.即异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为155.答案：15512．(2019·广西南宁二中、柳州高中联考)如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号)．①不论D 折至何位置(不在平面内)都有MN ∥平面DEC ；②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB .解析：如图，①易证ABCE 为矩形，连接AC ，则N 在AC 上，连接CD ，BD ，易证在△ACD 中，MN 为中位线，MN ∥DC ，又MN ⊄平面DEC ，∴MN ∥平面DEC .①正确．②由已知，AE ⊥ED ，AE ⊥EC ，ED ∩EC ＝E ，∴AE ⊥平面CED ，又CD ⊂平面CED ，∴AE ⊥CD ，∴MN ⊥AE ，②正确．③MN 与AB 异面．假若MN ∥AB ，则MN 与AB 确定平面MNBA ，从而BE ⊂平面MNBA ，AD ⊂平面MNBA ，与BE 和AD 是异面直线矛盾．③错误．答案：①②13.在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，且异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角等于60°，设AA 1＝a .(1)求a 的值；(2)求三棱锥B 1A 1BC 的体积．解：(1)∵BC ∥B 1C 1，∴∠A 1BC 就是异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角，即∠A 1BC ＝60°.又AA 1⊥平面ABC ，AB ＝AC ，则A 1B ＝A 1C ，∴△A 1BC 为等边三角形，由AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°⇒BC ＝2，∴A 1B ＝2⇒1＋a 2＝2⇒a ＝1.(2)∵CA ⊥A 1A ，CA ⊥AB ，A 1A ∩AB ＝A ，∴CA ⊥平面A 1B 1B ，∴VB 1A 1BC ＝VC A 1B 1B ＝13×12×1＝16.14.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG⊥EG .在Rt△EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD所成的角为45°.。
高考数学一轮复习 题组层级快练39(含解析)
题组层级快练(三十九)1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项之和为( )A ．2n－1 B ．n ·2n－n C ．2n ＋1－n D ．2n ＋1－n －2答案 D解析 记a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1，∴S n ＝n－2－1－n ＝2n ＋1－2－n .2．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A.13 B.512 C.12 D.712答案 B 解析 b n ＝1a n ＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2， S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512. 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A ．13B ．10C ．9D ．6答案 D解析 ∵a n ＝2n－12n ＝1－12n ，∴S n ＝n －(12＋122＋…＋12n )＝n －1＋12n .而32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋164.∴n ＝6. 4．数列{(－1)n (2n －1)}的前2 016项和S 2 016等于( ) A ．－2 016 B ．2 016 C ．－2 015 D ．2 015答案 B解析 S 2 016＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 015－1)＋(2×2 016－1)＝＝2 016.故选B.5．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n－1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n－1 D.14(3n－1) 答案 B解析 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2·3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列，故选B. 6．已知等差数列{a n }的公差为d ，且a n ≠0，d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1可化简为( )A.nda 1a 1＋ndB.na 1a 1＋ndC.da 1a 1＋ndD.n ＋1a 1[a 1＋n ＋d ]答案 B 解析 ∵1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)，∴原式＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1)＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝na 1·a n ＋1，选B.7．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.8．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋2－n －2 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2 D ．2n ＋1－n －2答案 D解析 S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，①2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋…＋3×2n －2＋2×2n －1＋2n，②②－①，得S n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －2＋2n －1＋2n＝－n ＋－2n1－2＝2n ＋1－n －2.故选D.9．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f n}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n答案 A解析 ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)． 数列{1f n}(n ∈N *)的前n 项和为S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1.故选A. 10．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2 013的值为( )A.2 0102 011 B.2 0112 012 C.2 0122 013D.2 0132 014答案 D解析 直线与x 轴交于(2n，0)，与y 轴交于(0，2n ＋1)， ∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1nn ＋＝1n －1n ＋1. ∴原式＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12 013－12 014)＝1－12 014＝2 0132 014.11．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案 5 050解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝＋2＝5 050.12．S n ＝122－1＋142－1＋…＋1n2－1＝________. 答案n 2n ＋1解析 通项a n ＝1n2－1＝1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)，∴S n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1. 13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2n ，n 2－6n ＋18 n解析 由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7. ∴n ≤3时，a n <0；n >3时，a n >0.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2n ，n 2－6n ＋18 n14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则S 100＝________. 答案 2 600解析 由已知，得a 1＝1，a 2＝2，a 3－a 1＝0，a 4－a 2＝2，…，a 99－a 97＝0，a 100－a 98＝2. 累加得a 100＋a 99＝98＋3，同理得a 98＋a 97＝96＋3，…，a 2＋a 1＝0＋3， 则a 100＋a 99＋a 98＋…＋a 2＋a 1 ＝＋2＋50×3＝2 600.15．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________. 答案 9解析 ∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1(n ≥2)． 两式相减，得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n . ∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1a n＝4. ∴{a n }从第2项起是公比为4的等比数列． 当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3， ∴n ≥2时，a n ＝3·4n －2.S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×1－491－4＝1＋49－1＝49. ∴log 4S 10＝log 449＝9.16．已知数列{a n }为等比数列．T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋a n ，且T 1＝1，T 2＝4. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{T n }的通项公式． 答案 (1)a n ＝2n －1(2)T n ＝2n ＋1－n －2解析 (1)T 1＝a 1＝1，T 2＝2a 1＋a 2＝2＋a 2＝4，∴a 2＝2.∴等比数列{a n }的公比q ＝a 2a 1＝2. ∴a n ＝2n －1.(2)方法一：T n ＝n ＋(n －1)·2＋(n －2)·22＋…＋1·2n －1，①2T n ＝n ·2＋(n －1)22＋(n －2)23＋…＋1·2n，② ②－①，得T n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －1＋2n＝－n ＋－2n1－2＝－n ＋2n ＋1－2＝2n ＋1－n －2.方法二：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， ∴S n ＝1＋2＋…＋2n －1＝2n－1.∴T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋a 2)＋…＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋ (2))－n ＝－2n1－2－n＝2n ＋1－n －2.17．(2014·大纲全国理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .答案 (1)a n ＝13－3n (2)T n ＝n－3n思路 (1)先求公差d ，再求通项公式；(2)利用裂项相消法求和． 解析 (1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1－3n－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n－3n.1．(2015·安徽安庆二模)在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，对任意n ∈N *，函数f (x )＝a 2n ＋1x －a n a n＋2·(cos x ＋sin x )满足f ′(0)＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和S n .解析 (1)求导得f ′(x )＝a 2n ＋1－a n a n ＋2(－sin x ＋cos x )，由f ′(0)＝0，可得a 2n ＋1＝a n a n ＋2.又a n >0，故数列{a n }为等比数列，且公比q >0.由a 1＝1，a 5＝16，得q 4＝16，q ＝2.所以通项公式a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，①2S n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n.②①－②，得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n.∴S n ＝(n －1)·2n＋1.2．设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋12n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)因为方程x 2－14x ＋45＝0的两个根分别为5,9，所以由题意可知a 3＝5，a 5＝9，所以d ＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)可知，b n ＝a n ＋12n ＋1＝n ·12n ，∴T n ＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ·12n . ①∴12T n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)×12n ＋n ·12n ＋1. ② ①－②，得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n －n ·12n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以T n ＝2－n ＋22n .3．(2015·沧州七校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ＝2a n －2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b na n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥12. 解析 (1)当n ∈N *时，S n ＝2a n －2n ， 则当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，两式相减，得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2.∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴a n ＋2a n －1＋2＝2.当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2.∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2.(2)证明：b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，∴b na n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1， 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减，得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝14＋14－12n1－12－n ＋12＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2. ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1.当n ≥2时，T n －T n －1＝－n ＋32n ＋1＋n ＋22n＝n ＋12n ＋1>0，∴{T n }为递增数列，∴T n ≥T 1＝12.4．(2014·湖南十二校一联)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和S n ，求使得S n >21－2n 成立的最小整数n . 解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )．∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，公比为2的等比数列． ∴a n ＋1－a n ＝3·2n －1.∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3·2n －2，a n －1－a n －2＝3·2n －3，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3.累加，得a n －a 1＝3·2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)．∴a n ＝3·2n －1－2.又当n ＝1时，也满足上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.(2)由(1)利用分组求和法，得S n ＝3(2n －1＋2n －2＋…＋2＋1)－2n ＝3(2n －1)－2n .由S n ＝3(2n－1)－2n >21－2n ，得3·2n>24，即2n>8.∴n>3，∴使得S n>21－2n成立的最小整数n＝4.。
2019-2020年高考数学一轮复习 题组层级快练39(含解析)
2019-2020年高考数学一轮复习 题组层级快练39（含解析）1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项之和为( ) A ．2n －1 B ．n ·2n －n C ．2n ＋1－n D ．2n ＋1－n －2答案 D解析 记a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1， ∴S n ＝2·2n －12－1－n ＝2n ＋1－2－n .2．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A.13 B.512 C.12 D.712答案 B解析 b n ＝1a n ＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2，S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512. 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A ．13B ．10C ．9D ．6 答案 D解析 ∵a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝n －(12＋122＋…＋12n )＝n －1＋12n .而32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋164.∴n ＝6. 4．数列{(－1)n (2n －1)}的前2 016项和S 2 016等于( ) A ．－2 016 B ．2 016 C ．－2 015 D ．2 015答案 B解析 S 2 016＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 015－1)＋(2×2 016－1)＝＝2 016.故选B.5．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n －1)C ．9n －1 D.14(3n －1) 答案 B解析 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2·3n －1. 当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)． 则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列，故选B.6．已知等差数列{a n }的公差为d ，且a n ≠0，d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1可化简为( )A.nda 1a 1＋ndB.na 1a 1＋ndC.da 1a 1＋nd D.n ＋1a 1[a 1＋n ＋1d ]答案 B解析 ∵1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)，∴原式＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1)＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝na 1·a n ＋1，选B. 7．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.8．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( ) A ．2n ＋1＋2－n －2 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2 D ．2n ＋1－n －2答案 D解析 S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，① 2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋…＋3×2n －2＋2×2n －1＋2n ，② ②－①，得S n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －2＋2n －1＋2n ＝－n ＋21－2n 1－2＝2n ＋1－n －2.故选D.9．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f n }(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n答案 A解析 ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)． 数列{1f n }(n ∈N *)的前n 项和为S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn ＋1＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1.故选A.10．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2 013的值为( )A.2 0102 011B.2 0112 012 C.2 0122 013 D.2 0132 014答案 D解析 直线与x 轴交于(2n ，0)，与y 轴交于(0，2n ＋1)， ∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1. ∴原式＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12 013－12 014)＝1－12 014＝2 0132 014.11．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案 5 050解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝100×100＋12＝5 050.12．S n ＝122－1＋142－1＋…＋12n 2－1＝________.答案n2n ＋1解析 通项a n ＝12n2－1＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，∴S n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1. 13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18 n >3解析 由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7. ∴n ≤3时，a n <0；n >3时，a n >0.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2 1≤n ≤3，n 2－6n ＋18 n >3.14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________. 答案 2 600解析 由已知，得a 1＝1，a 2＝2，a 3－a 1＝0，a 4－a 2＝2，…，a 99－a 97＝0，a 100－a 98＝2. 累加得a 100＋a 99＝98＋3，同理得a 98＋a 97＝96＋3，…，a 2＋a 1＝0＋3， 则a 100＋a 99＋a 98＋…＋a 2＋a 1 ＝50×98＋02＋50×3＝2 600.15．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________. 答案 9解析 ∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1(n ≥2)． 两式相减，得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n . ∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1a n＝4.∴{a n }从第2项起是公比为4的等比数列． 当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3， ∴n ≥2时，a n ＝3·4n －2. S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48 ＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×1－491－4＝1＋49－1＝49. ∴log 4S 10＝log 449＝9.16．已知数列{a n }为等比数列．T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋a n ，且T 1＝1，T 2＝4. (1)求{a n }的通项公式； (2)求{T n }的通项公式．答案 (1)a n ＝2n －1 (2)T n ＝2n ＋1－n －2 解析 (1)T 1＝a 1＝1，T 2＝2a 1＋a 2＝2＋a 2＝4，∴a 2＝2. ∴等比数列{a n }的公比q ＝a 2a 1＝2.∴a n ＝2n －1.(2)方法一：T n＝n＋(n－1)·2＋(n－2)·22＋…＋1·2n－1，①2T n ＝n ·2＋(n －1)22＋(n －2)23＋…＋1·2n ，② ②－①，得T n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －1＋2n＝－n ＋21－2n1－2＝－n ＋2n ＋1－2＝2n ＋1－n －2. 方法二：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， ∴S n ＝1＋2＋…＋2n －1＝2n －1. ∴T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋a 2)＋…＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1) ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝21－2n1－2－n＝2n ＋1－n －2.17．(xx·大纲全国理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .答案 (1)a n ＝13－3n (2)T n ＝n1010－3n思路 (1)先求公差d ，再求通项公式；(2)利用裂项相消法求和． 解析 (1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝113－3n10－3n＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n . 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n 1010－3n .1．(xx·安徽安庆二模)在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，对任意n ∈N *，函数f (x )＝a 2n ＋1x －a n a n ＋2·(cos x ＋sin x )满足f ′(0)＝0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和S n .解析 (1)求导得f ′(x )＝a 2n ＋1－a n a n ＋2(－sin x ＋cos x )，由f ′(0)＝0，可得a 2n ＋1＝a n a n ＋2.又a n>0，故数列{a n }为等比数列，且公比q >0.由a 1＝1，a 5＝16，得q 4＝16，q ＝2.所以通项公式a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，① 2S n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .② ①－②，得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n .∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.2．设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋12n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)因为方程x 2－14x ＋45＝0的两个根分别为5,9，所以由题意可知a 3＝5，a 5＝9，所以d ＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)可知，b n ＝a n ＋12n ＋1＝n ·12n ，∴T n ＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ·12n . ①∴12T n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)×12n ＋n ·12n ＋1. ② ①－②，得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n －n ·12n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以T n ＝2－n ＋22n .3．(xx·沧州七校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ＝2a n －2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b n a n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥12.解析 (1)当n ∈N *时，S n ＝2a n －2n ， 则当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，两式相减，得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2. ∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴a n ＋2a n －1＋2＝2.当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2.∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2.(2)证明：b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1， ∴b n a n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2，12T n＝222＋123＋124＋…＋12n＋1－n＋12n＋2两式相减，得＝14＋141－12n1－12－n ＋12n ＋2 ＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2. ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1.当n ≥2时，T n －T n －1＝－n ＋32n ＋1＋n ＋22n ＝n ＋12n ＋1>0，∴{T n }为递增数列，∴T n ≥T 1＝12.4．(xx·湖南十二校一联)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和S n ，求使得S n >21－2n 成立的最小整数n . 解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得 a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )．∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，公比为2的等比数列． ∴a n ＋1－a n ＝3·2n －1.∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3·2n －2，a n －1－a n －2＝3·2n －3，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3. 累加，得a n －a 1＝3·2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)． ∴a n ＝3·2n －1－2.又当n ＝1时，也满足上式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *. (2)由(1)利用分组求和法，得S n ＝3(2n －1＋2n －2＋…＋2＋1)－2n ＝3(2n －1)－2n . 由S n ＝3(2n －1)－2n >21－2n ，得3·2n >24，即2n >8. ∴n >3，∴使得S n >21－2n 成立的最小整数n ＝4..。
北京市西城区第三十九中2025届高考临考冲刺数学试卷含解析
北京市西城区第三十九中2025届高考临考冲刺数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④2．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．123．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺4．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．623+B ．622+C ．8D ．65．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧6．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．327．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．810C ．24D ．1638．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．23C ．223D ．229．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)10．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-11．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B ．5C ．655D ．612．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A 2B 3C ．2D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学强化复习训练题39.doc
高三数学强化训练（39）1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a ，b ，c 三数成等比数列的充要条件是b 2= ac ”；“a ，b ，c 三数成等差数列的充要条件是2b = a +c ”，以上四个命题中，正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知数列{a n }中，a n =1562+n n (n ∈N )，则数列{a n }的最大项是A ．第12项B ．第13项C ．第12项或13项D ．不存在 3．在等差数列中，前n 项的和为S n ,若S m =2n ,S n =2m ,(m 、n ∈N 且m ≠n )，则公差d 的值为A ．－mnn m )(4+ B ．－)(4n m mn + C ．－mn n m )(2+ D ．－)(2n m mn + 4．如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．1845a a a a +>+D ．5481a a a a = 5．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 .6．数列}{n a 中，)2(3,311≥==-n a a n a n ，求2006a 的末位数字是 .7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，， 其中A B ，为常数.(Ⅰ)求A 与B 的值； (Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列；(Ⅲ)1对任何正整数m n ，都成立.参考答案ACAB -2 77.解：（Ⅰ）由已知，得111S a ==，2127S a a =+=，312318S a a a =++=.由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，知 2132372122S S A B S S A B --=+⎧⎨-=+⎩，， 即 28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，， 解得 20A =-，8B =-.（Ⅱ）方法1由（Ⅰ），得 1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--， ① 所以21(53)(57)2028n n n S n S n ++--+=--. ② ②-①，得21(53)(101)(52)20n n n n S n S n S ++---++=-， ③ 所以321(52)(109)(57)20n n n n S n S n S ++++-+++=-. ④ ④-③，得321(52)(156)(156)(52)0n n n n n S n S n S n S ++++-+++-+=. 因为11n n n a S S ++=-，所以321(52)(104)(52)0n n n n a n a n a ++++-+++=. 又因为520n +≠，所以32120n n n a a a +++-+=，即3221n n n n a a a a ++++-=-，1n ≥. 所以数列{}n a 为等差数列.方法2由已知，得111S a ==，又1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--，且580n -≠， 所以数列{}n S 是唯一确定的，因而数列{}n a 是唯一确定的. 设54n b n =-，则数列{}n b 为等差数列，前n 项和(53)2n n n T -=. 于是1(1)(52)(53)(58)(52)(58)(52)20822n n n n n n n T n T n n n +++---+=--+=--， 由唯一性得 n n b a =，即数列{}n a 为等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，15(1)54n a n n =+-=-.1，只要证51mn m n a a a >++因为54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，故只要证5(54)12520()16mn mn m n ->+-+++，即只要证202037m n +->因为558m n a a m n +=+-558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-， 所以命题得证.。
高考数学冲刺复习 精练39
数学冲刺复习数学精练（39）1.在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且sin ,sin 510A B == （I ）求A B +的值；（II ）若1a b -=，求a b c 、、的值。
2. 已知函数2()2sin cos 2cos ()f x x x x x R =-∈ ．（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的取值范围．3. 已知函数()cos cos 133f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0>ω，R x ∈），且函数()f x 的最小正周期为π．(1)求函数()f x 的解析式并求()f x 的最小值；(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若()f B =1，92BA BC ⋅=u u u r u u u r ,且3a c +=b ．4．已知函数()223sin cos 5cos f x x x x x =++． （1）若()5f α=，求tan α的值；（2）设ABC ∆三内角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且2222222a c b ca b c a c+-=+--，求()f x 在(]0,B 上的值域． 5. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =(3,1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.6 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45o且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45o +θ(其中sin θ=2626，090θ<<o o)且与点A 相距1013海里的位置C . （I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.7 .设点F(0,23),动圆P 经过点F 且和直线y=23-相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W. ⑴求曲线W 的方程；⑵过点F 作相互垂直的直线1l ，2l ，分别交曲线W 于A,B 和C,D.①求四边形ABCD 面积的最小值；②分别在A,B 两点作曲线W 的切线，这两条切线的交点记为Q,求证：QA ⊥QB,且点Q 在某一定直线上。
辽宁省朝阳市2024高三冲刺(高考数学)统编版能力评测(冲刺卷)完整试卷
辽宁省朝阳市2024高三冲刺（高考数学）统编版能力评测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题已知复数满足，其中为虚数单位，则为（）A．B．1C．D．2第(3)题如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题设是可导函数，且，则（）A．B．-1C．0D．-2第(6)题漳州某校为加强校园安全管理，欲安排12名教师志愿者（含甲、乙、丙三名教师志愿者）在南门、北门、西门三个校门加强值班，每个校门随机安排4名，则甲、乙、丙安排在同一个校门值班的概率为（）A．B．C．D．第(7)题极坐标方程的图形是（）A．B．C．D．第(8)题若，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A ．复数（为虚数单位）的虚部为B．已知复数，若，则C．若，则的最小值为1D．已知复数，复数的虚部不为0，则第(2)题已知函数是上的奇函数，且满足，当时，．则下列四个命题中正确的是（）A．函数为奇函数B．函数为偶函数C．函数的周期为8D．函数在区间上有4个零点第(3)题已知函数的定义域与值域均为，且，则（）A．B．函数的周期为4C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题曲线y＝e x在处的切线方程是_____________ .第(2)题已知数据的方差为16，则数据的标准差为______.第(3)题设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）证明：；（2）若，，求的面积.第(2)题（1）已知，证明：；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.第(3)题民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学员，据统计某校高三在校学生有1000人，其中男学生600人，女学生400人，男女各有100名学生有报名意向．(1)完成给出的列联表，并分别估计男、女学生有报名意向的概率；有报名意向没有报名意向合计男学生女学生合计(2)判断是否有的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关．附：，其中：，0.100.050.0250.0100.0012.7063.841 5.024 6.63510.828第(4)题已知函数有两个极值点．（1）求a的取值范围；（2）求证：．第(5)题已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆与矩形的四边都相切且焦距为，__________.①为等差数列；②为等比数列.(1)在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；(2)（1）中所求的左､右焦点分别为，过作直线与椭圆交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于两点，求以为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若不是请说明理由。
辽宁省抚顺市2024高三冲刺(高考数学)统编版真题(冲刺卷)完整试卷
辽宁省抚顺市2024高三冲刺（高考数学）统编版真题(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（）A．在区间上为增函数B．C．D．第(2)题已知，则（）A．－B．－3C．1D．第(3)题已知等比数列满足，则（）A．B．C．D．第(4)题如图位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早､规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，已知正四棱锥的高为，其侧棱与底面的夹角为，则该正四棱锥的体积约为（）A．B．C．D．第(5)题已知复数，则（）A．B．C．D．第(6)题若复数满足.则（）A．B．C．D．第(7)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题在区间上任取一个数，则取到的数大于2的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线的准线上，过抛物线C的焦点F作直线l交C于P，Q两点，点，则下列结论正确的是（）A．当时，直线l的斜率为B．当时，C．D．第(2)题已知圆，直线，则（）A．直线过定点B．直线与圆可能相离C．圆被轴截得的弦长为D．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为第(3)题已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题为了了解全民健身活动的开展情况，通过街头调查的方式随机调查了路人每天步行的步数情况.经过整理绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中数据估计被调查的路人每天步行步数的平均数约为________.第(2)题已知，关于n的方程有且仅有一个解，则实数______．第(3)题已知圆C过点两点，且圆心C在y轴上，经过点且倾斜角为锐角的直线l交圆C于A，B两点，若(C为圆心)，则该直线l的斜率为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数（1）判断函数的单调性；（2）若函数有极大值点，求证：.第(2)题如图，为测量某雕像AB的高度（B，C，D，F在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点B，且B，C，D三点共线），某校研究性学习小组同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为，，，米．(1)求雕像AB的高度；(2)当观景点C与F之间的距离为多少米时，△CDF的面积最大？并求出最大面积．第(3)题已知O为坐标原点，设椭圆的离心率为，过椭圆E上第一象限内一点P引x轴、y轴的平行线，分别交y轴、x轴于点A，B，且分别交直线于点Q，R，记与的面积分别为，，满足．(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知点，直线交椭圆E于S，T两点，直线NS，NT分别与x轴交于C，D两点，证明：为定值．第(4)题已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于.(1)求的方程；(2)设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左､右顶点，直线分别与轴交于点.过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明：.第(5)题已知函数，其中常数.（1）若，令，求的单调递增区间；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若，且时，求证：.。
广东省清远市2024高三冲刺(高考数学)部编版能力评测(冲刺卷)完整试卷
广东省清远市2024高三冲刺（高考数学）部编版能力评测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设，有如下两个命题：①函数的图象与圆有且只有两个公共点；②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图象上．则下列说法正确的是（）．A．①正确，②正确B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确D．①不正确，②不正确第(2)题设等差数列的前n项和为，，，则满足的正整数n的最大值为（）A．16B．15C．12D．8第(3)题如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（）A．B．C．D．第(4)题已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为A．B．C．D．第(5)题已知，若存在，使，则称函数与互为“度零点函数”．若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为A．B．C．D．第(6)题已知函数（）在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,,，则的大小关系是A．B．C．D．第(8)题某购物网站在年月开展“全部折”促销活动，在日当天购物还可以再享受“每张订单金额（折后）满元时可减免元”．某人在日当天欲购入原价元（单价）的商品共件，为使花钱总数最少，它最少需要下的订单张数为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，则下列命题正确的是（）A．该简谐运动的初相为B．该简谐运动的频率为C．前6秒该质点的位移为D ．当时，位移随着时间的增大而增大第(2)题已知数列满足，为其前n项和，则（）A．B．C．D．第(3)题已知函数的定义域为R，满足，且，则（）A．B．为奇函数C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18 cm的扇形，则圆锥的母线与底面所成角的余弦值为__________.第(2)题已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是_______．第(3)题的二项展开式中的系数为____________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数（是自然对数的底）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求正数的取值范围.第(2)题已知椭圆的左､右焦点分别为.等轴双曲线的顶点是的焦点，焦点是的顶点.点在上，且位于第一象限，直线与的交点分别为和，其中在轴上方.(1)求和的方程；(2)求证：为定值；(3)设点满足直线的斜率为1，记的面积分别为.从下面两个条件中选一个，求的取值范围.①；②.第(3)题已知函数，是的导函数．(1)设，证明：是增函数；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．第(4)题已知函数．(1)若对时，，求正实数a的最大值；(2)证明：；(3)若函数的最小值为m，试判断方程实数根的个数，并说明理由．第(5)题某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得.(1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；(2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.附：相关系数。
辽宁省抚顺市2024高三冲刺(高考数学)人教版能力评测(冲刺卷)完整试卷
辽宁省抚顺市2024高三冲刺（高考数学）人教版能力评测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（）A．B．C．D．第(2)题两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有A．10种B．15种C．20种D．30种第(3)题已知为虚数单位，为实数，若，则（）A．2B．3C．4D．5第(4)题已知定义在上的奇函数在上递减，若对恒成立，则的取值范围为A．B．C．D．第(5)题已知集合，，则（）A．或B．C．或D．第(6)题高为5的圆锥的顶点和底面圆都在球的表面上，若球的体积为，则这个圆锥的体积为（）A．B．C．D．第(7)题已知直线：和圆：，则是直线和圆有公共点的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题化简的结果是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在中，设，，，则下列命题正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．C．若，则D．若，则第(2)题射击作为一项综合运动项目，不仅需要选手们技术上的过硬，更需要他们在临场发挥时保持冷静和专注.第19届亚运会在我国杭州举行，女子10米气步枪团体决赛中，中国队以1896.6环的成绩获得金牌，并创造新的亚洲纪录.决赛中，中国选手黄雨婷、韩佳予和王芝琳在最后三轮比赛中依次射击，成绩（环）如下：黄雨婷韩佳予王芝琳第4轮105.5106.2105.6第5轮106.5105.7105.3第6轮105106.1105.1则下列说法正确的是A．三轮射击9项成绩极差为1.5B．三轮射击成绩最好的一轮是第五轮C．从三轮射击成绩来看，黄雨婷射击成绩最稳定D．从三轮各人平均成绩来看，韩佳予表现更突出第(3)题下列说法正确的有（）A．若事件A和事件B互斥，B．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11C．若随机变量，，则D．若y关于x的回归方程为，则y与x是线性负相关关系三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数在上存在零点，且，则的取值范围是_____.第(2)题写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程__________．第(3)题“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为，在图①中取的中点，以为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则___________；___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：；(3)若函数在区间上无零点，求a的取值范围．第(2)题已知函数，直线与的图象交点之间的最短距离为.（1）求的解析式及其图象的对称中心；（2）设的内角､､的对边分别为､､，若是锐角，且，，，求的面积.第(3)题已知函数．(1)设曲线在点处的切线为，求与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若，证明：曲线与直线仅有一个交点．第(4)题已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的长．第(5)题已知函数.（1）解不等式.（2）已知，，的最大值，，求的最小值.。
云南省昭通市2024高三冲刺(高考数学)苏教版能力评测(冲刺卷)完整试卷
云南省昭通市2024高三冲刺（高考数学）苏教版能力评测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间（单位：小时）在的学生有210人，则（）A．300B．360C．400D．480第(2)题已知集合，，若，则中元素的和为（）A．B．C．D．第(3)题已知，，是直线，是平面，若，，则“，”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(4)题在等差数列中，若，则（）A．B．C．D．第(5)题已知点为抛物线C：上一点，为抛物线的焦点，则（）A．B．C．D．第(6)题某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（）A．B．C．D．第(7)题斐波那契数列满足，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（）项.A．2022B．2023C．2024D．2025第(8)题2023年春节期间有七部国产电影上映，其中有两部动画片，《满江红》､《流浪地球2》的票房比较领先，两部动画片也取得了不错的票房.甲､乙两名同学计划从这七部电影中各自选择三部电影观看，若他们都准备观看《满江红》与《流浪地球2》中的一部，且都准备观看一部动画片，则他们恰好观看了两部相同电影的所有可能情况有（）A．24种B．36种C．48种D．64种二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题过直线上一点作拋物线的两条切线，设切点分别为，记是线段的中点，则（）A．直线经过该抛物线的焦点B．直线轴C．线段的中点在该抛物线上D．以线段为直径的圆与抛物线的准线相交第(2)题先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（）A．B．C．事件与事件相互独立D．第(3)题已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（）．A．函数的定义域为B．函数为非奇非偶函数C．过点且与图象相切的直线方程为D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则_________.第(2)题设变量，满足，则目标函数的最小值为___________.第(3)题展开式中的系数为60，则实数______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题点是抛物线：（）的焦点，为坐标原点，过点作垂直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，，抛物线的准线与轴交于点．(1)求抛物线的方程；(2)设、是抛物线上异于、两点的两个不同的点，直线、相交于点，直线、相交于点，证明：、、三点共线．第(2)题已知函数，再从条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线﹔条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为﹐这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，求：(1)函数的解析式；(2)已知，若在区间上的最小值为，求m的最大值．第(3)题在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．(1)求角B的大小；(2)若，求的面积的最大值．第(4)题已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若动直线l与曲线C交于，两点（其中），点A关于x轴对称的点为A'，且直线BA'经过点．（ⅰ）求证：直线l过定点；（ⅱ）若，求直线l的方程．第(5)题2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共有32支球队获得比赛资格．赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，世界杯周边商品七成“义乌造”．某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷．该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：(1)若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m的值，并计算这200人得分的平均值（同一组数据用该区间中点值作为代表）；(2)该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为，未抽中奖的概率为，现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动，记Y为他获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．。
广东省清远市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)真题(巩固卷)完整试卷
广东省清远市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）真题(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知定义域是的函数满足对于任意都有，且，则（）A．B．C．D．第(2)题已知，，则（）．A．B．C．D．第(3)题已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(4)题已知，则（）A．B．C．D．第(5)题若复数，为虚数单位，则的虚部为（）A．B．C．1D．2第(6)题已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(7)题已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．第(8)题一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义：①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即；②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即；③把点的纵坐标的倒数叫作的余割，记作，即；④把点的横坐标的倒数叫作的正割，记作，即.下列结论正确的有（）A．B ．当时，C．函数的定义域为D ．当且时，二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题是定义在R上的奇函数，对任意，均有，当时，，则下列结论正确的是（）A．4是函数的一个周期B．当时，C．当时，的最大值为D．函数在上有1012个零点第(2)题已知菱形中，，，与相交于点，将沿折起来，使顶点移至点的位置，在折起的过程中，下列结论正确的是（）A．存在某个位置使得B．当为等边三角形时，C．当二面角为时，三棱锥外接球表面积为D．设为线段的中点，则三棱锥体积的最大值为第(3)题在直三棱柱中，，，为的中点，点是线段上的点，则下列说法正确的是（）A．B．存在点，使得直线与所成的角是C．当点是线段的中点时，三棱锥外接球的表面积是D．当点是线段的中点时，直线与平面所成角的正切值为．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则 ______.第(2)题已知双曲线的渐近线方程为，且，则双曲线的方程为___________.第(3)题设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，，，．(1)求；(2)若角为钝角，求的周长．第(2)题已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍．(1)求双曲线的标准方程；(2)若，是双曲线上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由．第(3)题已知椭圆经过点.(1)求椭圆的方程及其离心率；(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.第(4)题已知函数，且．(1)求的极值点；(2)设，若，分别是的零点和极值点，证明：．第(5)题为了选拔雏鹰计划的预备人员，某地区教育局对高一年级新生进行了测试（测试分为初试和复试）．现共有400名学生参加初试，且所有学生的初试成绩近似服从正态分布，根据以往入选同学的初试和复试成绩走势，本届复试作出如下规定：①初试成绩高于91分者免于复试，直接确定为雏鹰计划的预备人员；②初试成绩高于80分且不超过91分的学生有资格参加复试，下图为从以往入围雏鹰计划预备人员的所有同学中随机抽取的20名同学的的初试和复试成绩．(1)试估计这400名学生中能参加复试的人数，并说明规定①的合理性；(2)复试试题由两道数学题和两道物理题构成，已知数学题的难度系数为0.5（可以理解为进入复试的学生答对每道数学题目的概率是0.5），物理题目的难度系数均为，能否答对这些题目相互独立，每个考生需答完四个题目，至少答出其中三个即通过复试并确定为雏鹰计划的预备人员，如果本次确定为雏鹰计划的预备人员数目不能超过33人，请确定物理试题的难度系数的取值范围．附：若随机变量服从正态分布，则，。
辽宁省抚顺市2024高三冲刺(高考数学)部编版能力评测(强化卷)完整试卷
辽宁省抚顺市2024高三冲刺（高考数学）部编版能力评测(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，第(2)题某学校为调查学生参加课外体育锻炼的时间，将该校某班的40名学生进行编号，分别为00，01，02，…，39，现从中抽取一个容量为10的样本进行调查，选取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取数据，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为（）90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 3546 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 75A．07B．40C．35D．23△ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（）第(3)题A．B．C．3D．第(4)题设向量，，则与一定不是（）A．平行向量B．垂直向量C．相等向量D．相反向量第(5)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题若x，y满足约束条件，则的最小值为（）A．B．0C．4D．16第(7)题已知是两个非零向量，设．给出定义：经过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，则称向量，为在上的投影向量．已知，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（）A．B．若，则有两解C．当时，为直角三角形D．若为锐角三角形，则的取值范围是第(2)题下列命题中正确的是（）A．B．复数的虚部是C ．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限D．满足的复数在复平面上对应点的轨迹是双曲线第(3)题在棱长为 1 的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则（）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当，四棱锥的外接球的表面积是C．周长的最小值为D．若，则点的轨迹长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题高三某位同学参加物理､化学､政治科目的等级考，已知这位同学在物理､化学､政治科目考试中得A+概率分别为，这三门科目考试成绩互不影响，则这位考生至少得2个A+的概率为___________.第(2)题航天（Spaceflight）又称空间飞行，太空飞行，宇宙航行或航天飞行，是指进入、探索、开发和利用太空（即地球大气层以外的宇宙空间，又称外层空间）以及地球以外天体各种活动的总称．航天活动包括航天技术（又称空间技术），空间应用和空间科学三大部分．为了激发学生对航天的兴趣，某校举行了航天知识竞赛．小张，小胡、小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题．已知小张同学答对的概率是，小张、小胡两位同学都答错的概率是，小胡、小郭两位同学都答对的概率是．若各同学答题正确与否互不影响，则小张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答对这道题的概率为______．第(3)题已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在某个掷骰子放球的游戏中，规定：若掷出1点，则向甲盒中放一球；若掷出2点或3点，则向乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，则向丙盒中放一球．前后共掷3次骰子，设，，分别表示甲、乙、丙3个盒中的球数．(1)求，，依次成公差大于0的等差数列的概率；(2)记，求随机变量的分布列和数学期望．第(2)题已知函数．(1)求函数的极值点；(2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点．第(3)题如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为等边三角形，分别为棱的中点.(1)棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)若，当二面角为时，证明：直线与平面所成角的正弦值小于.第(4)题已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前项和;(3)数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列?若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由.第(5)题已知等比数列的前项和为，满足，且.(1)求数列的公比；(2)若，求数列的前项和.。
广东省潮州市2024高三冲刺(高考数学)人教版能力评测(巩固卷)完整试卷
广东省潮州市2024高三冲刺（高考数学）人教版能力评测(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（）A．B．C．D．第(2)题已知集合，，则的子集个数为（）A．5B．4C．3D．2第(3)题若集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题在和中，若，，则（）A．与均是锐角三角形B．与均是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形第(5)题已知函数若有3个实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（）A．B．C．D．第(7)题若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“的饱和函数”．给出下列五个函数：①；②；③；④．其中是“的饱和函数”的所有函数的序号为（）A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④第(8)题在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐，新能源汽车作为新能源中的重要支柱产业之一取得了长足的发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型进行估计．其中y为第t年底新能源汽车的保有量，r为年增长率，M为饱和量，为初始值（单位：万辆）．若该省2021年底的新能源汽车拥有量为20万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1300万辆，那么2031年底该省新能源汽车的保有量为（精确到1万辆）（参考数据：，）（）A．62万B．63万C．64万D．65万二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，是圆：上的两点，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．若点到直线的距离为，则C．若，则的最大值为4D．的最小值为已知数列的前n项和为，且或的概率均为．设能被3整除的概率为，则（）A．B．C．D．当时，第(3)题在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，则（）A．线段AC的垂直平分线的方程为B．过点的圆的切线方程为C．以AC为直径的圆与圆的公共弦所在直线的方程为D．满足的动点的轨迹为圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知抛物线的焦点为，经过的直线，与的对称轴不垂直，交于，两点，点在的准线上，若为等腰直角三角形，则______．第(2)题在数列中，，，若，则正整数____________．第(3)题已知中，，，，则的面积为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知在平面直角坐标系中，有两定点，动点满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)若抛物线与轨迹按顺时针方向依次交于四点（点在第一象限）.①求证：直线与直线相交于点；②设的面积为S，求S取最大值时的抛物线方程.第(2)题某校为纪念“”运动，组织了全校学生参加历史知识竞赛，某教师从高一､高二年级各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分为分），绘制成如下所示的频率分布直方图：(1)分别估计高一､高二竞赛成绩在内的人数；(2)学校规定竞赛成绩不低于分的为优秀，根据所给数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为竞赛成绩的优秀与年级有关？非优秀优秀合计高一年级高二年级合计100附：其中.已知函数有两个零点.(1)求的取值范围；(2)求证：（其中是自然对数的底数）.第(4)题某种水箱用的“浮球”是由两个相同半球和一个圆柱筒组成，它的轴截面如图所示，已知半球的直径是，圆柱筒高，为增强该“浮球”的牢固性，给“浮球”内置一“双蝶形”防压卡，防压卡由金属材料杆,,,,,及焊接而成，其中,分别是圆柱上下底面的圆心，，，，均在“浮球”的内壁上，AC，BD通过“浮球”中心，且、均与圆柱的底面垂直．（1）设与圆柱底面所成的角为，试用表示出防压卡中四边形的面积，并写出的取值范围；（2）研究表明，四边形的面积越大，“浮球”防压性越强，求四边形面积取最大值时，点到圆柱上底面的距离．第(5)题已知且在上单调递增，.(1)当取最小值时，证明恒成立.(2)对，，使得成立，求实数的取值范围.。
广西桂林市2024高三冲刺(高考数学)部编版测试(巩固卷)完整试卷
广西桂林市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若两函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（）A．1B．2C．3D．4第(2)题某厂商推出一款儿童特制蛋卷冰淇淋，冰淇淋外层蛋卷是厚度均匀的空心圆锥，圆锥底面外径约为，底面内径约为，圆锥的高约为，则外层蛋卷的体积约为（）A．B．C．D．第(3)题是虚数单位，（ ）A．B．C．D．第(4)题如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．以上四个结论中，正确结论的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．①③④第(5)题如图，在长为6，宽为4的长方形内任取一点，使它到四个顶点的距离均不小于2的概率为（）A．B．C．D．第(6)题立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有6位老师、4位学生进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件表示“第k位发言的是学生”，则（）A．B．C．D ．第(7)题设集合A ＝｛x |＜0，B ＝｛x || x －1|＜a ，则“a ＝1”是“A∩B≠”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件第(8)题如图，A ，B ，C 是正方体的顶点，，点P 在正方体的表面上运动，若三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则三棱锥的体积为（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题亚洲奥林匹克理事会宣布，原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．为了加大宣传力度，杭州某社区进行了以“中国特色、浙江风采、杭州韵味”为主题的知识竞赛，现随机抽取30名选手，其得分如图所示．设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(2)题为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图（如图）：根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B ．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元第(3)题下列命题中，错误的是（ ）A．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题直线分别与轴､轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是___________.第(2)题某老师为了了解班级学生一周体育锻炼的时间，随机抽查了一位学生一周的锻炼时间，如下表：周一周二周三周四周五周六周日锻炼时长 1.2 1.5 1.6 1.312 1.8则这组数据的分位数为______h ．第(3)题已知椭圆，若存在过点且相互垂直的直线、使得、与椭圆均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是_____.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若方程有解，求a 的取值范围．第(2)题已知，，均为正实数，且.(1)若，求证：；(2)若，求的取值范围.第(3)题已知函数．(1)若时，求函数的极值；(2)若，设函数的较大的一个零点记为，求证：．第(4)题已知椭圆T ：，其上焦点F 与抛物线K ：的焦点重合.(1)若过点F 的直线交椭圆T 于点A 、B ，同时交抛物线K 于点C 、D （如图1所示，点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试证明：线段AC 大于BD 长度的大小；(2)若过点F 的直线交椭圆T 于点A 、B ，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E 、G （如图2所示），试求四边形AEBG 面积的最小值.第(5)题勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前个月对某种食材的需求总量（公斤）近似地满足．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前个月的进货总量须不低于前个月的需求总量.（1）如果每月初进货公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货（公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求的最小值．。
广东省潮州市2024高三冲刺(高考数学)部编版真题(巩固卷)完整试卷
广东省潮州市2024高三冲刺（高考数学）部编版真题(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，是函数的图象上的相异两点，若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（）A．7B．8C．9D．10第(3)题已知函数，，则的取值范围为( )A．B．C．D．第(4)题函数的大致图象为（）A．B．C．D．第(5)题在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（）A．6种B．9种C．18种D．36种第(7)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(8)题如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的部分图象如图所示，则（）A．π是函数的一个周期B．是函数的图象的一条对称轴C ．函数在上单调递减D．，恒成立第(2)题若正实数满足，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．第(3)题如图，在三棱锥中，平面，，，，为垂足，则下列命题正确的是（）A．三棱锥的外接球的表面积为.B．三棱锥的外接球的体积为C．三棱锥的外接球的体积为D．三棱锥的外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数（，）且），若恒成立，则的最小值为______.第(2)题正的边长为1，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N，，，．给出下列四个结论：①；②若，则；③不是定值，与直线l的位置有关；④与的面积之比的最小值为．其中所有正确结论的序号是______．第(3)题在数列中，，，，则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某校对甲、乙两个文科班最近一次的数学考试成绩进行分析，统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部100人中随机抽取1人，该人的数学成绩为优秀的概率为．优秀非优秀总计甲班10乙班30总计100（1）请完成上面的列联表，并根据列联表中的数据，判断是否有95%的把握认为“数学成绩是否优秀与班级有关系”；（2）按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取若干人：先把甲班优秀的10名学生从1到10进行编号，再同时抛掷两枚相同的骰子（骰子是质地均匀的），将序号比两枚骰子掷得的点数之和小的所有学生抽出，求抽到9号学生的概率．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828第(2)题已知向量，，.（1）求的值；（2）若，，且，求的值.第(3)题元宵节学校开展了丰富多彩的游乐活动，高三（1）班除了有猜灯谜有奖活动，另外还设置了一项“买信封”活动，规则如下；一个抽屉中装有5个信封，其中有1个信封里装有5元钱，2个信封里装有2元钱，2个信封里装有1元钱，某人口袋里有5元钱，最多可以买2个信封（每个信封卖2元钱）.(1)求此人买的第2个信封里装有5元钱的概率；(2)问此人是买一个信封好，还是买两个信封好?（以此人最终口袋里的钱数的平均值为依据）.第(4)题已知在等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.第(5)题“足球进校园”一直是热议话题.2014年11月26日国务院召开全国青少年校园足球工作电视电话会议，强调教育部将主导校园足球，坚持体教结合，锐意改革创新，并推出一系列措施推动校园足球普及，促进青少年强身健体､全面发展，夯实国家足球事业人才基础.为了解某区域足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：年份x20162017201820192020足球特色学校y(百个)1.001.401.701.902.00（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱；（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该区域2022年足球特色学校的个数(精确到个).(注：当，则认为y与x的线性相关性较弱；当，则认为y与x的线性相关性一般；当，则认为y与x的线性相关性很强)附：回归方程：，其中；相关系数；参考数据：.。
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数学冲刺复习数学精练（39）1.在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且sin ,sin 510A B == （I ）求A B +的值；（II ）若1a b -=，求a b c 、、的值。
2. 已知函数2()2sin cos 2cos ()f x x x x x R =-∈ ．（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的取值范围．3. 已知函数()cos cos 133f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0>ω，R x ∈），且函数()f x 的最小正周期为π．(1)求函数()f x 的解析式并求()f x 的最小值；(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若()f B =1，92BA BC ⋅=u u u r u u u r ,且3a c +=b ．4．已知函数()223sin cos 5cos f x x x x x =++． （1）若()5f α=，求tan α的值；（2）设ABC ∆三内角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且2222222a c b ca b c a c+-=+--，求()f x 在(]0,B 上的值域． 5. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =(3,1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.6 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45o且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45o +θ(其中sin θ=2626，090θ<<o o)且与点A 相距1013海里的位置C . （I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.7 .设点F(0,23),动圆P 经过点F 且和直线y=23-相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W. ⑴求曲线W 的方程；⑵过点F 作相互垂直的直线1l ，2l ，分别交曲线W 于A,B 和C,D.①求四边形ABCD 面积的最小值；②分别在A,B 两点作曲线W 的切线，这两条切线的交点记为Q,求证：QA ⊥QB,且点Q 在某一定直线上。
8．已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21-，离心率e =22．(Ⅰ) 求椭圆E 的方程；(Ⅱ) 过点（1,0）作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，使MP MQ u u u r u u u u r为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1.（I ）∵A B 、为锐角，sin 510A B ==∴ cos 510A B ====cos()cos cos sin sin 5105102A B A B A B +=-=-= ∵ 0A B π<+< ∴ 4A B π+=（II ）由（I ）知34C π=，∴ sin 2C =由sin sin sin a b cA B C==得==，即,a c ==又∵ 1a b -=1b -= ∴ 1b = ,∴ a c ==2.：（1）因为 ()sin 2cos 21f x x x =-- )14x π=--． 所以 22T π==π．（2）())14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤，所以 当242x ππ-=，max ()1f x ， 当244x ππ-=-，min ()2f x =-．所以)(x f 的取值范围是21⎡⎤-⎣⎦．3. （１）()cos 12sin 16f x x x x πωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，由2ππω=得2ω=，所以()2sin(2)16f x x π=+-，所以min (),()33x k k Z f x ππ=-∈=-时（２）由f (B)= 1得2sin(2)116B π+-=，解得6B π=又由92BA BC ⋅=u u u r u u u r 知9cos 2ac B =，所以ac =由余弦定理知22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--=()233323323332+-⨯-⨯⨯= 所以3b =(或由33a c +=+，33ac =解得3,33,3====b a b a 或22232cos 392333b a c ac B =+-=+-⋅⋅⋅=,3=∴b ) 77．（1）由()5f α=，得223sin 23sin cos 5cos 5αααα++=． ∴1cos 21cos 233sin 25522ααα-+++=． ∴3sin 2cos 21αα+=， 即3sin 21cos 2αα=- 223sin cos 2sin ααα⇒=sin 03αα==或tan ， ∴tan 0tan 3αα==或．（2）由2cos ,2cos 2ac B c ab C a c =-即cos 1,cos 2B b C a c =-得cos 1,sin cos 2sin sin B B C A C =-则1cos 2B =即3B π=，又()223sin 23sin cos 5cos f x x x x x =++3sin 2cos 24x x =++＝π2sin(2)46x ++ 由03x π<…，则1πsin(2)126x +剟，故5()6f x 剟，即值域是[]5,6.78.（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-=g12sin()1,sin().662A A ππ-=-=由A 为锐角得,.663A A πππ-==（Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin x =-1时，f (x )有最小值-3，所以所求函数f (x )的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4 （I ）如图，AB =402，AC=1013，26,sin .BAC θθ∠==由于090θ<<o o,所以cos θ26= 由余弦定理得=3=/小时）. （2） 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理得，222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅=222=10.从而sin ABC ∠=== 在ABQ ∆中，由正弦定理得，AQ=sin 40.sin(45)AB ABC ABC ∠==-∠o由于AE =55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE-AQ =15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.在Rt QPE ∆中，PE =QE ·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=⋅∠=⋅-∠o=157.=< 所以船会进入警戒水域. 5 .⑴由切线性质及抛物线定义知W 的方程:y x 62= ⑵①设1l 方程：23+=kx y ，2l 方程：231+-=k y ，由弦长公式易知：四边形ABCD 的面积S=21CD AB =18()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++21181112222K K K K ≥72，K=±1时，72min =S .②由⑴知W 的方程为：x y x y 31,61,2==，故19121-==x x K k QB QA ，则：QA ⊥QB.联立方程2116131x x x y -=和2226131x x x y -=得交点Q ,23,221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 即Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,3k ，当k 取任何非零实数时，点Q 总在定直线23-=y 上。
6解：(1)111a a c c c eb a ⎧⎧=-=⎪⎪⇔=⎨⎨==⎪⎪=⎩⎩，∴所求椭圆E 的方程为：2212x y += (2)当直线l 不与x 轴重合时，可设直线l 的方程为：1x ky =+22221x y x ky ⎧+=⎨=+⎩ (1)(2)， 把（2）代人（1）整理得：()22k 2y 2ky 10++-= ∴1221222k y y k 21y y k 2⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪⎩+， 假设存在定点(,0)M m ，使得MP MQ ⋅u u u r u u u u r 为定值 11221212MP MQ (,)(,)()()x m y x m y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u u r=1212(1)(1)ky m ky m y y +-+-+()221212(1)(1)()1k y y k m y y m =++-++-()22222(1)2(1)1k 2k 2k k m m +-=--+-++ 222222(23)1(23)(2)(54)(1)(1)22m k m k m m m k k ---++-=+-=+-++当且仅当540m -=，即54m =时，7MP MQ 16⋅=-u u u r u u u u r （为定值）．这时()54,0M 再验证当直线l 的倾斜角0α=时的情形，此时取(P，Q54(,0)MP =u u u r，54,0)MQ =-u u u u r557MP MQ 4416⎛⎫⎫⋅=⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎭u u u r u u u u r∴存在定点()54,0M 使得对于经过（1,0）点的任意一条直线l 均有7MP MQ 16⋅=-u u u r u u u u r （恒为定值）．。